Möbiustransformationer ur ett Euklidiskt perspektiv

Transkript

1 AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ Avdelningen för elektronik, matematik och naturvetenskap Möbiustransformationer ur ett Euklidiskt perspektiv Joakim Ericson 2018 Examensarbete, Grundnivå (kandidatexamen), 15 hp Matematik Lärarprogrammet Handledare: Johan Björklund Examinator: Rolf Källström

2

3 Sammanfattning I detta examensarbete kommer vi titta på möbiustransformationer samt klassisk Euklidisk geometri i planet. Vartefter vi kommer titta närmare på deras relation och se att mycket av det vi gör med möbiustransformationer kan vi göra med Euklidisk geometri. Slutligen kommer vi titta på Inversioner och några specifika inversionsproblem.

4

5 Innehåll Sammanfattning i 1 Inledning 1 2 Generellt om möbiustransformationer Komplexa tal Möbiustransformationer Geometriska transformationer som funktioner Förflyttning Rotation Skalning Linjärtransformation Inversion i enhetscirkeln Bevis för teorem Symmetri Euklidisk geometri Inledning Historisk bakgrund Euklidisk Geometri Passare och Linjal De grundläggande transformationerna gjorda med Euklidisk geometri Inversioner Två Fall Steiners porism Apolloniska cirklar

6 iv Innehåll 4.4 Ptolemaios Teorem A Bilaga 1 - Möbiustransformationerna i Euklidisk geometri 29 Referenser 33

7 1 Inledning I detta examensarbete kommer jag titta på Möbiustransformationer och hur de fungerar. Möbiustransformationer uppstod som lösningen på ett problem, nämligen att hitta en bijektiv analytisk funktion i komplexa talplanet som ritar ett domän på ett annat domän. En möbiustransformation är en meromorf funktion på C, och en holomorf avbildning från riemannsfären på sig själv. Möbiustransformationer genereras av tre enkla transformationer: förflyttning, rotation och skalning. Sammansättningen av dessa kallas linjär transformation. (obs. Komplexa tal och riemannsfären definieras nedan.) Varpå jag sedan kommer titta på Euklidisk geometri till, en början lite historiskt följt av mer generellt. Sedan en mer specifik inriktning nämligen konstruktionsproblem i talplanet med kollapsande passare och omarkerad linjal. Slutligen så jämförde jag dessa konstruktionsproblem med möbiustransformationerna ovan, för att se att vi kan återskapa önskad effekt av möbiustransformationerna med hjälp av euklidiska konstruktionsproblem. Slutligen tittar jag på inversioner, både inversionen i linjen och inversionen i cirkeln varpå jag besöker tre specifika inversionsproblem: Steiners Porism, Apolloniska Cirklar samt Ptolemys Teorem. Bijektiv - En funktion är bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. En funktion är injektiv om definitionsmängden korrelerar till högst ett värde i värdemängden. En funktion är surjektiv om definitionsmängden korrelerar till minst ett värde i värde mängden. Sammansättningen blir då definitionsmängden korrelerar till exakt ett värde i värdemängden. Analytisk - En komplex funktion f av en komplex variabel z är analytisk i punkten z 0 om dess komplexa derivata f f (z + h) f (z) (z) = lim existerar för alla z i x h en omgivning av z 0, där h är ett komplext tal. Meromorf - En funktion är meromorf om den är en kvot av två analytiska funktioner. Holomorf - Synonymt med analytisk.

8

9 2 Generellt om möbiustransformationer Detta kapitel har skrivits i samarbete med Victor Zetterström. 2.1 Komplexa tal Varför vill man gå från de reella talen till de komplexa talen? Komplexa tal kommer från att man vill lösa polynom, t.ex. x = 0 x 2 = ( 1) Denna polynomekvation saknar reella rötter då ett reellt tal i kvadrat aldrig kan bli negativt. Eftersom att de Reella talen inte räcker till för att lösa detta polynom så införde man: ±i i 2 = ( 1) Vi kallar detta talet i som är imaginärt. I sin tur använder vi talet i för att beskriva andra imaginära tal via att additativt förlänga talet i. De komplexa talen i sin tur kommer från sammanvävnaden av imaginära tal och reella tal. Till exempel skriver vi en koordinat (a, b) där vi har en reell del a och en imaginär del b som a + bi. Definition Vi definierar komplexa tal som koordinater på formen (a, b) då a, b R. Vi kallar basen (0, 1) för i och bestämmer att addition samt multiplikation respektive fungerar på följande sätt. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Med hjälp av dessa kriterier kan vi bilda en kropp som vi kallar för komplexa tal och på så sätt har vi formellt konstruerat det komplexa talplanet.[1] 2.2 Möbiustransformationer Definition Vi definierar en möbiustransformation som en meromorf funktion f : C C av formen: w = f (z) = az + b cz + d Då a, b, c, d, z C och ad = bc, (eftersom ad = bc medför att w konstant och om w är konstant kommer inget att förändras).

