Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil Radiokommunikation

Transkript

1 Lösningsförslag till Problem i kapitel 7 i Mobil adiokommunikation Två lognormalt fördelade stokastiska variabler X och Y med log-standardavvikelserna σ logx och σ logy. Att den stokastiska variabeln V = X/Y också är lognormalt fördelad. Logstandardavvikelsen för V. X = 0 logx Y = 0 logy logx och logy är normalfördelade. Summan av och skillnaden mellan två normalfördelade stokastiska variabler är också normalfördelad. V = X Y = 0logX 0 V är också lognormalt fördelad. Variansen [σ logx ] = E{(logX m logx ) } där m logx = E{logX} Variansen [σ logy ] = E{(logY m logy ) } där m logy = E{logY} Variansen [σ logv ] = E{(logX m logx + logy m logy ) } = = E{(logX m logx ) + (logy m logy ) + (logx m logx )(logy m logy )} = [σ logx ] + [σ logy ] + σ logx σ logy = {X och Y oberoende} = = [σ logx ] + [σ logy ] Standardavvikelsen: σ logv = σ logx + σ logy logy = 0logX logy Ett mobiltelefonsystem med 00 kanaler och en basstation mitt i varje cell med kravet att [SI] db = 5 db på cellranden samt tidstillgängligheten 95 %. Signal från egen basstation är rayleighfädande. Signaler från närliggande celler har konstant effekt. Mottagen medeleffekt från egen basstation och störare avtar som /r. Mobilen har en halvvågsantenn medan basstationens antenn är rundstrålande i horisontalplanet.

2 a) Systemets kapacitet i antal kanaler/cell. b) Systemets kapacitet i antal kanaler/cell med två antenner arrangerade i valdiversitet. Fädningsförloppen i de två antennerna är oberoende. a) Kanalen är rayleighfädande mottagen effekt (och SI = Γ) är exponentialfördelad. Minimi-SI: γ = 0 5/0 Fördelningsfunktionen: P{Γ < γ } = F Γ (γ ) = e γ /γ 0 Beräkna först fädningsmarginalen: P{Γ > γ } 0,95 P{Γ < γ } 0,95 + e γ /γ 0 0,95 γ γ 0 ln 0,95 γ 0 γ ln 0,95 9,5 γ 0 db γ db +,9 db Vi behöver alltså ett medelsignalbrusförhållande: [γ 0 ] db 5 +,9 db = 7,9 db eller 0,79 7 ggr på cellranden. Mottagen effekt är proportionell (proportionalitetskonstanten = c) mot utsänd effekt, P, och omvänt proportionell mot (avståndet). cp SI = () cp = Δ > 7 D där är avståndet till egen basstation, D är avståndet till närmaste störare och Δ = är det normerade upprepningsavståndet. D För hexagonala symmetriska celler med K kanalgrupper gäller Δ = K Av () fås att Δ > 7,8 () () och () ger att K > 0, Tag närmast större heltalsvärde på K som satisfierar (7.7) på sidan 50 ()

3 7. välj K = Enligt (7.8) på sidan 50 får vi nu systemets kapacitet uttryckt som antalet kanaler som samtidigt finns tillgängliga i varje cell: η = C. K = 00 = kanaler/cell b) Valdiversitet med oberoende kanaler. Den största av oberoende exponentialfördelningar Γ a och Γ b väljs: Beräkna fädningsmarginalen: P{Γ > γ } 0,95 Vi behöver alltså ett medelsignalbrusförhållande: [γ 0 ] db 5 +,0 db =,0 db eller 0, ggr på cellranden. cp SI = cp = Δ > D Δ > 5, Δ = K K > 9, P\Γ < γ} = P{Γ a < γ Γ b < γ} = P{Γ a < γ} P{Γ b < γ}= e γ/γ 0 e γ/γ 0 0,95 0,05 e γ/γ 0 e γ/γ 0 0,05 γ γ 0 ln 0,05 γ 0 γ ln 0,05,95 γ 0 db γ db +,0 db Välj K = Systemkapacitet = η = K C = 00 = 8 kanaler/cell Ett cellbaserat mobiltelefonisystem med basstationerna placerade i cellmitten. Talkvalitetskravet i mottagarna är att signalstörförhållandet [SI] db skall vara minst db. Felkorrigerande kodning övervägs införas för att kunna sänka [SI] db -kravet 5 db.

