SOLUTION

Transkript

1 TMMI (Del I, teori; 1 p.) 1. En konsolbalk med en punktmassa påverkas av en störkraft. Den resulterande stationärsvängningens amplitud kan skrivas, där är balkens utböjning vid statisk belastning med massan. Rita i figuren till höger in principutseendet av. 1. A cantilever beam carrying a discrete mass is loaded by an external force. The amplitude of the resulting stationary vibration can be expressed as, where is the deflection of the beam under static loading by the mass. Sketch in the figure template to the right. Se figuren! TMMI (Del I, teori; 1 p.) 2. Figuren visar en masslös balk med två punktmassor. Balken har i fri svängning två svängningsmoder, svarande mot grundton och en överton. Rita dessa båda svängningsmoder. Ange vilken av de uppritade moderna som svarar mot grund- resp. överton. 2. The figure shows a massless beam carrying two discrete masses. In free vibration, the beam has two eigenmodes, corresponding to principal and overtone.. Draw these two eigenmodes. Mark which of them is principal and overtone, respectively.

2 Principal Overtone TMMI (Del I, teori; 1 p.) 3. Detaljer som ska dimensioneras mot utmattning innehåller ofta lokala spänningskoncentrationer, till exempel p.g.a. hålkälar, areaövergångar och liknande. Den maximala spänningen i själva kälen är, där i extrema fall kan vara. I utmattningsdimensionering behöver man emellertid sällan räkna med hela utan kan använda ett reducerat värde Förklara varför! 3. Components to be designed against fatigue often contains local stress concentrations, for instance caused by notches, fillets,... The maximal stress in the notch is then, where in extreme cases can be >. In fatigue design, however, one seldom needs to take this whole into account but can use a reduced value Explain why! - The fatigue failure will be the result of a crack starting at a defect in the material, and - the larger the highly stressed volume is, the more likely is it that there exists an extremely bad defect. The fatigue data are always measured on a test specimen which is designed to give the same high stress over a rather large volume of material. The fatigue risk in an actual component with the same maximimm stress but over only the small volume surrounding the notch is therefore less, and the use of a reduced value instead of is justified.

3 TMMI (Del I, teori; 1 p.) 4. En komponent i en maskin utsätts för en upprepad typisk lastsekvens enligt fig. 4a. För materialet gäller Wöhlerdiagrammet i fig. 4b. Använd Palmgen-Miners linjära delskadeteori för att beräkna hur många sådana lastsekvenser komponenten kan förväntas tåla. 4. A component of a machine is repeatedly loaded by the typical load sequence of Fig. 4a. The Wöhler diagram of the material is shown in Fig. 4b. Use the linear Palmgren-Miner theory to compute how many such load sequences the component can be expected to stand. Fig. 4a Fig. 4b 1st cycle ( corresponds to The 100 cycles following ( correspond to The load sequence therefore gives a damage, and the component can therefore stand

4 TMHL (Del II, problem; 3 p.) 5. En masslös, fritt upplagd balk bär på mitten en punktformig massa. På masssan angriper en störkraft, och dessutom ansluter där en linjär dämpare med dämpkonstant. Data:, och, där är egenvinkelfrekvensen. Bestäm svängningsamplituden i stationär svängning. 5. A massless beam has moment-free supports in both ends and carries a discrete mass at its midpoint. The mass is acted on by a periodic force, and in addition there is also a linear dashpot damper (damping constant ). Data:, and, where is the eigenfrequency. Compute the amplitude of the vibration of the mass in the stationary state SOLUTION I Equation of motion See free-body diagram to the left! II Beam stiffness equation Formula table cases directly give III Vibration equation IV Solution We seek the stationary solution and make the following ansatz Insertion into Eq. (4):

