Den mentala tallinjen och kunskaper i matematik En studie kring elevers kunskaper kring den mentala tallinjen, talfakta och räknemetoder i matematik

Transkript

1 Linköpings universitet Speciallärarprogrammet Charlotte Källkvist Den mentala tallinjen och kunskaper i matematik En studie kring elevers kunskaper kring den mentala tallinjen, talfakta och räknemetoder i matematik Examensarbete 15 hp LIU-IBL/SPLÄR-A-12/36-SE Handledare: Joakim Samuelsson Institutionen för Beteendevetenskap och Lärande

2 Avdelning, Institution Division, Department Institutionen för Beteendevetenskap och Lärande LINKÖPING Datum Date Språk Language Svenska/Swedish Rapporttyp Report category Examensarbete ISBN ISRN LIU-IBL/SPLÄR-A-12/36-SE Serietitel och serienrummer Title of series, numbering ISSN URL för elektronisk version Titel Den mentala tallinjen och kunskaper i matematik. En studie kring elevers kunskaper kring den mentala tallinjen, talfakta och räknemetoder i matematik. Title The mental number line and numerical skills. A study of students' knowledge about the mental number line, number facts and counting procedures in mathematics. Författare Charlotte Källkvist Author Sammanfattning Abstract Tidigare studier visar att många elever uppvisar brister vad gäller automatiserade talfaktakunskaper. I den här studien har jag kartlagt om det råder några relationer mellan elevers olika matematiska kunskaper, såsom talfaktakunskaper, mental bild av tallinjen och procedurkunskaper. Litteraturgenomgången har inriktats på begreppen kognitiva funktioner, matematiksvårigheter, taluppfattning, automatiserade talfakta, räknemetoder och huvudräkning. Eftersom det är väsentligt att undervisningen organiseras och utgår från elevernas inlärningssätt och kunskaper har jag i denna studie valt att utgå från ett matematikdidaktiskt perspektiv. Ett matematikdidaktiskt förhållningssätt innebär bland annat att läraren har förmåga att analysera och reflektera över sin egen undervisning och skapa nya lärandesituationer utifrån de kunskapsbedömningar som görs i klassrummet. I min analys har jag varit inspirerad av metodansatsen Grounded Theory, vilket har inneburit att jag utifrån mitt empiriska material skapat meningsbärande koder. Dessa koder har resulterat i fem olika kunskapskategorier eller kunskapsnivåer. Att läraren är medveten om vilken kunskapskategori respektive elev tillhör är högst angeläget för att kunna ge bästa möjliga stöttning till vidare kunskapsinhämtning. Det är dock centralt att läraren också är medveten om att denna grupptillhörighet inte är statisk utan förändras ständigt i och med att eleven tillägnar sig ny kunskap. Nyckelord Keyword Automatiserade talfakta, mental tallinje, räknemetoder, huvudräkning

3 Förord Först och främst vill jag tacka de elever som tålmodigt ställt upp och genomfört mina tester och som också genom sina brev delgett mig sina tankar kring matematisk kompetens. Jag vill också rikta ett stort tack till klassläraren som skapat förutsättningar och möjligheter för att studien överhuvudtaget skulle kunna genomföras samt bistod med hjälp att rent praktiskt genomföra de flesta tester i klassen. Ett stort tack också till min handledare, Joakim Samuelsson, som tålmodigt besvarat mina frågeställningar under arbetets gång och kommit med tips och idéer till nya infallsvinklar och förbättringar. Charlotte Källkvist

4 Innehållsförteckning Inledning och bakgrund 1 Syfte och frågeställningar 2 Centrala begrepp 4 Matematikdidaktiskt perspektiv 5 Litteraturgenomgång 6 Kognitiva funktioner och svårigheter i matematik 6 Taluppfattning 9 Huvudräkning 11 Automatiserade talfakta 11 Beräkningsstrategi eller räknemetod? 12 Räknemetoder 13 Exempel på beräkningar utifrån olika räknemetoder 15 Metod 19 Val av analysmetod 20 Metodansats 20 Urval av elever 22 Val av uppgifter till de skriftliga testen 22 Genomförande 23 Etiska aspekter 24 Analys 25 Analys av test 1 25 Analys av test 2 25 Analys av test 3 och 4 26 Analys av breven 27 Metoddiskussion 28 Studiens tillförlitlighet 29 Resultat 31 Resultat kring automatiserade talfakta 31 Resultat kring skriftliga räknemetoder 32 Räknemetoder addition 33 Räknemetoder subtraktion 34 Resultat kring den mentala tallinjen och positionssystemet 37 Resultat utifrån elevernas brev 39 Sammanfattande resultat 42 Erhållna kunskapskategorier 42 Diskussion 45

5 Funna relationer mellan automatiserade talfaktakunskaper, val av räknemetod och mental bild av tallinjen 45 Matematisk kompetens 46 Elevernas räknemetoder 47 Specialpedagogiska implikationer 48 Avslutande kommentarer 49 Litteraturförteckning 50

6 Inledning och bakgrund I TIMSS 2007 (Skolverket, 2008a) deltog elever ur årskurs 4 och årskurs 8. I denna studie mättes elevernas matematikkunskaper med fokus på centrala matematiska begrepp och beräkningsprocedurer. Resultatet visade att många elever, ända upp i årskurs 8, har få automatiserade talfaktakunskaper. Bentley (2009) menar att begreppet talfakta beskriver den färdighet där eleverna snabbt kan hämta upp memorerade svar, utifrån olika beräkningar, ur långtidsminnet. I rapporten betonas behovet av att ha utvecklat denna förmåga för att kunna tillägna sig vidare kunskaper i matematik (Skolverket, 2008a). Bentley (Skolverket, 2008a) menar att ett villkor för att elever ska kunna utveckla automatiserade talfakta är att de har tillägnat sig en räknemetod där svaret alltid blir rätt. De flesta elever använder sig av flera olika räknemetoder. Alla räknemetoder är dock inte lika effektiva och leder inte alltid fram till korrekta svar. Ett behov av att rensa ut de metoder som ofta leder till inkorrekta svar beskrivs. Eleverna måste ges förutsättningar att tillägna sig korrekta metoder för att kunna erhålla automatiserade talfaktakunskaper (Skolverket, 2008a). I Lgr 11 (Skolverket, 2011a) framgår tydligt att eleverna ska utveckla förmågan att kunna välja en lämplig och effektiv lösningsstrategi utifrån en problemsituation. Begreppet lösningsstrategi skulle här kunna vara synonymt med begreppet räknemetod men begreppet lösningsstrategi skulle också kunna innebära att eleverna löser uppgiften genom att rita streck eller någon annan typ av förklarande bild. I kommentarmaterialet till Lgr 11 kan man läsa följande: Begreppsförståelsen har en central roll för elevernas förståelse av matematik och deras fortsatta utveckling av kunskaper i ämnet. Att kunna välja och använda lämpliga matematiska metoder samt att behärska procedurer och rutinuppgifter är också av central betydelse för elevernas förståelse och fortsatta kunskapsutveckling i matematik. (Skolverket, 2011b, s.9). Innebörden i ovanstående citat är central men också svårtolkad. Här skulle det vara nödvändigt med en diskussion kring vad olika begrepp står för. Vad innebär begreppsförståelse i matematik? Vad menas med metoder? Vilka metoder är de mest effektiva för att eleverna senare under skolgången ska kunna utveckla förståelse för den abstrakta matematiken? Svårigheten för läraren kan framstå vara att utifrån den tolkning som görs veta 1