10 4 2 Generellt om möbiustransformationer Det är viktigt att notera att en sådan funktion f har en pol då nämnaren i funktionen är noll. Teorem [1] Låt f vara en godtycklig möbiustransformation, då gäller: (i) f kan uttryckas som sammansättningen av en ändlig sekvens av förflyttningar, rotationer, skalningar och inverser. (ii) f avbildar det utvidgade komplexa planet bijektivt på sig själv. (iii) f avbildar klassen cirklar och linjer på linjer och cirklar. (iv) f är konform i varje punkt förutom i sin pol. 2.3 Geometriska transformationer som funktioner Förflyttning Förflyttning är den enklaste avbildningen av alla. Den definieras av funktionen: w = f (z) = z + c där c är ett fixerat komplext tal. I avbildningen har varje punkt z flyttats till en punkt w genom att förflyttas med vektorn c. Detta innebär att varje objekt i komplexa talplanet kan avbildas till ett kongruent objekt i komplexa talplanet genom att förflytta objektet med en vektor c.[1] Rotation Rotation definieras av funktionen: w = f (z) = ze iφ

11 2.3 Geometriska transformationer som funktioner 5 Där φ är reellt, varje punkt roterar runt origo med vinkeln φ. Detta avbildar objekt i komplexa talplanet till kongruenta objekt i komplexa talplanet med rotation kring origo.[1] Skalning Skalning definieras av funktionen: w = f (z) = pz Där p är en positiv reell konstant som förstorar eller förminskar avståndet mellan varje punkt från origo med faktorn p. Distansen mellan vilka två punkter som helst är multiplicerad med samma konstant, eftersom: w 1 w 2 = f (z 1 ) f (z 2 ) = pz 1 pz 2 = p z 1 z 2 Skalningar omskalar avstånd och bevarar vinklar; objekt i komplexa talplanet avbildas på likformiga objekt i komplexa talplanet.[1]

12 6 2 Generellt om möbiustransformationer Linjärtransformation Linjärtransformation är vilken som helst avbildning av formen: w = f (z) = az + b Där a och b är komplexa konstanter och a = 0. Detta är en sammansättning av förflyttning, rotation och förstoring.[1] Inversion i enhetscirkeln Inversen kring enhetscirkeln definieras av funktionen: w = f (z) = 1 z Den avbildar insidan av enhetscirkeln på utsidan av enhetscirkeln och vise versa. Det är fel att hoppa till slutsatsen att den här funktionen alltid avbildar linjer till linjer och cirklar till cirklar. Men den gör det näst bästa: bilden av en linje är alltid antingen en linje eller en cirkel och likaså bilden av en cirkel. Så att så länge vi behandlar oändligheten som en punkt kan vi betrakta en linje som en generaliserad cirkel med oändlig radie och därmed säga att generaliserade cirklar avbildas på generaliserade cirklar. [1] Bevis för teorem Bevis för teorem Vi tittar på funktionen: f (z) = ad bc (cz + d) 2

13 2.3 Geometriska transformationer som funktioner 7 som är ett specialfall. Eftersom f (z) inte försvinner så är möbiustransformationen f (z) konform i varje punkt utom sin pol z = d då denna pol ger c ( f d ) ad bc ad bc ad bc = c ( c dc ) 2 = = + d (d d) 2 0 då c = 0. Om vi tittar på fallet då c = 0 får vi f (z) = az + b d = ( a d) z + ( ) b d Vad detta innebär kommer vi att titta närmre på nedan (iv). Bra att notera är att det är tydligt att möbiustransformationer inkluderar de tidigare formulerade grundläggande transformationerna som specialfall vilket också visas nedan. Men viktigare är att alla möbiustransformationer kan delas upp i en serie av dessa grundläggande transformationer. Om c = 0, har vi den linjära transformationen som behandlades tidigare. Då c = 0 kan uppdelningen ses genom att skriva: az + b cz + d = a c (cz + d) ad c + b cz + d = a c + b ad c cz + d vilket visar att möbiustransformationen kan uttryckas som en linjärtransformation (rotation + skalning + förflyttning) w 1 = cz + d följt av en invers w 2 = 1 w 1 och sedan en till linjärtransformation w = (b ad c )w 2 + a c. (i) (ii) Möbiustransformationer är bijektiva, eftersom att ger att inversen till f är f (z) = az + b cz + d f 1 (z) = dz + b cz + a Notera att inversen av en möbiustransformation är en möbiustransformation. Antag att f (z 1 ) = f (z 2 ) dvs: f : C\{ d c } C\{ a c } az 1 + b cz 1 + d = az 2 + b cz 2 + d Eftersom att nämnaren inte är 0 så är detta ekvivalent med (az 1 + b)(cz 2 + d) = (az 2 + b)(cz 1 + d)

