Audioteknik och akustik

Transkript

1 Audioteknik och akustik Mendel Kleiner Institutionen för teknisk akustik Chalmers Tekniska Högskola Göteborg 2000 Sjunde upplagan M. Kleiner 2000

2 Förord Kompendiet Audioteknik och akustik utgör kurslitteratur för kursen Audioteknik och akustik vid Chalmers tekniska högskola. Kursen riktar sig till studerande i årskurs 4 vid D, E och F- sektionerna. Audiotekniken tas upp med de elektroakustiska omvandlarna som särskild inriktning. Kapitelavsnitt finns om mikrofoner, högtalare och annan audioutrustning. Dessutom finns ett kapitel som behandlar digitalisering av ljud och digital signalbehandling med inriktning på audioteknik. Akustikdelen, som inleder kompendiet, har behandlats på traditionellt sätt. Kapitelavsnitt om grundläggande akustik, rumsakustik och vågutbredning i fasta media ingår men också särskilda kapitel som berör hörseln, psykoakustik, rumsakustisk planering, absorbenter mm. Bullerbekämpningen är viktig och berörs i kapitel om ljudisolering och vibrationsisolering. En exempelsamling ingår i kompendiet. Jag vill tacka professor Tor Kihlman för hans tillåtelse att utnyttja visst material ur TA- kompendierna i den mån detta varit nödvändigt för att möjliggöra en enhetlig kursbakgrund. Detta är nödvändigt med tanke på de teknologer som väljer att läsa fortsättningskurserna där de möter kurskamrater från andra sektioner. Tack utgår också till Peter Svensson, Bengt-Inge Dalenbäck, Per Sjösten och Rendell Torres för hjälp, rättelser, kommentarer och förslag. Jag vill också tacka andra medarbetare vid institutionen för teknisk hjälp i samband med framställandet av kompendiet. Kompendiet innehåller därför säkert tryckfel och andra brister. Jag är mycket tacksam för påpekanden om dessa, liksom synpunkter på vilka avsnitt som eventuellt skulle behöva omarbetas ytterligare i en kommande utgåva för att göra kursen bättre. Ett stort tack riktas också till de teknologer som haft råd och synpunkter på kursen och kursmaterialet. Till slut vill jag tacka Missan för figurritning och Samuel för teknisk hjälp och den förståelse de båda visat för mina många långa pass vid ordbehandlaren. Göteborg i augusti 2000 Mendel Kleiner

3 Innehållsförteckning 1: Introduktion 1 2: Ljudvågor 6 Vågekvationen 6 Vågekvationens lösningar 7 Impedanser 12 Ljudintensitet 14 Ljudeffekt 14 Utbredningsförluster 15 Reflektion och transmission vid randytor 16 Akustiska komponenter och akustiska kretsar 21 Ljudutbredning i inhomogena media 26 Dipoler och quadrupoler 28 Några akustiska mätetal 30 Exempel 34 3: Hörsel och tal 38 Hörsel och hörande 38 Örats uppbyggnad 39 Ljudupplevelsens dimensioner 45 Bullers hörselskadande effekt. 48 Röst och tal. 61 Exempel 68 4: Rumsakustik 70 Geometrisk rumsakustik 71 Statistisk rumsakustik 76 Vågteoretisk rumsakustik 86 Exempel 95 5: Hörselns rumsintryck 99 Rumsupplevelse i hörselintryck 99 Mätetal för rumsakustisk kvalité 115 Exempel 119 6: Rumsakustisk planering 120 Rumsakustisk planering tillämpad på några lokaltyper 121 Grundläggande rumsakustisk planering 125 Hjälpmedel för akustisk förhandsanalys 138 Syntes av rumsintryck 143 Exempel 146

4 7: Teknik för rumsakustisk planering 148 Absorbenter 148 Reflektorer 165 Skärmar 166 Diffusorer 168 Exempel 169 8: Vågor i fasta media 172 Vågtyper i oändliga media 173 Vågtyper i begränsade media 175 Stomljudsutbredning i media med förluster 182 Dämpning med hjälp av viskoelastiska dämpskikt 183 Exempel 189 9: Ljudutstrålning och ljudalstring. 191 Några vanliga strålningsmått 192 Utstrålning från plattor 193 Minskning av ljudutstrålning 197 Ljudalstring i strömmande media : Ljudisolering. 200 Luftljudsisolering 201 Stegljudsisolering 211 Stomljudsisolering 214 Exempel : Vibrationsisolering 219 Några mått på vibrationsisolering 220 Vibrationsisoleringsteori för endimensionell rörelse : Mikrofoner 225 Arbetsprinciper 225 Direktivitetsegenskaper 226 Variabel resistansmikrofoner 229 Kristallmikrofoner och keramiska mikrofoner 231 Kondensatormikrofoner 232 Dynamiska mikrofoner 236 Gradientmikrofoner 239 Mikrofoners vindkänslighet 243 Exempel 244

