Teststorheten är ett modellvalideringsmått Betrakta. Översikt. Modellvalideringsmått, forts. Titta lite noggrannare på testet.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Teststorheten är ett modellvalideringsmått Betrakta. Översikt. Modellvalideringsmått, forts. Titta lite noggrannare på testet."

Transkript

1 Ämnen för dagen TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se En teststorhet är ett modellvalideringsmått för modell under nollhypotesen Vad är modell under nollhypotesen 4 allmänna principer för att konstruera teststorheter prediktionsfel 2 residualer, konsistensrelationer och observatörer 3 parameterskattning 4 likelihood-funktionen Ej ortogonala och inga principer för när och hur. Idag kommer vi mest studera fallet då fel modelleras som avvikelser i konstanta parametrar (ej generella felsignaler). Verktygslåda/tänkesätt Nästa gång: Tröskelsättning och försöka svara på frågan, hur bra är ett specifikt test? 2 Översikt Beteendemoder och felmodeller Formalisering: Modellen M(): Beteendemoder och beteendemodeller Teststorheten och modellvalidering y(t) = u (t) + 2 u 2 (t) + 3 u 3 (t) Beteendet beskrivs genom att för varje mod F p {NF, F, F 2, F 3 } definiera vilka värden som kan anta. Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar F p = NF Θ NF F p = F Θ F F p = F 2 Θ F2 F p = F 3 Θ F3 Θ NF = { = [ ]} Θ F = {, 2 = 3 = } Θ F2 = { 2, = 3 = } Θ F3 = { 3, = 2 = } Avslutning Θ γ är feltillståndsrummet för mod F γ (obs inget linjärt rum). Θ = γ Ω Θ γ 3 4

2 Översikt Beteendemoder och beteendemodeller Teststorheten och modellvalidering Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar Avslutning Teststorheten är ett modellvalideringsmått Betrakta Hypoteserna kan tecknas: Uttryckt med feltillstånd blir det: NF F F 2 F 3 T X X H : F p {NF, F } H : F p {F 2, F 3 } H : Modellen M(), där Θ NF Θ F, är sann H : Modellen M(), där Θ NF Θ F, inte är sann. Detta kan också skrivas som: H : Θ NF Θ F H : Θ NF Θ F dvs. Θ F2 Θ F3 5 6 Teststorheten är ett modellvalideringsmått Test T svarar alltså mot hypotestestet: H : Modellen M(), där =:Θ {}}{ Θ NF Θ F, är sann H : Modellen M(), där Θ NF Θ F, inte är sann. Teststorheten ska alltså indikera om nollhypotesen H är sann eller inte, dvs. den skall vara ett modellvalideringsmått för modellen: M(), där Θ 7 Modellvalideringsmått, forts. Titta lite noggrannare på testet. Feltillståndsvektorn under H : Modellen under H : H : Θ = Θ NF Θ F H : Θ Θ = { R, 2 = 3 = } y(t) = u (t) + u 2 (t) + u 3 (t) dvs. vi ska hitta en teststorhet som är noll (liten) då modellen under H är konsistent med observerade data, stora annars. Teststorheten ska besvara om det finns något R så att modellen är konsistent med observationerna {y(t), u(t)} N. Exempel på sådan teststorhet: T = min u (t) u 2 (t) u 3 (t)) R (y(t) 2 8

