!"# $ $ $ % & ' $ $ ( ) *( + $', - &! # %. ( % / & ) 0

Transkript

1 !"#$ $ $ % & '$$( )*(+$',- &! # %.( %/& )0

2 = + = ϕ θ +

3 #" $! = $ $ (! ) = % "! "!! = R( )! =!

4 + ) ( &&) ( &&* ) [ ] ( ) $ ( ) Π + ( &-&) ","& Π 2 ( ) (& ' = '." % % Π % % / = = % % % = 01(&*&* =

5 7" "6"" 5 5& " 4 = ( + ) + 3" = ( + ) +

6 : :.!! R (! ) σ + [ ] σ " ( &&) ( &*&) [ 9 ] 2( ##8 /& η + ( + ) ( &*&-) "& ""

7 = + = = ( ) 4 θ1!$# ' 2" 3 2' $ $78$ $!74#1!78#15 ' + " +!4 &$7415#

8 !"#$% 2 9+2" :2' 2 ; <<&<<(

9 !"#$% 2 9+2" :2' 2 ; <<&<<(

10 Algoritmer ˆx = arg min x y Hx 2 Nerdatering Tar bort effekter av gamla data, jmf glidande fönster, se Eq. (2.7.6). ˆx 1:n = ˆx 0:n + k p,1:n (y(0) h 0ˆx 0:n ) REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

11 Algoritmer ˆx = arg min x y Hx 2 Nerdatering Tar bort effekter av gamla data, jmf glidande fönster, se Eq. (2.7.6). ˆx 1:n = ˆx 0:n + k p,1:n (y(0) h 0ˆx 0:n ) QR-faktorisering Löser ˆRˆx = ˆQ y, H = ˆQ ˆR, ˆR högertriangulär och ˆQ ortonormal, se Sec REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

12 Algoritmer ˆx = arg min x y Hx 2 Rekursiv LS Givet l.m.s.e. ˆx i 1 för de i 1 första mätningarn fås l.m.s.e se Lemma ˆx i = ˆx i 1 + k p,i (y i h iˆx i 1 ), REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

13 Algoritmer ˆx = arg min x y Hx 2 Rekursiv LS Givet l.m.s.e. ˆx i 1 för de i 1 första mätningarn fås l.m.s.e se Lemma ˆx i = ˆx i 1 + k p,i (y i h iˆx i 1 ), QR för RLS Givet gamla skattningar och nya mätningar fås nya skattningar av x och P via QR-faktorisering, se Eq. (2.6.16) samt Prob P /2 i 1 h i ˆx i 1 P /2 i 1 y (i) 0 1 Θ = P /2 i 0 ˆx i P /2 i h i P 1/2 i e a(i)re /2 (i) r /2 e (i), Θ Θ = ΘΘ = I REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

14 Stokastiska variabler Två stokastiska variabler x och y med förenad fördelning f x,y (, ). Givet att y antar värdet y, vad kan sägas om x? ˆx = E[x y] är bästa skattningen, s. 79. REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

15 Stokastiska variabler Två stokastiska variabler x och y med förenad fördelning f x,y (, ). Givet att y antar värdet y, vad kan sägas om x? ˆx = E[x y] är bästa skattningen, s. 79. Från Sats fås, ˆx = K o y minimerar P (K) = E[(x Ky)(x Ky) ] E[(x ˆx)(x ˆx) ] K o = R xy R 1 y, P (K o ) = R x REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

16 Stokastiska variabler Två stokastiska variabler x och y med förenad fördelning f x,y (, ). Givet att y antar värdet y, vad kan sägas om x? ˆx = E[x y] är bästa skattningen, s. 79. Från Sats fås, ˆx = K o y minimerar P (K) = E[(x Ky)(x Ky) ] E[(x ˆx)(x ˆx) ] K o = R xy R 1 y, P (K o ) = R x Linjärt beroende: y = Hx + v där x ska skattas, se Sec Jfr ˆx vv = (H H) 1 H y med ˆx ol = (R 1 x + H R 1 v H) 1 H Rv 1 y Väntervärdesriktig mot förhandsinformation REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

17 Komplexa stokastiska variabler Antag x och y komplexa, om Eyy T = Exy T = 0 ingen fara på taket. REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

18 Komplexa stokastiska variabler Antag x och y komplexa, om ingen fara på taket. Annars x n = Eyy T = Exy T = 0 ( xr xi ), y n = ( yr yi ), ˆx n = N o y n N o ( ) Ko,R K o,i K o,i K o,r Beror på kovarianserna. Cirkulära variabler har R yr = R yi etc. och därför kan alla andramoment (Eq. (3.2.15)) bestämmas REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

19 Jmf stokastiska och deterministiska ramverk Deterministisk Stokastisk (Π H W H)ˆx = H W y K o R y = R xy J(x) = xπ 1 0 x + y Hx 2 W P (K) = x Ky 2 ˆx = K o y ˆx = K o y K o = (Π H W H) 1 H W K o = (Rx 1 + H Rv 1 H) 1 H Rv 1 REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

20 Geometri Deterministisk min K ỹ, ỹ ỹ = y H ˆx = y HKy Stokastisk min K x, x x = x ˆx = x Ky ỹ, Ha = 0, a x, y = 0 y, Ha = H ˆx, Ha, a K o y, y = x, y { v u, v = u v u, v = Euv W u REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

21 I Matlab LS t.ex. LS-TLS xhat=h\y; Ko=Rxy/Ry; [c,n] = clsq(a,m); ( ) 1 x y c = 0 }{{} n A n 2 = 1 dim(n) = m Optimization Toolbox Robust LS help optim x=lsqlin(c,d,a,b,aeq,beq); min x 0.5 Cx d 2 Ax b A eq x = B eq x=lsqnonneg(c,d); x > 0 x=lsqcov(a,b,v); Ax = B + e, e N(0, V ) x=lsqnonlin(fun,x0); min x fun(x)2 Kan implementeras mha YALMIP, se även Stinas exempel. REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

22 Övningar, Pass 1 1. Jämför algoritmer På datasetet uppg11, antag ett affint beroende mellan x och y och skatta bias och lutning. Jämför prestanda mellan rekursiv uppdatering (RLS, Lemma 2.6.1, s. 57) och rekursiv nerdatering (downdating, Lemma 2.7.1, s. 61). Sanna parametrarna finns i th0. Se även metodstruc. 2. Komplexa processer I datasetet uppg12 finns N realiseringar (x(n), y(n)) av två beroende komplexa vektorvärda stokastiska variabler, x och y. a. Skatta x enligt (ii) och (iii) på s. 88. För kovarianserna använd ˆR xy = 1 N N n=1 x(n)y (n). Jämför M o, Eq. (3.2.11) och N o, Eq. (3.2.16) samt prestanda, dvs. P ( ) i Eq. (3.2.17). b. Diskutera tillämpningar där komplexa vektorvärda beroende signaler uppkommer. 3. Sensorfusion x, v a och v b är oberoende gaussiska variabler med medelvärde 0 och olika varians. x observeras med hjälp av två sensorer enligt y a = 5x + v a och y b = 20x + v b. Uttnyttja Lemma och jämför felkovarianserna P, P a och P b. Generera alla signaler du behöver. REGLERTEKNIK KOMMUNIKATIONSSYSTEM LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA

23 Uppgift 1

24 Uppgift 2

25 Uppgift 2 eig(m0)-eig(n0) = 1.0e-03 * Difference in eigen values are positive => N0 is a better estiamte.

26 Uppgift 3 x N ( 0;3) v a N ( 0;0,5) v b N ( 0;0,9)