Lösning: ω e. = k M = EA LM

Transkript

1 Tekniska Högskolan i inköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09, kl 8-12 DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) EXAMINATION in Mechanical Vibrations and Fatigue, TMMI09 March 18, 2005 Ö S N I N G A R / SOUTIONS ösning: M, E, A x 1. En massa M hänger i en dragstång (, E, A). Härled egenvinkelfrekvensen då systemet dragsvänger? English: Deduce the eigenfrequency of the system in the figure? (Mass M, length of bar, Young s modulus E, and cross-sectional area A.) ω e = k M = EA M 2. Svara RÄTT eller FE på följande påståenden: (För poäng måste alla tre svaren vara rätt.) English: Answer RIGHT or WRONG to the following statements: ösning/solution: 1. Dämpning gör störst nytta vid resonanssvängning....rätt. 2. Ett bärverk (struktur) utan dämpning som utsatts för en impulslast utför en stationär svängning efter det att lasten slutat verka (d v s efter det att lasten tagits bort)....rätt 3. En förstyvning av en konstruktion gör att konstruktionen får lägre egenfrekvenser....fel. English: 1. Damping is the most effective at resonance vibration An un-damped structure that has been subjected to an impact load will perform stationary vibration after the load has been removed from the structure Making a structure stiffer will lower the eigenfrequency of it.... 8

2 Tekniska Högskolan i inköping, IKP Tore Dahlberg DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN Rita (skissa) ett Haigh-diagram och förklara dess användning English: Draw (sketch) a Haigh diagram and explain how it is used. ösning/solution: spänning/stress (MPa) F a amplitude FP mean stress m (MPa) A Haigh diagram is shown in the figure. The diagram gives a relation between the loading stress amplitude and the stress mean value. If, at a given mean stress, the stress amplitude exceeds the stress given by the curve, then fatigue failure is expected. s U 4. När används Morrows relation? English: When is the Morrow relation used? ösning/solution: The Morrow relation gives a relationship between the fatigue life and the strain amplitude. Thus, knowing the strain amplitude, the expected life N of a structure to fatigue failure can be calculated. 9

3 Tekniska Högskolan i inköping, IKP Tore Dahlberg DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) k m M k 5. Massan ilar på två fjädrar med styvhet k, se figur. En annan massa m faller ner på massan M och fastnar på den. De två massorna börjar svänga. Bestäm svängningsfrekvensen. English: 5. A mass M is mounted with two springs (stiffness k). Another mass m falls down on the first mass M and fastens to it. The two masses start to vibrate. At which frequency? ösning/solution: Vid vertikal rörelse x (positiv nedåt) fås fjäderkrafterna S 1 = kx och S 2 = kx verkande (positiv uppåt) på den totala massan (M + m). Det ger rörelseekvationen (M + m)ẍ = 2 kx som ger egenvinkelfrekvensen ω e = k M 2 + m 10

4 Tekniska Högskolan i inköping, IKP /Tore Dahlberg DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel), GK J 6. En axel bär ett svänghjul med masströghet J i sin ena ände och belastas med en föreskriven vinkelrörelse φ (= ϕ) i den andra. Systemet sätts i rörelse (vinkeln φ föreskrivs: φ=φ 0 sinωt) så att vridsvängning uppstår. Bestäm egenvinkelfrekvensen ω e för systemet och bestäm vridmomentet i axeln om Ω = 0,75ω e. Axelns masströghet kan försummas vid jämförelse med J. English: 6. An axle carries a flywheel having mass inertia in rotation J at one end and it is excited by a prescribed rotation, angle φ, at the other end (thus, angle φ=φ 0 sinωt is prescribed). The system then vibrates in torsional motion. Determine the eigenfrequency ω e of the system and determine the torque (twisting moment) in the axle if Ω = 0.75ω e. The inertia (in rotation) of the axle can be neglected when compared to J. ösning/solution: Anta att svänghjulet roterar vinkeln θ (= θ). Anta också (för enkelhets skull) att θ > φ. Vridmomentet i axeln sätts till./the flywheel rotates the angle θ/, GK J Rörelseekvationen för svänghjulet blir /Eq of motion for the flywheel is/ J θ= (a) För axeln erhålls /For the axle one has/ θ φ= GK som ger M = GK v (θ φ) (b) Momentet sätts in i sambandet (a). Det ger /Eliminate. It gives/ J θ+ GK (θ φ) = 0 (c) För över (den kända) belastningen (excitationen φ) till högerledet. Det ger /Simplify/ 11