14 8 2 Generellt om möbiustransformationer vilket kan ordnas om till (ad bc)(z 1 z 2 ) = 0 Eftersom ad bc = 0 implicerar detta att z 1 = z 2, vilket betyder att f är injektiv. På samma sätt är f 1 : C\{ a c } C\{ d c } injektiv. Alltså f, f 1 är injektiva, vilket implicerar att f är surjektiv. Detta ger att f är bijektiv. (iii) Detta förklaras i "Invers till enhetscirkeln". [1] 2.4 Symmetri En viktig aspekt av möbiustransformationer är deras symmetribevarande egenskap. Definition Två punkter z 1 och z 2 sägs vara symmetriska med avseende på en cirkel C om varje rät linje eller cirkel som går igenom z 1 och z 2 korsar C ortogonalt. [1] Teorem Låt C z vara en linje eller cirkel i z-planet och låt w = f (z) vara vilken möbiustransformation som helst. Då är två punkter z 1 och z 2 symmetriska med avseende på C z om och endast om deras avbildningar w 1 = f (z 1 ), w 2 = f (z 2 ) är symmetriska med avseende på avbildningen av C z under f. [1] Som nämnt i så avbildas linjer och cirklar på linjer och cirklar, inte nödvändigtvis linjer på linjer och cirklar på cirklar.

15 3 Euklidisk geometri 3.1 Inledning I detta kapitel kommer vi börja med att titta på Euklidisk geometri med ett litet historiskt perspektiv varpå vi sedan kommer att gå in på vanliga problem i den Euklidiska geometrin, med andra ord Passare och Linjal problem. Vi kommer även att titta på saker som, konstruerbara tal, Stiners porism och Apoloniska cirklar. Vi ska även se hur vi kan skapa möbiustransformationerna med hjälp av den Euklidiska geometrin. 3.2 Historisk bakgrund Redan i Egypten, Eufrat och Tigris 2000 f.kr. fanns det ett avancerat geometriskt kunnande. Men det är inte förrän i antika Grekland som geometrin utvecklades till deduktiv vetenskap. Thales (känd för att bortse från mytologiska förklaringar på världen och istället förklara naturliga objekt och fenomen med teorier och hypoteser) och Pythagoras (känd för att ha upptäckt Pythagoras sats, Pythagoras sats användes av Babylonierna och indierna århundraden innan Pythagoras, men det är möjligt att han var den första som visade den för grekerna) var viktiga personer i detta. Platon grundade världens första universitet Akademia. Några av den tidens största filosofer och matematiker som Eudoxus (känd för att han utvecklade rigoröst Antiphons uteslutningsmetod, en föregångare till integralkalkylen) och Aristoteles (känd för en mängd olika saker men inga nämnda stordåd i matematiken) som verkade i Akademia. Aristoteles var bl.a. lärare till Alexander den store som skapade Hellenistiska riket. Han grundade även Alexandria, ett forskningscentrum. Det var där Euklides verkade, han Samlade in tidens matematiska kunskap i Elementa som består av tretton böcker. Euklides elementa är den näst mest spridda skriften i västvärlden. Euklides elementa har i historiens gång haft stora påverkningar, och den var vägledande vid utformandet av kursplaner i geometri i skolan ända in på 1950talet. Om själva Euklides vet man inte mycket, men han verkade som nämnt i Alexandria under Ptolemaios den förstas regeringstid. Det sägs att eftersom Euklides var en känd matematiker så fick han i uppdrag av kungen att undervisa honom i geometri, men det skulle gå fort då kungen inte hade mycket tid. På vilket det sägs att Euklides svarade: Det finns ingen kungsväg till geometrin". En annan sägelse är att Euklides fick en summa pengar av kungen för att muta en kunglig yngling som var lat, så Euklides sa till ynglingen För varje sats du lär dig kommer du få ett mynt". Efter en tid hade Euklides slut på mynt och meddelade då ynglingen att det var slut med undervisningen, men ynglingen vars intresse hade blivit väckt lovade nu i sin tur ett mynt för varje sats Euklides lärde honom, när undervisningen var färdig hade Euklides fått tillbaka mynten han hade gett bort som muta.[2]

16 10 3 Euklidisk geometri 3.3 Euklidisk Geometri Euklidisk geometri börjar med plangeometri och fortsätter till rymdgeometri av tre dimensioner. Vi kommer titta på plangeometri då det är den som har närmast koppling till möbiustransformationer då möbiustransformationer håller till i det komplexa talplanet. Euklides plangeometri bygger på axiom som består av fem grundsatser och fem postulat: Grundsats 1. De, som är lika med ett och samma, är också lika med varandra. Grundsats 2. Om lika adderas till lika, är de hela lika. Grundsats 3. Om lika subtraheras från lika, är resterna lika. Grundsats 4. De, som täcker varandra, är lika med varandra. Grundsats 5. Det hela är större än delen. Postulat 1. Det fordras att man kan dra en rät linje från en punkt till en annan. Postulat 2. Att varje begränsad rät linje kan förlängas obegränsat. Postulat 3. Att man kring varje medelpunkt kan man rita en cirkel med given radie. Postulat 4. Att alla räta vinklar är lika. Postulat 5. När en rät linje träffar två andra räta linjer, och de båda inre vinklarna på samma sida om den skärande räta linjen är mindre än två räta, så skall de båda räta linjerna, om de förlängs obegränsat, råkas på den sida om den skärande räta linjen som de båda vinklarna ligger som är mindre än två räta.[2] Grundsatserna är generella regler om storheter medans postulaten är geometriska egenskaper som det är lätt att hålla med om utan ett utförligt bevis och som i sig själva är unika och särskilda från varandra. Det femte postulatet är lite svårare än de andra att bara köpa men även den stämmer. Idén att starta med axiom var troligen att Euklides ville skapa en grund som ansågs som självklar för att kunna referera tillbaka till den självklara grunden vid framtida bevis för om man utför ett bevis med endast tillämpningar av självklarheter så kan inte beviset bestridas vetenskapligt. Vi kommer främst använda postulaten. Via dessa postulat och grundsatser kan vi bevisa olika satser men det kommer vi göra när vi behöver dem för det blir många om vi ska lista alla här.

