Vektorgeometri och funktionslära Xantcha 009 Del A: Beräkningsdel Räkningar behöver inte redovisas. Samtliga uppgifter måste vara korrekta om tentamen skall godkännas (möjligen kan något slarvfel tolereras), så kontrollera svaren noga.. Beräkna sinus, cosinus och tangens för vinklarna 0, 30, 45, 60, 90, 0, 35, 50, 80, 0, 5, 40, 70, 300, 35, 330, och 360.. Låt u = (, 3) och v = (, 3). Beräkna u + v, u v och v. Rita ut vektorerna i en gur. 3. Vilken punkt ligger mitt emellan ( 3, 3, 0) och ( 3, 4 3, 3)? 4. Beräkna längden av vektorn (,, 3). Beräkna avståndet mellan punkterna (,, ) och (,, 0). 5. Beräkna skalärprodukten (,, 3) (, 4, ). 6. Är vektorerna (,, 0) och (,, 0) parallella? 7. Är vektorerna (4, 5, 6) och (,, ) vinkelräta mot varandra? 8. Ange en riktningsvektor till linjen x = 3 + t y = 3 t z = t samt tre punkter som ligger på den. 9. Skriv ned en ekvation för linjen genom punkten (4,, 7) med riktningsvektor (,, ). (Skriv också ned en helt annan ekvation för denna linje.) Ligger (0, 9, 4) på linjen? 0. Ange en normalvektor till planet x y = 7, samt tre punkter som ligger i det.
. Skriv ned ekvationen för planet genom punkten (,, 3) med normalvektor (4, 5, 6).. Skriv ned ekvationen för cirkeln med medelpunkt (, ) och radie. 3. Beräkna (a) ( + i)(3 4i). (b) 3 4i + i. (c) 7. (d) 3 i. (e) arg( i). 4. Bestäm den polära formen av (a) i 3. (b) + i. (c) 3 + 3i. Rita talen i komplexa talplanet. 5. Bestäm den rektangulära formen av det tal, vars absolutbelopp och argument är (a) respektive 9π 4. (b) respektive π. (c) respektive π 4. Rita talen i komplexa talplanet. 6. Skriv ned de första sex raderna av Pascals triangel. 7. Beräkna binomialkoecienten ( 0 4 ). Vad räknar denna (vilken fråga har denna som svar)? 8. Övningsbladet om exponential- och logaritmfunktioner. Del B: Problemdel Lösningarna skall vara klara, tydliga och väl motiverade. Det sökta svaret till en uppgift skall klart framgå. En lösning med bara formler och inga förklaringar kan aldrig ge mer än halv poäng.. Låt A, B och C vara sidornas mittpunkter i triangeln P QR. Låt O vara origo. Visa att OP + OQ + OR = OA + OB + OC.
. Låt T beteckna tyngdpunkten i triangeln P QR. Visa att T P + T Q + T R = 0. 3. En triangel i rummet har hörn i punkterna (, 0, ), (0,, ) och (,, ). Bestäm triangelns sidlängder och vinklar. (Gör detta både med Cosinussatsen och skalärprodukt!) 4. Två vektorer u och v spänner upp en parallellogram. (a) Uttryck diagonalerna i parallellogrammen med hjälp av u och v. (b) Visa att u + v + u v = u + v. 5. Bestäm alla vektorer av längden som är vinkelräta mot de båda vektorerna (,, 3) och (,, ). 6. Låt OP QR vara en regelbunden tetraeder med kantlängden. Bestäm skalärprodukten OP OQ. 7. Låt L vara den räta linjen (x, y, z) = (, 3, 0) + t(,, ). Ange en ekvation för den räta linje L som är parallell med L och går genom punkten (, 0, 3). 8. Skär linjerna x = + t y = t z = t x = + t y = t z = + t varandra? Är de parallella? 9. Undersök om linjerna x = + 5t y = 4 t z = 5 + 33t x = 6 65t y = + 9t z = 6 43t skär varandra. 0. Ange en ekvation för planet genom punkterna (, 3, 0), (, 5, ) och (, 4, 3).. Ligger de fyra punkterna (,, 0), (0, 4, ), (, 0, ) och (, 3, ) i samma plan?. Avgör om följande par av plan skär varandra och ange i förekommande fall en ekvation för skärningslinjen: 3