5 13: Pickuper 246 Graversystemet 247 Avspelningssystemet 248 Några vanliga pickuptyper : Högtalare 252 Ljudutstrålningsegenskaper 252 Verkningsgrad 257 Frekvensrespons 258 Elektrodynamiska högtalarelement 259 Högtalarlådor 269 Hornhögtalare 273 Flerhögtalarsystem 274 Flerhögtalarsystem för kontrollerad direktivitet 275 Elektrostatiska högtalarsystem 276 Rummets inverkan på högtalarresponsen 277 Transientrespons hos högtalare 279 Exempel : Hörlurar 283 Hörlurens akustiska omgivning 284 Hörlurens elektromekaniska konstruktion : Digitaliserat ljud 291 Sampling med jämna tidsintervall. 292 Kvantisering 294 Problem vid A/D resp. D/A omvandling 298 Linjära och kompanderande A/D&D/A omvandlare 302 Krav på upplösning hos A/D&D/A-system. 305 Svar till övningsexempel 307 Referenser 315 Beteckningar 321 Index 326

6 1 1 Introduktion Akustik och audioteknik omfattar många delområden och ingår i många olika ämnesområden. Arkitekter, stadsplanerare, byggnadsingenjörer, läkare, psykologer, biologer, oceanologer, elektronikingenjörer, kommunikationsspecialister, datoringenjörer, mekanister, signalbehandlingsspecialister, anställda inom radio, television, studiotekniker och många fler kommer i kontakt med akustik och audioteknik i sina yrken. Med kunskaper i akustik vill vi främja tillkomsten av miljöer, både inomhus och utomhus, som ger så ideala hörmässiga förutsättningar som möjligt för lyssnare, talare och musiker, men också att se till att boende och arbetande skall få tysta och väl bullerbekämpade miljöer med minsta buller och vibrationer. Med kunskaper i audioteknik vill vi vidare åstadkomma förutsättningar för bästa möjliga upptagning, inspelning och återgivning av tal, musik och andra signaler. Akustikens omvärld kan schematiskt åskådliggöras på det sätt som visas i figur 1.1. seismologi och atmosfärsfysik oceanografi seismiska vågor atmosfäriskt ljud undervattensljud medicin fysiologi psykologi bioakustik hörsel psykoakustik grundläggande fysikalisk akustik elektroakustik sonik buller och vibrationer rumsakustik elektronik och kemi mekanik arkitektur kommunikation musikaliska skalor och instrument tal musik bildkonst Figur 1.1 Akustikens tvärvetenskapliga omvärld [1.1].

7 2 Kursen och detta kompendium i Audioteknik och akustik har därför som mål att ge kunskap om: de fysikaliska samband som beskriver ljudets egenskaper. Detta studerar vi i kapitlen om grundläggande akustik och teoretisk rumsakustik. vårt hörandes egenskaper. Detta vi tar upp i avsnittet om hörsel och tal, och om hörselns rumsupplevelse. ljudalstring, ljudutstrålning och bullerproblem. Detta behandlas i kapitlen om ljudisolering och vibrationsisolering. teknik för att registrera, spela in och reproducera ljud i skilda miljöer. Detta tar vi upp i kapitlen om mikrofoner, hörlurar, högtalare mm. Kapitel 2 behandlar teorin för ljudet i luft. Där diskuterar vi vågekvationen och dess lösningar, liksom impedansbegreppet. Den fysikaliska bakgrunden till de s k akustiska komponenterna gås igenom liksom också ljudutbredning i inhomogena media. Det senare har tillämpningar på ljudutbredning utomhus, undervattensakustik etc. Till slut gås också nivåbegreppet igenom. Den mänskliga hörseln och hörandet är de främsta anledningarna att studera akustik. Kapitel 3 behandlar därför hörselns egenskaper. Vad vi kan höra, hur hörseln fungerar, hörselns känslighet i fråga om olika detaljer i ljudet är sådant som tas upp där. Hur hörseln påverkas av buller diskuteras och dba-måttet introduceras. Det binaurala hörandet, som är av stor betydelse för våra möjligheter att klara det alldagliga lyssnandet, gås igenom. Kapitlet avslutas med ett avsnitt som behandlar talet och rösten. Många kommunikationssystem begagnar tal och det är därför viktigt att känna talets karakteristika. Rumsakustiken blir fokus för intresset i kapitel 4. Tre olika sätt att se på ljudutbrednings- och ljudfältsproblem diskuteras. Det första är den geometriska akustiken, som är ett vanligt hjälpmedel inom den rumsakustiska planeringen. Den utnyttjar strålgångsoch speglingsbetraktelser för att lösa akustiska problem och är en högfrekvensapproximation. Det andra sättet som diskuteras är statistisk rumsakustik. Det är en effektbaserad modell, som har stor praktisk användning inte minst i buller och ljudisoleringssammanhang. Som tredje och sista sätt studeras våg-