17 3.4 Passare och Linjal Passare och Linjal Redan i antika Grekland användes verktygen passare och linjal för att konstruera tal och geometriska objekt. Via att starta med några få givna punkter så kan vi via dessa verktyg konstruera andra punkter, t.ex. så kan vi med två givna punkter konstruera linjen mellan dem och med en till sådan linje kan vi få deras skärningspunkt så vida de inte är parallella. Huvudsakligen så vill vi konstruera punkter med hjälp av cirklar och linjer som våra verktyg till att göra det.om vi börjar med punkterna 0 och 1 så kan vi enligt tidigare mening konstruera nya punkter alltså nya tal. Vi kan se på konstruerbara tal som den minsta mängden K av komplexa tal så att 0 och 1 ligger i K samt att K uppfyller nedanstående definition: Definition De konstruerbara talen är den minsta delmängden K C så att följande egenskaper gäller: 1 K och 0 K Låt a, b, a, b vara fyra olika punkter som alla ligger i K. Låt L vara linjen genom a och b och låt L vara linjer genom a och b. Om L och L inte är parallella så ligger deras skärning, L L i K. Låt c, d, c, d vara minst två olika punkter som alla ligger i K så att c = d och c = d. Låt L vara linjen genom c och d och låt C vara cirkeln genom c med centrum i d. Om L och C skär varandra så ligger deras skärning/skärningar, L C i K Låt e, f, e, f Vara minst två olika punkter som alla ligger i K så att e = f och e = f samt att f = f. Låt C vara cirkeln som går genom e med centrum i f och låt C vara cirkeln som går genom e med centrum i f. Om C och C skär varandra så ligger deras skärning/skärningar, C C i K Med passare och linjal kan vi konstruera många saker (alltså utifrån givna start krav kan vi med endast en passare för att rita cirklar och en icke markerad linjal för att dra linjer skapa andra objekt), däribland är de exempel som vi visar nedan, samt kommer vi titta på hur vi kan konstruera komplexa tal (Så kallat konstruerbara tal) med passare och linjal. Med passare menas en kollapsande passare så vi kan inte hålla kvar en sträcka med hjälp av passaren men vi kan använda en flerstegs process för att flytta sträckan även med en kollapsande passare. Med linjal menar man en icke markerad linjal så vi kan inte mäta något med linjalen utan den är bara stöd för att dra linjer efter.

18 12 3 Euklidisk geometri Vi ska nu se på några konstruktioner vi kan göra med passare och linjal, detta är intressant eftersom att konstruerbara tal följer samma regler så kan vi konstruera något med passare och linjal och vi från start har bara konstruerbara tal så kommer våran konstruktion också att vara konstruerbara tal.

19 3.4 Passare och Linjal 13 Bisektris (en linje som delar en vinkel i två lika stora delar) Givet: Två strålar utgående från samma punkt A. Första steget är att rita en cirkel med centrum i Strålarnas utgångspunkt med en godtycklig radie och ta skärningspunkterna mellan denna cirkel och strålarna. Nästa steg blir att rita två nya cirklar med centrum i var och en av de två skärningspunkterna och radien är avståndet till den skärningspunkt som inte är cirkelns centrum och sedan ta en av de nya cirklarnas skärningspunkter. Slutligen tar vi den nyaste punkten och drar en linje genom strålarnas gemensamma punkt så har vi fått en bisektris som skär vinkeln mellan strålarna mitt itu.

20 14 3 Euklidisk geometri Medelpunkt på en sträcka. Givet: En sträcka AB. Vi börjar med att rita två cirklar en med centrum i den ena änden av sträckan och den andra med centrum i den andra änden, deras radie väljer vi att vara sträckan själv. Vi tar nu cirklarnas skärningspunkter och drar en linje genom dem. vi får sedan en ny skärningspunkt mellan sträckan och våran linje, denna skärningspunkt är våran medelpunkt på sträckan.

21 3.4 Passare och Linjal 15 Normal. Givet: En linje L och en punkt på linjen C. Vi börjar med att rita en cirkel med centrum i vår givna punkt med en godtycklig radie. Vi tar skärningspunkterna mellan cirkeln och våran givna linje. Från dessa skärningspunkter ritar vi två nya cirklar, med centrum i vardera skärningspunkt och radien blir distansen mellan punkterna. Vi tar nu deras skärningspunkter och drar en linje mellan dem så har vi fått en linje som är vinkelrät mot vår ursprungliga linje som går genom vår givna punkt.