3 Hur beräknar vi T? En direkt, men en smula klumpig, ansats för att beräkna T är: (y(t) u (t) u 2 (t) u 3 (t)) 2 = = 2 (y(t) u (t) u 2 (t) u 3 (t))u (t) Vilket ger att det minimerande måste uppfylla ekvationen (y(t) u 2 (t) u 3 (t))u (t) = N u 2 (t) Hur beräknar vi T, forts. Är u (t) finns naturligt inget unikt minimerande utan alla ger samma värde på T. Vi kan därför beräkna teststorheten enligt med T = min R (y(t) u (t) u 2 (t) u 3 (t)) 2 = = (y(t) ˆ u (t) u 2 (t) u 3 (t)) 2 N (y(t) u 2(t) u 3 (t))u (t) N om u ˆ = u2 (t) (t) annars En smula klumpig härledning och implementation av teststorheten. Återkommer till detta senare då vi pratar om linjär regression. 9 Modellvalideringsmått, forts. Vad blir teststorheten i fallet H? Antag ett feltillstånd Θ, dvs observationerna genereras enligt: Då blir teststorheten: T = min R = min R y(t) = u (t) + u 2 (t) + u 3 (t) (y(t) u (t) u 2 (t) u 3 (t)) 2 = ( ) 2 u (t) 2 = / / u (t) ˆ = = Modellen överensstämmer och måttet blir då H sann. Normalt modelleras också brus i mätdatat, vilket leder till att T får en fördelning under H. Modellvalideringsmått, forts. Vad blir teststorheten i fallet att H är sann? Betrakta ett fel F 2 med feltillstånd Θ F2, dvs observationerna genereras enligt: Då blir teststorheten: Låt Då blir T = min y(t) = u (t) + 2u 2 (t) + u 3 (t) R = min R (y(t) u (t) u 2 (t) u 3 (t)) 2 (( )u (t) ( 2)u 2 (t)) 2 U = [ u () u (2) u (N) ] T U 2 = [ u 2 () u 2 (2) u 2 (N) ] T T = min R ( )U ( 2)U 2 2 2

4 Modellvalideringsmått, forts. Modell under nollhypotesen Vad betyder egentligen M(), Θ? Antag en modell: Geometrisk tolkning: T = min R ( )U ( 2)U 2 2 ( 2)U 2 ( )U T = 2 Fel F 2 detekteras om U 2 ej är parallell med U. ( 2)U 2 ( ˆ )U ẋ = g (x, x 2, f, u) ẋ 2 = g 2 (x, x 2 ) f = y = h (x ) + f 2 y 2 = h 2 (x 2 ) + f 3 med de förväntade felmoderna F, F 2, och F 3. Antag vi vill skapa residualer enligt F F 2 F 3 T X X T 2 X X T 3 X X 3 4 Modell under nollhypotesen, forts. Test T svarar mot hypoteserna H : F p {NF, F }, H : F p {F 2, F 3 } Under H gäller att f är fri, f 2 = f 3 =. Modellen under noll-hypotesen, dvs modellen teststorheten T skall validera blir ẋ = g (x, x 2, f, u) ẋ 2 = g 2 (x, x 2 ) f = y = h (x ) y 2 = h 2 (x 2 ) Här har vi kvar den fria signalen f eftersom vi har en modell för hur den beter sig. Vi får inte slänga bort kunskapen att f faktiskt är en konstant, okänd men konstant. Denna situation har vi inte för signalerna f 2 och f 3. 5 Modell under nollhypotesen, forts. Test T 3 då? Det testet svarar mot H : F p {NF, F 3 }, H : F p {F, F 2 } Under H gäller att f 3 är fri, f = f 2 =. Modellen under noll-hypotesen, dvs modellen teststorheten T 3 skall validera är ẋ = g (x, x 2,, u) ẋ 2 = g 2 (x, x 2 ) y = h (x ) Modellen för test T 2 blir analog eftersom både f 2 och f 3 kommer in additivt på varsin mätsignal. 6

