EXAMINATION L Ö S N I N G A R ---- S O L U T I O N S

Transkript

1 Linköpings Universitet, Hållfasthetslära, IEI/IKP TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI kl L Ö S N I N G A R ---- SOLUTIONS 1. En kubisk massa M (kubens sidlängd är a) är i de åtta hörnpunkterna upphängd i åtta fjädrar. Fjädrarna har olika styvhet och olika riktning. Hur många frihetsgrader har detta system? Ange antal och beskriv rörelsen i dessa frihetsgrader. English: A cubic mass M (the cube has side length a) is suspended in the eight corners by eight springs. The springs have different stiffness and different diretion. How many degrees-of-freedom has this system? Explain the motion in the different degrees-of-freedon you have given. Systemet har sex frihetsgrader: tre translationer i tre vinkelräta riktningar och tre rotationer med avseende på de tre riktningarna. The systen has six degrees-of-freedom: three translations in three perpendicular directions and three rotations with respect to the three directions. 2. Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω, cyklisk frekvens f och svängningstid (periodtid) T för en svängning. English: Give the relationships between the angular frequency ω, the cyclic frequency f and the period time T of a vibration. ω=2πf and f = 1 T 9

2 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 3. spänning/stress (MPa) Hur många cykler erhålls ur vidstående svängningssekvens? Ange medelvärde och 300 amplitud för varje cykel. Använd rain-flow 200 count-metoden English: How many cycles is obtained from the 100 sequence given? Give mean value and amplitude of each cycle. Use the rain-flow 0 tid/time count method. There will be four cycles: one cycles with stress σ=150 ± 150 MPa, one cycle with stress σ=200 ± 100 MPa, and two cycles with stress σ=100 ± 100 MPa. 4. Ange Neubers hyperbel: skriv upp ekvationen och förklara de ingående storheterna. Förklara även hur den används. English: Give the Neuber hyperbola: write down the equation and explain the different factors in it. Also, explain how it is used. The Neuber hyperbola reads ε σ= K 2 2 f σ E where ε and σ is strain and stress (at point of stress concentration), K f is the fatigue notch factor (K t, the stress concentration factor, is sometimes used here), and σ is the stress far away from the stress concentration). The intersection of the Neuber hyperbola and the material relationship (for example the Ramberg-Osgoods relation) gives the stress and the strain at the point of stress concentration. 10

3 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP 5. En massa M hängs upp i tre fjädrar (styvhet k k 1 = k, k 2 =5k och k 3 =3k). 1 k 2 k1 k (a) Bestäm egenvinkelfrekvensen för systemet M 3 k2 om massan och fjädrarna monteras enligt figur k3 M (a). (a) (b) (b) Vad blir egenvinkelfrekvensen om massan och fjädrarna monteras enligt figur (b)? English: 5. A mass M is mounted with three springs (stiffness k 1 = k, k 2 =5k, and och k 3 =3k). (a) Determine the (angular) eigenfrequency of the system if the mass and the springs are mounted as shown in figure (a). (b) What will the eigenfrequency be if mass and springs are mounted as in figure (b). (a) The equation of motion of the mass is Mẍ = F 1 F 2 + F 3 (a) where F 1 = k 1 x F 2 = k 2 x and F 3 = k 3 x This gives Mẍ +(k 1 + k 2 + k 3 )x = 0 which gives Enter this into (b). It gives and the eigenfrequency becomes ω e = (k 1 + k 2 + k 3 ) = 9 k M M = 3 k M (b) The equation of motion of the mass now becomes Mẍ = F For the two springs in series one obtains (same force F in the two springs) k 1 k 2 giving x = F k 1 + k 2 x = x 1 + x 2 = F k 1 + F k 2 k 1 k 2 ω e = (k 1 + k 2 ) + k 3 Mẍ + k 1 k 2 k 1 + k 2 + k 3 x = 0 1 M = 23 k 6 M = 1.96 k M (b) 11