22 16 3 Euklidisk geometri En punkts spegling i en linje. Givet: En linje L och en punkt C som inte ligger på linjen. Vi sätter ut två godtyckliga punkter på linjen och ritar två cirklar med centrum i vardera av dessa punkter vars radie är deras distans från vår givna punkt. Dessa cirklar skär nu varandra i vår givna punkt och i en punkt som är precis samma distans från vår givna linje som vår givna punkt är, ergo våran speglade punkt.

23 3.4 Passare och Linjal 17 Parallell linje. Givet: En linje L och en punkt C som inte ligger på linjen. Vi börjar med att sätta ut två godtyckliga punkter på vår givna linje och ritar 2 cirklar med centrum i våra två punkter vars radie är deras avstånd till vår givna punkt, via cirklarnas skärningspunkter kan vi få en vinkelrät linje, vi gör nu samma sak på den nya linjen för att få en vinkelrät linje till den vinkelräta linjen som då blir en parallell linje till vår ursprungslinje.

24 18 3 Euklidisk geometri Egenskaper hos konstruerbara tal Proposition Alla heltal är konstruerbara tal. Bevis. Vi fick 1 från start och vi har sett hur man kan skapa ( 1). Efter att ha skapat n och -n kan vi rita cirklarna C(n; 1) och C( n; 1) för att konstruera n+1 som en punkt av skärningen mellan linjen som går genom 0 och 1 (x-axeln) och cirkeln C(n; 1), samt så kan vi skapa (n + 1) som skärningen mellan samma linje och cirkeln C( n; 1). Alltså kan alla heltal konstrueras. I denna text kommer vi inte bevisa följande men jag kommer att lista ytterligare fem propositioner av tal som kan konstrueras: Alla Gaussiska heltal kan konstrueras Efter att ett komplext tal α har konstruerats så kan α, iα, och ᾱ också konstrueras Efter att α och β har blivit konstruerade så kan α + β konstrueras Varje element av området Q(i) kan konstrueras Om vi kan konstruera α, β, så kan 1 α : (α = 0) och α β konstrueras. Nu vidare till de tal vi inte kan konstruera: Teorem [3] Konstruerbara tal teoremet: Alla tal α som vi kan konstruera har följande egenskaper: 1. α är ett algebraiskt tal. Komplexa talet α är algebraiskt om det är en lösning till en polynomekvation vars koefficienter är heltal. 2. Graden av det karakteristiska polynomet av α är en potens av två. Vi kommer inte bevisa detta teorem i denna text. Följdsats: Vi kan inte konstruera 3 2 eftersom att dess minimalpolynom är x 3 2 alltså är den av grad 3 vilket inte är en potens av grad 2. Det följer också att det inte går att tredela en godtyckligt given vinkel med enbart passare och linjal. Vi utelämnar beviset men ytligt beskrivet så innebär tredelning av en vinkel v att vi löser ekvationen z 3 = e iv. För rätt värde på v är det polynomet minimalt och vi kan använda samma resonemang som för kubikroten ur 2.[3]

25 3.5 De grundläggande transformationerna gjorda med Euklidisk geometri De grundläggande transformationerna gjorda med Euklidisk geometri I kapitel två gick vi igenom Förflyttning, Rotation, Skalning och Linjärtransformation, i denna del ska vi titta på hur vi kan göra dessa transformationer i Euklidisk geometri det vill säga med passare och linjal. När vi jobbar med möbiustransformationer så jobbar vi ju med storheter och det komplexatalplanet som har ett tydligt centrum i origo, men Euklidisk geometri är ju oberoende av storheter och av vart talplanets centrum är och just därför kan vi sätta detta centrum vart som helst vilket innebär att vi börjar med att lägga origo där origo behöver vara för att få en identisk transformation se bilder i bilaga 1. För att återskapa Förflyttningstransformationen behövde vi bara använda postulat. Vi hade kvadraten från start. Vi började göra cirklar med bestämd radie (postulat 3). Vi förlängde linjerna mellan kvadratens hörn (postulat 2). Vi skapade nya linjer mellan punkterna som uppstod av skärningen mellan cirklarna och linjerna (postulat 1). Vi upprepade samma sak igen i en annan riktning. För att återskapa Rotationstransformationen behövde vi bara använda postulat. Vi hade kvadraten från start. Vi började göra cirklar med centrum i origo och radien var avståndet mellan origo och kvadratens hörn (postulat 3). Vi ritade en ny linje genom A och E (postulat 1). Vi gjorde 2 cirklar, en med centrum i A och en med centrum i F båda med radie AF (postulat 3). Vi skapade då en ny linje med hjälp av skärningspunkterna i dessa nya cirklar (postulat 1). Vi skapade 2 nya cirklar en med centrum i A och en med centrum i I båda med radie IA (postulat 3). Vi skapade en linje med hjälp av dessa cirklars skärningspunkter (postulat 1). Denna nya linje gav oss de nya punkterna för A och C, vi upprepade sedan denna process för att få de nya punkterna till B och D. För att återskapa Skalningstransformationen behövde vi bara använda postulat. Vi hade kvadraten från start. Vi började med att göra cirklar vars centrum var varje hörn punkt och radie var distansen till origo (postulat 3). Vi skapade linjer genom origo och hörnen (postulat 1). Vi ritade den nya kvadraten med de nya hörnen (postulat 1). Linjärtransformation blir på samma sätt i Euklidisk geometri som i möbiustransformationer, alltså att man kombinerar de olika stegen. Men det spelar viss roll i vilken ordning vi utför varje steg. vi kan exempelvis inte börja med förflyttning i detta fall för då blir det en annan transformation. Däremot i detta fall spelar det ingen roll om vi börjar med skalning eller rotation det viktiga är att vi börjar med någon av dem och tar den andra efter för att sedan avsluta med förflyttning. Dessa transformationer kan utfärdas på flera olika figurer samtidigt och av olika slag, i en polygon behöver vi alltid bara hitta hörnen så kan vi skapa den nya figuren i en cirkel behöver vi hitta den nya mittpunkten och en punkt på randen så får vi den nya cirkeln. För bilder se bilaga 1.