5 Modell under nollhypotesen, linjärt fall Antag den linjära modellen med tre fel H(p)x + L(p)z + F (p)f + F 2 (p)f 2 + F 3 (p)f 3 = och vi vill skapa residualr med känslighet enligt F F 2 F 3 r X X r 2 X X r 3 X X dvs. vi vill skapa en residualgenerator, enligt tidigare föreläsningar, för att detektera observationer z utanför mängden O(F ) = {z x, f ; H(p)x + L(p)z + F (p)f = } Skriv om modellen med x := (x, f ) och f := (f 2, f 3 ) enligt ( H(p) F (p) ) ( ) x + L(p)z + ( F f 2 (p) F 3 (p) ) ( ) f 2 f 3 och använd metodiken. 7 Sammanfattning, en arbetsgång, ett tänk Arbetsgång Teckna tänkt beslutsstruktur 2 För varje test i systemet, ta fram modellen under nollhypotesen (det underlättar om man faktiskt skriver ned den) 3 Konstruera ett modellvalideringsmått för modellen, dvs. generera en signal som är (eller liten) om modellen faktiskt kan vara sann. 8 Översikt Allmän princip för design av teststorheter Konstruera en teststorhet som är liten om vi kan anpassa modellen Beteendemoder och beteendemodeller Teststorheten och modellvalidering Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar Avslutning 9 M(), Θ till observationerna (uppmätta data). Notera att modellen under nollhypotesen kan vara signifikant enklare än den generella modellen med alla felmoder inkluderade. Antag: V (, [u, y]) vara ett generellt modellvalideringsmått för modellen M() med avseende på data [u, y]. Då är T = min Θ V (, [u, y]) liten under nollhypotesen och (förhoppningsvis) stor annars, dvs ett mått på konsistens mellan modell och uppmätta data. 2

6 Principer för konstruktion av teststorheter Lite notation Design av teststorheter baserat på: residualer konsistensrelationer, observatörer (ej nu, vi har gjort det för linjära modeller och vi återkommer till det i senare föreläsning). prediktionsfel 2. parameterskattningar 3. likelihood-funktionen Finns fler och detta är ingen ortogonal(disjunkt) klassificering! Dessa principer kan kombineras för olika felmodeller. V (x) = (x 2) 2 + (x 2 4) 2 min x V (x) = arg min x V (x) = arg min V (x) = 2 x x ( ) Översikt Teststorhet baserad på prediktionsfelen Exempel på modellvalideringsmått för modell M() för ett fixt : Beteendemoder och beteendemodeller Teststorheten och modellvalidering V (, z) = N Om Θ består av ett enda värde: y(t) ŷ(t ) Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar Avslutning T (z) = V (, z) ett modellvalideringsmått för modellen M( ) Om Θ är en mängd av flera värden: T (z) = min V (, z) Θ ett modellvalideringsmått för modellen M(), Θ Notera: avkoppling 23 24

7 Exempel: Förstärkning och bias y(t) = gu(t) + b + v(t) v(t) N(, σ 2 ) = [b, g] Betrakta felmoderna: NF g =, b = no fault F b g =, b bias fault F g g, b = gain fault Konstruera en teststorhet för fallet Θ = {[b, g] g = } NF F b F g T X 25 Exempel, forts. Använd de generella formlerna: T (z) = min Θ N Minimeringen är enkel T (z) = N y(t) ŷ(t, z) 2 = min b N T (z) = min b N ŷ(t b, u) = u(t) + b ( ) 2 y(t) ŷ(t b, u) (y(t) u(t) b) 2 (y(t) u(t) ˆb) 2 där ˆb = N Notera att bias-felet har avkopplats i T (z). (y(t) u(t)) 26 Minimering av V (, z) generell optimering systemidentifiering V (, z) = N minstakvadratmetoden observatörer, Kalman filter y(t) ŷ(t ) 2 T (z) = min V (, z) Θ on-line vill man gärna ha rekursiva algoritmer... Linjär regression; minstakvadrat-metoden Trevligt specialfall: Linjär regression ger analytisk lösning på optimeringen y(t) = ϕ(t) Stapla N data ovanpå varandra, modellen blir då Y = Φ där ϕ() y() Φ =. och Y =. ϕ(n) y(n) Då kan teststorheten tecknas T (z) = min y(t) ŷ(t ) 2 = min Y Ŷ 2 = min Y Φ

