PROPORTIONELLA SAMBAND INNEHÅLLETS BEHANDLING OCH ELEVERNAS LÄRANDE

Transkript

1 PROPORTIONELLA SAMBAND INNEHÅLLETS BEHANDLING OCH ELEVERNAS LÄRANDE NCM - 10 SEPTEMBER 2015 JOAKIM MAGNUSSON

2 En något modifierad uppgift hämtad ur Hilton, 2013 Om du vill göra en kladdig smet blandar du 4 koppar socker och 10 koppar mjöl. Stämmer det att du behöver 6 koppar socker och 15 koppar mjöl om du vill göra en större mängd av detta recept? a) Nej, du har 2 extra koppar socker så du behöver 2 extra koppar mjöl b) Nej, du behöver alltid sex fler koppar mjöl än socker

3 Kritiska aspekter Kritiska aspekter kan ses som skillnaden mellan hur en person uppfattar lärandeobjektet (proportionella samband) och hur den som undervisar vill att personen ska kunna uppfatta det efter undervisning.

4 Kritisk aspekt - Att kunna urskilja additiva och multiplikativa samband På vilket sätt skiljer sig de två maskarna längdmässigt åt?

5 Förhållande som multiplikativt samband exempel 1: talen 6 och 4, inga storheter jämförs exempel 2: storhetsvärdena 6 m och 4 m, lika storhet jämförs (längd) exempel 3: storhetsvärdena 6 m och 4 s, olika storheter jämförs (längd och tid) (min översättning av intensive quantity, Kaput & West, 1994) (min översättning av composed unit, Lamon, 2007)

6 Exempel från studien - I den tredje klassen varieras inledningsvis bara multiplikativt och additivt samband Sekvens A 9 3 generaliseras med 9 6

7 Som två gummiband - Att jämföra 2 tal och dess förhållande (dess delar) ? 12 2,5? Generaliseras med 2:3 och därefter 1:x Fler förslag?

8 Kritisk aspekt - Att kunna urskilja inom- och mellan-förhållande i en proportion (eng. ratio within and ratio between) 15 m 10 s = 30 m 20 s

9 Det engelska begreppet rate kan enligt Lobato et al. (2010) ses som ett oändligt antal ekvivalenta förhållanden (ratios) eller par av storhetsvärden (composed units). Thompson (1994) förespråkar denna definition av rate mot den mer konventionella där rate innebär en jämförelse av två mängder med olika enheter (t.ex. m/s eller liter/krona) och ratio en jämförelse av mängder med samma enhet (t.ex. kr/kr). Enligt den senare definition baseras skillnaden mellan ratio och rate snarare på uppgiften och storheterna i sig än på hur eleverna uppfattar situationen (ibid.)

10 Vilket förhållande är inom och mellan?

11 Recept

12 Proportion proportion 3 2 =

13 proportion 15 m 10 s = 30 m 20 s = 1,5 m 1 s = 3 m = y a 2 s x a proportionalitet Om x = tid och y = längd y = 3 2 x y = k x

14

15 2? 4 Är svaret 6 eller 10 om förhållandet mellan bas och höjd ska vara detsamma (likformig)? 12 L: Några fler förslag? David. D: Där kan man tänka att 4 plus 2 blir 6 (summerar sidorna i lilla triangeln) L: Ja D: Kan man tänka att dom två alltid blir den höga? (syftar på att den okända i det här fallet blir 6) L: Vad D: Det är en intressant tanke L Det är en intressant tanke vi testar. Vi provar med jag hittar på en ny då. (Ritar en triangel med höjden 3 och basen 4 och en större med basen 12 och höjden okänd) L: Vad ska det stå här då? D: Nej det går inte (3+4 blir 7 men höjden ska vara 9) L: Det ska bli 9 där va. Så att 3 plus 4 det blir ju inte 9. Så det var liksom slumpen här då.?

16 Design av testuppgift i syfte att se om aspekten tycks kritisk

17 Om att göra multiplikativa jämförelser i uppgifter av additiv karaktär. Kim och Ellen springer runt en löparbana. De springer lika fort men Ellen startade senare. När Ellen har sprungit 16 varv har Kim sprungit 32 varv. Hur många varv har Kim sprungit när Ellen har sprungit 48 varv?