7 vad som är mest elementärt och väsentligt att betona i undervisningen för att eleverna ska nå så stor framgång i ämnet som möjligt. Under mina år som matematiklärare har jag många gånger funderat över hur man på bästa sätt kan hjälpa de elever som uppvisar svårigheter inom specifika matematiska områden, till exempel att tillägna sig automatiserade kunskaper kring talfakta. Med automatiserade talfakta menas de beräkningar som memorerats i långtidsminnet där man inte längre behöver räkna för att ange ett svar (Dowker, 2005; Bentley, 2009). In i denna studie har jag med mig min förförståelse i fråga om orsaker till varför elever kan få olika typer av svårigheter i förhållande till matematikämnet. Dessa svårigheter är till viss del beroende av elevens minneskapacitet men kan också bero på affektiva (känslomässiga) faktorer. Min studie utgår inte från någon av dessa faktorer men vid en total kartläggning av elevens matematiska kunskaper får ingen av dessa glömmas bort. Minnets roll kommer att beröras kort i litteraturavsnittet. Ett kunskapsområde som är väsentligt för goda prestationer inom matematikämnet är den begreppsliga förståelsen. Hit hör förståelsen för tal, till exempel positionssystemet och tallinjen (Lundberg & Sterner, 2009). Eftersom denna del är så betydelsefull för förståelse inom andra matematiska kunskapsområden förmodar jag att den även har betydelse för utvecklandet av automatiserade talfaktakunskaper. Syfte och frågeställningar Syftet med min undersökning är att försöka ta reda på vilka relationer, eller avsaknad av relationer, som råder mellan elevernas matematiska kunskaper vad gäller automatiserade talfakta, räknemetoder och mentala bild av tallinjen. Utöver detta vill jag också ta reda på hur eleverna beskriver sina egna huvudräkningsmetoder och deras syn på innebörden av matematisk kompetens eftersom detta skulle kunna påverka mitt resultat. Mina frågeställningar kan, utifrån ovan beskrivna syfte, delas in i grundläggande frågeställningar och kompletterande frågeställningar enligt följande: Grundläggande frågeställningar Vilka räknemetoder använder sig elever med automatiserade talfaktakunskaper av? Vilka räknemetoder använder sig elever utan automatiserade talfaktakunskaper av? Vilken mental bild av tallinjen har elever med automatiserade talfaktakunskaper? Vilken mental bild av tallinjen har elever utan automatiserade talfaktakunskaper? 2

8 Kompletterande frågeställningar Hur beskriver elever innebörden av matematisk kompetens? Hur beskriver elever sina egna huvudräkningsmetoder? Skolverket (2008b) betonar att det är av stor vikt att kartlägga vad som kan orsaka en elevs svårigheter i skolan. Kartläggningen görs i två steg. Först ska man kartlägga problemet och hur det uppenbarar sig. Därefter ska en diskussion föras kring tänkbara orsaker och vilka behov eleven har. Att kartlägga elevernas kunskaper hör till en speciallärares uppdrag. I examensförordningen för speciallärarexamen kan man bland annat läsa: För speciallärarexamen ska studenten - visa förmåga att kritiskt och självständigt identifiera, analysera och medverka i förebyggande arbete och i arbetet med att undanröja hinder och svårigheter i olika lärmiljöer, - visa förmåga att självständigt genomföra uppföljning och utvärdering samt leda utveckling av det pedagogiska arbetet med målet att kunna möta behoven hos alla barn och elever (SFS 2007:638) Inom matematikämnet handlar det naturligtvis om att kunna kartlägga elevernas matematiska förmågor (Lgr 11). För att kunna kartlägga dessa är det då en självklarhet att specialläraren har kunskaper om vilka de matematiska förmågorna är eller vad matematisk kunskap är. Enligt Fuchs och Fuchs (2001) är begreppslig kunskap en förutsättning för att utveckla goda procedurkunskaper. Inom det specialpedagogiska området är det då högst angeläget att utforma modeller och hjälpmedel som kan underlätta elevernas begreppsliga förståelse. Min studie känns yrkesrelevant så till vida att jag inom studien genomför en kartläggning av elevers matematiska kunskaper. I min kommande yrkesroll som speciallärare kommer jag dels ha nytta av det resultat som studien leder fram till men framförallt kommer jag att ha nytta av det kartläggningsmaterial som jag har skapat under studiens gång. Jag vill dock betona att kartläggningsmaterialet i sig inte hjälper elever att nå målen. Om eleven ska kunna tillägna sig djupare matematisk förståelse måste specialläraren, och givetvis också den ordinarie matematikläraren, kunna skapa lärandesituationer som tar sin utgångspunkt i den specifika elevens kunskaper och förståelse för matematik. 3