8 Linjär regression; minstakvadrat-metoden Excitation T (z) = min Y Φ Med N data är modellen Y Φ överbestämd och skattningen av som minimerar prediktionsfelet Y Φ ges av ett normalekvationen: Φ T (Y Φˆ) = ortogonalitet mellan modellprediktion och modellfel Y φˆ Y φˆ, modellfelet Givet excitation så ges ett unikt ˆ av det analytiska uttrycket: ˆ = (Φ T Φ) Φ T Y φ min Y Φ = Y Φˆ = = (I Φ(Φ T Φ) Φ T )Y = P r Y Numeriskt är detta inget bra sätt att faktiskt räkna ut skattningen. 29 För att ekvationen Φ T (Y Φˆ) = ska ge ha en unik lösning krävs att Φ måste ha full kolonnrang, dvs systemet måste exciteras. Det spelar dock ingen roll för residualen r = Y Ŷ = Y Φˆ vi använder ju inte värdet på skattningen. (Det finns alltid ett kortaste avstånd från en punkt till de plan som kolonnvektorerna i Φ spänner upp). Stokastiska beskrivningar i modellen kan användas för att beräkna kvaliteten på skattningen av, typiskt ett variansmått. Mer om det senare. 3 Excitation Linjär regression - rekursiv lösare Om man har en linjär regression Diskussionen runt excitation gäller generellt, men den är enkel att redovisa i fallet linjär regression. Om vi inte har tillräcklig excitation så har ekvationen inte en unik lösning, men den har lösningar. Φ T (Y Φˆ) = unik lösning eller inte, spelar det någon roll? algoritm måste ta hänsyn kvalitet hos skattningen y t = ϕ t så finns det flera olika sätt att skatta parametern. Ett sätt har vi redan sett, att stapla N datapunkter på varandra och lösa ett minsta-kvadratproblem. Ett sätt att få en rekursiv algoritm är att beskriva parametern som en slumpvandring t+ = t + v t y t = ϕ t t + ɛ t och applicera ett standard Kalman-filter. En enklare variant är Recursive Least Squares (RLS) som är ett specialfall av Kalmanfilter-lösningen ovan. 3 32

9 Mer generellt statiskt fall Är det kört om systemet inte är given som en linjär regression? Alls inte, bara lite svårare. Applicera någon metod för att skatta parametrar i olinjära modeller y t = g(, z t ) Ett enkelt sätt om man rekursivt vill följa parametern är att t+ = t + v t y t = g( t, z t ) + ɛ t och applicera favoriten bland olinjära tillståndsskattare. Exempelvis (Extended-) Kalman Filter, UKF,... Svårt att bevisa konvergens för godtyckliga olinjära funktioner g(, z) men standardmetoder kan ofta fungera mycket bra. 33 Mer generella dynamiska fall då? Mer generellt då, när det inte är en linjär regression? Antag att modellen under nollhypotesen ges av Här kan man göra på samma sätt ẋ = g(x, u, ) y = h(x) ˆx(t) = g(ˆx(t), u(t), ˆ(t)) + K (y(t) h(ˆx(t))) ˆ(t) = + K 2 (y(t) h(ˆx(t))) och konstruera teststorheten, exempelvis, som T (t) = t t T (y(τ) h(ˆx(τ))) 2 dτ Ganska allmänt! Vi återkommer mer senare till observatörer, de är en mycket användbar metod att tillgripa som fungerar i många situationer. 34 Exempel på EKF som residualgenerator Extended Kalman Filter Antag modellen x t+ = x t T s βx t + T s u x t+ = g(x t, w t ), y t = h(x t ) + e t, cov w t = Q t cov e t = R t y t = x t + f t där vi vill detektera fel f t även då β varierar långsamt. Modellen under noll-hypotesen, med tillagt mät och processbrus, är ( ) ( ) βt+ β = t + w x t T s β t x t + T s u t x t+ Mätuppdatering ˆx t t = ˆx t t + K t (y t h(ˆx t t )) K t = P t t Ht T (H t P t t Ht T + R t ) P t t = P t t K t H t P t t H t = x h(x) x=ˆx t t y t = x t + e t Tidsuppdatering 35 ˆx t+ t = g(ˆx t t, ) P t+ t = F t P t t F T t + G t Q t G T t F t = x g(x, w) x=ˆx t t,w= G t = w g(x, w) x=ˆx t t,w= 36

