Gradientbaserad strukturoptimering
|
|
- Anton Nyström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Gradientbaserad strukturoptimering Anders Klarbring solutions by Bo Torstenfelt, Thomas Borrvall and others Division of Mechanics, Linköping University, Sweden ProOpt Workshop - October 7, 2010 Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 1 / 33
2 Contents 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 2 / 33
3 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 3 / 33
4 Strukturoptimering - Allmänt Definition: Att finna en (lastbärande) strukturs bästa utformning. Utformning? (= geometri och materialval) Bästa? (=lättaste, styvaste, längst livslängd, etc.) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 4 / 33
5 Strukturoptimering - Allmänt Definition: Att finna en (lastbärande) strukturs bästa utformning. Utformning? (= geometri och materialval) Bästa? (=lättaste, styvaste, längst livslängd, etc.) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 4 / 33
6 Strukturoptimering - Allmänt Definition: Att finna en (lastbärande) strukturs bästa utformning. Utformning? (= geometri och materialval) Bästa? (=lättaste, styvaste, längst livslängd, etc.) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 4 / 33
7 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 5 / 33
8 Modellexempel Finn det styvaste stångbärverket för en given mängd material genom att variera stängernas areor. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 6 / 33
9 Modellexempel Given mängd material N ρ e l e = V (= volym) e=1 där ρ e = areor l e = längder N = antal stänger (N = 21 ovan) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 7 / 33
10 Modellexempel Styvhet där och 1 2 F T u ( förskjutningen i lastens riktning) F = K(ρ)u K(ρ) = K e formellt = u(ρ) = K(ρ) 1 F N ρ e K e e=1 (styvhetsmatris) (elementstyvhetsmatris) Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 8 / 33
11 Optimeringsproblem min (S) då ρ 1 2 F T u(ρ) N ρ e l e = V e=1 ρ l ρ e ρ u Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 9 / 33
12 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 10 / 33
13 Lösningsmetod METOD SEQUENTIAL EXPLICIT CONVEX APPROXIMATIONS Vi demonstrerar på ett generellt problem min g 0 (x) (G) x då g i (x) 0, 1 = 1,...,n När detta problem kommer från en strukturoptimeringsfråga är det oftast så komplicerat (implicit) att vi behöver LÖSA EN SEKVENS AV ENKLARE PROBLEM som konvergerar mot lösningen av det svåra problemet. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 11 / 33
14 Lösningsmetod (LP) k IDE I LINJÄRISERA KRING EN ITERATIONSPUNKT x k min x då g 0 (x k ) + g 0 (x k ) T (x x k ) g i (x k ) + g i (x k ) T (x x k ) 0, 1 = 1,...,n Lösningen av (LP) k ger x = x k+1 som definierar (LP) k+1. Förhoppningsvis konvergerar x k mot lösningen av (G) då k. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 12 / 33
15 Lösningsmetod IDE II LINJÄRISERA I EN NY VARIABEL y j = y j (x i ), 1 = 1,...,m vilket ger det approximativa problemet m min g 0 (x k ) + x (GL) k j=1 m då g i (x k ) + j=1 g 0 (x k ) (y j (x j ) y j (xj k )) y j g i (x k ) (y j (x j ) y j (xj k )) 0, 1 = 1,..., n y j Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 13 / 33
16 Lösningsmetod Några val av mellanliggande variabel y j : CONLIN (kräver x j > 0) x j om g 0(x k ) 0 x j y j = 1 om g 0(x k ) < 0 x j x j OPTIMALITY CRITERIA (kräver x j > 0 och g 0(x k ) x j < 0) y j = 1, α > 0 xj α Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 14 / 33
17 Lösningsmetod METHOD OF MOVING ASYMPTOTIC (MMA) (L j < x k j < U j ) y j = 1 om g 0(x k ) 0 x j L j x j 1 om g 0(x k ) > 0 U J x j x j Alla dessa val av mellanliggande variabel ger ett konvext och separabelt (GL) k som lätt löses med Lagrange dualitet. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 15 / 33
18 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 16 / 33
19 Känslighetsanalys Uppställande av (GL) k kräver att g 0(x k ) beräknas! x j Två grundmetoder existerar för detta: Direkt metod är effektivast när antalet variabler är färre än antalet bivillkor (n < m). Adjunkt metod är effektivast när det motsatta gäller (n > m). Detta är nästan alltid fallet vid topologioptimering. I både fallen måste K beräknas. x j Detta kan göras numeriskt, men bättre i de flesta fall är en analytisk beräkning som ofta är tillgänglig. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 17 / 33
