ENVARIABELANALYS FÖR F OCH Q HT 2012, 10 HP

UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Thomas Önskog ENVARIABELANALYS FÖR F OCH Q HT 2012, 10 HP Kurskod: 1MA013. Kurslitteratur: Robert Adams, Christopher Essex, Calculus : a complete course. Pearson Addison Wesley, 7th edition. Kursexaminator: Thomas Önskog, Matematiska institutionen, rum: 14102, Ångström. E-post: thomas.onskog@math.uu.se. Lektionsledare: Lisa Angeli Svanholm, Johan Asplund, Otte Marthin, Elis Nycander, Thomas Önskog. Kurshemsida: Material på kursen läggs ut på https://studentportalen.uu.se Envariabelanalys är en grundkurs i klassisk di erential- och integralkalkyl i en variabel (se kursplan på studentportalen). Undervisningen på kursen består av 35 föreläsningar och 15 lektioner om 2 timmar vardera. Under föreläsningarna går vi igenom teori och räknar vissa belysande exempel. Lektionerna är främst avsedda för problemlösning, såväl lärarledd som självständig. Till varje lektionstillfälle kommer ni att få en inlämninguppgift att lösa. Inlämningsuppgifterna kan laddas hem från kurshemsidan på studentportalen. Där nns också detaljerade läsanvisningar, exempel på gamla tentamina och annan information om kursen. PRELIMINÄR TIDSPLAN, DEL 1 Föreläsning Innehåll Kapitel 1 Reella tal, funktioner och grafer P 2 Gränsvärden i ändliga punkter 1.1-1.2 3 Gränsvärden i oändligheten 1.2-1.3 4 Kontinuitet 1.4 5 Formella gränsvärdesde nitionen, tangenter 1.5, 2.1 6 Derivator, de nition och räkneregler 2.2-2.3 7 Kedjeregeln, derivator av trigonometriska funktioner 2.4-2.5 8 Högre ordningens derivator, medelvärdessatsen 2.6-2.8 9 Medelvärdessatsen, implicit derivering 2.8-2.9 10 Inverser, exponentialfunktioner och logaritmer 3.1-3.3 11 Naturliga logaritmen, tillväxt och avtagande 3.3-3.4 12 Inversa trigonometriska fkner, hyperboliska fkner 3.5-3.6 13 Linjär approximation 4.9-4.10 14 Taylorpolynom 4.10 15 Gränsvärden av obest. uttryck, kopplade hastigheter 4.3, 4.1 16 Extremvärden, konkavitet och konvexitet 4.4-4.5 17 Skissering av funktionskurvor, extremvärdesproblem 4.6, 4.8 18 Repetition 1

PRELIMINÄR TIDSPLAN, DEL 2 Föreläsning Innehåll Kapitel 19 Areor som gränsvärden, integralens de nition 5.1-5.3 20 Integralens egenskaper, analysens huvudsats 5.4-5.5 21 Variabelsubstitution, areor i planet 5.6-5.7 22 Partialbråksuppdelning 6.2 23 Partiell integration, inversa substitutioner 6.1, 6.3 24 Generaliserade integraler 6.5 25 Volym av rotationskroppar 7.1 26 Volymer, båglängder och rotationsareor 7.2-7.3 27 Di erentialekvationer allmänt, initialvärdesproblem 17.1, 2.10 28 Andra ordningens linjära homogena di.ekv. 3.7 29 Inhomogena linjära di erentialekvationer 17.6 30 Första ordningens di erentialekvationer 7.9, 17.2 31 Talföljder och serier 9.1-9.2 32 9.3 33 9.4 34 9.5 35 Repetition EXAMINATION Examinationen kommer att ske i form av två skriftliga tentamina om 5 hp vardera. Den första tentamen infaller onsdagen den 31 oktober kl 13-18 i sal 2 på Bergsbrunnagatan 15 och behandlar innehållet på föreläsning 1-18 (kapitel P och 1-4). Den andra tentamen infaller måndagen den 17 december i sal 1 på Bergsbrunnagatan 15 och behandlar innehållet på föreläsning 19-35 (kapitel 5-9 och 17). Båda tentamina kommer att bestå av åtta frågor om fem poäng vardera. På var och en av tentamina krävs minst 18 poäng av 40 möjliga för godkänt resultat. För godkänt resultat på hela kursen krävs godkänt resultat på båda tentamina. För betyg 4 och 5 på kursen krävs totalt 50 respektive 64 poäng på de båda tentamina. Notera att en helhetsbedömning av varje inlämnad tentamen kommer att göras efter rättningen för att säkerställa att den skrivande har uppnått kursens mål på ett tillfredsställande sätt. Särskild vikt kommer då att läggas vid att den skrivande har presesenterat sina lösningar på ett tydligt sätt. I undantagsfall kan en student som uppnått 18 poäng på en av tentamina bli underkänd vid helhetsbedömningen. För att undvika detta kommer ni vid era tillfällen under kursens lopp att få möjlighet att lämna in uppgiftslösningar och få feed-back på den skriftliga presentationen (se nedan). Ungefär en vecka före varje lektion kommer två inlämningsuppgifter att läggas ut under Filareor på kurshemsidan. Inlämningsuppgifterna är frivilliga, men kan ge bonuspoäng på tentamen. Ni får gärna lösa inlämningsuppgifterna gruppvis, men varje student måste lämna in en egen renskriven lösning. Vid fyra tillfällen, två under första halvan av kursen och två under andra halvan av kursen, kommer särskild vikt att läggas vid presentationen av lösningen och dessa uppgifter kommer att ges dubbel vikt vid beräkning av eventuella bonuspoäng. Inlämningsuppgifterna på lektion 1-7 är bonusgrundande till första tentamen och inlämningsuppgifterna på lektion 9-15 är bonusgrundande till andra tentamen. Korrekta lösningar på minst hälften av inlämningsuppgifterna till en av tentamina ger 1 bonuspoäng på motsvarande tentamen och korrekta lösningar på minst tre fjärdedelar av inlämningsuppgifterna till en av tentamina ger 2 bonuspoäng på motsvarande tentamen. Observera att bonuspoängen endast gäller vid de ordinarie tentamenstillfällena och inte vid eventuella omtentamina. 2

