Stötlastanalys på en plan balk

Transkript

1 Stötlastanalys på en plan balk à Problem beskrivning -Studera plan böjsvängande stålbalk ( E = 210 GPa) -Fast inspänd i vänsterändan -Balken har ett IPE-200 tvärsnitt -Balken är belastad med en stötlast som angriper i balkens höger ände. Stötlastens tidsvariation= P@τD = P 0 τ h, P0 = 100 N, 10 ms b h Ç 1000 ms (1) -Studera primärt tidsresponsen för balknedböjningen i högerändan w@l, td, OBS! P 0 =intiella lastamplituden, h="hålltidsparameteren"; notera att minskande värden på h fl kortare lastimpuls

2 à Beräkningsmetod Galerkin's metod med finit FE-approximation på elementindelad balk (FEM) Vi sammanfattar analysen med beräkningsstegen: 1) Lös egenvärdesproblemet HS ω i 2 ML y i = 0, i = 1, 2,..., n ω i 2, y i 2) För varje egenmod y i : (1) -etablera modmassan M i = y t i M y i -etablera modlasten f = HŸ L q@x, td ϕ t xl y i -etablera de modala initalvillkoren: p pi@0d -integrera ODE-problemet (t ex Duhamels integral):.. 2 p i +ω i p i = f i M i p i@td, p i@td, ṗ. i@td 3) Etablera totala lösningen genom superposition av bidrag från varje mod (modsuperposition) n w@x, td = i=1 n td = i=1 p ϕ y i ; p ϕ y i ; (2) (3) n.... td and = Computational p i@td ϕ Mechanics y i Group i=1

3 à Anpassning till det aktuella problemet - Vi har homogena randvillkor: N t n = 0. - Den drivande stötlasten P@tD uppfattas som en punktlast fl modlasten f = J L q@x, td ϕ t xn y i = P 0 τ h ϕ y i - Inital utböjning w@x, 0D = 0 och hastiget 0D = 0 fl modala initial villkor p = p i@0d = 0. (1) - Etablera lösning ODE problemen med Duhamels integral fl Kolla själva!! p = 1 M i ω i Ÿ 0 t sin@ω Ht τld τ =...= P 0 ϕ y i M i ω i h 1+h 2 ω2 Hh ω i H t h cos@ω i tdl + sin@ω i tdl i.. p i@td = P 0 ϕ y i 1 M i 1+h 2 ω2 H t h + h ωi Hh ω i cos@ωtd sin@ω i tdll i (2)

4 à Uppgifter ü Genomför implementering av lösningen till egenvärdesproblemet a) Egenmoderna v i = ϕ y i och egenvinkelfrekvenserna ω i b) Plotta de tre lägsta moderna. c) Kontrollera beräkningen av den lägsta egenvinkelfrekevensen med det analytiska resultatet, jmfr CCSM kap 12, Ex 12.2 s. 344, ω 1 = π2 "####### EI L 2 m. ü Studera konvergensen för tidsresponsen för balknedböjningen w@l, td Använd olika antal moder används i expansionen. Jämför t ex det extrema fallet då enbart den lägsta egenmoden används med säg de 10 lägsta moderna. ü Studera tidsresponsen för balkens nedböjning w@l, td för "kort" respektive "lång" hålltid. Välj hålltidsparameteren som h = 10 ms, 100 ms, 1000 ms. Jämför resultaten med motsvarande statisk ananlys. Hur stor blir den dynamiska "förstoringsfaktorn" n dyn definierad som n dyn = td w med = P 0 L 3 3 EI (1) OBS! Det finns en osäkerhet i beräkningen av egenmoder och egenvinkelfrevenser då denna analys Material görs and approximativt. Computational Mechanics Group

5 à Preliminära resultat Tidsresponsen för balkens högerända för några olika "hålltider" h! Balkaccelerationen Balknedböjning Figure 1 Figure 2

6

7

8

9

10 ü Modal analysis clear variables; %Evaluate lowest eigenfrequencies and eigenmodes for simple beam problem l=;nel=100,ei=;m= % Define geometry and material data le=l/nel; % define element length (equal subdivision) nno=nel+1; %generate nodal coordinates for i=1:nno; x(i)=(i-1)*le; end; nva=nno*2 neno=2; neva=neno*2; for i=1:nva; lpu(i)=i; end; fdof=lpu fdof(1:2)=[]; %define total number of variables %define number of element nodes %define number of element variables %generate vector with equation numbers %reduce vector of equation numbers ino=1; for iel=1:nel; %generate element nodal topology mesh(1,iel)=; mesh(2,iel)=; end Stiff=zeros(nva); Mass=zeros(nva); for iel=1:nel; %initialze stiffness and mass matrices %for all elements end; x1=x(mesh(1,iel));x2=x(mesh(2,iel));le=x2-x1; for i=1:neno; %define assembly topology leva(i*2-1)=mesh(i,iel)*2-1; leva(i*2 )=mesh(i,iel)*2; end eles=mats(ei,le);%generate element stiffness matrix elem=matm(m,le);%generate element mass matrix Stiff(leva,leva)=Stiff(leva,leva)+eles ;%assemble stiffness Mass(leva,leva)= Mass(leva,leva) +elem ;%assemble mass sigma = 'SM'; %solve eigenvalue probelm nmod=20; %consider 20 lowest modes [V, D, FLAG ]=eigs(stiff(fdof,fdof),mass(fdof,fdof),nmod,sigma) ym=zeros(nva,nmod); %save the eigenmodes ym(fdof,:)=v; for i=1:nmod %save the eigenfrequencies omega(i)=sqrt(d(i,i)); end

11 ü Modal superposition for i=1:nmod %Compute modal masses omega(i)=sqrt(d(i,i));ms(i)=ym(:,i)'*mass*ym(:,i); end iva=nva; %consider "right end of beam" mtim=; %define number of timesteps P_0=; %define point load tim=; %define timeinterval dt=tim/mtim; %define time step size h= ; %define hold time t=0; for j=1:mtim %integrate the response t=t+dt; u(j)=0; for k=1:kmod i=nmod+1-k; pt=; ;%displacement at right end u(j)=u(j)+ym(iva,i)*pt; end end figure(1); plot; %plot the result

12

13 From In[22]:= 1 Figure Figure 1