10 EKF som residualgenerator EKF som residualgenerator.4.2 u y β.2 betahat EKF 4 3 Residual t [s] t [s] t [s] t [s] Översikt Teststorheter baserade på parameterskattningar Beteendemoder och beteendemodeller Teststorheten och modellvalidering Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar Avslutning Enkel idé: Om alla fel modelleras med avvikelser i konstanta parametrar i, skatta alla parametrar och jämför med deras nominella värden. En vanlig ansats är då något i stil med ˆ = arg min V (, observationer) där V (, observationer) är en modellvalideringsfunktion för hela modellen, inklusive alla felparametrar. Varför är detta inte alltid en attraktiv lösning? Metoden kräver unik lösning på minimeringen, dvs excitation. Storlek på felvektorn 39 4

11 Teststorheter baserade på parameterskattningar Teststorheter baserade på parameterskattningar Enkel idé: skatta ett element i i feltillståndsvektorn och jämför med det nominella (dvs. felfria) värdet i. Om mängden Θ består av ett enda element: T (x) = ˆ i i där V ( i, x) är något modellvaliderings mått. ˆi = arg min i V ( i, x) Hur blir det med isolering? Om det i verkligheten är ett fel i parameter som inträffat, vad händer med skattningen av parameter 2? Isolering blir lidande. När ˆ 2 avviker från sitt nominella värde, beror det på 2 eller någon annan förändring? F F 2 F 3 T X X T 2 X X T 3 X X För till exempel test T skulle man då kunna göra där T = ˆ 2 nom 2 ˆ 2 = arg min V (, 2, observationer) 2, 2 Som synes måste man skatta minst två parametrar, dels variabeln vi vill avkoppla, dels variabeln vi vill jämföra mot sitt nominella värde Exempel Översikt y(t) = u (t) + 2 u 2 (t) + 3 u 3 (t) Beteendemoder och beteendemodeller ˆ 2 = arg 2 min, 2 H : F p {NF, F } H : F p {F 2, F 3 } T = ˆ 2 2 (y(t) u (t) 2 u 2 (t) u 3 (t)) 2 Minimeringen kan lösas med linjär regression. Teststorheten kan också beräknas rekursivt. Teststorheten och modellvalidering Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar Avslutning 43 44

12 p(z =) L( z=2) Teststorhet baserad på likelihood-funktionen Definition (Likelihood Function) Let f (z ) denote the probability density function of the sample Z = [Z, Z 2,... Z n ]. Then, given that Z = z is observed, the function of defined by, normalfördelning, observation Modell: Z N(, ) En observation: z = Probability density function p(z ).4.35 Likelihood function L( z) L( z) = f (z ) is called the likelihood function. En teststorhet kan formas som: T (z) = max Θ L( z) Notera: likelihood-funktionen är en funktion av medans täthetsfunktionen är en funktion av z. Tolkning: Hur sannolikt är det att observera det utfall vi observerat Täthetsfunktionen f (z ) = 2π e (z )2 2 z L( z = 2) = f (2 ) 45 46, normalfördelning, 2 observationer Modell: Z N(, ) Två oberoende observationer: z = 3, z 2 = 5 Teststorheter baserade på likelihood-funktionen, forts. säger ( ) hur sannolikt det är att observera det utfall vi observerat. Därför bildas teststorheten genom att maximera f(x ) = x Täthetsfunktionen f (z i ) = 2π e (z i )2 2 L() x =3,x 2 = L( z = 3, z 2 = 5) = f (3 )f (5 ) T (z) = max Θ L( z) istället för att minimera. Detta kallas maximum-likelihood (ML). Nollhypotesen kommer därför att förkastas om T (z) är mindre än en tröskel. Man kan använda likelihood-funktionen för att skatta parametrar. ML-skattningen fås som: ML = arg max L() Mycket vanligt sätt att bilda teststorheter då man har statistiska modeller. Vi kommer återkomma till ML i avsnittet om Change detection

