TMHL09 - Hållfasthetslära - Dimensioneringsmetoder Sammanfattning Får ej medföras på tentamen. ger stabil jämvikt ger instabil jämvikt

Transkript

1 TMHL09 - Hållfasthetslära - Dimensioneringsmetoder Sammanfattning Får ej medföras på tentamen Stabilitet - diskreta system Fjädermodeller M återförande M utböjande = 0 ger kritisk last (ett egenvärde) M återförande > M utböjande M återförande < M utböjande Jämviktsförgrening ger stabil jämvikt ger instabil jämvikt stora deformationer last instabil jvkt indifferent bifurkationspunkt stabil jvkt deformation Energibalans V = E elast P δ V är potentialen, E elast är den i strukturen upplagrade elastiska energin, och P δ är av yttre lasten utfört arbete. dv dφ = 0 ger kritisk last d V dφ > 0 om stabil jvkt; d V dφ < 0 om instabil jvkt Axialbelastade balkar Stabilitet - axialbelastade balkar DE: Lösning: w(x) IV + P EI w (x)=q(x) EI w(x)=w part (x)+w hom (x) w hom (x)=c + C px + C 3 sin px + C 4 cos px och p = P / EI Randvillkor på w, w, M = EIw och T = EIw Pw OBS: Nytt RV på tvärkraften T!

2 Randvillkoren ger ett ekvationssystem med 4 ekvationer och 4 obekanta (C till C 4 ). Icke-trivial lösning av ekvationssystemet erhålls då systemdeterminanten =0 vilket ger kritisk last. Elementarfall: Eulerfallen, se formelsamling. Ångpanneformlerna: Plant spänningstillstånd σ x = p a h och σ φ = p a h Plant spänningstillstånd σ x, σ y, τ xy ger spänningar i riktning ϕ: y n x Elimineras ϕ fås Mohrs spänningscirkel (, ) (, ) y - xy R c x En vinkel ϕ i positiv led i xy-planet svarar mot vinkeln ϕ i negativ led i Mohrs spänningscirkel Spänningscirkeln ger huvudspänningar σ, och max skjuvspänning τ max : σ, =σ c ± R och τ max = R Huvudspännigsriktningen (till σ ) fås ur n xy σ n (φ) =. τ nφ (φ) =. σ c = σ x +σ y (se formelsamling) (σ n σ c ) +τ nφ och = R R = σ x σ y sinψ = τ xy R +τ xy

3 r Rotationssymmetri r Spänningar: σ r (r) och σ ϕ (r) Radiell förskjutning: u(r) Jämvikt (vid rotation, vinkelhastighet ω): d dr { r σ(r) h(r)} σ (r) h(r)= ρr r φ ω h(r) Deformationssamband ε r (r)= du dr och ε (r)=u φ r Material: Hookes lag Plan spänning, d v s σ z = 0, ger (h = konstant) σ r (r)=a B r 3 +ν ρω r 8 σ φ (r)=a + B r + 3ν 8 u(r)= ν E Ar +ν E ρω r B r ν 8 E ρω r 3 Randvillkor på σ r och/eller u ger A och B Krympförband Diametralt grepp = D i d y, radiellt grepp u y u i = δ = / ger kontakttrycket (krymptrycket) p Tre-axligt spänningstillstånd Spänningstillståndet i en punkt σ x τ xy τ xz S =σ ij = τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z Huvudspänningarna fås ur σ x σ τ xy τ xz n x 0 τ yx σ y σ τ yz n y = 0 (45) τ zx τ zy σ z σ n z 0 determinanten = 0 ger en tredjegradsekvation i σ, vilket ger tre rötter σ i (i =,, 3). Roten σ = σ i införd i (45) ger riktningen för huvudspänningen σ i (i =,, 3) 3