26 20 3 Euklidisk geometri Som vi kom fram till i föregående sektion så kan vi inte konstruera alla tal, vilket betyder att vi på detta sätt inte kan transformera icke konstruerbara transformationer. Dock givet de icke konstruerbara sträckorna så kan vi skapa de transformationerna också.

27 4.1 Två Fall 21 4 Inversioner I detta avsnitt kommer vi titta på den sista och kanske mest intressanta typen av transformation, nämligen inversion. Först så ska vi titta på de två varianterna av inversion, sedan kommer vi titta på tre inversionsproblem: Steiners porism, Apolloniska cirklar och Ptolemaios teorem. Det finns många många fler inversionsproblem: Miquel s teorem, Peaucellier s linkage och The Arbelos of Pappus för att nämna några få. Jag valde de tre som redovisas för att de tilltalade mig mest. 4.1 Två Fall När vi säger inversion så menar vi endera av två fall: Fall 1 är reflektionen över en linje (som kan ses som en godtycklig cirkel med oändlig radie), alltså det som finns på ena sidan linjen reflekteras över till den andra sidan. Fall 2 är inverteringen av en cirkel. Eftersom vi pratar om det komplexatalplanet så innebär det att z 1 transformeras till z 1 och vise versa medans z = 1 blir kvar på z = 1. Det vill säga att det som är utanför cirkeln hamnar innanför och allt som är innanför hamnar utanför. Fall 1: Vid reflektering över linje l avbildar en punkt A på en punkt A som är på samma avstånd från l på motsatt sida av l. Låt m vara en linje som är parallell med AA och korsar l vid någon punkt P. Vid reflektering i l så reflekteras PAA i PA A så de måste vara lika. Eftersom m och AA är parallella så är PA A lika med vinkeln mellan PA och m.[4] Fall 2: Vi kan föreställa oss linjen l i Fall 1 som en oändligt stor cirkel med m liggandes längs med radien genom P. Om vi byter ut l mot en cirkel C av ändlig radie och vi byter ut m mot en radielinje som möter C vid någon punkt P. Motsvarande reflektion kan vi definiera bilden av A som punkten A på linjesegmentet OA för vilken OPA är lika med PAO. För att detta ska vara sant måste A s position vara oberoende av P. Observera att POA och AOP är liknande då de delar en vinkel vid O och OPA = OAP. Följaktligen OA OP = OP OA så OA OA = OP 2. Men OP är lika med radien r så OA OA = r 2. Eftersom

28 22 4 Inversioner det bara finns ett A på segmentlinjen OA som uppfyller ekvation 1 och eftersom ekvationen inte beror på P så följer det att A s position inte beror på P.[4] Dessa två fall berör bara hur inverser fungerar i euklidisk geometri. Så hur kan vi invertera på samma sätt med möbiustransformatationer, vi börjar med Fall 1: vid en möbiustransformation behöver vi bestämma vart tre punkter ska hamna för att det ska bli en unik transformation. Vi skickar därmed följt av en punkt på linjen skall skickas till samma punkt på linjen och sedan ett tal A som inte ligger på linjen skall skickas på ett tal A som ligger på samma avstånd från linjen fast på andra sidan. Fall 2 har vi redan börjat förklara i del 2.8, där visar vi hur vi inverterar enhetscirkeln, men vi vill kunna invertera vilken cirkel som helst. Det kan vi lösa via att använda förflyttningsmetoden samt skalningsmetoden och flytta cirkeln till enhetscirkeln och invertera där. Vill vi inte ha den i enhetscirkelposition kan vi sedan flytta tillbaka den efter att vi inverterat. Egentligen per definition skulle denna variant kunna behandla linjer då vi ser linjer som generaliserade cirklar vilket innebär att vi kan via möbiustransformationer skicka linjen till enhetscirkeln och invertera den där.