NÅGRA STUDIETIPS Läs igenom sto et som ska gås igenom innan föreläsningen. Då blir det mycket lättare att följa med på föreläsningen. Ställ gärna frågor under föreläsningarna, eller under rasten alternativt efter föreläsningen. Det går givetvis också bra att skicka frågor via e-post. Diskutera teorin och uppgifterna med dina kurskamrater. Det är alltid bra att bearbeta teorin och räkna några övningsexempel direkt efter föreläsningen. Räkna era uppgifter från läsanvisningarna (nedan) före lektionen. Om du fastnar på något kan du sedan fråga under lektionen. Mattesupporten nns också tillgänglig! Där nns amanuenser att fråga om man behöver hjälp. Mattesupporten nns måndag-torsdag kl 17-19 i sal 2145 på Polacksbacken. LÄSANVISNINGAR Här ges mer detaljerad information om kursens innehåll och förslag till räkneuppgifter i anslutning till varje avsnitt. Reella tal, funktioner och grafer. Hela kapitel P ingår i kursen och mycket är repetition från gymnasiet. Absolutbeloppet och olikheter (P1) är förmodligen nytt. Funktionsbegreppet är centralt och ganska abstrakt (P4-P5). Försäkra dig om att du förstår alla begrepp och notationer. valfria. Gränsvärden och kontinuitet. Hela kapitel 1 ingår. Notera att den formella (dvs matematiskt riktiga) de nitionen av gränsvärde kommer först i delkapitel 1.5. Kapitlet inleds med exempel på hur gränsvärden kan uppkomma (1.1). Därefter introduceras den första (informella) de nitinen av gränsvärde (1.2), vilket egentligen är den formella de nitionen formulerad i ord. Vidare studeras gränsvärden för funktioner f(x) då x! 1 och oegentliga gränsvärden, där funktionsvärdet går mot 1 (1.3). Kapitlet avslutas med kontinuitetsbegreppet (1.4), vilket de nieras med hjälp av gränsvärden. 1.2: 7, 11, 13, 21, 23, 25, 27, 31-33, 57-60, 75, 78. 1.3: 3, 5, 6, 7, 9, 10, 15, 23, 30, 31, 47-52. 1.4: 1-3, 5, 7, 13, 17, 19, 20, 29, 30. 1.5: 1, 3-6, 8-10, 12, 14, 15, 17-20. Derivator. Hela kapitel 2 utom 2.10-2.11 ingår. Kapitlet inleds med tangenter och normaler till funktionsgrafer (2.1). Derivatan de nieras i delkapitel 2.2 och i de därpå följande delkapitlen (2.3-2.6) härleds deriveringsregler, kedjeregeln, de trigonometriska funktionernas derivator samt högre ordningens derivator. Därefter behandlas diverse tillämpningar (2.7), medelvärdessatsen (2.8) och implicit derivering (2.9). Delkapitel 2.10 som behandlar primitiva funktioner tas upp i samband med att vi studerar di erentialekvationer. 2.1: 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 23. 2.2: 1-6, 11, 15, 22, 45. 2.3: 11, 13, 17, 25. 3