8 3 modeller, som emellertid i praktiken endast utnyttjas för studiet av ljudfält vid låga frekvenser och för speciella geometrier. De ger dock förståelse för de grundläggande fenomen som karakteriserar ljudfälten i rum och ger en anvisning om begränsningarna hos den statistiska rumsakustiken. Kapitel 5 behandlar enbart hörselns rumsintryck. För att kunna och utnyttja den rumsakustiska planeringen på rätt sätt måste man känna till mer om hur hörseln uppfattar rummets ljudreflexer. Viktiga försöksresultat vad beträffar tidiga reflexer, efterklang och diffusitet redovisas. Avslutningsvis diskuteras några rumsakustiska kvalitetsmått som Tydlighet, Klarhet och andra mått. Den tillämpade rumsakustiska planeringen är innehållet i kapitel 6. Olika aspekter på de planeringsåtgärder som vidtas i musiklokaler, teatrar, hörsalar och studior för inspelning tas upp här. Problemen består av både en välljudsdel och en bullerdel. Några bullerkrav diskuteras med tillämpning både på välljudslokaler och kontorslokaler. Bullrets inverkan på taluppfattbarheten är av väsentligt intresse och några krav diskuteras. De praktiska hjälpmedlen för den praktiska rumsakustiska planeringen är vanligen absorbenter, reflektorer, diffusorer och skärmar. Kapitel 7 behandlar dessa. Absorbenter kan vara av många olika typer och konstruktioner. Det är viktigt att förstå hur både porösa absorbenter och olika resonansabsorbenter fungerar. Reflektorernas egenskaper diskuteras med den geometriska akustiken som grund. Till slut diskuteras också skärmar och skärmverkan. Skärmar används både inomhus och utomhus i många miljöer. Vågutbredning i fasta media karakteriseras av att det kan finnas flera olika våg typer representerade i ljudfältet. I kapitel 8 behandlas därför de tekniskt viktiga böjvågorna ingående särskilt med avseende på utbredning och utstrålning. Koincidensbegreppet introduceras. Dämpningen av böjvågor är av stort tekniskt intresse inom både audioteknik och mekaniska tillämpningar, plåtar etc. Grunderna för dämpning av böjvågor med viskoelastiska dämpskikt diskuteras. Ljudutstrålning och ljudalstring belyses i kapitel 9. Dämpning, begränsade areor etc. påverkar ljudutstrålningen från ytor med böjvågor och därför behandlas böjvågornas ljudutstrålningsegenskaper ytterligare. Ljudalstring till följd av turbulens och andra aerodynamiska fenomen märker vi när vi använder mikrofoner i blåst eller när vi hör bruset från en fläkt. I undervattens-