4 Hur många procent färre basstationer åtgår då vid samma ytkapacitet? Antag att effekten avtar som /r. SI = 0, = 5 cp SI = cp = Δ > 5 D Δ >, Δ = K K >,9 Välj K = Systemkapacitet: η = C kanaler/cell med area A. K Inför kodning: Krav: [SI] db > 9 db SI = 0,9 = 79, cp SI = cp = Δ > 79, D Δ >,7 K > 7, Välj K = 9 Utnyttja denna vinst i K till att minska antalet basstationer ( göra större celler). Systemkapacitet: η = K C kanaler/cell med area A. Ytkapacitet: Lika många kanaler/area d.v.s. C C K A = K A A A = K K = 9 Om vi vill täcka en yta med arean B med celler krävs N basstationer. N = B A respektive N = B A

5 7. sökt: N N N Ett cellulärt persontelefonsystem för inomhusbruk med kanalgrupper. Ett symmetriskt upprepningsmönster med kvadratiska celler används. Mönstret har basstationer med samma kanalgrupp på upprepningsavståndet. Utsänd effekt avtar som /r. De närmast liggande störarna kan approximativt uppfattas som liggande på samma avstånd. = a) Minsta signalstörförhållande som en telefon måste klara för att kunna fungera i hela cellen. b) Verklig yttäckning under förutsättning att kravet på SI måste höjas med 0 /0 ggr. B A B A B A = A A = 9 % D a) SI är minst i ett cellhörn: SI = cp cp D = D = = 0 lg db 5

6 b) Telefonerna kräver i praktiken 0 /0 ggr större SI. Antag, att SI-kravet = är uppfyllt på avståndet SI = Yttäckningen: cell 7.5 Ett cellulärt mobiltelefonnät uppbyggt av triangulära celler enligt figur överst på nästa sida. Avståndet mellan två närliggande basstationsplatser är km. Basstationsplatserna sänder på olika kanaler i stycken 0 sektorer. Systemet disponerar 00 kanaler (eg. kanalpar). π π = = π 79 % a) Systemets ytkapacitet. b) Garanterat maximalt signalstörförhållande på godtycklig plats i systemet om utsänd effekt avtar som /r. a) Antalet kanalgrupper K = Varje basstation sänder till triangelformade celler, som tillsammans inehåller 00 kanaler. Eftersom avståndet mellan två närbelägna basstationer är km är höjden i varje triangel km och arean av trianglar är: basen höjden = =, km Ytkapaciteten = antalet kanaler dividerat med arean: 00, 9 kanaler/km

7 M B S S S Med hjälp av Pythagoras sats fås avstånden angivna i ovanstående figur: Avståndet mellan basstationen B och mobilen M: =,57 Avståndet mellan störaren S och mobilen M: D = + 7, Avståndet mellan störaren S och mobilen M D = +,055 Avståndet mellan störaren S och mobilen M D = + 8 SI = cp cp D + cp D + cp D,0 =,57, +,055 +, 5, db, 7. Analogt cellbaserat system med 00 kanaler. Cellerna är hexagonala med basstationen i mitten. Utsänd signaleffekt avtar som /r. Minsta signalstörförhållande skall vara 0 /0. Ytkapaciteten skall vara minst 0 kanaler/km. Avståndet mellan två närliggande basstationer. 7

8 Arean av en cell: A = = Ytkapaciteten = SI = η A = η A = C K A = 00 Δ cp cp = Δ > 0/0 99,5 Δ >, D > 0 Δ < 0 K = Δ >,,5 välj K = Δ = = < 0 < 0,57 km Avständet mellan två basstationer = = 0,5 km 7.7 Ett mobiltelefonsystem med hexagonala celler och basstationerna i mitten. För acceptabel kvalitet krävs ett [SI] db på minst db. Signal från egen basstation är utsatt för lognormal skuggfädning med standardavvikelsen db. Mottaget medel-si avtar som /r. a) Fädningsmarginalen för en mobil på cellranden om tidstillgängligheten skall vara 90 %. 8