18

19 Kritiska aspekter - Beräkningsaspekter/strategier Hur långt hinner en person som går 10 m på 4 s på 12 sekunder? Uppbyggnadsproportion (Building up/down, Tournaire & Pulos, 1985) 10 m + 10 m + 10 m 4 s + 4 s + 4 s = 30 m 12 s Statisk proportion (static proportionality, Miyakawa och Winslöw, 2009) 3 10 m 3 4 s = 30 m 12 s Dynamisk proportionalitet - (dynamic proportionality, Miyakawa och Winslöw, 2009) 10 m 4 s 12 s = y ger 2,5m/s 12s = 30 m

20 Kan du tolka elevernas olika beräkningsstrategier? Ove går 6 meter på 4 sekunder. Hur lång tid tar det för Gun att gå 15 meter om hon går i samma hastighet som Ove? a) b) c) d) e)

21 Introduktion i den första klassen I den första klassen samvarierade flera aspekter simultant redan från början.

22 Kritisk aspekt- beräkningsstrategier Att kunna urskilja statisk proportion och dynamisk proportionalitet Det magiska talet Införandet av begreppen plats och dela

23 Hur många gånger får 3 plats i den gröna triangelns kortsida? Hur många gånger får 5 plats på långsidan? Hur många gånger får 4 plats i långsidan? Hur många gånger får 3 plats på kortsidan? , ,5 10,5 Hur stor blir varje del av den gröna triangelns kortsida om den delas i 3 lika stora bitar? Hur stor blir varje del av den gröna triangelns långsida om den delas i 5 lika stora bitar? Hur stor blir varje del av långsidan om den delas i 4 lika stora bitar? Hur stor blir varje del av kortsidan om den delas i 3 lika stora bitar? 4 3, ,5 14 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 10,5

24 När två av värdena inte är i sin enklaste form - Olika vägar till lösning diskuteras En elev föreslår ett annat sätt att se det. E: 28 minus 21 där får du sjuan eller 12 minus 9 där får du trean (talen eleven delade med) L: Ja i det här fallet funkar det men det gör det inte alltid det provade vi ju tidigare. L: På den här typen av uppgifter kan man göra på massa olika sätt, Martina. M: 28 delat på 7 [ ] och 21 delat på 7 L: 21 delat med 7 (skriver 28/7 och 21/7 på tavlan) ok vad gör du då? M: Jag vill få förhållandet så litet som möjligt. L: vad blir det då? M: 3 till 4 L: ok Läraren delar därefter upp höjden i 4 bitar och basen i 3 och skriver 7 vid varje bit. M: På den andra då så delade jag med 3 L: 9 delat med 3 och 12 delat med 3 (säger och skriver samtidigt) M: Då blir det 4 och 3 Läraren delar nu in den lilla triangelns sidor i 4 och 3 bitar och skriver 3 vid varje bit. En elev undrar hur den andre eleven kunde veta vad hon skulle dela med och hon svarar att hon tänkte att de fanns i gångertabellen. E: Vi tänkte få plats [ ] så såg vi att 12 fick plats två och en tredjedel (i 21) [ ] och så gjorde vi samma där nere hur många gånger 9 får plats i 21 och det var också två och en tredjedel.

25

26 18? 1, ? 3: Sudden går 18 m på 12 s Hur långt hinner han på 10 s? Tid 6 längd 12? 10 1 s 1,5 m 2 s 3 m 4 s 6 m 6 s 9 m 1:5 10 s 12 s 18 m

27 längd / tid (hastighet) volym / tid kostnad / vikt (kilopris) 6 antal / antal 2 långsida / kortsida kostnad /antal någonting / någonting

28 Gruppuppgift samma förhållande a) Förklara på två olika sätt hur ni bestämmer längden på rektangeln. En säck potatis som väger 6 kg kostar 9 kr. Vad kostar en säck med samma sorts potatis som väger 20 kg? b) Lös själv först, jämför era lösningar. Förklara på två olika sätt hur ni bestämmer priset.

29 Alla längder hos människorna har förstorats lika mycket. Bestäm de okända längderna. Försök förklara på två olika sätt hur ni bestämmer en längd.

30 Studiens resultat Genom att separera och variera kritiska aspekter mot en invariant bakgrund underlättas urskiljningen av dessa för eleverna. Kontrasterande förslag till svar från elever och lärare tycks här vara en viktig faktor. Fel uppfattning möjliggör urskiljning av rätt I vilken ordning aspekterna separeras och varieras tycks vara avgörande för om lärande ska kunna möjliggöras. I vår strävan att möjligöra urskiljning av beräkningsstrategierna statisk proportion och dynamisk proportionalitet blir undervisningen för elever som ännu inte urskilt uppbyggnadproportion för svår.

31 Cảm ơn cho ngày hôm nay 今日をありがとう Grazie per oggi ευχαρισω για σήμερα از این که امروز Takk fyrir daginn í dag