9 Centrala begrepp Det råder en viss begreppsförvirring inom matematikämnet och i diskussioner som rör matematikundervisning. I min rapport förekommer en del matematiska begrepp som kommer klargöras både i detta avsnitt och i den löpande texten. I rapporten finns även ett antal vetenskapliga begrepp som också kan behöva förtydligas. Dessa kommer enbart att förklaras i den löpande texten. Nedanstående begrepp presenteras i bokstavordning och inte i den ordning som de presenteras i texten. En algoritm är en stegvis beräkning som följer ett givet mönster eller en given rutin (Löwing, 2008). Aritmetik är den gren av matematiken där man bland annat studerar addition, subtraktion, multiplikation och division (Kiselman & Mouwitz, 2008). Automatiserade talfakta är de beräkningar som memorerats i långtidsminnet. När dessa beräkningar väl automatiserats anges svaret snabbt och individen behöver inte längre räkna för att finna svaret (Dowker, 2005). Begreppslig kunskap inkluderar förutom matematiska ord och begrepp även förståelse för tal och tals samband med varandra, såsom tallinjen och positionssystemet (Dowker, 2005). På en linjär tallinje ligger talen på samma avstånd från varandra oavsett var i talområdet man befinner sig (Lundberg & Sterner, 2009). På en logaritmisk tallinje (figur 1) ligger talen ligger närmare och närmare varandra ju högre upp i talområdet man kommer (NCM, ). Matematisk kartläggning innebär den process som innefattar att ta reda på, i denna studie genom olika test, vilka matematiska kunskaper en elev förfogar över. I texten har begreppet kartläggning använts synonymt med matematisk kartläggning. Begreppet kartläggning förkommer också då det handlar enbart om att ta reda på elevers generella svårigheter, då inte med fokus på matematikämnet. Vilket som avses framgår av sammanhanget. Matematisk kompetens eller matematisk kunskap består enligt Dowker (2005) av fyra delar; begreppslig förståelse, procedurkunskaper, talfaktakunskaper och problemlösningsförmåga. För att vara en god problemlösare krävs goda kunskaper inom de tre första delarna (Dowker, 2005). Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) tar också upp logiskt tänkande, 4

10 resonemangsförmåga, och produktiv disposition (min översättning). Det sistnämnda innefattar individens förmåga att se nyttan och behovet av goda kunskaper i matematik. Minuend är den första av de båda termerna i en subtraktionsuppgift (Larsson, 2012). Procedurkunskaper innefattar kunskaper kring olika typer av beräkningar inkluderat förståelse för de matematiska reglerna (Dowker, 2005). Procept är egentligen en sammandragning av de engelska begreppen process (syftar till procedurkunskaperna och har med själva räknandet att göra) och concept (begrepp) (Gray & Tall, 2007). Subtrahend är den andra av de båda termerna i en subtraktionsuppgift (Larsson, 2012). Matematikdidaktiskt perspektiv I min studie har jag valt att utgå från ett matematikdidaktiskt perspektiv. Det är då centralt att definiera begreppet matematikdidaktik. Enligt Grevholm (2009) bygger matematikdidaktiken på det forskningsfält, det vill säga aktuellt forskningsresultat, inom matematikämnet. Olika forskningsresultat bidrar i sin tur till att bygga upp ett kunskapsfält som varje lärare behöver ha gedigna kunskaper om (Grevholm, 2009). Löwing (2008) beskriver matematikdidaktik som läran om matematikundervisning, vilket innefattar undervisningens innehåll samt planering, genomförande och utvärdering av densamma. Mouwitz (2001) tillägger att läraren också behöver ha kunskap om styrdokumenten, det vill säga vilka mål som gäller för undervisningen, för att undervisningen ska bli effektiv och framgångsrik. Bentley och Bentley (2011) understryker att matematikdidaktik också innebär att läraren behöver ha kunskaper om hur eleverna lär matematik, speciellt med fokus på matematiska begrepp. Den matematikdidaktiska läraren är en reflekterande praktiker vars huvuduppgift är att organisera lärandesituationer utifrån de observationer som görs i klassrummet. Dessa observationer innebär att läraren bedömer och värderar elevernas kunskaper och utifrån dessa skapar nya didaktiska lärandesituationer (Engström, 2005). Löwing och Kilborn (2002) betonar vikten av medvetenhet hos läraren vad gäller elevernas inlärningssätt, det vill säga att olika elever lär på olika sätt och når därmed målen på olika sätt. Utöver denna medvetenhet måste läraren ha en ämnesteori att luta sig emot (Löwing, 2008). Denna ämnesteori är en sammanslagning av tidigare forskning kring undervisning och inlärning samt tidigare 5

11 lärarerfarenheter. I kombination med detta måste en lärare också ha gedigna faktakunskaper inom ämnet (Löwing, 2008). Matematikdidaktik kan, sammanfattningsvis, ses som ett tankeverktyg där lärarna analyserar och reflektera över sin egen undervisning (Samuelsson, 2006). Skolverket (2009) betonar betydelsen av aktiva lärare som kan engagera och motivera och att detta i sin tur bidrar till en positiv kunskapsutveckling hos eleverna. I min studie utgår jag från Engströms (2005) tankar om att den matematikdidaktiska läraren måste kunna bedöma och värdera elevernas inhämtade kunskaper för att kunna skapa nya lärandesituationer. I förlängningen bör också matematikdidaktiken ses som ett tankeverktyg, där den dagliga planeringen innefattar en analys- och en reflektionsfas, som Samuelsson (2006) förordar, men detta ligger utanför min studie. Litteraturgenomgång I min litteraturstudie valde jag att fokusera kring kognitiva funktioner, matematiksvårigheter, taluppfattning, automatiserade talfakta, räknemetoder och huvudräkning. I detta kapitel redovisas den vetenskapliga sammanställning jag gjort kring dessa begrepp. Under rubriken taluppfattning framförs litteratur som understryker betydelsen av den mentala tallinjen, talstrukturer och positionssystemet. Kognitiva funktioner och svårigheter i matematik De faktorer som orsakar matematiksvårigheter kan vara av yttre eller inre art (Dowker, 2005). De inre faktorerna är biologiska medan de yttre kan härledas till hem-, skol- och/eller den sociokulturella miljön. I praktiken är det dock ganska svårt att skilja arv och miljö åt eftersom de interagerar med varandra. De biologiska faktorerna innefattar de kognitiva funktionerna, till exempel arbetsminnesfunktioner och långtidsminne (Dowker, 2005). Arbetsminnet innefattar den aktiva delen av minnet där information hanteras i den process som pågår här och nu medan långtidsminnet är den del av minnet där information lagras under lång tid och som plockas fram vid behov (Geary, Hoard, Nugent & Byrd-Craven, 2007). Huruvida matematiksvårigheter beror på bristande arbetsminne eller om matematiksvårigheter skapar bristande arbetsminne är, enligt Lundberg och Sterner (2009), inte helt klarlagt. Ashcraft och Kirk (2001) har genom sin studie kommit fram till att arbetsminnet belastas hårdare om 6