5 Eq. (6) gives separate equations for the sine and the cosine terms: We can gain compactness by inserting the known expressions och. This gives with the solution What remains now is to compute the amplitude. Since we have a bo in nd co in, o l amplitude becomes ansatz [Eq. (5)] which contains TMHL (Del II, problem; 3 p.) 6. En flygplansvinge bär upp 2 likadana motorer, som (för en överslagsanalys) kan anses vara punktformiga massor. Vingens styvhet varierar utefter längden, men vi kan (för överslagsanalysen) anta att den är styckevis konstant enligt figuren, där även längdmåtten är angivna. Beräkna vingens egenvinkelfrekvenser. 6. The wing of an aicraft carries 2 equal engines, which (for a first analysis) can be considered to be discrete masses. The stiffness of the wimg varies along its length, but we can (again, for this first analysis) assume that it is piecewisely constant with the measures given in the figure. Compute the eigenfrequencies of the wing.

6 I. Free-body diagram L (Note that this solution stems from an examination paper in a course, where the mass displacements were generally called instead of and the internal forces instead of ) II. Equations of motion III. Stiffness equations (relations ) Study the beam solutions in the formula table:

7 and IV. Vibration equation V. Eigenfrequencies

8 TMHL (Del II, problem; 3 p.) 7. En cirkulär stång belastas med en tidvarierande axiallast. Mått och övriga data framgår av fig. 7 samt tabell. Gör en utmattningsanalys och ange om komponenten är O.K. ur utmattningssynpunkt. 7. A circular rod is loaded by a time-varying axial load. Data are given in Fig. 7 and the table. Perform a fatigue analysis and determine whether or not the component is O.K. from a fatigue point of view. Last, geometri / Load, geometry Material = N = ± 250 MPa D = 40 mm d = 20 mm 200 ± 200 MPa = 700 MPa = 2 mm = 300 MPa Yta/surface : Polerad/polished Haigh diagram reductions 1 st comment: Since, w know w will k p ric ly on y xi of H ig di gr m, and we can do all necessary computations without formally drawing it. Polished surface, no volume influence (other than that intrinsic in below) no reductions needed. Stress analysis r conc n r ion f c or, circ l r b r wi fill

9 We therefore have O.K:? (already without taking any safety factor into account) not O.K. ANSWER TMHL (Del II, problem; 3 p.) 8. En konstruktionsdetalj, som kan förenklas till en plattstav med rektangulärt tvärsnitt, har en areaövergång med hålkälsgeometri enligt fig. 1. Belastningen är en tidvarierande jämnfördelad spänning, som är så hög att det finns risk för LCF. Komponenten ska dimensioneras för en LCF-livslängd om 3000 cykler. Bestäm den spänningsamplitud som då kan tillåtas! Gör på följande sätt: 1. An änd Morrow ekvation för att ur krävd LCF-livslängd bestämma tillåten lokal töjningsamplitud. 2. Använd materialets Ramberg-Osgood-kurva (fig. 2) för att bestämma motsvarande lokala spänningsamplitud. 3. Använd Neubers ekvation för att med kännedom om och beräkna tillåten amplitud hos den utifrån pålagda spänningen. 8. A component, which for simplicity can be treated as a flat specimen with a rectangular cross section, has an area reduction with notch geometry; see Fig. 1. The load is a time-varying, evenly distributed stress, which is high enough that there is a risk of LCF. The component is to be designed for an LCF life of 3000 cycles. Compute the stress amplitude that can be allowed! Instructions: 1. Knowing the required LCF life, use the Morrow equation to find the allowable local strain amplitude. 2. Use the Ramberg-Osgood curve diagram (Fig. 2) to find the corresponding local stress amplitude. 3. Use the Neuber equation with the and known from above to compute the allowed amplitude of the externally applied stress.

10 Fig. 1 Morrow data: Fig. 2 Morrow s equation Ramberg-Osgood Reading in the diagram of Fig. 2 gives (Accurate numerical solution would have given MPa) Neuber We need Accurate reading in the table on top left of p. 64 gives Since we have no information on the tensile strength of the material, we cannot compute any notch sensitivity factor but will, instead, assume that so that

11 The Neuber equation then gives TMMI