9 sammanhang, i vatten och hydraulanläggningar etc möter vi också hydrodynamiskt alstrat buller. God ljudisolering är inte viktigt bara för vårt boende. Tysta och välplanerade lokaler behövs i kontor, studior och många andra platser. Hur ljudisolering mäts och hur väggars ljudisolering beräknas är något av det som redovisas i kapitel 10. De viktigaste egenskaperna hos enkel- och dubbelväggar diskuteras. Överhörning mellan rum på annat sätt än genom direkttransmission så kallad flanktransmission tas upp med tillämpning på bland annat ventilationssystem. Avslutningsvis diskuteras det stegljud vi hör från gång på golv. Vibrationsisolering är ämnet för kapitel 11. Den klassiska vibrationsisoleringsteorin för ett dynamiskt system med en frihetsgrad tas upp kortfattat. Begränsningarna hos denna ofta okritiskt använda teori diskuteras. Det är viktigt att man rätt kan bedöma möjligheterna till en rimlig insatsdämpning. Med hjälp av begreppen impedans och mobilitet kan vi bättre karakterisera systemens dynamiska egenskaper. Audiotekniken tas upp först i kapitel 12. I detta kapitel redovisas hur olika mikrofontyper är konstruerade och vilka faktorer som påverkar konstruktionen. De båda viktiga typerna elektrodynamiska mikrofoner och kondensatormikrofoner beskrivs liksom kolkornsmikrofoner och keramiska mikrofoner. Hur man gör riktningskänsliga mikrofoner, som ex.vis kardioidmikrofoner etc, av olika typer tas också upp. Eftersom mikrofoner har så många tillämpningar i audioteknik, akustik och mätteknik är detta ett viktigt avsnitt. Grammofonpickuper behandlas i kapitel 13. Tekniken är i detta fall närbesläktad med mikrofontekniken. Olika typer av nålmikrofoner diskuteras liksom också deras dynamiska egenskaper. Kapitel 14 handlar om högtalarkonstruktion, högtalare och högtalarlådor. Eftersom det slutliga resultatet av en audioreproduktionskedja bestäms av högtalarna/hörlurarna är det viktigt att dessa har bra egenskaper. Ljudåtergivningskvalitén bestäms av högtalarmembranets form och mekaniska egenskaper men även högtalarlådan har inverkan. Högtalarnas samverkan med rummet och hur rummet påverkar ljudet diskuteras också. Hörlurar är högtalare som vi placerar nära örat. I kapitel 15 diskuteras hur elektrostatiska och dynamiska hörlurar fungerar, 4

10 5 vad som är gemensamt och vad som skiljer i förhållande till vanliga högtalare. Digitalisering av ljud och signalbehandling av ljud är ämnen som tas upp i kaptel 16. Vid digitalisering av ljud uppstår hörbara fel. Hur samplingsfrekvens, amplitudupplösning och andra faktorer påverkar det hörda ljudet diskuteras. Exempel ges på tillämpningar av digital signalbehandling inom audiomätteknik och signalbehandling.

11 6 2 Ljudvågor 2.1 Vågekvationen Vågrörelser i gaser brukar vi kalla ljudvågor eller ljud. Vågorna är longitudinella eftersom gaser ej kan ta upp skjuvkrafter. Ljudets utbredningshastighet bestäms bl a av de fysikaliska egenskaperna hos den aktuella gasen eller gasblandningen. Utbredningegenskaperna kan bestämmas genom att ställa upp den differentialekvation som beskriver de fysikaliska förhållandena. Differentialekvationen brukar kallas vågekvationen och härleds ur tre ekvationer som beskriver gasens fysiska egenskaper. Dessa ekvationer är kontinuitetsekvationen, rörelsekvationen resp den s k allmänna gaslagen. Några grundläggande förutsättningar för våra härledningar är: Ljudtrycket är litet i förhållande till det statiska trycket i gasen, p 0, vilket innebär att mediet kan betraktas som linjärt. Ingen värmeavgivning sker till mediet, utbredningen sägs då vara adiabatisk. Inga inre förluster hos mediet, som antas vara i vila och homogent. Vid studier av ljudutbredning utomhus kan det dock vara nödvändigt att ta hänsyn till både vindrörelser och temperaturvariationer. Vid ljudutbredning över långa sträckor kan det också vara nödvändigt att ta hänsyn till utbredningsförlusterna i luften på grund av olika dämpningsmekanismer. Kontinuitetsekvationen Kontinuitetsekvationen är baserad på massans oförstörbarhet och är en matematisk formulering av sambandet mellan täthetsförändringar och volymsförändringar i en gas som funktion av tid och plats. Betrakta en gasmängd V 0 innestängd mellan de två planen vid x resp x + dx i en kanal med tvärsnittsytan dy dz enligt figur 2.1.