9 7.8 b) Antalet kanalgrupper för att kravet enligt a) skall vara uppfyllt. a) Antag, att signalstörförhållandet är en stokastisk variabel Γ och att G är en lognormal stokastisk variabel med standardavvikelsen db. Om vi endast tar hänsyn till de närmaste störarna och förutsätter att dessas störande inverkan inte är utsatt för lognormal skuggfädning får vi följande uttryck för signalstörförhållandet (se även Exempel 7. på sidorna 0-): b) G cp Γ = cp = G D = GΔ D Tidstillgängligheten kan nu tecknas: 0 lg Δ > + 7,7 [SI] db > + 7,7 db fädningsmarginalen = 7,7 db. Ett cellbaserat mobiltelefonsystem med basstationerna i mitten. Yttillgängligheten skall vara 90 %. Mottagen signals nivå är en produkt av en rayleighfödelad variabel och ett medelvärde som avtar som /r. Samkanalstörningen från omgivande celler har konstant effekt. Lägsta acceptabla [SI] db = db. Cellarean är cirkulär. P Γ > 0 /0 = P 0 lgγ > = P 0 lg G Δ = P 0 lgg > 0 lg Δ = P 0 lgg 0 lg Δ a) Systemets kapacitet. 0 lg Δ > <,8 Δ > 0( + 7,7)/0 K = Δ = {σ G = } = = Q K 7 0 lg Δ > = b) Jämför kapaciteten om tillgängligheten på cellranden skall vara 90 %. < 0,9 9

10 a) Antag, att medelsignalstörningsförhållandet, γ 0, är proportionellt mot /r, d.v.s. γ 0 (r) = c r Sannolikheten att signalstörförhållandet Γ är lägre än en viss nivå γ givet r är: P{Γ < γ r} = e γ /γ 0(r) = e γ r /c tjocklek dr r Mobilerna antas vara likformigt fordelade över cellens area Den differentiella arean da (skuggad i ovanstående figur) = πrdr. Sannolikheten att mobilen befinner sig på avståndet r från centrum: P(r)dr = πrdr π = rdr Medelvärdesbilda över hela cellen: 0 P{Γ < γ r} P(r) dr < 0,0 0 e γ r /c r dr = 0 re γ r /c dr = = = t = γ c r t = γ c r r = ct γ dt = γ c rdr c γ π π = 0 γ 0 γ c = c e t / dt = c γ e t / dt 0

11 = πc γ Q = πc γ Q γ c = normera cellradien = = γ c < 0, γ = 0 /0 9,95 0,9 < πc γ Q varav c > 0, γ c γ 0 på randen, d.v.s. när r = = γ 0 (r) = c r = 0, = 0, eller 7,8 db SI = Δ K > Δ > 0, Δ >, =, välj K = 7 Kapaciteten: η = K C = 00 7 b) Krav: 90 % tillgänglighet på randen: = kanaler/cell P{Γ > γ } 0,9 e γ /γ 0 0,9 γ 0 γ ln 0,9 = 9,9 γ 0 db = γ db + 9,8 = + 9,8 =,8 db SI = Δ > 0,8/0 = 90,5 Δ > 5,8 K > Δ =, välj K = η = K C = 00 = 8 kanaler/cell Jämför detta med fallet i a) med 90 % yttillgänglighet: fädningsmarginalen var 7,8 =,8 db eller 0,8/0 ggr. Detta motsvarar x % tillgänglighet på randen där x ges av ln x = varav x 7 % 00