4 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP/ 6. Bestäm egenfrekvenserna (Hz) vid L, m, E, A longitudinell svängning av en fri-fri stång (en betongbalk som är fri i båda ändar) med x följande egenskaper: kvadratiskt tvärsnitt 0,2 m gånger 0,2 m, längd L = 2,5 m, densitet ρ = 2500 kg/m 3, E-modul E = 39 GPa, tvärkontraktionstal ν = 0,2 (vilket ger skjuvmodul G = 16,25 GPa). Rörelseekvationen vid dragsvängning av en stång är identisk med den för transversell svängning av en spänd sträng. För en jämntjock stång gäller mü(x, t)=ea 2 u(x, t) + p(x, t) (1) x 2 Vid fri svängning, d v s då p(x,t) = 0, fås lösningen u(x, t)=u hom = C 1 sin mω 2 EA x + C 2 cos mω2 EA x e i ωt där konstanterna C 1 och C 2 bestäms av randvillkoren. En stång kan ha randvillkor på förskjutningen u(x,t) och/eller axialkraften N(x,t) där u(x, t) N = EA x Använd detta för att bestämma egenvinkelfrekvenserna (i Hz) vid dragsvängning av en järnvägssliper med data enligt ovan. English: Determine the eigenfrequencies (in Hz) at longitudinal vibrations of a free-free bar (a concrete beam that is free in both ends). The bar has the following properties: quadratic cross section 0,2 m by 0,2 m, length L = 2,5 m, density ρ = 2500 kg/m 3, modulus of elasticity E = 39 GPa, Poisson ratio ν = 0,2 (giving shear modulus G = 16,25 GPa). The equation of motion at longitudinal vibrations of a bar is identical with the equation giving transversal vibrations of a taut string. For a bar one obtains the equation (1). At free vibrations, i.e. when p(x,t) = 0, the solution is given in (2), where the constants C 1 och C 2 are determined by the boundary conditions. A bar may have boundary conditions on the displacement u(x,t) and/or the longitudinal force N(x,t), where N is given in (3) (2) (3) 12

5 (a) Ekvationens lösning blir / the homogenous solution is Randvillkor (RV) ger / Boundary conditions RV1: Free bar at end x = 0 gives N(0,t) = 0, giving that gives giving C =0 RV2: Free bar at end x = L gives N(L,t) = 0, giving that gives This equation has solution D 0 only if giving from which is solved u(x, t)= C sin mω2 EA x + D cos mω2 EA x e i ω t u(0, t) x u(l, t) x mω2 EA u x = N EA = 0 = 0 = C mω2 EA cos 0 + D 0 e iωt u x = N EA = 0 = 0 = D mω2 EA sin mω2 EA L e iωt sin mω2 EA L = 0 L = j π, where j = 1, 2, 3,.. ω e j = j π EA, where j = 1, 2, 3,.. L m and f ej = ω ej /2π. These are the egenfrekquencies asked for. Finally, the numerical values give f ej = j 790 Hz, där j = 1, 2, 3,... 13

6 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP 7. En stor plåt, belastad med en en-axlig spänning, spänning/stress (MPa) utsätts för en belastningssekvens enligt figur. 300 Denna sekvens upprepas. Materialet har en Wöhlerkurva som ges av sambandet 200 σ a = 50 logn (MPa) 100 där σ a är spänningsamplituden. Bestäm förväntat antal sekvenser till utmattningsbrott. 0 Använd Palmgren-Miners delskadehypotes. tid/time Inverkan av spänningens medelvärde får försummas. English: 7. A large plate, loaded in uni-axial tension, is subjected to a load sequence according to the figure. This sequence is repeated. The material has a Wöhler curve given by the equation σ a = 50 logn (MPa) where σ a is the stress amplitude. Determine the expected number of sequences to fatigue failure. Use the Palmgren-Miner damage accumulation rule. The influence of the stress mean value can be neglected. Rain-flow count gives 2 cycles from 0 to 300 MPa, giving σ a = 150 MPa, 2 cycles from 0 to 250 MPa, giving σ a = 125 MPa, 1 cycle between 0 and 200 MPa, giving σ a = 100 MPa, and These stress amplitudes give (from the Wöhler curve) N = , , and , respectively The Palmgren-Miner damage accumulation rule gives 2 D = = Thus, failure is expected after approximately sequences (giving cycles). 14

7 Tekniska Högskolan i Linköping, IEI/IKP 8. Ett material utsätts för en lastsekvens som töjning/ strain ger töjningar enligt figur. Använd Morrows 0,003 ekvation för att beräkna förväntat antal 0,001 lastsekvenser till brott. Inverkan av spänningens tid/time medelvärde får försummas. Materialdata: E = 200 GPa, ν = 0,3, σ U = σ B = - 0, MPa, Ψ = 0,65, σ f = 900 MPa, ε f = 0,26, b = 0,095, och c = 0,47. English: 8. A material is subjected to a load sequence giving the strain shown in the figure. Use the Morrow relationship to determine the expected number of load sequences to fatigue failure. The influence of the mean stress can be neglected. Material properties: E = 200 GPa, ν = 0.3, σ U = 700 MPa, Ψ = 0.65, σ f = 900 MPa, ε f = 0.26, b = 0.095, and c = The diagram gives four cycles: - Two cycles with strain range Δε = 0,0055, giving strain amplitude ε a = 0, According to Morrow one obtains (neglecting the mean stress) ε a = σ f E (2N)b +ε f (2N) c giving 0, = (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles (2N is load reversals to failure). - One cycle with strain range Δε = 0,0025, giving ε a = 0, Morrow gives 0, = (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles - One cycle with strain range Δε = 0,003, giving ε a = 0,0015. Morrow gives 0, 0015 = (2N) 0, , 26 (2N) 0,47 Solving for N gives N = cycles. Palmgren-Miner now gives 2 D = = Expected number of sequences to failure is