29 4.2 Steiners porism Steiners porism En porism är ett matematiskt konstruktionsproblem som antingen inte kan slutföras eller har oändligt många lösningar. Teorem [4] Låt C 1 och C 2 vara disjunkta cirklar, med C 1 innanför C 2. Då är det ANTINGEN omöjligt att passa in en kedja av cirklar mellan C 1 och C 2, där alla cirklar tangerar både C 1 och C 2 och 2 andra cirklar i kedjan. ELLER så är det möjligt att konstruera en sådan kedja, och då kan den första cirkeln placeras på en lämplig godtycklig position. Vi kommer behöva följande Teorem för beviset av Teorem 4.2.1: Teorem [4] Koncentricitetsteoremet: Låt C 1 och C 2 vara vilka två disjunkta cirklar som helst i planet. Då finns det en Möbiustransformation som avbildar C 1 och C 2 på ett par av koncentriska cirklar. Bevis. Om cirklarna är koncentriska då finns det inget att bevisa, så vi kan anta att de inte är koncentriska. Steg 1 välj en punkt O på C 1, och invertera båda cirklarna i cirkeln med identitetsradie centrerad i O. Under denna invertering avbildas C 1 på en linje, C 1, och C 2 avbildas på en cirkel, C 2. Steg 2 Välj en punkt T på C 2 som inte ligger vinkelrätt från centrum av C 2 till linjen C 1, och rita en tangent till C 2 vid T så att den skär C 1i punkten U. Rita C 3 med centrum i U och radie UT. Denna cirkel är vinkelrät mot C 2 vid T, eftersom en tangent till en cirkel är vinkelrät till radien i skärningspunkten. C 3 är vinkelrät mot linjen C 1 eftersom att dennes centrum ligger på linjen.

30 24 4 Inversioner Steg 3 Upprepa konstruktionen i Steg 2 fast vi börjar med en annan position för punkten T, för att få cirkeln C 4 vinkelrät mot både C 1 och C 2 vid punkten T. Låt C 3 och C 4 mötas vid Q och R. Steg 4 Invertera figuren igen denna gång i cirkeln med enhetsradie centrerad i Q. Då kommer linjen C 1 avbildas på cirkeln C 1, och cirkeln C 2 kommer avbildas på cirkeln C 2 ; cirklarna C 3 och C 4 går genom Q, så de inverterar till raka linjer vid räta vinklar till C 1 och C 2. Dessa linjer är därmed diametrar av C 1 och C 2, och därför måste punkten där de möts (R som är avbildningen av R) vara centrum till båda C 1 och C 2. Steg 5 Via att sammansätta inverteringen i Steg 1 med inverteringen i Steg 4 får vi en inverteringstransformation som avbildar C 1 och C 2 på ett par av koncentriska cirklar C 1 och C 2.[4] Bevis. av Teorem Det finns två möjligheter. Det är ANTINGEN omöjligt att passa in kedjan mellan C 1 och C 2 med de beskrivna egenskaperna, vilket betyder att porismen är fastställd. ELLER så är det möjligt att minst en kedja F får plats mellan C 1 och C 2. För att fastställa porismen i detta fall måste vi visa att en kedja existerar för alla val av första cirkel C. Via finns det en inverstransformation t som avbildar C 1 och C 2 på koncentriska cirklar C 1 och C 2. Under t kommer kedjan F avbildas på en kedja av cirklar F mellan C 1 och C 2, och C avbildas på cirkeln C som tangerar C 1 och C 2. Eftersom C 1 och C 2 har ett gemensamt centrum O, så kan vi rotera kedjan F runt O tills dess första cirkel är ovanpå C. Om vi betecknar den roterade kedjan med G, då kommer inverstransformationen t 1 avbilda G tillbaka på en kedja G mellan C 1 och C 2. Dessutom så är C första cirkeln av G som var etablerat.[4]

31 4.3 Apolloniska cirklar Apolloniska cirklar Teorem [4] Låt A och B vara två unika punkter i planet, och låt k vara ett positivt reellt tal skilt från 1. Då är området av punkter P som uppfyller PA : PB = k : 1 en cirkel vars centrum ligger på linjen genom A och B. Vi kommer titta på ett bevis till detta som baserar sig i Euklidisk geometri, men det kan även bevisas med inversgeometri dvs. den metod som vi visade i del 4.2. Bevis. För att hålla algebran enkel använder vi x och y axlar så att A och B har koordinater ( a, 0) och (a, 0) där a > 0. Vi sätter ett värde på k > 0; k = 1, och låt C vara området av punkter Q som uppfyller QA : QB = k : 1. Då hör en punkt P(x, y) till C om och endast om PA = k PB. Eftersom k > 0, så är det ekvivalent med PA 2 = k 2 PB 2. Med hjälp av Euklidiska formeln för avstånd mellan punkter,som lyder: avståndet mellan två punkter p och q är längden av linjesegmentet mellan dem, d(p, q) = d(q, p) = (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) (q n p n ) 2, ser vi att våran senaste ekvation håller om och endast om (x + a) 2 + y 2 = k 2 ((x a) 2 + y 2 ). Vi multiplicerar parenteserna och samlar ihop termerna i x 2, y 2 och x så får vi x 2 (1 k 2 ) + y 2 (1 k 2 ) + 2ax(1 + k 2 ) + a 2 (1 k 2 ) = 0. Eftersom att k = 1 stämmer detta om och endast om x 2 + y 2 + 2a( 1+k2 )x + a 2 = 0. Det följer att 1 k 2 området C är en cirkel med centrum c och radie r där och [4] r = c = ( a( 1 + k2 ), 0) 1 k2 a 2 ( 1 + k2 1 k 2 )2 a 2 = 2ak 1 k 2. OM k = 1 skulle området av punkter som uppfyller PA = k PB vara linjen l som skär AB i räta vinklar. Om vi antar att det området innehåller punkten då kan vi se området som en utvidgad linje l. Med detta där alla positiva värden av k ger oss en generaliserad cirkel som kallas Apollonisk cirkel. Apolloniska familjen av cirklar definieras av punkt A och B. Som k ökar genom intervallet ]0, [, kommer de korresponderande cirklarna gå genom den Apolloniska familjen.