20 Känslighetsanalys Uppställande av (GL) k kräver att g 0(x k ) beräknas! x j Två grundmetoder existerar för detta: Direkt metod är effektivast när antalet variabler är färre än antalet bivillkor (n < m). Adjunkt metod är effektivast när det motsatta gäller (n > m). Detta är nästan alltid fallet vid topologioptimering. I både fallen måste K beräknas. x j Detta kan göras numeriskt, men bättre i de flesta fall är en analytisk beräkning som ofta är tillgänglig. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 17 / 33
21 Känslighetsanalys Uppställande av (GL) k kräver att g 0(x k ) beräknas! x j Två grundmetoder existerar för detta: Direkt metod är effektivast när antalet variabler är färre än antalet bivillkor (n < m). Adjunkt metod är effektivast när det motsatta gäller (n > m). Detta är nästan alltid fallet vid topologioptimering. I både fallen måste K beräknas. x j Detta kan göras numeriskt, men bättre i de flesta fall är en analytisk beräkning som ofta är tillgänglig. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 17 / 33
22 Känslighetsanalys Uppställande av (GL) k kräver att g 0(x k ) beräknas! x j Två grundmetoder existerar för detta: Direkt metod är effektivast när antalet variabler är färre än antalet bivillkor (n < m). Adjunkt metod är effektivast när det motsatta gäller (n > m). Detta är nästan alltid fallet vid topologioptimering. I både fallen måste K beräknas. x j Detta kan göras numeriskt, men bättre i de flesta fall är en analytisk beräkning som ofta är tillgänglig. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 17 / 33
23 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 18 / 33
24 Resultat - Stångbärverk Åter till stångbärverksproblemet! 1 min ρ 2 F T u(ρ) (S) N ρ då e l e = V e=1 ρ l ρ e ρ u Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 19 / 33
25 Resultat - Stångbärverk Med ρ l 0 och ρ u så stor att den inte har någon inverkan fås följande lösning (MMA): Värdet på areorna (ρ e ) ges av tjocklekarna på linjerna och spänningsnivån ges av färgen. Notera att hela stångbärverket har samma absoluta spänningsnivå! Detta blir ALLTD fallet vid styvhetsoptimering med volymsbivillkor, när designrummet är tillräckligt stort. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 20 / 33
26 Resultat - Stångbärverk - Formoptimering Om vi istället för stängernas tjocklekar väljer några knutpunkters placering i rummet som designvariabler fås ett FORMOPTIMERINGSPROBLEM. Nedan ges en sådan optimal lösning då bärverkets fem övre noder får flytta sig vertikalt. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 21 / 33
27 Resultat - Stångbärverk - Formoptimering + Size Om både stängernas tjocklekar (size) och knutpunkternas placering (5 knutpunkter) inkluderas som variabler i optimeringsproblemet fås följande lösning. Notera att återigen blir absolutspänningen konstant i hela bärverket! Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 22 / 33
28 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 23 / 33
29 Topologioptimeringsprobl för ett kontinuum För ett två-dimensionellt problem (skiva) är det uppenbart hur ovanstående behandling ska generaliseras: efter FE-diskretisering kan elementens tjocklekar utgöra variablerna ρ e. I ett tre-dimensionellt fall finns ingen tjocklek, men vi kan tänka oss att ρ e utgör en densitet som får anta värdena 0 (hål) eller 1 (material). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 24 / 33
30 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum Vi stoppar in en penaliseringskoefficient q > 1 i styvhetsmatrisen på följande sätt N K(ρ) = ρ q K e e (styvhetsmatris) e=1 och löser (0 < ε 0) min (S) då ρ 1 2 F T u(ρ) N ρ e l e = V e=1 ε ρ e 1 Praktiskt visar det sig att värdet q = 3 ger lösningar som nästan bara innehåller ρ e = ε 0 och ρ e = 1. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 25 / 33
31 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 26 / 33
32 General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33
33 General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33
34 General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33
35 General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33
36 General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33
37 General applicability TO can (and has been used) for a large number of other areas Heat flow Fluid flow Acoustics Electromagnetism Multiphysics problems Any problem that can be written as a system of partial differential equations (and corresponding discrete problems). Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 27 / 33
