F6 Integrtion: Kvdrtur Upprepd trpetsregel, Simpsons ormel Etrpoltion Generliserde integrler Guss-kvdrtur MATLAB Monte Crlo -- BE HT F 9?
Kvdrtur, I Beräkn I Integrnd n d som I w Vikter Askissor också = inty eller där r integrl singulriteter, d Vikter w oc ev. skissor väls ör ög noggrnnet -- BE HT F 9?
Kvdrtur, II Eempel Newton-Cotes ormler utgår rån ekvidistnt skissor, Trpetsregeln N = ger w = w = -/. Linär interpoltion ger oc elet kn översktts -- BE HT F 9? N N,...,,, c c m m,, d I
Upprepd Trpetsregel Kvdrtur, III Med i, i,i =,,.,N, =, N =, kn trpetsregeln nvänds ör vre delintervll i, i+ : N d N MATLAB trpz =.5*sumdi.*:end-+:end; För ekvidistnt punkter, = i+ i, lir ormeln T = *sum-+end/; med el egränst v N m m -- BE HT F 9? 4
Kvdrtur, IV Euler McLurins summtionsormel T c r r d r r O 4 7 r då 6 4 v v... Asymptotisk serie i ämn potenser v steglängden Litet el ör periodisk unktion eller Små värden i ändpunktern, e. A e A d -- BE HT F 9? 5
Kvdrtur, V Eempel e d N T Fel ============================ 4.997 -.77e+ 8.744496 -.e+ 6.7586959 -.76e-.774585 -.785e- 64.774585.e-5 8.774585 -.55e-5 -- BE HT F 9? 6
Etrpoltion, I I T c 4 6 c4 c6... Räkn med steglängd oc Q Q = vnligt I T = c I TQ = c Q som ger I T T T ˆ T T Q ˆ 4 k4 k6 6 Q... r k 4 4 som dominernde elterm, upprep: T Tˆ Tˆ Tˆ Q ˆ d 6 4 Q... -- BE HT F 9? 7
Etrpoltion, II -- BE HT F 9? 8,el 4 4 ˆ /, 4 O T T T T T,,5,...,4,6,...; ämnt,n,,...,,,, 4 U J n n J U S Simpsons ormel som etrpolerd trpetsregel Smmnstt Simpson:
Etrpoltion, III -- BE HT F 9? 9 Eempel: Numerisk derivering I llmänet symptotisk serie, dvs. Felet med n termer minskr då -> Ilnd konvergerr serien ör it då n -> inty Tillämpning också på lösning v dierentilekvtioner...... ˆ..., k Q D Q D D D D c c c D
Integrler, orts. Generliserde integrler d lim A A d inte egränsd : Guss & dptiv kvdrtur d, O p då -- BE HT F 9?
d Väl A så tt RA < tol. Integrler, II A d Trpetsregel, qud,... d R A " Svns" Är det möligt Eisterr gränsvärdet då A -> inty? J, Asolut-konvergens om = O -p med p > då -> inty Betingd konvergens svårre, A A sin d A sin t t dt cost t A A cost dt, / 4t g t g t O t / -- BE HT F 9?
Integrler, III Eempel Bestäm integrlen med el <.5-4 4 T d d R T, R T 4 T 4 I T / d 4 d T T 4 T T R T Reserver.4-4 v tillåtet el ör numerisk eräkning v IT dvs. tg = -5. Då räcker T =. Fiigre: Använd pproimtiv värdet till örättring ist.. eluppskttning. Hur stort T räcker då? på tvln d -- BE HT F 9?
Eempel: Integrel singulritet A A d p Integrler, IV g d, g g då Om - < p < r singulritet men integrlen eisterr. Prov sustitutionen = t, d = t - dt A A p p g d t g t t dt Om p + - = är integrnden snäll vid t = : = /p+ Alterntiv: Prtiell integrtion p integrers oc g derivers Sutrktion oc nlytisk integrtion v g p, / -- BE HT F 9?
Integrler, V Guss-kvdrtur: Listigt vl v åde skissor oc vikter så tt ör = polynom p v grdtl n- För givn kn w estämms så tt elet örsvinner ör polynom v grdtl n- Guss-viktern är positiv numerisk stilitet Guss-skissor i det inre v [-,] är nollställen till Legendre-polynomet P n- P m är mil ortogonl polynom, n d w ξ -- BE HT F 9? 4 P c P, P P / k, P d,om C c k
Integrler, VI: Multipel-integrl, D -- BE HT F 9? 5 Kominer endimensionell kvdrturer Numerisk kvdrtur i -led Numerisk kvdrtur i y-led,,,, M k k d N d c D y W dy y F F w d F d F d dy y ddy y
Integrler, VII: Multipel-integrl MÅNGA D Monte Crlo metoden nvänder slumptl ör tt pproimer en integrl Lämplig ör ög dimensioner oc vnlig inom innsmtemtik För regulär unktioner oc lägre dimensioner är deterministisk metoder noggrnnre Felet i Monte Crlo-integrtion uppsktts med vrinsen = On / D d ddy N N d N X c, X, Y X X, Y rektngulär - ördeldpå[,][ c,d] N rektngulär - ördeldpå[,] X, Y D, -- BE HT F 9? 6
Integrler, VIII: Multipel-integrl Eempel = [; / ;/]; n = ; Nlist = roundlogspce,7,n; el = zeros,n; k = ; or N = Nlist yz = rnd,n* - ; tmp = dig./*yz; tmp = sumtmp.^; vol = 8*sumtmp</N; elk = svol - 4*pi*prod/; k = k+; end loglognlist,el,'.' -- BE HT F 9? 7
Integrler, VI: MATLAB qudun,,,tol integerr unktionen un melln oc serd på smmnstt Simpsons ormel med eltolernsen tol qudl : Guss-Lotto ormel qudgk : Guss-Kronrod-ormel quddun,,,c,d integrerr un v två vriler oc y över området <<, c<y<d rnd genererr slumptl likormigt ördelde i, rndn,m genererr en n m mtris med slumptl rndn norml-ördelde N, intepr ör symolisk integrtion, primitiv unktion till uttrycket epr estämmes -- BE HT F 9? 8