Linköpings Universitet Hållfasthetslära, IKP

Transkript

1 Linköpings Universitet Hållfasthetslära, IKP TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09 EXAMINATION in Mechanical Vibrations and Fatigue kl 8-12 Examinator, tel Tentamen Tentamen består av två delar: Del 1, Utan hjälpmedel: Fyra st en-poängsfrågor som ska besvaras direkt på tesen. Då Del 1 (fyra gula blad) lämnas in till vakten fås Del 2 ut. Del 2: Med hjälpmedel. Problemdel bestående av 4 st tre-poängsuppgifter. The exam The examination is composed of two parts: Part 1 (no literature allowed): Four questions (on four yellow pages) should be answered directly on the yellow pages and handed in. Part 2: When the yellow pages have been handed in, the course literature is allowed, and the four problems can be solved. Hjälpmedel T Dahlberg: Teknisk hållfasthetslära (3:e upplagan), Studentlitteratur, för Del 2/ med tillhörande formelsamling (på svenska eller engelska, collection of Literature formulas in English). allowed at T Dahlberg: Komplement till läroboken: Kapitel 1, Chapter 8, and 9) Part 2 B Sundström: Handbok och formelsamling i Hållfasthetslära, KTH, Sthlm, Tabeller: Tefyma, Mathematical Tables, ordböcker, dictionaries Miniräknare i fickformat (med beräkningsdel och fönster i en enhet och utan möjlighet att kommunicera med andra delar såsom bandspelare och/eller skrivare). Betyg/ För godkänd kurs krävs godkänd tentamen och godkänd laborationskurs. Grading Följande betyg ges: Betyg Poäng på tentamen Lösningar/ Lösningar anslås på avdelningens anslagstavla (B-korridoren, ingång 15 Solutions och 17) efter skrivningens slut. Solutions posted after the exam on the Solid Mechanics notice board Resultat/ Rättningsprotokoll anslås på avdelningens anslagstavla senast Results Corrections finished by Granskning/ Granskningstiden utgår Därefter läggs skrivningarna ut för Inspection avhämtning. Students may inspect their exams till PS: Den här sidan behöver du inte lämna in. Behåll den för att minnas de datum som finns angivna. / This page need not be handed in.

2 LÖSNINGAR/SOLUTIONS DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) EXAMINATION in Mechanical Vibrations and Fatigue March 12, Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω, cyklisk frekvens f och svängningstid (periodtid) T för en svängning. English: Give the relationships between the angular frequency ω, the cyclic frequency f and the period time T of a vibration. Lösning: ω=2πf and f = 1 T 2. En massa M hänger i en fjäder med styvhet k. Vad blir egenvinkelfrekvensen för systemet? English: A mass M is hanging in a spring with spring stiffness (spring constant) k. What is the (angular) eigenfrequency of this system? ω e = k M 2

3 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN Rita (skissa) ett Wöhler-diagram och förklara dess användning English: Draw (sketch) a Wöhler diagram and explain how it is used. spänning/stress (MPa) a amplitude log N A Wöhler diagram is shown in the figure. The diagram gives a relation between the loading stress amplitude and the expected fatigue life. In the figure, a given stress amplitude σ ai gives the expected fatige life N i at that loading. 4. Ange Neubers hyperbel: skriv upp ekvationen och förklara de ingående storheterna. Förklara även hur den används. English: Give the Neuber hyperbola: write down the equation and explain the different factors in it. Also, explain how it is used. The Neuber hyperbola reads ε σ= K 2 2 f σ E where ε and σ is strain and stress (at point of stress concentration), K f is the fatigue notch factor (K t, the stress concentration factor, is sometimes used here), and σ is the stress far away from the stress concentration). The intersection of the Neuber hyperbola and the material relationship (for example the Ramberg-Osgoods relation) gives the stress and the strain at the point of stress concentration. 3

4 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 5. En massa M hängs upp i två fjädrar (styvhet k k 1 = k och k 2 =2k). 1 k1 (a) Bestäm egenvinkelfrekvensen för systemet M k om massan monteras enligt figur (a). 2 k2 M (b) Vad blir egenvinkelfrekvensen om massan (a) (b) monteras enligt figur (b)? English: 5. A mass M is mounted with two springs (stiffness k 1 = k and k 2 = 2k). (a) Determine the (angular) eigenfrequency of the system if the mass is mounted as shown in figure (a). (b) What will the eigenfrequency be if the mass is mounted as in figure (b). (a) The equation of motion of the mass is Mẍ = F 1 F 2 (a) where F 1 = k 1 x and F 2 = k 2 x This gives Mẍ +(k 1 + k 2 )x = 0 which gives (b) The equation of motion of the mass now becomes Mẍ = F For the two springs in series one obtains (same force F in the two springs) Enter this into (b). It gives and the eigenfrequency becomes ω e = k M = (k 1 + k 2 ) M = 3 k M = k M x = x 1 + x 2 = F k 1 + F k 2 giving k 1k 2 k 1 + k 2 x = F Mẍ + k 1k 2 k 1 + k 2 x = 0 Thus, the eigenfrequency in case (b) goes down to approximately half the eigenfrequency in case (a). (b) ω e = k 1k 2 (k 1 + k 2 )M = 2 3 k M = k M 4