12 Ett cellbaserat mobiltelefonsystem med hexagonala celler och basstationerna i mitten har 00 kanaler. Signalnivån avtar som /r,5. Maximal kapacitet i systemet är 8, kanaler/cell. Ökningen av systemets störtålighet, d.v.s. minskningen i [SI] db -kravet för att kunna öka kapaciteten samt den nya kapaciteten. Ledning: Studera värsta fallet. Kapaciteten: η = K C = 00 = 8, kanaler/cell K = K Signalstörförhållandet: SI = Δ,5 = {K = Δ = K = } = 88,8 SI db = 9,5 db En ökning av kapaciteten medför en minskning av antalet kanalgrupper K välj närmast mindre K = 9. SI = Δ,5 = {K = 9 Δ = K 5,} = 5, SI db = 7,7 db minska kravet på [SI] db med 9,5 7,7, db. Den nya kapaciteten blir: η = C K = 00 9 [SI] db -förbättringen på 5 db i Problem 7. för att öka systemets kapacitet. a) Kapacitetsökningen mätt i kanaler/cell. b) Kapacitetsökningen mätt i medelantal samtal/cell vid % kanalbristfrekvens. a) Kapaciteten i Problem 7. före kodningen: η = C K = 00 = 7 =, kanaler/cell

13 Kapaciteten i Problem 7. efter kodningen: η = C K = 00 9 Den relativa kapacitetsökningen: b) Enligt (7.0) på sidan 5 är kanalbristfrekvensen där η = antalet kanaler/cell ω = antalet aktiva mobiler/areaenhet A c = arean/cell = η η = 7 0 % η 7 ν = (k η) ωa c k k! k = η e ωa c Enligt (7,) på sidan 5 är den relativa trafiklasten: ν 0, ϖ η = ωa c η mobiler/kanal 0, 0,05 0,0 η = ,0 0,005 0,00 ϖ η 0,00 0, 0, 0, 0,8,0, Fig 7. Kanalbristfrekvens, ν, som funktion av relativ trafiklast för kanalkapaciteterna η = 5, 7,, 0 respektive 80 kanaler/cell.

14 7. I Figur 7. avläser vi vid ν = 0,0 för η = att ϖ η = 0,7 ω A c = ϖ η η = 0,7 = 7,7 η = 7 att ϖ η = 0,57 ω A c = ϖ η η = 0,57 7 =,99 Den relativa kapacitetsvinsten är: Ett mobiltelefonsystem med hexagonala celler och basstationerna i mitten. Signal från egen basstation är utsatt för lognormal skuggfädning med standardavvikelsen db. Mottaget medel-si avtar som /r. Vid ett symmetriskt 9-cellsmönster uppnås en tillgänglighet av 95 % på cellranden. ω A c ωa c 7,7,99 = 85 % ωa c,99 a) Lägsta [SI] db i systemet. b) Kapacitetsökningen mätt i kanaler/cell om tillgänglighetskravet på randen sänks till 80 %. a) För uttryckens form, se även Problem 7.7: Med K = 9 fås: SI db = 0 lg Δ K = 0 lg 0,85 db Antag, att lägsta [SI] db i systemet är x db, då fås följande samband: x 0 lg Δ Q = Q x 0,85 < 0,95 varav x db. b) Tillgänglighetskravet sänkt till 80 % på randen: Antag, att medel-si i db är y, då fås följande samband: Q y < 0,80 y < 0,8 Δ = 0/0 och K = Δ K = 5 välj K = 7 Kapacitetsökningen: C C 7 9 = % C 7 9 varav y > db, men

15 7. Ett mobiltelefonsystem med fix kanaltilldelning och kapaciteten η = 0 kanaler/cell. Ankomstprocessen för nya samtal modelleras med en poissonprocess med intensiteten λ = 80 samtal/(h km ). Samtalens tidslängd är exponentialfördelad med väntevärdet /µ = minuter. a) Trafikintensiteten i Erlang/cell om cellradien = km (hexagonala celler). b) Spärrsannolikheten för den i a) beräknade trafikintensiteten. a) Ankomstprocess: Poisson med intensiteten λ = 80 samtal/(h km ) = samtal/(min km ) på tiden Δt och arean A är sannolikheten för n stycken ankomster: P(M = n) = λ Δt A n e. n! λ Δt A Vid poissonankomster och exponentialfördelad samtalslängd ges spärrsannolikheten av (7.) på sidan 5: E η (ρ c ) = och A c är cellarean. ρ c η η! η k = 0 ρ c k k! där enligt (7.) Cellarean A c vid hexagonala celler och = km: A c =, km ρ c = λ µ A c =, = 5, Erlang/cell ρ c = λ c µ = λ A c µ b) Bestäm E η (ρ c ) för den i a) beräknade trafikintensiteten. Den relativa trafikintensiteten per kanal och cell (Erlang/(cell kanal): ρ c η = 5, 0 0,78 5