12 individen upplever ängslan för matematikämnet. Matematikängslan ökar i sin tur vid uppgifter som kräver snabbhet och exakthet (Ashcraft & Kirk, 2001). Matematikängslan ses här som en distraktor. En disktraktor är någonting som leder elevens tankar till någonting annat än det som primärt står i fokus. En elev som, till exempel, får ägna mycket tid åt att tänka på åt vilket håll siffrorna ska skrivas, kommer också att drabbas av en högre arbetsminnesbelastning (Bentley & Bentley, 2011). Ashcraft och Kirk (2001) talar om svårigheten för läraren att avgöra huruvida låga testresultat beror på låg matematisk kompetens eller om det förekommer andra bifaktorer som orsakar en onödigt hög belastning på arbetsminnet. Andersson (2010) har genom sin studie belyst att elever i matematiksvårigheter avviker i sina kognitiva funktioner i en jämförelse med åldersmatchande elever. Elever i matematiksvårigheter ligger ungefär två år efter i de matematiska tankeprocesserna och de tenderar även att stanna kvar på en lägre nivå vad gäller procedurkunskaper (Andersson, 2010). Zamarian, López-Rolon och Delazer (2007) menar att olika matematiska kunskapsområden, såsom procedurkunskaper, kunskaper kring talfakta och begreppsliga kunskaper, rent neurologiskt har olika placeringar i hjärnan. Det finns, enligt Zamarian et al. (2007) övertygande bevis för att en människa kan utveckla god matematisk kompetens inom ett kunskapsområde, till exempel vad gäller att lagra och hämta upp talfakta ur långtidsminnet, även om det finns brister inom ett annat område. En människa kan, trots en skada i en specifik del av hjärnan, utveckla matematiska kunskaper som är lokaliserade till en annan del av hjärnan. Zamarian et al. (2007) belyser dock att chansen för att utveckla en högre matematisk kompetens är större om de olika matematiska kunskapsområdena samspelar med varandra. Om en elev har goda begreppsliga kunskaper är således chansen större att utveckla goda kunskaper kring talfakta eller procedurkunskaper (Zamarian et al., 2007). Dowker (2005) menar att aritmetiska svårigheter kan bero på begreppsmässiga svårigheter (vilket förutom matematiska ord och begrepp även inkluderar förståelse för tal och tals samband med varandra), procedurella svårigheter eller brister i förståelsen av talfakta. Med procedurella svårigheter menas svårigheter med att utföra olika beräkningar (Dowker, 2005). Därtill kommer svårigheter att kunna tillämpa de ovan beskrivna förmågorna vid problemlösning. Gray och Tall (2007) menar att begreppslig kunskap och procedurkunskap är starkt länkade till varandra. Behovet av att skapa ett begrepp som syftade till båda dessa 7

13 kunskaper väcktes. Det nya begrepp som Gray och Tall (2007) skapade är begreppet procept, vilket är en sammandragning av de engelska begreppen process (syftar till processen, det vill säga procedurräkningen) och concept (begrepp). Detta begrepp är tänkt att vara ett redskap i dialogen mellan lärare med fokus på att synliggöra både elevens begreppsliga förståelse och förmåga att använda sig av olika procedurer. Anghileri (2000) framhåller att proceptet 6 dels innebär att eleven kan ramsräkna till sex eller kan räkna sex föremål samt kan förstå att talet 6 kan delas upp i 3 + 3, 2 + 4, ett mer än fem och så vidare. När eleven har goda procepts kring det aktuella matematiska momentet är det möjligt att gå vidare till en högre abstraktionsnivå (Gray & Tall, 2007). Inom forskningen finns det olika teorier kring vad matematiksvårigheter kan bero på. Engström (2000) lyfter fyra dimensioner av orsaker och menar att matematiksvårigheter kan ha sin grund i en specifik dimension men att det också kan ha flerdimensionella orsaker. De dimensioner som lyfts är: medicinska/neurologiska defektorienterade, eleven har en hjärnskada eller en annan fysisk eller psykisk funktionsnedsättning psykologiska förklaringar sökes i bristande ansträngning eller koncentrationssvårigheter hos eleven, ångest eller olika kognitiva orsaker sociologiska miljöfaktorer, social deprovation, dvs eleven kommer från en understimulerad miljö, skolsystemet missgynnar barn med t ex arbetarbakgrund didaktiska felaktiga undervisningsmetoder, ensidig färdighetsträning. (Engström, 2000, s. 27). Även Magne (1998) lyfter problemet med felaktiga undervisningsmetoder. Han menar att en felaktig undervisningsmetod kan vara att alla elever i en klass får arbeta med samma typ av övningar, oavsett vilken kunskapsnivå de ligger på. Elever beter sig olika, lär sig olika och kan olika (Magne, 1998, s. 139). Magne (1998) betonar vikten av att eleven måste få stå i centrum för undervisningen, precis som skollagen framhåller. Alla barn och elever ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. Elever som lätt når de kunskapskrav som minst ska uppnås ska ges ledning och stimulans för att kunna nå längre i sin kunskapsutveckling. (SFS 2010:800, 3 kap. 3 ). Att de bakomliggande orsakerna till matematiksvårigheter är multifaktoriella framkommer av flera studier, däribland Sjöberg (2006), Engström och Magne (2003) samt Lundberg och Sterner (2009). Lundberg och Sterner (2009) lyfter att matematiksvårigheter, utifrån den 8

14 definition som Brittiska utbildningsdepartementet fastställde 2001, skulle kunna handla om avsaknad av intuitiv matematisk förmåga, svårigheter att hantera talfakta och talbegrepp samt svårigheter vad gäller beräkningsprocedurer. Därtill kommer ofta en bristande självtillit. Lundberg och Sterner (2009) menar att denna definition är något luddig och skulle också kunna vara följden av undermålig undervisning, andra funktionshinder eller omgivningens påverkan på individen. Idag fokuseras andra delar inom matematiken, såsom logiskt tänkande och elevens förmåga att kunna resonera kring det matematiska innehållet, än vad som tidigare gjorts, vilket kan medföra andra typer av svårigheter än det rent räknetekniska (Magne, 1998). Något som också påverkar elevens prestationer inom matematik är elevens attityder och känslor för ämnet. Svårigheterna kan också grunda sig i elevens bakgrund eller i det arbetsklimat som råder i klassrummet. Eleverna i Sjöbergs studie (2006) betonar vikten av arbetsro i klassrummet för att kunna tillgodogöra sig kunskap. Taluppfattning Schneider, Grabner och Paetsch (2009) understryker problemet med att det finns många definitioner på begreppet taluppfattning. Kärnan i vår taluppfattning är en medfödd känsla för antal. Denna grundläggande förmåga handlar om att mentalt kunna representera och manipulera med tal på en tänkt tallinje (Schneider et al., 2009). Enligt Kilhamn (2011) är det svenska begreppet taluppfattning inte lika mångfacetterat som engelskans number sense. The term number sense has a built-in multiple meaning that the Swedish translation lacks. Sense can mean to have a feeling for, or to be able to understand. The term sense also stands for the powers that give us information about things around us; our senses. When something makes sense it means that it has a clear meaning and is easy to understand, it is sensible, it has a good reason or explanation. To sense something means to feel that something exists or is true. All these meanings are related to and thus enrich the meaning we put into the term number sense. (Kilhamn, 2011, s. 77). Lundberg och Sterner (2009) framhåller vikten av att hjälpa eleverna att upptäcka talstrukturer. Detta innefattar till exempel förmågan att kunna föreställa sig en tallinje som linjär och inte logaritmisk. Med linjär tallinje menas att det är samma avstånd mellan talen oavsett var i talområdet man befinner sig (figur 1). En logaritmisk tallinje (figur 2) innebär att 9