5 / DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) EI 2 L/3 L/3 6. Linus klättrar upp för en stege som står lutad mot ett hus. Han märker att han och stegen svänger med en frekvens som minskar ju högre upp på stegen han kommer. När han kommit upp till en tredjedel av stegen vågar han inte gå högre eftersom frekvensen blir för låg (och amplituden för hög). Linus "väger" (d v s har massan) M = 80 kg. Linnea är modigare. Hon klättrar upp till mitten av stegen, där hon noterar att hon och stegen svänger med den frekvens som Linus svängde med då han klättrat upp till en tredjedel av stegens längd. Vad väger Linnea? Stegen har längd L och böjstyvhet EI. Inget moment överförs vid stegens ändar. English: 6. Linus climbs a ladder that is raised towards a building. He notices that the the ladder (with him on) vibrates with a frequency that gets lower the higher he comes on the ladder. Having reached one third of the ladder, he does not dare to go higher because the frequency gets too low (and the amplitude too high). Linus weights (has tha mass) M = 80 kg. Linnea is more brave. She climbs up to the middle of the ladder. There she notices that the ladder vibrates with the same frequency as Linus had when he was at one third of the ladder. What is the weight (mass) of Linnea? The ladder has length L, and bending stiffness EI. No moments are transmitted at the ends of the ladder. Lösning: In the first case, enter force F between the beam and the mass. When mass M is situated at L /3 one obtains the deflection (use elementary case for a simply supported beam) which gives giving x = FL3 3EI Mẍ = EI L 3 ω=ω e1 = 9 2 3EI ML 3 x 5

6 In the second case, enter force F between the beam and the mass. When mass m is situated at L /2 one obtains the deflection which gives giving But ω e1 =ω e2 gives 9 which gives x = FL3 3EI mẍ = 16 3EI L 3 ω=ω e2 = 4 3EI ml 3 2 3EI ML 3 = 4 3EI ml 3 m = M = = 63.2 kg 81 x 6

7 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 7. En stor plåt, belastad med en en-axlig spänning, spänning/stress (MPa) utsätts för en belastningssekvens enligt figur. 300 Denna sekvens upprepas. Materialet har en Wöhlerkurva som ges av sambandet 200 σ a = 55 logn (MPa) 100 där σ a är spänningsamplituden. Bestäm förväntat antal sekvenser till utmattningsbrott. 0 Använd Palmgren-Miners delskadehypotes. tid/time Inverkan av spänningens medelvärde får försummas. English: 7. A large plate, loaded in uni-axial tension, is subjected to a load sequence according to the figure. This sequence is repeated. The material has a Wöhler curve given by the equation σ a = 55 logn (MPa) where σ a is the stress amplitude. Determine the expected number of sequences to fatigue failure. Use the Palmgren-Miner damage accumulation rule. The influence of the stress mean value can be neglected. Lösning: Rain-flow count gives 1 cycle from 0 to 300 MPa, giving σ a = 150 MPa, 2 cycles between 50 and 250 MPa, giving σ a = 100 MPa, and 2 cycles between 100 and 250 MPa, giving σ a = 75 MPa. These stress amplitudes give (from the Wöhler curve) N = , , and cycles, respectively The Palmgren-Miner damage accumulation rule gives 1 D = = Thus, failure is expected after approximately sequences (giving cycles). 7

8 DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 8. spänning/stress (MPa) 250 töjning/ Diagrammet visar en stabiliserad hysteresslinga för ett material utsatt för en cyklisk last. Använd Morrows ekvation (med hänsyn tagen till spänningens medelvärde) för att beräkna - 0,0025 strain förväntat antal lastcykler (cykler, inte 0,003 lastväxlingar) till brott. Materialdata: E = 200 GPa, ν = 0,3, σ U = σ B = MPa, Ψ = 0,65, σ f = 900 MPa, ε f = 0,26, b = 0,095, och c = 0,47. English: 8. The diagram shows a stabilized hysteresis loop for a material subjected to cyclic loading. Using the Morrow relationship, determine the expected number of loading cycles (full cycles, not reversals) to fatigue failure. Material properties: E = 200 GPa, ν = 0.3, σ U = 700 MPa, Ψ = 0.65, σ f = 900 MPa, ε f = 0.26, b = 0.095, and c = The diagram gives the strain range ε = 0,0055, giving strain amplitude ε a = 0, The stress mean value is σ m = (250 + ( 330)) /2 = 40 MPa. Thus, according to Morrow, one obtains ε a = σ f σ m E (2N)b +ε f (2N) c giving 0, = 900 ( 40) (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles (2N is load reversals to failure). 8