4 Alternativ formulering Huvudspänningarna fås ur det ( S σi )=0 Huvudspänningsriktningarna ges av (S σ i I)n i = 0 (48b) Hookes generaliserade lag med temperaturterm (48a) och n i T n i = (48c) ε x = E [σ ν(σ +σ x y z )] +α T ε y = E [σ ν(σ +σ y z x )] +α T ε z = E [σ ν(σ +σ z x y )] +α T γ xy = τ xy G γ yz = τ yz G (gäller då materialet är elastiskt, d v s då σ e < σ s ) γ zx = τ zx G G = E ( +ν) Flythypoteser Definition av effektivspännigen σ e enligt Tresca: σ T e = max { σ σ, σ σ 3, σ 3 σ } =σ σ 3 om σ >σ >σ 3 enligt von Mises: σ e vm = {(σ σ ) +(σ σ 3 ) +(σ 3 σ ) } = σ x +σ y +σ z σ x σ y σ y σ z σ z σ x + 3 (τ +τ xy yz +τ zx ) Elastiskt tillstånd om σ e < σ s Plasticering inträffar då σ e = σ s 4

5 Utmattning Wöhlerkurva Ger livslängd N som funktion av spänningsamplituden σ a. Spänning under utmattningsgränsen σ u ger "oändlig" livslängd (med viss sannolikhet). Haigh-diagram Ger utmattningsgränsen σ u som funktion av spänningens medelvärde σ m. Utmattningsgränsen (Haigh-diagrammet) reduceras med avseende på ytfinhet, materialvolym, belastad volym mm (κ, λ, δ...). Arbetspunkten nom nom Arbetspunkten ges av K t σ m och K f σ a, K t är spänningskoncentrationsfaktorn och K f är anvisningsfaktorn: K f = + q(k t ) Rain-flow count (regndroppsmetooden) Räkning av cykler vid oregelbunden last Palmgren-Miners delskadeteori Delskada: n i / N i Brott inträffar då n i N i = Svängningar Diskreta system, en frihetsgrad: Rörelseekvationen blir Mẍ + cẋ + kx = F(t) med lösning x(t)=x part (t)+x hom (t) och x hom (t)=e ζω 0 t C cos ω 0 ζ t + C sin ω 0 ζ t då 0 ζ< ω 0 = k M och ζ= c km Begynnelsevillkor ger konstanterna C och C. Harmonisk excitation F(t) =F 0 sinωt ger svängningsamplituden A, F 0 / k A = ( (Ω/ω 0 ) ) +(ζω / ω 0 ) 5

6 Diskret system, två (eller flera) frihetsgrader: Teckna rörelseekvationerna (en för varje frihetsgrad). Eliminera snittstorheter. Ansätt lösningar x = A sinωt, x = B sinωt, o s v. För fri svängning ger det ett homogent ekvationssystem för konstanterna A, B... Sätt systemdeterminanten till noll. Det ger egenvinkelfrekvenserna (och egenmoderna). Böjsvängande balk Differentialekvation: EI w IV (x, t)+mẅ(x, t)=q(x, t) med lösning w(x, t)=w part (x, t)+w hom (x, t) För den homogena delen ansätts w hom (x, t)=x(x) T(t) vilket ger X(x)={C cosh µx + C cos µx + C 3 sinh µx + C 4 sin µx } µ 4 = mω / EI och för T(t) kan man i regel använda T(t)=e iωt Randvillkor ger konstanterna C till C 4. Sätt systemdeterminanten till noll. Det ger egenvinkelfrekvenser och egenmoder. Energimetoder Töjningsenergi u per volymsenhet (vid linjärt elastiskt material) u = σε och/eller u = τγ Total töjningsenergi i balk U tot = L N(x) 0 EA(x) + M v(x) GK v (x) + M böj(x) T(x) +β EI(x) GA(x) dx Vid linjärt varierande böjmoment M(x) =M +(M M )x / L erhålls U = L 6EI {M + M M + M } Castiglianos sats Förskjutning δ p g a kraft P: Rotation (vinkeländring) Θ p g a moment M: 6 δ= U(P) P Θ= U(M) M

7 Statiskt obestämd infästning Inför de övertaliga stödreaktionerna som obekanta, t ex en övertalig stödreaktion R. Castiglianos sats ger δ= U = 0 som ger R R Statiskt obestämda snittstorheter Inför de övertaliga snittstorheterna som obekanta, t ex en övertalig snittstorhet M. Castiglianos sats ger Θ= U = 0 som ger M M 7