15 talen ligger tätare och tätare ju högre upp i talområdet man kommer, vilket försvårar förståelsen av olika samband inom talsystemet Figur 1 Linjär tallinje Figur 2 Logaritmisk tallinje (NCM, ). Johansson (2011) har i sin studie kommit fram till att de elever som har goda kunskaper kring talserier har lättare att bilda sig förståelse för den mentala tallinjen och att de därmed presterar bättre i matematik, framför allt vad gäller att lösa uppgifter i subtraktion. Även Magne (1998) betonar vikten av att upptäcka talstrukturer. Han menar att matematiken kan ses som ett pussel, en helhet, som förvärvas pusselbit för pusselbit. För att eleverna ska kunna tillägna sig vårt abstrakta tiosystem, och få förståelse för tiotalet, krävs att de får upptäcka talmönster även inom högre talområden. Att begränsa sig till att enbart arbeta med talen 0-5 med yngre elever är, enligt Magne (1998), alldeles för snävt. Anghileri (2000) menar att uppdelning av tal i olika talsorter, till exempel tiotal och ental, fokuseras för mycket i undervisningen. Detta inbjuder eleverna till att utföra olika typer av talsortsberäkningar, vilka ofta leder till misstag på grund av bristande förståelse. Även Johansson (2011) betonar risken med att införa positionssystemet tidigt i undervisningen. Det är bättre att eleverna i årskurserna 1 och 2 får djupare förståelse för tallinjen och tillägnar sig förståelse av att dela upp tal i termer. Detta leder till ökad förståelse för beräkningar som innefattar att hoppa på tallinjen, vilket i sin tur inte leder till lika många beräkningsfel (Johansson, 2011). Weber (1996) markerar att förståelsen för tal är nödvändig för att utveckla goda procedurkunskaper. Han menar att när elever har förståelse för de inblandade talen kan de lättare välja en effektiv räknemetod och kommer därmed snabbare fram till rätt svar. 10

16 Huvudräkning Löwing (2008) talar om att det finns olika strategier för huvudräkning. Hon betonar dock att huvudräkning används vid alla typer av beräkningar oavsett om dessa är skriftliga eller muntliga. Själva beräkningarna görs ju alltid i huvudet. Löwing och Kilborn (2003) menar att man vid huvudräkning kan göra stödanteckningar för att slippa hålla så mycket information i huvudet och därmed minska belastningen på arbetsminnet. Dessa stödanteckningar brukar kallas för skriftlig huvudräkning. Risken finns dock att de skriftliga huvudräkningsmetoderna sammanblandas med olika typer av algoritmer, vars regler ofta är betydligt krångligare än den ursprungliga huvudräkningen (Löwing & Kilborn, 2003). För att bli framgångsrik i huvudräkning krävs, enligt Löwing och Kilborn (2003), grundläggande taluppfattning. De nämner, precis som Johansson (2011), att eleven måste behärska talraden, det vill säga att effektivt kunna räkna både framåt och bakåt. Andra moment som måste behärskas är också tiotals- och hundratalsövergång, talens grannar och att kunna dela upp tal i termer och faktorer (Löwing & Kilborn, 2003). Löwing och Kilborn (2003) anser det väsentligt att diskutera olika huvudräkningsstrategier med eleverna. Här kan läraren effektivt förmedla diverse räknelagar som måste kunna hanteras för att klara av den mer abstrakta matematiken som komma skall (Löwing & Kilborn, 2003). Murphy (2004) menar dock att forskningen är oense kring nyttan av att lära eleverna bestämda huvudräkningsstrategier. Hon menar att elever med hög matematisk kompetens har en förmåga att skapa egna strategier. Om dessa elever blir lärda en annan strategi kan de bli förvirrade och deras ursprungliga strategi kan förvrängas och leda till felaktiga svar. Hon menar också, i motsats till detta, att det finns elever som saknar förmåga att skapa egna huvudräkningsstrategier och att det då är nödvändigt med inlärning av en annan, utifrånkommande, strategi. Samtidigt finns det en risk att dessa elever ändå inte tar till sig den nya strategin eftersom de inte kopplar den nya kunskapen till tidigare erfarenheter eller redan förvärvade kunskaper (Murphy, 2004). Murphy (2004) avslutar med att betona vikten av god matematikdidaktisk kompetens hos läraren. En lärare måste kunna sammanföra det nya lärostoffet med elevernas tidigare kunskaper. Automatiserade talfakta Med automatiserade talfakta menas de beräkningar som memorerats i långtidsminnet. När dessa beräkningar väl automatiserats anges svaret snabbt och individen behöver inte längre räkna för att finna svaret (Dowker, 2005). Dowker (2005) lyfter att det finns flera orsaker till 11