16 Avläs i Figur 7.7 på sidan 5: 0, 0, 0, Spärrsannolikhet 0,05 0,0 0,0 0,005 η = ,00 0,00 0,0 0, 0, 0, 0,8,0, ρ c η 7. Figur 7.7 Spärrsannolikhet som funktion av relativ trafikintensitet per kanal och cell. E 0 (0,78) 5, % Ett 00 kanalers mobiltelefonsystem med hexagonala celler och basstationerna i mitten. Avståndet mellan två basstationer är km. Lägsta [SI] db = db. Fädningsmarginalen på cellranden är 8 db. Medelsignaleffekten avtar som /r. Systemets ytkapacitet i mobiler/km (eller samtal/km ) om kanalbristfrekvensen inte får överstiga %. SI = Δ > 0( + 8)/0 K = Δ Kapaciteten: η = C K = 00 9 = kanaler/cell 7, välj K = 9

17 ν 0, 0, 0,05 0,0 η = ,0 0,005 0,00 ϖ η 0,00 0, 0, 0, 0,8,0, 7. Figur 7. Kanalbristfrekvens ν som funktion av relativ trafiklast för η = 5, 7,, 0 respektive 80 kanaler/cell. Avläs i Figur 7. den relativa trafiklasten vid % kanalbristfrekvens och kapaciteten η = kanaler/cell: ϖ 0, mobiler /kanal Enligt (7.) på sidan 5 fås nu ytkapaciteten vid % kanalbristfrekvens: ω = ϖ ηη 0, = =,9 mobiler/km A c Systemet i Problem 7.. Kapaciteten i Erlang/cell om spärrsannolikheten är högst %. Systemet i Problem 7. har 00 kanaler och K =, d.v.s. kapaciteten: η = 00 = 8 kanaler/cell 7

18 I en Erlang-B tabell finner man med m = 8 vid spärrsannolikheten %, att ρ,, d.v.s. kapaciteten är, Erlang/cell, vilket man också kan få fram ur Figur 7.7 på sidan 5 genom grafisk interpolation mellan η = 7 och η =. Systemet i Problem 7.9. Ökningen av systemets störtålighet, d.v.s. minskningen i [SI] db -kravet för att kunna öka kapaciteten samt den nya kapaciteten. Kapaciteten skall anges i medelantalet samtal/cell vid % kanalbristfrekvens. Den ursprungliga kapaciteten var η = 8 kanaler/cell. Med spärrsannolikheten % fås ur Erlang-B tabell (m = 8) att ρ =, mobiler/cell (kan också erhållas genom grafisk interpolation mellan η = 7 och η = i Figur 7.7 på sidan 5). Den nya kapaciteten η = ger på motsvarande sätt efter avläsning i Erlang-B tabell attρ = 5, mobiler/cell (kan även utläsas ur Figur 7.7 på sidan 5). Kapacitetsändringen medför alltså en kapacitetshöjning från, till 5, mobiler/cell. Ett cellulärt 00 kanalers mobiltelefonsystem med basstationerna placerade i mitten. Signalstyrkan avtar som /r. Signalen från den egna basstationen är utsatt för lognormal skuggfädning med standardavvikelsen db medan övriga störare är fria från skuggfädning. Systemets maximala kapacitet uttryckt i kanaler/cell med kravet att sannolikheten att signalstörförhållandet [SI] db < db skall vara mindre än 0 % i ett hörn av en cell. Antag, att signalstörförhållandet är en stokastisk variabel Γ och att G är en lognormal stokastisk variabel med standardavvikelsen db. Tidstillgängligheten: P Γ > 0 /0 = P 0 lgγ > = P 0 lg G Δ > = 8

19 = P 0 lgg > 0 lg Δ = P 0 lgg 0 lg Δ 0 lg Δ Δ > 0( + 7,7)/0 K = Δ Kapaciteten. 0 lg Δ > <,8 > + 7,7 η = C K = 00 = 7 kanaler/cell = {σ G = } = = Q 0 lg Δ < 0,9 K,5 välj K = 9