38 1 Strukturoptimering - Allmänt 2 Modellexempel 3 Lösningsmetod 4 Känslighetsanalys 5 Resultat - Stångbärverk 6 Topologioptimeringsproblem för ett kontinuum 7 Review of TO in flow problems Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 28 / 33
39 Review of TO in flow problems Discrete problem Klarbring et al., Topology optimization of flow networks, Laminar pipe flow. Fixed ground structure. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 29 / 33
40 Review of TO in flow problems ΓD Ω L ΓN Borrvall et al., Topology optimization in fluid mechanics (WCCM V), Darcy flow in porous material. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 30 / 33
41 Review of TO in flow problems d d d 1 d 1 Borrvall och Petersson, Topology optimization of fluids in Stokes flow, Stokes flow (very) low Reynolds numbers. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 31 / 33
42 Review of TO in flow problems Q Q Thellner, Multi Parameter Topology Optimization in Continuum Mechanics, Stokes + temperature. Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 32 / 33
43 End Thank you for listening! Klarbring (Mechanics, LiU) Strukturoptimering ProOpt Workshop 33 / 33
Gradientbaserad Optimering,
Gradientbaserad Optimering, Produktfamiljer och Trinitas Hur att sätta upp ett optimeringsproblem? Vad är lämpliga designvariabler x? Tjockleksvariabler (sizing) Tvärsnittsarean hos stänger Längdmått hos
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merStångbärverk. Laboration. Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg. 14 mars 2014
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg Laboration 4 mars 4 Stångbärverk Hållfasthetslärans grunder Civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik Knut Knut....4 y/ L.5.6.7.8.9 Knut
Läs merStrukturoptimering av beslag i JAS 39 Gripen
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY Strukturoptimering av beslag i JAS 39 Gripen Teori, exempel & metodik Skolan för Teknikvetenskap, farkost och flyg Examensarbete inom lättkonstruktioner, avancerad nivå
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, juni 7 Lösningarna är på svenska, utom lösningen av (a som är på engelska (a The considered network is illustrated in FIGURE below, where the supply at the
Läs merThe Finite Element Method, FHL064
The Finite Element Method, FHL064 Division of Solid Mechanics Course program, vt2, 20 Course description The finite element method (FEM) is a numerical method able to solve differential equations, i.e.
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merManual för ett litet FEM-program i Matlab
KTH HÅLLFASTHETSLÄRA Manual för ett litet FEM-program i Matlab Programmet består av en m-fil med namn SMALL_FE_PROG.m och en hjälp-fil för att plotta resultat som heter PLOT_DEF.m. Input För att köra programmet
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna
Läs merSolutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 14 1.(a) The considered problem may be modelled as a minimum-cost network flow problem with six nodes F1, F, K1, K, K3, K4, here called 1,,3,4,5,6, and
Läs merUmeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström 212-3-6 Fackverk Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 212 Fackverk 1 Knut 3 Knut 2 Stång 2 Stång 3 y Knut 4 Stång 1 Knut 1 x
Läs merCivilingenjörsexamen
/ har avlagt Civilingenjörsexamen has been awarded the Degree of Master of Science in Engineering utfärdat/issued 1 april 2010 av rektor vid Kungliga Tekniska högskolan, KTH by the President of the Royal
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-08-31 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och
Läs merTopologioptimering för jämn lastfördelning i skruvförband
EXAMENSARBETE I TILLÄMPAD MATEMATIK OCH BERÄKNINGSMATEMATIK 120 HP, AVANCERAD NIVÅ STOCKHOLM, SVERIGE 2015 Topologioptimering för jämn lastfördelning i skruvförband ELSA SKUNCKE KTH KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN
Läs merLP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merVårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer
Vårt första exempel Variabeldefinition: x 1 = antal enheter Optimus som görs varje timme. x 2 = antal enheter Rullmus som görs varje timme. Matematisk modell: max z = 4x 1 + 3x 2 då 2x 1 + 3x 2 30 (1)
Läs merStrukturoptimering baserad på metamodeller
Solid Mechanics Strukturoptimering baserad på metamodeller Larsgunnar Nilsson CEO Engineering Research Nordic AB Linköping larsgunnar.nilsson@erab.se Professor Div Solid Mechanics Linköping University
Läs mertentaplugg.nu av studenter för studenter
tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn UU-76062 Inledande programmering i Java Datum 2014-07-13 Material Tentamen Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng G 30; VG 36 40 (VG) Övrig
Läs merLaboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:
Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen,
Läs merLösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016
Lösningar till tentan i SF86 Optimeringslära, 3 Juni, 6 Uppgift (a) We note that each column in the matrix A contains one + and one, while all the other elements in the column are zeros We also note that
Läs mer12.6 Heat equation, Wave equation
12.6 Heat equation, 12.2-3 Wave equation Eugenia Malinnikova, NTNU September 26, 2017 1 Heat equation in higher dimensions The heat equation in higher dimensions (two or three) is u t ( = c 2 2 ) u x 2
Läs merOptimal design av strukturer. Utvärdering av problem och lösningsförslag inom topologioptimering
Optimal design av strukturer Utvärdering av problem och lösningsförslag inom topologioptimering Kandidatarbete i Tillämpad mekanik ALBIN BRANTIN ELIAS BÖRJESSON JAKOB EKERMO FREDRIK EKRE Institutionen
Läs merCHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
Läs merSF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: SF1545 Laboration 1 (215: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa
Läs merLaboration 1: Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem
Läs merOlinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i
Olinjär optimering med bivillkor min då f (x) g i (x) 0 för alla i Specialfall: Konvext problem. Linjära bivillkor: Ax b. Linjära likhetsbivillkor: Ax = b. Inga bivillkor: Hanterat tidigare. Metodprinciper:
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 2, 2017 10. Värmeledning, diffusionsekvation Betrakta ett temperaturfält
Läs merSecond handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM)
Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM) The effects of classroom mathematics teaching on students learning. (Hiebert & Grouws, 2007) Inledande observationer Undervisningens
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merModule 6: Integrals and applications
Department of Mathematics SF65 Calculus Year 5/6 Module 6: Integrals and applications Sections 6. and 6.5 and Chapter 7 in Calculus by Adams and Essex. Three lectures, two tutorials and one seminar. Important
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis utan
Läs mer1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28--24 Kaj Holmberg Uppgift Lösningar a: Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (kvadrater och
Läs merLösning: B/a = 2,5 och r/a = 0,1 ger (enl diagram) K t = 2,8 (ca), vilket ger σ max = 2,8 (100/92) 100 = 304 MPa. a B. K t 3,2 3,0 2,8 2,6 2,5 2,25
Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Enkla bärverk TMHL0, 009-03-13 kl LÖSNINGAR DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Du har en plattstav som utsätts för en
Läs merOptimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merExamensarbete i matematik på grundnivå med inriktning mot optimeringslära och systemteori
Examensarbete i matematik på grundnivå med inriktning mot optimeringslära och systemteori (kurskod SA104X, 15hp, VT15) http://www.math.kth.se/optsyst/grundutbildning/kex/ Förkunskaper Det är ett krav att
Läs merSVENSK STANDARD SS-EN ISO :2009/AC:2010
SVENSK STANDARD SS-EN ISO 4254-6:2009/AC:2010 Fastställd/Approved: 2010-11-04 Publicerad/Published: 2010-11-30 Utgåva/Edition: 1 Språk/Language: engelska/english ICS: 14.210; 65.060.40 Lantbruksmaskiner
Läs merTentamen i Hållfasthetslära gkmpt, gkbd, gkbi, gkipi (4C1010, 4C1012, 4C1035, 4C1020) den 13 december 2006
KTH - HÅFASTHETSÄRA Tentamen i Hållfasthetslära gkmpt, gkbd, gkbi, gkipi (4C1010, 4C1012, 4C1035, 4C1020) den 13 december 2006 Resultat anslås senast den 8 januari 2007 kl. 13 på institutionens anslagstavla,
Läs merLösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015
Lösningar till tentan i SF86/5 Optimeringslära, 3 juni, 25 Uppgift.(a) Första delen: The network is illustrated in the following figure, where all the links are directed from left to right. 3 5 O------O
Läs merLäkemedelsverkets Farmakovigilansdag
Swedish Medical Products Agency s Patient- and Consumer Advisory Board Brita Sjöström May 29, 2018 Patientrådet@mpa.se https://lakemedelsverket.se/patient-konsument-rad The vision of the Swedish Medical
Läs merTopologioptimering av kölskydd för segelbåtar