17 svårigheter vad gäller att tillägna sig automatiserade talfakta. Hon menar att begränsade minnesfunktioner är det som uppmärksammats mest men att det inte är den enda orsaken. Flexibilitet vad gäller val av olika beräkningsstrategier, förmåga att se samband mellan tal och att upptäcka aritmetiska mönster ses också som betydande orsaker (Dowker, 2005). Hudson och Miller (2006) belyser att elever som inte har tillägnat sig automatiserade talfakta ofta utvecklar andra beräkningsstrategier. Dessa strategier är ofta tidskrävande och fungerar inte för att utveckla en djupare matematisk förståelse. Hudson och Miller (2006) betonar att framgång inom matematikämnet symboliseras av effektivitet och exakthet. Geary et al. (2007) menar att normalpresterande elever, med ökad mognad, lämnar procedurstadiet vad gäller enkla beräkningar och utvecklar en högre grad av automatiserade talfaktakunskaper medan elever i matematiksvårigheter, precis som Andersson (2010) fann i sin studie, tenderar att stanna kvar i procedurstadiet. Med automatiserade talfakta stärks den övriga beräkningsförmågan och tiden för tankeprocessen blir kortare (Dowker, 2005). Automatiserade kunskaper underlättar därmed vidare inlärning och utveckling inom matematik. Heirdsfield (2000) belyser på samma sätt att automatiserade talfakta främjar utveckling av effektiva huvudräkningsmetoder. Dowker (2005) understryker att metakognition inom aritmetikområdet är väsentligt för elever i matematiksvårigheter. Metakognition innebär, i det här fallet, att skapa sig en medvetenhet om sina egna mentala beräkningsstrategier. För att ge eleverna ökad tillgång till automatiserade talfakta så måste de först och främst ges möjlighet att utveckla förståelse för grundläggande talkombinationer (McIntosh, 2009). Grundläggande talkombinationer kan vara tiokamrater, dubblor, addera/subtrahera 10, kommutativitet (a + b = b + a, till exempel att 7+2 = 2+7) etcetera. När eleverna väl förstår de grundläggande talkombinationerna kan färdighetsträningen, eller repetitionen, som ska leda till memorerade kunskaper, ta vid. Bentley och Bentley (2011) påpekar att en förutsättning för att talfakta ska kunna lagras i långtidsminnet är att eleverna ofta kommer fram till samma, korrekta svar. Om uträkningarna ofta leder till rätta svar bidrar det dessutom till att eleverna lättare kan upptäcka talmönster och talstrukturer vilket i sin tur bidrar till att eleverna lagrar fler talfakta i långtidsminnet (Bentley & Bentley, 2011). Beräkningsstrategi eller räknemetod? Bentley och Bentley (2011) framhåller att begreppet beräkningsstrategi ofta används som uttryck både för skriftliga metoder och huvudräkningsmetoder, vilket kan upplevas 12

18 förvillande. Bentley och Bentley (2011) ställer sig kritisk till begreppet skriftlig huvudräkning och menar att huvudräkning, som är skriftlig, egentligen är en skriftlig räknemetod. De menar också att begreppet algoritm många gånger används felaktigt. Alla skriftliga räknemetoder är algoritmer. För att förtydliga begreppet algoritm är det bättre att säga standardalgoritm när klassisk uppställning åsyftas (Bentley & Bentley, 2011). Även Hedrén (1999) är av uppfattningen att alla skriftliga räknemetoder är algoritmer eftersom de följer specifika räknescheman. En elev som använder sig av algoritmer som han/hon inte kommit på själv riskerar att följa dessa utan närmare reflektion, vilket lätt kan leda till felaktiga svar. Om eleven har kommit på en egen räknemetod är risken för detta inte lika stor (Hedrén, 1999). I min studie har jag valt att använda mig av begreppet räknemetod istället för beräkningsstrategi (Bentley & Bentley, 2011) när jag syftar till skriftliga metoder. När jag använder mig av begreppet beräkningsstrategi syftar jag till beräkningar i allmänhet, där tillvägagångssättet inte är definierat. Dessa kan då med andra ord vara både skriftliga och mentala eller enbart mentala. Ineson (2007) lyfter att den brittiska läroplanen, NNS (National Numeracy Strategy), betonar vikten av att främja elevers djupa matematiska förståelse, det räcker inte med goda procedurkunskaper och automatiserade talfakta. Det har visat sig att de elever som saknar djup matematisk förståelse lätt blir förvirrade vid inlärning av nya räknemetoder (Ineson, 2007). Räknemetoder I detta kapitel kommer jag att presentera de räknemetoder som Larsson (2012) och Johansson (2011) funnit vara frekvent använda av elever vid beräkning av addition och subtraktion. Jag kommer att redogöra för Larssons (2012) och Johanssons (2011) funna räknemetoder parallellt med varandra för att tydliggöra likheter och skillnader. En räknemetod kan, enligt Larsson (2012) vara av atomistisk eller holistisk art (tabell 1). I en atomistisk räknemetod utgår man från delarna medan man i en holistisk räknemetod istället utgår från helheten. En atomistisk räknemetod är också en generell räknemetod eftersom beräkningen utförs likadant oberoende av vilka tal som ingår i beräkningen, det vill säga den följer en specifik regel. I motsats till detta kallas en holistisk räknemetod för en lokal räknemetod. Här tas hänsyn till de ingående talen och vilken exakt räknemetod som används beror på hur talen är beskaffade (Larsson, 2012). 13

19 Larsson (2012) lyfter fem huvudkategorier innehållande räknemetoder som ofta används av elever både vid additions- och subtraktionsberäkningar. Dessa huvudkategorier är lodräta algoritmer, talsortsvisa beräkningar, stegvisa beräkningar, kompensationsberäkningar och härledda talfakta. Av dessa räknemetoder finns också ett antal varianter, presenterade som underkategorier. Kategorierna kan också rangordnas utifrån graden av atomism holism (tabell 1). Atomistisk Generell Huvudkategorier Lodräta algoritmer Varje siffra behandlas som ental Talsortsvis beräkning Tiotal och ental behandlas separat Stegvisa beräkningar Ena termen behandlas som en helhet den andra delas upp, ofta talsortsvis Kompensationsberäkningar Båda termerna behandlas som helheter Några vanliga underkategorier Det finns många olika typer av lodräta algoritmer Standard Blandad Standard Med kompensation Kompletterande addition Ena termen ändras Båda termerna ändras Lokal Holistisk Härledda talfakta Båda termerna behandlas som helheter och jämförs med andra tal Tabell 1 Räknemetoder i addition och subtraktion (Larsson, 2012, s. 24). Precis som Larsson (2012) har Johansson (2011) funnit räknemetoder som elever ofta använder sig av vid additions- och subtraktionsberäkningar. Johansson (2011) har i sin studie använt sig av begreppet räknestrategi istället för räknemetod och jag kommer använda mig av strategibegreppet när jag relaterar till hans studie. Johansson (2011) har funnit att eleverna använder sig av fem olika kategorier av räknestrategier när de räknar subtraktion. En av dessa benämns kort och gott som räknestrategin. Denna kategori innefattar de strategier som används då eleverna räknar sig fram till svaret ett steg i taget, genom att använda sig av fingerräkning, ritade streck eller någon form av föremål. Denna strategigrupp innefattar två likartade strategier, den första att eleven, vid beräkning av till exempel 8-3, först räknar sig fram till åtta genom att hålla upp ett finger i taget och att eleven därefter räknar bort tre genom att ta bort ett finger i taget. Den andra räknestrategin är att eleven utgår från talet åtta direkt för att sedan ta bort tre, ett i taget (7, 6, 5) (Johansson, 2011). Johanssons (2011) övriga fyra kategorier är talsortsstrategin, den vertikala uppställningen, kunna tabellen och hoppstrategin. Dessa kommer att beskrivas i nästa avsnitt. 14