5 J θ+ GK θ=gk Av ekvationen framgår att egenvinkelfrekvensen blir /This equation gives the eigenfrequency/ ω e = GK / J. Skriv om ekvation (d) på formen /Rewrite eq (d)/ θ+ω 2 e θ=ω 2 e φ 0 sinωt (e) Ansätt en lösning på formen /Assume the solution/ θ = AsinΩt, som sätts in i (e). Det ger /Enter in (e). It gives/ A( Ω 2 +ω 2 e )sinωt =ω 2 e φ 0 sinωt (f) Härur löses A. Man får /Solve for A/ A = φ=gk φ 0 sinωt (d) ω e 2 φ 0 ( Ω 2 +ω e 2 ) = φ 0 1 (Ω/ω e ) 2 (g) Man ser att om /It is noted that/ Ω = 0 fås /gives/ A = φ 0 (eller θ = φ), som sig bör, och om /and if/ Ω = ω e går amplituden mot oändligheten /the amplitude tends to infinity, as expected/ (som väntat). Bestäm slutligen momentet i axeln. Det är, enligt (b), /Determine Mv. (b) gives/ = GK GK 1 (θ φ) = 1 (Ω/ω e ) φ φ sinωt = GK (Ω/ω e ) 2 1 (Ω/ω e ) 2 φ 0 sinωt = GK 1 (ω e /Ω) 2 1 φ 0 sinωt (h) Man ser att om Ω = 0 fås = 0 (då var ju A = φ 0 enligt ovan). Då /If/ Ω =3ω e /4 fås /one obtains/ = 9GK 7 φ sin0, 75ω t 0 e och om Ω = ω e går momentet mot oändligheten (som väntat). Kommentar/Comment: /If θ had been eliminated in stead of, then had been obtained directly/ Istället för att eliminera ur (a) och (b) kunde man valt att eliminera θ. Man hade då fått en ekvation som innehållit det obekanta momentet direkt. Derivera (b) två gånger med avseende på tiden t. Det ger = GK ( θ φ) (i) Eliminera θ ur (a) och (i). Det ger 12

6 + GK Detta ger samma lösning som i (h) ovan. J = GK φ (j) eller + GK J M = GK v Ω2 φ 0 sinωt (k) vilket (naturligtvis) ger samma egenvinkelfrekvens ω e som ovan. Ansätt = M 0 sinωt och sätt in i (k). Det ger ( Ω 2 +ω 2 e )M 0 sinωt = GK Ω2 φ 0 sinωt (l) som ger M 0 == GK Ω 2 ( Ω 2 +ω 2 e ) φ 0 (m) 13

7 Tekniska Högskolan i inköping, IKP Tore Dahlberg DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 7. En stor plåt, belastad med en en-axlig spänning, spänning/stress (MPa) utsätts för en belastningssekvens enligt figur. 300 Denna sekvens upprepas. Materialet har en 250 Wöhlerkurva som ges av sambandet 200 σ a = 55 logn (MPa) 100 där σ a är spänningsamplituden. Bestäm 50 förväntat antal sekvenser till utmattningsbrott. 0 Använd Palmgren-Miners delskadehypotes. tid/time Inverkan av spänningens medelvärde får försummas. English: 7. A large plate, loaded in uni-axial tension, is subjected to a load sequence according to the figure. This sequence is repeated. The material has a Wöhler curve given by the equation σ a = 55 logn (MPa) where σ a is the stress amplitude. Determine the expected number of sequences to fatigue failure. Use the Palmgren-Miner damage accumulation rule. The influence of the mean value of the stress can be neglected. ösning: Rain-flow count gives 2 cycles from 0 to 300 MPa, giving σ a = 150 MPa, and 2 cycles between 100 and 250 MPa, giving σ a = 75 MPa. These stress amplitudes give (from the Wöhler curve) N = and cycles, respectively The Palmgren-Miner damage accumulation rule gives 2 D = = Thus, failure is expected after approximately sequences (giving cycles). 14

8 Tekniska Högskolan i inköping, IKP / Tore Dahlberg DE 2 - (Problemdel med hjälpmedel) - 0,0025 spänning/stress (MPa) töjning/ strain 0,003 0, Diagrammet visar en stabiliserad hysteresslinga för ett material utsatt för en lastsekvens bestående av två cykler. De båda cyklerna ger en spännings/töjningsvariation enligt figur. Använd Morrows ekvation (med hänsyn tagen till spänningens medelvärde) för att beräkna förväntat antal lastcykler (cykler, inte lastväxlingar) till brott. Materialdata: E = 200 GPa, ν = 0,3, σ U = σ B = 700 MPa, Ψ = 0,65, σ f = 900 MPa, ε f = 0,26, b = 0,095, och c = 0,47. English: 8. The diagram shows a stabilized hysteresis loop for a material subjected to a load sequence of two cycles. The two cycles give a stress/strain curve according to the figure. Use the Morrow relationship to determine the expected number of loading cycles (full cycles, not reversals) to fatigue failure. Material properties: E = 200 GPa, ν = 0.3, σ U = 700 MPa, Ψ = 0.65, σ f = 900 MPa, ε f = 0.26, b = 0.095, and c = ösning/solution: The diagram gives for the large loop the strain range ε = 0,0055, giving strain amplitude ε a = 0, The stress mean value is σ m = (250 + ( 330)) /2 = 40 MPa. Thus, according to Morrow, one obtains ε a = σ f σ m E (2N)b +ε f (2N) c giving 0, = 900 ( 40) (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles (2N is load reversals to failure). The diagram gives for the small loop the strain range ε = 0,002, giving strain amplitude ε a = 0,001. The stress mean value is σ m = (100 + ( 250)) /2 = 75 MPa. Thus, according to Morrow, one obtains 0, 001 = 900 ( 75) (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles. N is that large that the influence of the smaller cycle can be neglected. The fatigue life thus is sequences giving failure after cycles. 15