12 7 Figur 2.1: Den betraktade gasmängden. p 0 + p(x) ξ(x) ξ(x+dx) p 0 + p(x+dx) x x+dx En förskjutning ξ vid x är kopplad till en förskjutning ξ+( ξ/ x)dx vid x+dx. Derivatan ξ/ t brukar kallas partikelhastigheten och betecknas med u x. Observera att partikelhastigheten är en vektoriell storhet. Skillnaden mellan de nya lägena multiplicerad med ytan dydz ger då volymförändringen V hos volymen V 0. V = ξ x dx dy dz = ξ x V 0 (2.1) Eftersom massan M 0 mellan planen är oförändrad måste ρ=m o /V vilket leder till ρ V = M 0 V 2 ρ V V=V 0 = M 0 V 2 0 (2.2) Sätts sambanden i uttrycken 2.1 och 2.2 samman erhålles ρ/ρ 0 = - ξ/ x. Derivering med avseende på tiden ger då den s k kontinuitetsekvationen som beskriver täthetsförändringen med avseende på tiden. ρ t = ρ u x 0 x För det tredimensionella fallet gäller att (2.3) ρ t = ρ 0 div u (2.4) Rörelseekvationen Vi känner sedan tidigare rörelseekvationen för stela kroppar, F=Ma. För gaser gäller analogt att rörelseekvationen en matematisk formulering av sambandet mellan tryck och acceleration som funktion av tid och plats. Betrakta åter gasmängden i figur 2.1. Vi betraktar bara växelstorheter och kallar tryckvariationerna omkring det statiska lufttrycket p 0 för ljudtrycket och betecknar detta med

13 8 p. För att accelerera gasmassan fordras en kraft som ges av tryckdifferensen mellan planen vid x resp x+ dx. [p (x) p (x + dx)] dydz = p dxdydz (2.5) x Eftersom accelerationen är ξ 2 / t 2 blir rörelseekvationen ρ 0 2 ξ t 2 = p x men eftersom ξ/ t = u x kan den också formuleras som ρ u x 0 = p t x För det tredimensionella fallet gäller att (2.6) (2.7) ρ 0 u t = grad p (2.8) Gaslagar Slutligen behövs också ett samband mellan tryck- och täthetsförändringar. Detta ges av den s k gaslagen. Om gasmängden är fri, dvs ingen värmetransport äger rum mellan olika delar av gasen, kommer vågrörelsen att ske adiabatiskt. För ett adiabatiskt förlopp ges sambandet mellan tryck och volymsförändringar av Poissons ekvation (p 0 + p) V κ = konstant (2.9) där κ anger förhållandet mellan det specifika värmet vid konstant tryck resp volym, dvs κ = C p /C v. Vidare är V (ρ 0 + ρ) = konstant (2.10) vilket ger sambanden p V = κ p 0 V 0 och ρ V = ρ 0 V 0 dvs p ρ = κ p 0 ρ 0 (2.11)

14 9 Allmänna gaslagen ger vidare att p 0 ρ 0 = RT M vilket ger (2.12) p ρ = κrt (2.13) M där R är den s k allmänna gaskonstanten och M är gasens molvikt. Vågekvationen i olika koordinatsystem En sammanställning av ekvationerna 2.3, 2.7 och 2.13 ger då vågekvationen för plana endimensionella vågor uttryckt i p som 2 p 1 x 2 c 2 2 p = 0 (2.14) t 2 Naturligtvis kan vågekvationen lika väl uttryckas i partikelhastighet, u. Storheten c, som vi skall se är ljudhastigheten, beror på gasens egenskaper på följande sätt: c 2 = κrt M = κp 0 (2.15) ρ 0 För luft gäller när 20 o C ungefärligt att c 331,6 + 0,6 t [m/s] där t är lufttemperaturen i o C. För det tredimensionella fallet har vågekvationen formen 2 p 1 2 p c 2 t 2 = 0 (2.16) 2.2 Vågekvationens lösningar För att undersöka vågekvationens egenskaper kan vi sätta in olika uttryck för vågrörelsen i vågekvationen enligt (2.14). Om vi prövar en allmän vågformulering p(x,t) = f 1 (x tc) + f 2 (x+tc) (2.17) där f 1 och f 2 är godtyckliga funktioner, finner vi att dessa är möjliga lösningar till vågekvationen. Utbredningshastigheten är alltså c, det vi redan kallat ljudhastigheten. Resultatet innebär att vågor i