13 Likelihood och Bayes Neyman-Pearson lemma, likelihood-kvot Om man räknar ut T (z) = max Θ L( z) med H : F p = F i så har man samtidigt räknat ut Antag hypoteserna H : = H : = max L( z) = max f (z ) = P(z F i) Θ Θ Om man har en a-priori sannolikhet för de olika felmoderna så kan man via Bayes sats göra omskrivningen P(F i z) = P(z F i)p(f i ) P(z) Genom att beräkna sannolikheten för alla felmoder F i så får vi en ranking av felen baserad på dess sannolikheter. Mer om detta senare i kursen. där pdf för observationerna är den kända fördelningsfunktionen f (z i ) i de två fallen. En lite slarvig formulering av Neyman-Pearson lemma är då: Den bästa tänkbara teststorheten för dessa hypoteser är T (z) = f (z ) f (z ) Finns generaliserade resultat för nollhypoteser som inte är singeltons. Mer om detta senare i kursen Översikt Teststorheter Beteendemoder och beteendemodeller Teststorheten och modellvalidering Design av teststorheter Prediktionsfel Parameterskattningar En teststorhet är ett modellvalideringsmått 4 allmänna principer för att konstruera teststorheter prediktionsfel 2 parameterskattning 3 likelihood-funktionen 4 residualer, konsistensrelationer och observatörer Ej ortogonala och inga principer för när och hur. Nästa gång: Tröskelsättning och försöka svara på frågan, hur bra är ett specifikt test? Avslutning 5 52

14 TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se

Ämnen för dagen. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter. Beteendemoder och felmodeller.

Ämnen för dagen. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter. Beteendemoder och felmodeller. Ämnen för dagen TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 5 - Konstruktion av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 29-4-8 En teststorhet är ett

Läs mer

Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö

Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö Dagens föreläsning TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 22-3-28 Tröskelsättning

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-01-15 Sal KÅRA Tid 14-18 Kurskod TSFS06 Provkod TEN1 Kursnamn Diagnos och övervakning Institution ISY Antal uppgifter

Läs mer

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - Linjär residualgenerering och detekterbarhet. Linjär residualgenerering

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - Linjär residualgenerering och detekterbarhet. Linjär residualgenerering TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 4 - och detekterbarhet Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 21-4-3 1 2 Definition Ett propert linjärt filter R(p)

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-08-19 Sal KÅRA Tid 14-18 Kurskod TSFS06 Provkod TEN1 Kursnamn Diagnos och övervakning Institution ISY Antal uppgifter

Läs mer

Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 12 januari, 2012, kl

Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 12 januari, 2012, kl Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 12 januari, 2012, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori samt

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 2007, kl

Lösningsförslag till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 2007, kl Lösningsförslag till Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 14 augusti, 007, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik

Läs mer

Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 4 juni, 2007, kl

Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 4 juni, 2007, kl Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 4 juni, 2007, kl. 08.00-12.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori och miniräknare.

Läs mer

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 8 - Change detection. Change detection. Change detection

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 8 - Change detection. Change detection. Change detection Översikt TSFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 8 - Change detection Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 6-5- Change detection Likelihood-funktionen Likelihood-kvot

Läs mer

Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö

Dagens föreläsning. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - Tröskling och analys av teststorheter. Tröskelsättning och beslut i osäker miljö Dagens föreläsning SFS6 Diagnos och övervakning Föreläsning 6 - röskling och analys av teststorheter Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 25-4-2 röskelsättning

Läs mer

Tentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 1 juni, 2013, kl

Tentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 1 juni, 2013, kl Tentamen med lösningsdiskussion TSFS6 Diagnos och övervakning juni, 23, kl. 4.-8. Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i statistik och signalteori

Läs mer

Parameterskattning i linjära dynamiska modeller. Kap 12

Parameterskattning i linjära dynamiska modeller. Kap 12 Parameterskattning i linjära dynamiska modeller Kap 12 Grundläggande ansats Antag (samplade) mätdata (y och u)från ett system har insamlats. Givet en modell M(t, θ) och mätdata, hitta det θ som ger en

Läs mer

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 7 - Olinjär residualgenerering. Konsistensrelationer vs. observatörer.

