Tentamensdatum: 12 januari 2018 Tid:

Transkript

1 Hållfasthetslära Strength of Materials 7,5 högskolepoäng 7.5 Credits Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TM091B Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 12 januari 2018 Tid: Hjälpmedel: Tore Dahlbergs formelsamling TeFyMa eller annan liknande formelsamling inom fysik och matematik Valfri miniräknare Passare och linjal Total antal poäng på tentamen : 50 poäng För att få respektive betyg krävs: För betyg 3 krävs 20 poäng För betyg 4 krävs 30 poäng För betyg 5 krävs 40 poäng Rättningstiden är i normalfall tre veckor Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in Lycka till! Ansvarig lärare: Telefonnummer:

2 Frågor Questions 1. Bestäm E-modul och Poissons tal för en metallstång som är 30 cm lång, 4 cm bred och 4 cm tjock när stången utsätts för en axiell kompressiv belastning på 400 kn. Minskningen i längd är 0,075 cm och ökningen i bredd 0,003 cm. (2 poäng) Determine the E-modulus and Poisson s ratio of a metallic bar of length 30 cm, breadth 4 cm and depth 4 cm when the bar is subjected to an axial compressive load of 400 kn. The decrease in length is given as cm and increase in breadth is cm (2 points) 2. Ett element utsätts för spänningar enligt figur. Bestäm normalspänning och skjuvspänning längs 45. (5 poäng) A point in a strained material is subjected to stresses shown in figure. Determine the normal and shear stresses along 45. (5 points) 3. Beskriv hur man ritar Mohr s cirkel och hur man hittar maximal skjuvspänning? (5 poäng) How to draw Mohr s circle and find maximum shear stress? (5 points) 4. Rita en 3D kub och rita ut spänningstensorn matrix som uttrycker bade normal- och skjuvspänning (2 poäng) Draw a 3D cube and write the stress tensor matrix expressing both normal and shear stress. (2 points) 5. Det är lättare att svänga hammaren om du håller den i huvudet än om du håller den i skaftet. Förklara varför. (2 poäng) It is easier to swing the hammer if you hold the head than if you hold by handle. Why? (2 points) 6. Beräkna tröghetsmomentet för tvärsnittet i den horisontella axeln som går genom sektionens (se figuren nedan) tyngdpunkt. (5 poäng)

3 Find the moment of inertia of the section about the horizontal axis passing through the centre of gravity of the section (5 points) 7. Om vridmomentet ökar, kommer förvridningsvinkeln att öka eller minska? Svaret skall motiveras. (2 poäng) If torque increases, will angle of twist increase or decrease? Motivate (2 points) 8. En solid axel överför 515 kw vid 100 rpm. Beräkna vridmomentet som överförs av axeln. (2 poäng) A solid shaft is to transmit 515 kw at 100 rpm. Find the torque transmitted by the shaft. (2 points) 9. En solid axel med 20 mm diameter överför en effekt vid 600 rpm. Den maximala skjuvspänningen är 50 N/mm 2. Beräkna den överförda effekten. (2 poäng) A solid shaft of 20 mm diameter transmits power 600 rpm. The maximum shear stress is 50 N/mm 2. Calculate power transmitted (2 points) 10. Axeln BC är ihålig med en inre diameter på 90 mm och en yttre diameter på 129 mm. Axlarna AB och CD är solida med diametern d. Beräkna (i) den största och den minsta skjuvspänningen i axeln BC (3 poäng) (ii) den minsta diameter d för axlarna AB och CD som krävs för att skjuvspänningen i axlarna i axlarna inte ska överstiga 65 MPa (3 poäng) Shaft BC is hollow with inner and outer diameters of 90 mm and 129 mm, respectively. Shafts AB and CD are solid of diameter d. For the loading shown, determine (i) The maximum and minimum shearing stress in shaft BC (3 points) (ii) The required diameter d of shafts AB and CD if the allowable shearing stress in the shafts is 65 MPa (3 points)

4 11. En konsolbalk (se nedan) med längden 1,5 m utsätts för belastningar. Rita diagram för skjuvkraft och för böjmoment. (5 poäng) A cantilever beam of length 1.5 m carries loads. Draw the shear force and bending moment diagrams (5 points) 12. En konsolbalk med 2 m längd bär en jämnt varierande last av 25 kn/m vid den fria änden och 75 kn/m vid den fasta änden. Om E = 1*10 5 N/mm 2 och I = 1*10 8 mm 4, bestäm (i) Lutningen vid den fria änden (3 poäng) (ii) Utböjningen vid den fria änden. (3 poäng) A cantilever of length 2 m carries a uniformly varying load of 25 kn/m at the free end to 75 kn/m at the fixed end. If E = 1*10^5 N/mm2 and I = 10^8 mm4. Determine (i) Slope at the free end (3 points) (ii) Deflection at the free end (3 points) 13. Vad är skillnaden mellan knäckning och böjning? (2 poäng) What is the difference between buckling and bending? (2 point) 14. Vad innebär det att använda FEM? (1 poäng) What is the use of FEM? (1 point) 15. Hur hjälper FEM till att lösa ett givet problem? Skriv steg för steg. (3 poäng) How the FEM helps to solve the given problem? Write step by step (3 points)