15 10 gaser utbreder sig odistorderat, dvs med bibehållen form, vilket vi också kan se som att vågutbredningen i en gas inte är dispersiv dvs frekvensberoende. Stationär lösning i en dimension I resten av den fysikaliska delen av detta kompendium studerar vi i huvudsak bara kontinuerliga sinusformade förlopp. Med hjälp av superposition kan vi då analysera olika vågformer. Den s k jωmetoden kommer därför att utnyttjas för att beskriva tidsförloppen, tidsfaktorn utelämnas därför i allmänhet fortsättningsvis utom då vågrörelse tecknas. De fysiska storheterna momentant ljudtryck respektive partikelhastighet ges av realdelarna för motsvarande komplexa storheter. I fortsättningen betecknas storheter som t ex ljudtrycket med komplex notation dvs p i ekvationer men med p i den löpande texten. Den formulering av vågekvationen som skrevs i uttryck 2.14 kan skrivas med jω-metoden som 2 p x 2 + k2 p = 0 (2.18) med k = ω/c = 2πf/c = 2π/λ, där k är vågtalet, f är frekvensen och λ är våglängden. En kontinuerlig våg som rör sig i positiv x-riktning kan vi skriva som p (x, t) = pˆ + e j kx e jωt (2.19) för det endimensionella fallet. Här betecknar pˆ toppvärdet av p (x,t). Den generella lösningen för det endimensionella fallet kan vi formulera som p (x, t) = pˆ + e j (kx + α) + pˆ e j (kx + β) e j ωt (2.20) där α och β är godtyckliga fasvinklar. Stationär lösning för sfärisk våg Man kan på motsvarande sätt visa att den allmänna lösningen till vågekvationen för sfärisk symmetri ges av

16 11 p (r, t) = A + r e j(ωt kr) + A r e j(ωt+kr) (2.21) där A + och A - är konstanter. I allmänhet är endast den utåtgående vågen av intresse. Med hjälp av rörelseekvationen kan man visa att partikelhastigheten i den utåtgående vågen ges av u r (r, t) = A + ρ 0 c r jkr e j(ωt kr) (2.22) Vi ser att faktorn 1/jkr har tillkommit. Detta innebär att partikelhastigheten inte längre kommer att vara i fas med ljudtrycket när vi har sådana förhållanden att kr << 1, dvs när frekvensen är låg eller avståndet r är litet. För kr << 1, dvs närfältsområdet, erhålles u r (r, t) A + jρ 0 c kr 2 e j(ωt kr) (2.23) dvs partikelhastigheten ligger 90 grader efter ljudtrycket. Vi observerar att avståndsberoendet är sådant att u r är omvänt proportionellt mot r 2. För kr >> 1, dvs fjärrfältsområdet, erhålles u r (r, t) A + ρ 0 c r e j (ωt kr) (2.24) Vi ser att i detta område är partikelhastighet och ljudtryck i fas och har samma amplitudberoende av avståndet. Vanliga beteckningar på en strålare som sänder ut en sfärisk våg av det slag som beskrivits ovan är punktkälla monopol nollte ordningens strålare Om vi utnyttjar exempelvis små högtalare - så små att deras typiska längddimension d multiplicerad med vågtalet k är sådana att kd << 1 - erhåller vi goda approximationer av monopoler. Det är svårt att approximera monopoler vid höga frekvenser. Med hjälp av många högtalare monterade på en regelbunden polyeder kan vi (om högtalarna svänger i fas) någorlunda approximera omnidirektionaliten hos en sfärisk våg även för högre frekvenser upp till kd 1, men impulssvaret kommer inte att bli korrekt.

17 Impedanser En kvot mellan två fältstorheter, som exempelvis kraft och hastighet, brukar allmänt kallas impedans och betecknas med Z. Inversen av impedans brukar i akustiska och mekaniska sammanhang kallas mobilitet och betecknas med Y. Impedansen (och mobiliteten) är i allmänhet frekvensberoende och komplex, dvs har imaginäroch realdel. För att på ett enkelt sätt beskriva förhållandet mellan de dynamiska storheterna ljudtryck respektive partikelhastighet utnyttjar man också begreppet impedans. Impedansdefinitioner inom akustiken Inom det akustiska verksamhetsområdet brukar man definiera några olika impedansbegrepp på följande sätt : Vågimpedansen, Z o, avser det komplexa förhållandet mellan ljudtryck och partikelhastighet i utbredningsriktningen hos en plan, fri ljudvåg i ett visst medium och uttrycks i Ns/m 3 (= Rayls ). Ibland kallas vågimpedansen gasens karakteristiska impedans. Om det inte finns några utbredningsförluster gäller för gaser att Z o är reell och lika med produkten mellan mediets densitet och ljudutbredningshastigheten i mediet, dvs Ζ o = ρ o c. Vid ljudutbredning i luft är vågimpedansen i huvudsak reell i det frekvensområde som är av intresse för audio, utbredningsförlusterna är små och kan försummas, utom vid ljudutbredning över långa sträckor och vid höga frekvenser, jfr avsnitt 2.6. Ljudfältsimpedansen, Z S, avser det komplexa förhållandet mellan ljudtryck och partikelhastighet i referensriktningen för en viss punkt i ett medium. Akustiska impedansen, Z A, avser det komplexa förhållandet mellan ljudtryck och volymhastighet över en yta i ett akustiskt system. Med volymhastighet menas produkten av partikelhastighet och yta. Volymhastigheten, U, uttrycks i m 3 /s. Partikelhastigheten förutsätts då vara lika till amplitud och fas över hela ytan. Partikelhastighetsvektorn förutsätts vidare normal mot ytan. Mekaniska impedansen, Z M, avser det komplexa förhållandet mellan kraft och hastighet i ett system.