20 Exempel på beräkningar utifrån olika räknemetoder Nedan följer exempel på hur subtraktionsuppgiften kan lösas med hjälp av räknemetoder hämtade ur Larssons (2012) respektive huvudkategori och underkategori (tabell 1). Kopplat till dessa följer de förklaringar, och benämningar, som Johansson (2011) har av de räknemetoder han funnit i sin studie. Den lodräta algoritmen (Larsson, 2012, figur 3) som vi vardagligt benämner uppställning, kallar Johansson (2011) för den vertikala uppställningen. Denna metod har under en längre tid inte varit så frekvent förekommande inom den svenska matematikundervisningen, men den verkar vara på väg tillbaka (Löwing, 2008) Figur 3 Lodrät algoritm (Larsson, 2012). Talsortsvisa beräkningar (Larsson, 2012, figur 4) kallar Johansson (2011) istället för talsortsstrategin. Denna strategi används flitigt inom den svenska matematikundervisningen (Johansson, 2011). Till skillnad från den vertikala uppställningen, där man börjar med den minsta talsorten, börjar man vid talsortsstrategin med den största talsorten. Likheten mellan talsortsstrategin och den vertikala uppställningen är dock att man delar upp talen i talsorter (Johansson, 2011) = (70 30) + (2 6) = 40 + (- 4) = 36 eller = (70 30) + (2 6) = 40 4 = 36 Figur 4 Talsortsvisa beräkningar (Larsson, 2012). Ibland har talsortsstrategin fått andra namn, såsom skriftlig huvudräkning eller mellanledsmetod. Vid talsortsstrategin räknas talsorterna helt separerade från varandra. Denna räknestrategi anser Johansson (2011) är problematisk när eleverna ska beräkna uppgifter som kräver tiotalsövergång eftersom eleverna då lätt byter plats på entalssiffrorna. Det finns 15

21 ytterligare en variant av talsortsräkning som varken Larsson (2012) eller Johansson (2011) funnit i sina studier och det är den där man utgår från hel förstaterm. Anghileri (2000) belyser denna metod, kallad sekventiell metod, där man utgår från det hela och sedan tar bort en talsort i taget (figur 5) = = = 36 Figur 5 Sekventiell metod (Anghileri, 2000). Stegvisa beräkningar Alla stegvisa beräkningar (Larsson, 2012) bygger på att eleven hoppar på tallinjen. Johansson (2011) kallar kort och gott denna kategori för hoppstrategier, vilket egentligen är ett samlingsnamn för fyra olika strategier; den egentliga hoppmetoden, den utvidgade hoppmetoden, baklänges med plus och förenkling. Larsson (2012) talar istället om tre typer av stegvisa beräkningar inom subtraktion; standard (figur 6), kompensation (figur 8) och kompletterande addition (figur 9) = = 36 Figur 6 Stegvis beräkning: standard (Larsson, 2012). När Larsson (2012) talar om stegvis beräkning: standard talar Johansson (2011) om två olika hoppmetoder; den egentliga hoppmetoden och den utvidgade hoppmetoden. Den egentliga hoppmetoden är effektivast när subtrahenden, det vill säga den andra termen, är ensiffrig, till exempel i uppgifter som 12 5 och Minuenden, den första termen behandlas som ett helt tal medan subtrahenden kan delas upp i flera hopp. Hoppen sker baklänges på tallinjen (Johansson, 2011). I figur 7 visas beräkningen 12 5 där man först hoppar två hopp till 16

22 närmaste tiotal för att sedan hoppa de sista tre hoppen. Det tal man landar på är därmed svaret på beräkningen. Beräkning av 12 5 = = 7 3 hopp 2 hopp Figur 7 Den egentliga hoppmetoden (Johansson, 2011). Då hoppmetoden används på uppgifter där subtrahenden är tvåsiffrig, som i uppgiften 74 48, kan subtrahenden delas upp i talsorter, i det här fallet För att komma fram till svaret genomförs först tiotalshoppen, baklänges på tallinjen, och därefter entalshoppen. Denna strategi kallas då den utvidgade hoppmetoden (Johansson, 2011). Johanssons (2011) strategi förenkling, liknas vid Larssons (2012) stegvisa beräkning: kompensation (figur 8) och kan användas i olika situationer. När eleven hoppar på tallinjen har han/hon nytta av sina kunskaper kring talradens uppbyggnad och att man kan minska båda talen med två, vid beräkning av 72 36, för att få en enklare uträkning = = 36 Figur 8 Stegvis beräkning: kompensation (Larsson, 2012). 17

23 Den metod som Larsson (2012) kallar för stegvis beräkning: kompletterande addition (figur 9) kallar Johansson (2011) istället för baklänges med plus, vilken innebär att man utgår från subtrahenden och fyller på tills man når minuenden = = = 72 Slutligen adderas alla hopp som gjorts på tallinjen: = 36 Figur 9 Stegvis beräkning: kompletterande addition (Larsson, 2012). Uppgiften löses genom att man först fyller upp till närmaste jämna tiotal genom att lägga till fyra ( = 40). Därefter fyller man på så man når det tiotal som ligger närmast under minuenden; = 70. Till sist fyller man på så man når minuenden; = 72. Den sista beräkning som behöver utföras är att addera hoppen eller det totala antal man har fyllt på, i det här fallet = 36. Kompensationsberäkningar Vid kompensationsberäkningar ändrar man antingen ena termen eller båda termerna för att få en enklare uträkning. Detta kallar Johansson (2011) för förenkling, vilket lyftes ovan i samband med tallinjen. Ena termen ändras Här ändras termen 36 tillfälligt till 40. Detta måste sedan kompenseras i slutet av beräkningen. Denna beräkning utförs i stort sett likadant som den stegvisa beräkningen med kompensation men här används inte tallinjen för att utföra beräkningen = = 36 Figur 10 Kompensationsberäkning : Ena termen ändras (Larsson, 2012). 18