5 Name Formula Unit Notes Area of a rod Area of a cylindrical rod mm 2, cm 2, m 2 Solid rod = π 4 D2 Area of a hollow rod Area of hollow cylinder = π 4 (D2 d 2 ) mm 2, cm 2, m 2 Tubes are example Area of a rectangular bar Area of rectangular bar = length breadth mm 2, cm 2, m 2 When you calculate stress at a particular area; one should be careful to choose which is length and breadth Volume of cylinder V=πr 2 L mm 3, cm 3, m 3 Check the unit Volume of rectangular bar Factor of safety (FoS) FoS = V=L*b*t mm 3, cm 3, m 3 Check the unit Ultimate stress Working stress No unit See stress-strain curve Stress, σ Strain, ε ε = σ = Load Area = P A Stress E modulus = σ E N/m2 (or) Pa And variations like N/mm2, MPa, GPa etc. No unit This suits for all stresses such as tensile, compresssive, etc. Check the formula for E modulus formula. G (shear modulus) has similar expression Change in length ε = Original length = δl L Elongation, δl δl = strain L = ε L mm, cm, m Compare it with strain formula. If it is % elongation, then the value should be multiplied by 100 Longitudinal strain No unit This is along the applied force Lateral strain No unit Perpendicular to the applied force Poisson s ratio Stress Concentration Poisson s ratio, = Lateral strain Longitudinal strain No unit No unit Necessary to understand what are lateral and longitudinal strains Stress near the hole sigma max Stress for viscoelastic material Relation between E, G and υ σ(t) = E ε(t) + η d ε d t N/m2 (or) Pa And variations like N/mm2, MPa, Gpa etc. N/m2 (or) Pa; and variations like above You have elastic and viscous parts E, G and Poisson s ratio calculated

6 Condition Sketch Formula Varying sections Tapering circular rod Tapering rectangular rod

7 Composite bar Thermal stresses (alpha is co-efficient of linear expansion and T is temperature rise) (NOTE: if the support expands then the actual expansion of the material expansion of the support gives actual expansion) Thermal stresses in composite bars

8 Volumetric strain of rectangular bar = ev = change in volume original volume = δv V δlbd + δbld + δdlb L b d = δl L + δb b + δd d ev = (longitudinal strain) + 2 (lateral strain) ev = (longitudinal strain) +2 ( poisson s ratio longitudinal strain) ev = longitudinal strain (1-2μ) ev = δl (1 2μ) L Volumetric strain of rectangular bar subjected to 3 forces Volumetric strain of cylindrical rod General state of stress stress at a point Normal stresses and shear stresses are denoted as showed.

9 Stress tensor - matrix Six stress components Equality of cross-shear τ yx = τ xy τ xz = τ zx τ yz = τ zy Differential equations of equilibrium stress Transformati on of plane stress Principal stress and principal angle (maximum and minimum normal stress) Maximum shear stress

10 Relation between principal and maximum shear Trignometric Identities and values Different Types of Forces

11 TORSION Condition Formula Diagram Torsional shearing stress J-polar moment of inertia Polar moment of inertia Angle of twist This is always in radians, degree should be converted into radians Power transmitted f is in seconds; you could have rotations in minute, then the formula is divided by 60 Shear strain γ max = rφ L By Hooke s law in the elastic range, Strain=shear stress/shear modulus

12 Stress concentration Polar moment of inertia Polar moment of inertia changes So the shear stress also changes: Thin walled,, r is average Arbitrary cross section Thick walled, J in the above equation is substituted from the table Torque, T = 2 τ(s) t(s) A Shear stress, τ(s) = A = area T 2At(s) Angle of twist

13 CENTRE OF GRAVITY AND MOMENT OF INERTIA Condition Formula Diagram First moment of inertia Centroid/Centre of gravity Area moment of inertia (Second moment of inertia) Mass moment of inertia I = m 1 r1 2 + m 2 r2 2 + Parallel Axis Theorem M mass/area R distance from center axis to new axis Rotated axis Moment of inertia of the new axis Principal axes and corresponding moment of inertia

14 BENDING MOMENT AND SHEAR FORCE DIAGRAMS

15

16

17

18