18 13 Samband mellan våg- och ljudfältsimpedans i en plan våg Med hjälp av uttrycket 2.7 finner man lätt sambandet mellan tryck och partikelhastighet, dvs vågimpedans, för en plan, fri våg. Insättning ger p + /u x+ = ρ 0 c = Z 0 (2.25) I detta fall är vågimpedansen och ljudfältsimpedansen definitionsmässigt lika. På motsvarande sätt erhålles nu ljudfältsimpedansen för en plan våg som rör sig i negativ x-riktning som p /u x = ρ 0 c = Z 0 (2.26) Minustecknet är en följd av att vi, även för den våg som utbreder sig i negativ x-riktning, definierat positiv partikelhastighet som varande i positiv x-riktning. Ljudfältsimpedansen i en sfärisk våg För en sfärisk våg gäller att ljudfältsimpedansen varierar med avståndet från origo. Man kan med hjälp av uttrycket 2.22 visa att följande uttryck gäller för ljudfältsimpedansen i en expanderande sfärisk våg Z s = p(r,t) u r (r,t) = ρ 0 c jkr 1 + jkr = ρ 0 c 1 jkr + 1 (2.27) I närfältsområdet (kr << 1), dvs för låga frekvenser och/eller små avstånd till origo, gäller att impedansen approximativt är rent reaktiv och av masskaraktär, dvs kan uttryckas som Z s jkr ρ 0 c = jω rρ 0 ; kr << 1 (2.28) Man säger att detta område nära ljudkällan utgör ett reaktivt närfält. I fjärrfältsområdet (kr >> 1), dvs för höga frekvenser och/eller stora avstånd till origo, gäller att impedansen approximativt är rent reell och motsvarar mediets vågimpedans. Z s ρ 0 c ; kr >> 1 (2.29) Observera att ljudfältsimpedansen, för stora värden på kr, är densamma i en sfärisk respektive i en plan våg.

19 Ljudintensitet Vågrörelsen karakteriseras av effekttransport. Effekttransporten kan beräknas ur realdelen av produkten av p och u. Effekttransporten i vågrörelsen sker med den s k grupphastigheten c g medan fashastigheten c f anger den hastighet med vilken vi måste röra oss för att hela tiden se samma fas hos vågen. För vågor i luft är skillnaden mellan c g och c f mycket liten och c g c. Ljudintensiteten är ett mått på energitransporten genom mediet. Intensiteten är en vektoriell storhet i partikelhastighetens riktning. Allmänt gäller att I = p u = 1 2 Re [p u ] (2.30) För en plan våg gäller, eftersom p och u är i fas, att I x = p ũ x = p 2 / Z 0 = Z 0 ũ 2 x (2.31) Ljudintensiten i en sfärisk våg kan visas vara I r (r 0 ) = ũ 2 0 Re [Z s ] (2.32) där Re [Z s ] = ρ 0 c (kr 0 ) (kr 0 ) 2 (2.33) Vi ser av uttrycket 2.32 att effekttransporten i ljudfältet är beroende av parametern kr. För en sfärisk ljudkälla med radien a blir utstrålningen för små värden på ka mycket mindre effektiv än för stora värden på ka. 2.5 Ljudeffekt Man kan beräkna den ljudeffekten som transporteras i ett ljudfält genom att integrera den ljudintensitet som transmitteras vinkelrätt genom den aktuella begränsningsytan. W = I ds (2.34) Genom ett utsnitt med ytan S i en plan fri våg transporteras därför effekten