Kandidatuppsats i Maskinteknik LIU-IEI-TEK-G 14/00568-SE Topologioptimering av kölskydd för segelbåtar Topology Optimization of Keel Protection for Sailboats Rikard Fredrikson Viktor Hellberg Hållfasthetslära
Läs merTentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära
Tentamen TMA946/MAN80 tillämpad optimeringslära 01081 1. Uppgift: min z 3x 1 + x Då x 1 + x 6 x 1 + x x 1, x 0 Skriv på standardform m.h.aṡlackvariabler min z 3x 1 + x Då x 1 + x s 1 6 x 1 x + s x 1, x,
Läs merFallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9
Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9 Beräkningsvetenskap DV Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet 30 september, 2013 Att beräkna arbete Problem:
Läs merSammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering
Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż
Läs mer6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA5 Vektoralgebra TEN2 Datum: juni 25 Skrivtid: 3
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM119 Hydromekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM9 Hydromekanik Datum: 005-05-0 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs merJämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper
Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Bo R. ndersson Fluida och Mekatroniska System, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, Linköping, Sverige E-mail: bo.andersson@liu.se Sammanfattning
Läs merEurokod 9: Dimensionering av aluminiumkonstruktioner Del 1-2: Brandteknisk dimensionering
SVENSK STANDARD SS-EN 1999-1-2:2007/AC:2009 Fastställd/Approved: 2009-10-26 Publicerad/Published: 2009-11-18 Utgåva/Edition: 1 Språk/Language: engelska/english ICS: 91.010.30; 91.070.03; 91.070.70; 91.080.10
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merMatlab övningsuppgifter
CTH/GU TMA976-28/29 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man beräknar numeriska lösningar till differentialekvationer. Därefter skall vi rita motsvarigheten till
Läs merNumerisk modellering av självkompakterande betongs flöde diskret och kontinuumbaserad ansats
Numerisk modellering av självkompakterande betongs flöde diskret och kontinuumbaserad ansats Annika Gram 1(42) Table of Contents Introduction Theory Previous Work in the Field of Concrete Simulation Experimental
Läs merGränslastberäkning en enkel och snabb väg till maximal bärförmåga
Gränslastberäkning en enkel och snabb väg till maximal bärförmåga Mikael Möller & Anders Olsson Stockholm, 2014 Confidentiality This document contains elements protected by intellectual property rights
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs merBlock 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar
Läs mer4. Deformerbara kroppar och fluider [Pix-SE, IR-11]
4. Deformerbara kroppar och fluider [Pix-SE, IR-11] 4.1 Massa-fädersystem 4.2 Gaser och vätskor Kontinuerligt medium - e fixa positioner, deformerbar kropp TSBK03: Fysik, Ht2009 86 4. Deformerbara kroppar
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs mer= 1 E {σ ν(σ +σ z x y. )} + α T. ε y. ε z. = τ yz G och γ = τ zx. = τ xy G. γ xy. γ yz
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP /Tore Dahlberg LÖSNINGAR TENTAMEN i Hållfasthetslära - Dimensioneringmetoder, TMHL09, 060601 kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Spänningarna i en punkt i ett
Läs merLösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07
Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 7 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion Kap 12.8 1. Implicit definierade
Läs merStötlastanalys på en plan balk
Stötlastanalys på en plan balk à Problem beskrivning -Studera plan böjsvängande stålbalk ( E = 210 GPa) -Fast inspänd i vänsterändan -Balken har ett IPE-200 tvärsnitt -Balken är belastad med en stötlast
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merTAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 28-5-3 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: P: Grafisk lösning ger x = 2/7 = 2 6/7,
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 2018-01-02 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift 1 1a: Den givna startlösningen är tillåten
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs merDynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering
Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris
Läs merTillämpad mekanik. Beräkningsingenjören problemlösaren Den generella specialisten