24 Båda termerna ändras Båda termerna ändras lika mycket, i det här fallet adderas 4 till båda termerna = 36 Figur 11 Kompensationsberäkning : Båda termerna ändras (Larsson, 2012). Härledda talfakta Vid härledda talfakta använder man sig av tidigare inhämtade, automatiserade kunskaper (figur 12, Larsson, 2012). Detta beskriver Johansson (2011) som att kunna tabellen. Genom att ha många automatiserade talfakta underlättas alla typer av beräkningar. Elever uttrycker ofta detta med kommentarer som: Jag visste bara svaret eller min fröken har lärt mig det (Johansson, 2011). Jag vet att = 70; alltså måste vara lika med 72. Figur 12 Härledda talfakta (Larsson, 2012). Larsson (2012) talar om det olyckliga av att begreppen minuend och subtrahend har försvunnit ur den svenska matematikundervisningen. Istället används nästan uteslutande begreppen termer. Genom den senare terminologin kan man inte se skillnad på vilken roll talen spelar vid en subtraktionsberäkning. Detta kan medföra att eleverna blandar ihop vilket tal som ska subtraheras från vilket. Det är då lätt hänt att eleverna tar den smidigaste vägen och subtraherar från det största, till exempel kan de komma fram till svaret 18 efter en beräkning av 41 39, genom att räkna = 10; 9 1 = 8 och sist = 18. Metod I följande kapitel kommer jag redogöra för min analysmetod, hur urvalet av uppgifter och informanter har gått till, hur det empiriska underlaget samlats in samt hur analysarbetet genomförts. I slutet av kapitlet kommer jag också redogöra för studiens tillförlitlighet samt de forskningsetiska aspekter som kändes relevanta för min studie. 19

25 Val av analysmetod Att välja mellan kvantitativ och kvalitativ analysmetod har varit bekymmersamt. Ett behov av att, kvantitativt, kunna räkna hur många av eleverna som besvarade uppgifterna på ett visst sätt kändes självklart i samband med mitt analysarbete samtidigt som det var lika självklart att kvalitativt, utifrån det empiriska underlaget, kunna kategorisera elevernas olika räknemetoder och deras tankar om sina egna räknemetoder. Konsekvensen av detta blev att jag använde mig av både kvantitativ och kvalitativ analysmetod. Med hjälp av kvalitativ metod har jag kunnat kategorisera både elevernas matematiska lösningar samt deras elevsvar i breven. Med hjälp av kvantitativ metod har jag kunnat mäta frekvensen av olika typer av lösningar utifrån korrekta eller felaktiga svar. Många av testresultaten redovisas kvantitativt, genom tabeller och diagram. Några av dessa kommer att synliggöras i resultatavsnittet. I tabell 2 presenteras hur kvantitativ och kvalitativ analysmetod har använts fördelat på de olika datainsamlingsinstrumenten. Metodansats Datainsamlingsinstrument Kvantitativ analysmetod X Tabell 2 Analysmetod utifrån respektive datainsamlingsinstrument Kvalitativ analysmetod Test 1 Test 2 X X Test 3 X X Test 4 X X Brevskrivning X X I min studie har jag valt att vara inspirerad av den kvalitativa metodansatsen Grounded theory, i fortsättningen kallat GT. GT är en forskningsmetod som utvecklades under talet av Barney Glaser och Anselm Strauss med syftet att framställa ny teori ur empiriska data (Willig, 2001). Idag ses GT många gånger både som en teori och en metod. Vad gäller teori så åsyftas den teori som genereras i och med genomförd forskning och med metod menas den process då det, ur det empiriska materialet, skapas olika kategorier (Willig, 2001). När utgångspunkten tas i empirin talas det om en induktiv metodansats. Utifrån det insamlade materialet försöker forskaren sedan, genom sin analys, utarbeta mer generella eller teoretiska modeller (Fejes & Thornberg, 2009). Motsatsen till induktiv metodansats är deduktiv metodansats, då forskningen utgår från en redan given teori eller regel. Den deduktiva metodansatsen är vanligare inom kvantitativ forskning. Risken med denna typ av forskning är 20

26 att teorin ska bevisas och att empirin då inte blir lika framträdande (Fejes & Thornberg, 2009). Willig (2001) betonar att inom GT är det centralt att inte utgå från en tidigare utarbetad teori. Forskaren ska vara medveten om och förhålla sig kritisk till den egna förförståelsen (Thornberg & Forslund Frykedal, 2009). Det är därmed av stor vikt att se med öppna ögon på det empiriska materialet och försöka skala bort den förförståelse som finns. Det är dock väsentligt att den förförståelse som trots allt existerar synliggörs i rapporten eftersom den kan påverka både analysarbete och resultat (Thornberg & Forslund Frykedal, 2009). Forskningsprocessen inom GT styrs av teoretiskt urval, vilket innebär att datainsamlingen och analysarbetet pågår samtidigt. De reflektioner forskaren gör parallellt med datainsamlingen leder sedan forskningsarbetet vidare. Viktigt är då att forskaren kan vara flexibel i sina val av datainsamlingsinstrument (Thornberg & Forslund Frykedal, 2009). Genom att pendla mellan datainsamling och analys uppnår forskaren till slut teoretisk mättnad, det vill säga ingenting nytt framträder ur materialet (Thornberg & Forslund Frykedal, 2009). I min studie var min ambition att styras av teoretiskt urval, men den begränsade tiden som fanns till förfogande, medförde svårigheter med detta. Om det hade funnits mer tid hade inte testen med eleverna behövt genomföras så hastigt och det hade då funnits mer tid för reflektion kring hur arbetet skulle fortskrida. Under analysarbetet används öppen kodning, vilket innebär att forskaren letar efter mönster eller meningsbärande fraser eller enheter, så kallade kategorier, i det empiriska materialet. De kategorier som skapas kan ligga på två olika nivåer, antingen beskrivande eller analytisk nivå. Ofta är de kategorier som skapas i inledningen av en studie på beskrivande nivå. När forskaren sedan tolkar sitt material når kategorierna en högre abstraktionsnivå och befinner sig då på analytisk nivå (Willig, 2001). Willig (2001) betonar vikten av att skriva memos under hela forskningsprocessen. Dessa memos kan påverka processen och i förlängningen även resultatet, det vill säga den genererade teorin. Inom kvantitativ forskning baseras analysen och resultatet på någon form av mätning (Bryman, 2002). I min studie handlar det om att jag mäter frekvensen av korrekta och felaktiga svar utifrån elevernas räknemetoder. Resultatet redovisas i frekvensdiagram. Inom kvantitativ forskning är det viktigt att urvalet av informanter är representativt, det vill säga urvalet behöver ske på ett slumpmässigt sätt så att resultatet sedan kan generaliseras över 21