20 15 W = IS = p ũ S = ρ c ũ 2 S (2.35) Man ser av uttrycket för ljudfältsimpedansen för en sfärisk våg att samma uttryck kan användas även för detta fall om kr är så stort att p och u är i fas (kr >> 1). Intensiteten på ett avstånd r från en punktkälla med den utstrålande effekten W är W I radiell = (2.36) 4 π r 2 Intensiteten avtar proportionellt mot 1/r 2 och ljudtrycket proportionellt mot 1/r. Man brukar kalla detta för avståndslagen för en punktkälla. Man kan ur uttrycken beräkna den totalt utstrålade effekten från en liten sfärisk ljudkälla med radien a som W = dvs Ũ 2 4πa 2 ρ 0 c (ka) 1+(ka) 2 2 (2.37a) W πρ 0 c f 2 Ũ 2 om ka << 1 (2.37b) 2.6 Utbredningsförluster När en ljudvåg utbreder sig fritt i en gas minskar intensiteten mer än vad som motsvarar den rent geometriska avståndsdämpningen. Detta beror på olika former av förlustmekanismer. Man brukar representera denna tillsatsdämpning, som kallas luftabsorption, med en dämpterm av formen: I(x) e mx dvs (2.38) p (x) e mx/2 (2.39) där m är den s k dämpningskoefficienten.

21 16 I luft förekommer dämpning till följd av värmeledning (dvs ej perfekt adiabatiskt förlopp) och viskösa förluster men också till följd av relaxationsfenomen. I luft är relaxa tionsfenomenet den dominerande dämpningsmekanismen. Dämpningen är kraftigt temperaturberoende och luftfuktighetsberoende. Dämpningen till följd av värmeledning och viskösa förluster ökar kvadratiskt med frekvensen. Relaxa tionsfenomenet ger en dämpning som är störst vid vissa frekvenser. Relaxa tionsfenomenet innebär att gasmolekylerna till följd av ljudvågen exciteras till andra energitillstånd, t ex från vibrationsmod till vibrations & rotationsmod. Tiden i det Dämpning [db/m] Frekvens [Hz] Figur 2.2 Dämpningen i db/m vid ljudutbredning i luft som funktion av frekvensen vid en temperatur av 20 o C och med relativ luftfuktighet som parameter [2.4]: Kurva a b c d RH [%] * *Enbart dämpning p g a värmeledning och viskösa förluster (s k "klassisk teori") medtagen. exciterade tillståndet bestäms av den s k relaxationstiden. När denna är ungefär lika med periodtiden dämpas vågen mest. I figur 2.2 visas ett exempel på dämpningens beroende av frekvens och relativ luftfuktighet vid en lufttemperatur av 20 o C. Härur kan dämpningskoefficienten m beräknas. För att beräkna dämpningskoefficienten för mer allmänna fall kan standarden ISO : 1993 (E) användas. 2.7 Reflexion och transmission vid randytor När en ljudvåg träffar en skiljeyta mellan två medier kommer en del av den infallande vågens effekt att transmitteras och en del att reflekteras. Andelen transmitterad resp reflekterad effekt beror på

22 17 densiteterna och ljudhastigheterna, dvs impedanserna Z 01 resp Z 02, men också på infalls- resp transmissionsvinklarna. Om skiljeytan inte är helt plan, utan har en ytstruktur med variationer som är små jämförda med våglängderna i resp medium, får vi ungefär samma förhållanden som vid helt plana ytor med undantag av att reflexionen respektive transmissionen i viss mån kommer att ske diffust. (Genom att utnyttja speciella typer av ytstrukturer kan vi få i det närmaste helt diffus reflexion, jfr avsnitt 7.4.) På grund av reflexionen i en randyta mot ett medium med annan impedans kommer ljudfältet på infallssidan att påverkas till följd av interferens mellan det infallande och det reflekterade ljudet. Detta kommer att resultera i ståendevågfenomen. Vinkelrätt ljudinfall mot plana gränsytor I detta avsnitt studerar vi förhållandena när en plan ljudvåg faller in vinkelrätt mot en plan skiljeyta mellan två medier. Vid skiljeytan, x = 0, måste följande randvillkor vara uppfyllda p 1 = p 2 u 1 = u 2 för x = 0 (2.40) Därför gäller följande samband: p 1 = (p i + p r ) (2.41) där p i = pˆ i e j k 1 x e jωt p r = pˆ r e j k 1 x e jωt p 2 = p t = pˆ t e jk 2 x e jωt (2.42) Definitionen av vågimpedans ger vidare att u 1 = (u i + u r ) = p i p r Z 01 (2.43) u 2 = u t = p t Z 02 (2.44)