2.4: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 18, 22, 23, 25. 2.5: 2, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 27, 29, 31, 45, 49. 2.6: 5, 9, 15, 19. 2.7: 11, 12. 2.8: 2, 5,6, 9, 11. 2.9: 3, 5, 9, 11. Transcendenta funktioner. Hela kapitel 3 utom 3.7 och slutet av 3.6 ingår. Kapitlet inleds med injektiva funktioner (engelska: "one-to-one") och inversa funktioner (3.1). Därefter behandlas exponentialfunktioner och dess invers logaritmen (3.2-3.4). I delkapitel 3.4 studeras några viktiga standardgränsvärden. Vidare ingår inversa trigonometriska funktioner (3.5) och hyperboliska funktioner (3.6), dock inte sech(x) och csch(x) och inverser till hyperboliska funktioner. 3.1: 9, 11, 34. 3.2: 1-18, 29-30. 3.3: 1-16, 19-28, 31, 35, 41, 49, 57, 59. 3.4: 1-8. 3.5: 1-12, 22, 25, 31. 3.6: 2. Tillämpningar av derivator. Delkapitel 4.1, 4.3-4.6 och 4.8-4.10 ingår. Många viktiga tillämpningar av derivator, såsom kopplade hastigheter (4.1), l Hopitals regel (4.3), extremvärden (4.4), konkava och konvexa funktioner (4.5), kurvritning (4.6) och extremvärdesproblem (4.8). På slutet studeras Taylorserier (4.9-4.10) som ger en försmak av kapitel 9 om serier och talföljder. 4.1: 1, 3, 11. 4.3: 1, 3, 4, 7, 9, 11, 13-17, 19. 4.4: 1-3, 7, 13, 15, 19, 22, 29. 4.5: 9, 15. 4.6: 7, 11, 13, 19, 30, 31, 37. 4.8: 1, 6, 7, 11, 15, 29. 4.9: 3, 7, 11. 4.10: 1, 5, 7, 9, 18, 19, 25. Integraler: de nition, fundamentalsatsen. Hela kapitel 5 ingår. Integralens de nition byggs upp i delkapitel 5.1-5.2 och med hjälp av Riemannsummor de nieras integralen i delkapitel 5.3. Därefter behandlas ett antal viktiga men elementära egenskaper hos integralen (5.4-5.5) samt substitutionstekniken (5.6). Analysens fundamentalsats (5.5) är central i detta kapitel. Kapitlet avslutas med areaberäkningar (5.7). 5.1: 34. 5.2: Valfritt. 5.3: 1, 2, 5, 11-14. 5.4: 1, 3, 5, 7, 10, 11, 13. 5.5: 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 25, 33, 39, 41. 5.6: 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14-16, 23, 26, 39, 42. 5.7: 3, 9, 13, 17, 25. Integraler; beräkningar, generaliserade integraler. Delkapitel 6.1-6.3 och 6.5 ingår. Olika tekniker för beräkning av integraler behandlas, såsom partiell integration (6.1), partialbråk (eng: partial fractions) (6.2), inversa substitutioner (6.3). Kapitlet avslutas med generaliserade integraler (6.5). 4

6.1: 1, 3, 5, 13, 19, 21. 6.2: 1, 5, 9, 11, 13, 21, 25. 6.3: 1, 3, 17, 29, 33, 35. 6.5: 1, 3, 5, 15, 17, 31, 34. Tillämpningar av integraler. Delkapitel 7.1-7.3 ingår. Tillämpningar av integraler i form av volymsberäkningar (7.1-7.2) och båglängdsberäkningar (7.3). 7.1: 5, 7, 19, 21. 7.2: 11, 15. 7.3: 1, 3, 7, 12. Di erentialekvationer. Delkapitel 2.10, 3.7, 7.9, 17.1-17.2 och 17.6 ingår. I delkapitel 17.1-17.2 introduceras den allmänna terminologin för di erentialekvationer och teorin för homogena och separabla (icke-linjära) di erentialekvationer studeras. Först behandlas initialvärdesproblem (2.10) och andra ordningens di erentialekvationer med konstanta koef- cienter (3.7) och därefter första ordningens linjära di erentialekvationer, separabla di erentialekvationer samt integrerande faktor (7.9). Delkapitel 17.2 och 7.9 överlappar varandra något. Inhomogena linjära di erentialekvationer behandlas i delkapitel 17.6. 2.10: 27, 29, 31, 33, 35. 3.7: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. 7.9: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 28. 17.1: 2, 4. 17.2: 1, 3, 5, 7. 17.6: 1, 3, 5, 7, 9. Talföljder och serier. Delkapitel 9.1-9.5 ingår. Notera att en talföljd, som ordet antyder, är en följd av tal a 1 ; a 2 ; a 3 ; :::, medan en serie är en summa av oändligt många tal a 1 + a 2 + a 3 + :::. En dylik summa kan konvergera mot ett värde eller ej. Konvergensegenskaper for serier är detta kapitels huvudämne. 9.1: 1, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 31. 9.2: 1, 5, 7, 16. 9.3: 1-12, 15-26 (udda nummer). 9.4: 1, 3, 5, 7, 11, 17. 9.5: 1, 3, 21. 5