32 26 4 Inversioner Något man kan fråga sig nu är på vilket sätt hänger det här ihop med möbiustransformationer? Jo, vi har ju förhållandet PA = k vi kan uttrycka PA och PB PB som z a och z b då gäller det att z a = k, vi låter nu f (z) = (z a) z b (z b) vilket medför att vi nu har z så att f (z) = k. Om vi låter f (z) = w så har vi att w = k. Detta är uppenbarligen en cirkel i termer av w, vi hittar därmed tillbaka till z via att använda z = f 1 (w) eftersom att varje möbiustransformation har en invers. Alltså är detta bilden av en cirkel under möbiustransformation, d.v.s. en cirkel eller linje. 4.4 Ptolemaios Teorem Ptolemaios använde sitt teorem som hjälpmedel till att skapa sin tabell av ackord, en trigonometrisk tabell som han applicerade till astronomi. Ptolemaios teorem säger följande: Teorem För vilken som helst godtycklig cyklisk fyrhörning ABCD gäller följande: AC BD = AD BC + AB CD. Fyrhörningen ABCD är cyklisk när A, B, C och D alla ligger på samma cirkel. Bevis. Låt k vara en cirkel centrerad i A och invertera alla fyra hörnen på fyrhörningen ABCD och cirkeln de ligger på med avseende på k. Eftersom att cirkeln som går igenom hörnen till fyrhörningen går igenom A vilket är centrum av invertionscirkeln, så kommer den cirkeln inverteras till en rak linje. Punkten A kommer inverteras till medans B, C och D inverteras till B, C och D, som alla ligger på linjen. [5]

33 4.4 Ptolemaios Teorem 27 Enligt definitionen av inversion så har vi att: där r är radien av cirkeln k. AD AD = AC AC = AB AB = r 2, Vi vill nu visa att ABC = AC B. Från ekvationen ovan har vi att AB AB och eftersom A är lika med sig själv så har vi via sida vinkel sida likhet att ABC = AC B. Via samma argument med andra bokstäver kan vi visa att ADC = AC D.[5] Via egenskaper av kongruens vet vi att: AC = AC B C BC = AB AC. Då följer att: B C = BC AB, AC och eftersom att AB AB = r 2 så har vi att: B C = BC r2 AC AB. (4.1)

34 28 4 Inversioner Samma argument visar att: Och B D = C D = Eftersom B, C och D ligger på en linje, så vet vi att BD r2 AD AB. (4.2) CD r2 AC AD. (4.3) B D = B C + C D. (4.4) Via att ersätta termerna i ekvation 4.4 med ekvationerna 4.1,4.2 och 4.3 får vi: BD r 2 AD AB = BC r2 AC AB + CD r2 AC AD, slutligen så multiplicerar vi allting med AB AC AD r 2 så får vi: Vilket skulle visas.[5] AC BD = AD BC + AB CD. En intressant notering är att om fyrhörningen i cirkeln skulle vara en rektangel så skulle vi via Ptolemaios teorem kunna bevisa Pythagoras sats.

35 A Bilaga 1 - Möbiustransformationerna i Euklidisk geometri Följande bilder behöver inte starta med en kvadrat men vi använder kvadraten som exempel. Förflyttning

36 30 A Bilaga 1 - Möbiustransformationerna i Euklidisk geometri Rotation

37 Skalning 31

38 32 A Bilaga 1 - Möbiustransformationerna i Euklidisk geometri Linjärtransformation

39 Referenser [1] Edward B. Saff och Arthur D. Snider. Fundamentals of complex analysis : with applications to engineering and science. Prentice Hall, ISBN: [2] Jan Thompson. Matematiken i historien. Studentliteratur AB, Lund, ISBN: [3] Edwin E. Moise. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison Wesley, ISBN: [4] David A. Brannan Et al. Geometry. Cambridge University Press, ISBN: [5] Tom Davis. Inversion in a Circle. URL: courses/4030/constructible.pdf/mathcircles/inversion.pdf.