Tillämpad mekanik Beräkningsingenjören problemlösaren Den generella specialisten Beräkning finns överallt Ökande behov i alla brancher Spår inom @llämpad mekanik Hållfasthetslära/FEM Fluidmekanik/CFD
Läs mer1 Särskild behörighet Masterprogram (Till Studiehandboken 2017) Dnr LiU
PROTOKOLL Delegationsbeslut FST del 2016-061 1(1) Fakultetsstyrelsen för tekniska fakulteten Delegationsbeslut Närvarande: Ulf Nilsson Kia Ölvander Maria Boberg dekanus föredragande sekreterare 1 Särskild
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merKursplan MD2022. Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2
Sida 1(6) Kursplan Matematik III 30 högskolepoäng, Grundnivå 2 Mathematics III 30 Credits*, First Cycle Level 2 Lärandemål Det övergripande målet för kursen är att den studerande ska vidga och fördjupa
Läs merFlöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet
Flöde i nätverk Graf: G = (N, B) Variabeldefinition: x ij = flöde i båge (i, j). Bågdata för båge (i, j): c ij : flödeskostnad per enhet. u ij : övre gräns för flödet. l ij : undre gräns för flödet. Bivillkor:
Läs merKonstruktionsuppgifter för kursen Strukturmekanik grunder för V3. Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers
Konstruktionsuppgifter för kursen Strukturmekanik grunder för V3 Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers 1 Förord Denna skrift innehåller de konstruktionsuppgifter som avses lösas i kursen Strukturmekanik
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merTeknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer
Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)
Läs mer4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde
Läs merAkademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014
MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA32 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 204 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merN = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.
Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar
Läs mer8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 9januari2015 Skrivtid:
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1
Läs merTekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, kl 8-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR
TENTAMEN i Hållfasthetslära grk, TMHL07, 040423 kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) LÖSNINGAR 1. Skjuvpänningarna i en balk utsatt för transversell last q() kan beräknas med formeln τ y = TS A Ib
Läs merBernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem.
010-04-6 Sammanfattning Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem BERNOULLI S EQUATION p V z H const. g Quantity
Läs merNumeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs mer--x T Kx. Ka = f. K( a a i. = f f i. r i. = a a i. Ke i. a i 1. p i. Ka i. p i Kai α i
CHALMERS FinitElementmetod M3 illämpad mekanik Föreläsning 18, 15/1 014 91. Lösningen till ekvationssystemet Gradient och konjugerad gradientmetod. a f (1) minimerar den kvadratiska funktionen Π( x) 1
Läs mer1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)
Tentamen i Programmeringsteori Institutionen for datorteknik Uppsala universitet 1996{08{14 Larare: Parosh A. A., M. Kindahl Plats: Polacksbacken Skrivtid: 9 15 Hjalpmedel: Inga Anvisningar: 1. Varje bevissteg
Läs merFel- och störningsanalys
Fel- och störningsanalys 1 Terminologi Antag att x är ett exakt värde och x är en approximation av x. Vi kallar då absoluta felet i x = x x, relativa felet i x = x x x. Ofta känner vi inte felet precis
Läs merR AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002
RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(
Läs merPorösa medier Transvaskulär transport
Porösa medier Transvaskulär transport Porösa medier Kontinutitetsekvationen v = φ B φ L Källtermer pga. massutbyte med blodoch lymfkärl Definitioner Specifik area: s = total gränsarea total volym Porositet:
Läs merTransportfenomen i människokroppen
Transportfenomen i människokroppen Kapitel 8-9. Porösa medier och Transvaskulär transport Medicin och Teknik/ Introduktion till Medicin och Teknik/ 211-11-16 217-2-13 Porösa medier, kapitel 8 Nanomaterial
Läs merOptimeringslära Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 26-6- Kaj Holmberg Lösningar Uppgift Hinkpackning (hink = tur med cykeln. Jag använder
Läs merNORDIC GRID DISTURBANCE STATISTICS 2012
NORDIC GRID DISTURBANCE STATISTICS 2012 Utdrag ur rapport utarbetad av DISTAC-gruppen under RGN inom ENTSO-E Sture Holmström 2 Korta bakgrundsfakta > 1999-2000 utarbetades Riktlinjer för klassificering
Läs mer