(a) x y z = x 5y + z = 3 (b) x 3z = x + y + z = 0. (c) x y + z = 3 6x 3y + 3z = 3. Bestäm vinkeln mellan planet x + y z = 0 och linjen (x, y, z) = (3, 5, ) + t(,, 0). 4. Visa att en linje med riktningsvektorn (p, q, r) är parallell med planet Ax + By + Cz + D = 0 om och endast om Ap + Bq + Cr = 0. 5. Beräkna ( + i)(7 + 3i) (5 + i). 6. Lös ekvationen z + z = i. 7. Rita i det komplexa talplanet de z, som uppfyller z + =. 8. Argumentet av z är π/3 och argumentet av w är π/4. Bestäm argumentet av zw och z/w. Kan man säga vad arg(z + w) eller arg(z w) är? 9. Argumentet av z är π/3. Ange ett argument till z 000. ( 0. Beräkna + i ) 00. 3. Lös ekvationen z 5 = 4i.. Lös ekvationen (z i) 4 = 0. 3. Beräkna följande geometriska summor: (a) + + 4 + 8 + 6 + 3. (b) + + + 4 + + 8. (c) x + x x 3 + x 9. 4
4. Konvergerar följande geometriska serier? Beräkna summan i förekommande fall. (a) + + 4 + 8 + 6 + 3 +.... (b) + + + 4 +.... (c) x + x x 3 +.... 5. Utveckla (3 x) 5. 6. Vad är koecienten för x 3 i polynomet (3 x) 8? 7. Bestäm den konstanta termen i ( x + x 3 ) 5? 8. Vilken är högstagradstermen i (x 3 ) 6 (x 4 + 3)? 9. Rita följande kurvor i samma koordinatsystem, så att det tydligt framgår vilken som är bredast respektive smalast, och vilka punkter som utgör vertices. y = x 0x +, y = x + 8x, y = 3 x + 3 x. Var skär kurvorna axlarna? (Derivata får inte användas.) 30. För vilket 0 x är uttrycket f(x) = ( 3 x)( x) maximalt respektive minimalt? Vilket är det största respektive minsta värdet? 3. Skissera tredjegradskurvorna y = x 3 3x + 7x, y = x 3 6x, y = x 3 x + 48x. Var inträar inexionspunkterna? 3. Betrakta de två kurvorna y = x och y = 3 x. (a) Bestäm den kurva som ligger mitt emellan dem räknat vertikalt. (b) Bestäm den kurva som ligger mitt emellan dem räknat horisontellt. 33. Vilken kurva erhålles, då y = e x förskjutes ett steg åt höger och ett steg uppåt? 34. Visa att kurvorna y = lg(x + ) och y = lg x är kongruenta, det vill säga har samma form (det är alltså samma kurva, bara parallellföryttad). Hur ligger de i förhållande till varandra? 35. Bestäm eventuella inverser till funktionerna 5
(a) f(x) = 3x + 4. (b) f(x) = x. (c) f(x) = x +, x. (d) f(x) = x + 4x + 5, x. Svar till Problemdelen 3. Sidlängderna är 3, 3, och vinklarna arccos 4. (a) u + v och u v (eller v u). (b) 5. ± 6 (,, ). 6.. 7. Exempelvis (x, y, z) = (, 0, 3) + t(,, ). 8. Linjerna skär inte varandra och är inte parallella. 9. Linjerna sammanfaller. 0. 4x 3y + 5z =.. Ja.. (a) (x, y, z) = (,, 0) + (3,, )t. 3. 60. 5. 5. (b) (x, y, z) = (,, 0) + (3, 5, )t. (c) Saknar gemensamma punkter. 6. z = 3 + i. 7. Cirkeln med radien och centrum. 8. arg zw = 7π, arg z/w =. Nej. 9. π 3. 0. 3 i. 3, arccos 5 3, arccos 3 3.. 4(cos 8 + i sin 8 ), 4(cos 90 + i sin 90 ), 4(cos 6 + i sin 6 ), 4(cos 34 + i sin 34 ), 4(cos 306 + i sin 306 ).. z = 0, z = i, z 3,4 = i ±. 6
3. (a) 63. (b) 5 8. (c) x0 +x. 4. (a) Divergerar. (b) 4. (c) Konvergerar när x <, mot summan +x. 5. 43 80x + 080x 70x 3 + 40x 4 3x 5. 6. 3608. 7. 5005. 8. 3x 45. 7