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 7 - Olinjär residualgenerering. Konsistensrelationer vs. observatörer. Översikt TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 7 - Olinjär residualgenerering Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 2017-04-26 Introduktionsexempel för

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar

Läs mer

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 7 - Olinjär residualgenerering. Konsistensrelationer vs. observatörer

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 7 - Olinjär residualgenerering. Konsistensrelationer vs. observatörer Översikt TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 7 - Olinjär residualgenerering Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 2015-04-29 Introduktionsexempel för

Läs mer

Sammanfattning av föreläsning 4. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller

Sammanfattning av föreläsning 4. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller Sammanfattning av föreläsning 4 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 5. Identifiering av olinjära modeller Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Linjära parametriserade modeller: ARX, ARMAX,

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen 2010-06-01 Sal(3) U6, U7, U10 Tid 14-18 Kurskod TSFS06 Provkod TEN1 Kursnamn Diagnos och övervakning Institution ISY Antal

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska

Läs mer

TSRT62 Modellbygge & Simulering

TSRT62 Modellbygge & Simulering TSRT62 Modellbygge & Simulering Föreläsning 4 Christian Lyzell Avdelningen för Reglerteknik Institutionen för Systemteknik Linköpings Universitet C. Lyzell (LiTH) TSRT62 Modellbygge & Simulering 2013 1

Läs mer

Lösningsförslag/facit till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 januari, 2008, kl

Lösningsförslag/facit till Tentamen. TSFS06 Diagnos och övervakning 14 januari, 2008, kl Lösningsförslag/facit till Tentamen TSFS06 Diagnos och övervakning 14 januari, 2008, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmedel: TeFyMa, Beta, Physics Handbook, Reglerteknik (Glad och Ljung), Formelsamling i

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

!"# $ $ $ % & ' $ $ ( ) *( + $', - &! # %. ( % / & ) 0

!# $ $ $ % & ' $ $ ( ) *( + $', - &! # %. ( % / & ) 0 !"#$ $ $ % & '$$( )*(+$',- &! # %.( %/& )0 = + = ϕ θ + #" $! = $ $ (! ) = % "! "!! = R( )! =! + ) ( &&) ( &&* ) [ ] ( ) $ ( ) Π + ( &-&) ","& Π 2 ( ) (& ' = '." % % Π % % / = = % % % = 01(&*&* = 7" "6""

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Föreläsning 12: Linjär regression

Föreläsning 12: Linjär regression Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera

Läs mer

Exempel på tentamensuppgifter

Exempel på tentamensuppgifter STOCKHOLMS UNIVERSITET 4 mars 2010 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Exempel på tentamensuppgifter Uppgift 1 Betrakta en allmän I J-tabell enligt 1 2 3 J Σ 1 n 11

Läs mer

Föreläsning 13: Multipel Regression

Föreläsning 13: Multipel Regression Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT 1.1, 13.1-13.6, 13.8-13.9) Modell för multipel linjär regression Modellantaganden: 1) x-värdena är fixa. ) Varje y i (i = 1,, n) är

Läs mer

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 9 - Multipelfelisolering med metoder från Artificell Intelligens.

Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 9 - Multipelfelisolering med metoder från Artificell Intelligens. Översikt TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 9 - Multipelfelisolering med metoder från Artificell Intelligens Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet frisk@isy.liu.se 2015-05-06

Läs mer

Autokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012

Autokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012 Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov

Läs mer

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer

Föreläsning 12: Repetition

Föreläsning 12: Repetition Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-06-0 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 03-7725348 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

Föreläsning 9. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 30 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik Föreläsning 9 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik 30 september 2013 Tillståndsåterkoppling Antag att vi återkopplar ett system med hjälp av u

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Outline. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 10 - Sannolikhetsbaserad diagnos och Bayesianska nätverk. Sneak-peak. Outline

Outline. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 10 - Sannolikhetsbaserad diagnos och Bayesianska nätverk. Sneak-peak. Outline TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 10 - och Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 2017-05-17 2 Sneak-peak Antag att residualerna r 1 och r 2 larmar

Läs mer

Korrelation och autokorrelation

Korrelation och autokorrelation Korrelation och autokorrelation Låt oss begrunda uttrycket r = i=1 (x i x) (y i y) n i=1 (x i x) 2 n. i=1 (y i y) 2 De kvadratsummor kring de aritmetiska medelvärdena som står i nämnaren är alltid positiva.

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

Föreläsning 5: Hypotesprövningar

Föreläsning 5: Hypotesprövningar Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar

Läs mer

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik

Läs mer

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta

Läs mer

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari

Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

GMM och Estimationsfunktioner

GMM och Estimationsfunktioner Lunds Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 GMM och Estimationsfunktioner I laborationen möter du två besläktade metoder för att estimera

Läs mer

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018

SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018 SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14-15 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 14 maj 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametriska metoder. (Kap. 13.10) Det

Läs mer

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten

Läs mer

Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad

Reglerteori. Föreläsning 4. Torkel Glad Reglerteori. Föreläsning 4 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Spektrum: Storleksmått: Vitt brus: Φ u (ω) =

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

Tentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 30 maj, 2012, kl

Tentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 30 maj, 2012, kl Tentamen me lösningsiskussion TSFS06 Diagnos och övervakning 30 maj, 2012, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmeel: TeFyMa, Beta, Physics Hanbook, Reglerteknik (Gla och Ljung), Formelsamling i statistik och

Läs mer

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent

Läs mer

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-08-5 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 03-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.

Läs mer

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A

Läs mer

Föreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd

Läs mer

Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad

Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad Reglerteori. Föreläsning 3 Torkel Glad Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 2 Det mesta av teorin för envariabla linjära system generaliseras lätt till ervariabla (era

Läs mer

Föreläsning 7: Punktskattningar

Föreläsning 7: Punktskattningar Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.

Läs mer

Föreläsning 15: Faktorförsök

Föreläsning 15: Faktorförsök Föreläsning 15: Faktorförsök Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 17, 2016 Ensidig variansanalys Vi vill studera om en faktor A påverkar en responsvariabel. Vi gör totalt N =

Läs mer

SF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp. χ 2 -test

SF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp. χ 2 -test SF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp Föreläsning 12 χ 2 -test Jörgen Säve-Söderbergh Anpassningstest test av given fördelning n oberoende försök med r möjliga olika utfall Händelse A 1 A 2... A

Läs mer

3 Maximum Likelihoodestimering

3 Maximum Likelihoodestimering Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till

Läs mer

Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall

Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,

Läs mer

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:... Avd. Matematisk statistik EXEMPELTENTAMEN I SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen). Tentamen består av två delar,

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &

Läs mer

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

Matematisk statistik, Föreläsning 5

Matematisk statistik, Föreläsning 5 Matematisk statistik, Föreläsning 5 Ove Edlund LTU 2011-12-09 Ove Edlund (LTU) Matematisk statistik, Föreläsning 5 2011-12-09 1 / 25 Laboration 4 Jobba i grupper med storlek 2 Ove Edlund (LTU) Matematisk

Läs mer

Thomas Önskog 28/

Thomas Önskog 28/ Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta

Läs mer

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:... Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för

Läs mer

F13 Regression och problemlösning

F13 Regression och problemlösning 1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell

Läs mer

x 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden

x 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden 24 november, 206, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden. Projektionssatsen - ortogonal projektion på generella underrum Om W är ett underrum till R n,

Läs mer