Lösningsförslag v. /SK med reservation för eventuella fel Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 6-3- kl 4.3-9.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. English version follows after the Swedish. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg 3 krävs minst 7 poäng från uppgifterna, varav minst 3 poäng från uppgifterna 8. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maximalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället vt 6 duggaresultatlista bifogas. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. Uppgift 7 kan ersättas med aktivt deltagande vid räkneövningar under kursens gång. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från minst 5% poäng från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% 8 poäng. Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges. Skriv inte mer än en uppgift på varje blad. Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår utöver rena siffror om så behövs. Del I. Uppgift räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt betyg 3 5 krävs minst 7 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 8. Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng, uppgift 7 genom att ha deltagit i räkneövningar.. Låt fx = x 3 a Vilken är den största möjliga definitionsmängden D f för f? Vi kräver reella tal som värden. b f är strängt växande i sin definitionsmängd och därför inverterbar. Ange ett uttryck för f x. c Vad har f för definitionsmängd, D f? Lösningsförslag: a Eftersom u är definierad för att ge reella värden för u och x 3 x är definitionsmängden för f intervallet D f = [,. b För x gäller f x = y x = fy x = y 3 y 3 = x y 3 = x + y = x + /3, så f x = x + /3. c Definitionsmängden för f är lika med värdemängden för f. Eftersom f är kontinuerlig och strängt växande på sin definitionsmängd [,, f = och fx då x, så är definitionsmängden för f D f = [,.
. Låt fx = sin π x 4x 8x. Bestäm följande gränsvärden, om de existerar. Gränsvärdet kan vara ett tal, + eller. Om ett gränsvärde inte skulle finnas, ange och motivera detta. Tips: Se formelbladet för gränsvärdet av sin x x då x. a lim fx x b lim fx x + c lim fx x + Lösningsförslag: sin u u a Här är kruxet att 4x 8 = 4x då x. Vi vet att då x, så vi tänker u = π x, förlänger med detta och förkortar. fx = sin π x Vi ser då att 4x 8x = sin lim fx = lim x x π x π x sin π x π x lim x π x 4x x = sin b Här är kruxet att x då x +. Vi har att Vi har dels att men också att Alltså är fx = sin π x 4x 8 x. sin π x lim x + 4x 8 = sin π 4 x + då x +. π x π π x π 8x = lim sin u u u π 8 = π 8. lim fx = +. x + = 4 = 4 >, 8x. c Observera att sin u, så vi har här ett gränsvärde av typ begränsat/, som blir noll, mer bestämt sin π fx = x 4x 8 x 4x 8 x = x 4 8/x /x då x, så, enligt instängningsprincipen är lim fx =. x 3
3. Ekvationen y xy + lnx = definierar en kurva i xy-planet och innehåller punkten x, y =,. Bestäm kurvans tangentlutning dy i denna punkt. Lösningsförslag: Här gör vi lämpligen en implicit derivering. y xy + lnx = = d y xy + lnx =. Vi utvecklar, med hjälp av kedjeregel och produktregel, det deriverade vänterledet: d y xy + lnx = dy dy dy dy y x + d ln u du u=x = y dy dy y x + x x = y x dy y + x, så d y xy + lnx = y x dy y + dy = x = y x y x = y x y x. Med x, y =, får vi då dy = x,y=, =. Alternativ lösning, skiss. Man kan också lösa ut y ur ekvationen och derivera explicit. y xy + lnx = y x x + lnx = y x = ± x lnx y = x ± x lnx. Punkten x, y =, ligger i den del av kurvan där y > x, dvs y = x + x lnx. Vi får då att d dy = + x lnx x lnx = + x x x lnx = + x x x lnx som har värdet då x =. 4. Betrakta funktionen fx = xe 4 x /8, definierad på, a Bestäm eventuella lokala extremvärden till fx, för vilka x de antas, om de är minima eller maxima. b Utred ifall fx har något absolut maximum eller minimum, dvs ett största och/eller minsta värde globalt, och vad de i så fall är. Lösningsförslag: a För att göra undersökningen studerar vi derivatan, f x = d xe 4 x /8 = /8 e4 x + x d e4 x /8 = e 4 x/8 + xe 4 x /8 x = 4 4 x e 4 x /8 = 4 x x + e4 x /8. 4
Vi kan sammanfatta derivatans teckenväxling och implikationerna för fx i en tabell. x f x + fx Vi noterar utifrån tabellen att fx har ett lokalt minimum f = då x = och ett lokalt maximum f = då x =. b För att bestämma eventuella absoluta extremvärden behöver vi också undersöka fx då x ±. Vi har så med u = x /8 har vi fx = xe 4 x /8 = e 4 xe x /8 fx = ±e 4 8 ue u och eftersom u p e u då u +, för vilken exponent p som helst, och u = x /8 + då x ± så är lim fx = lim ±e4 8 ue u =. x ± u + Därför är f = det minsta värdet av fx och f = det största. 5. Bestäm värdet av integralen e ln x 3. x Lösningsförslag: Med variabelsubstitutionen u = ln x har vi du = /x och e ln x 3 ln e [ ] u=. = u 3 du = x ln 4 u4 = u= 4 4 = 4. 6. Bestäm en primitiv funktion F x dvs F x = fx till funktionen sådan att F =. Lösningsförslag: fx = x + e x/ Vi använder lämpligen partiell integration för att utveckla den obestämda integralen x + e x/ = x + d ex/ [ = x + e x/] d x + e x/ [ = 4x + e x/] 4e x/ [ = 4x + e x/] [8e x/] = 4x 6e x/ + C. 5
Alltså, om F x = 4x 6e x/ + C, så är F x = fx. Vi behöver bestämma det värde på C som ger F =. F = 6e + C = C = 6. Den sökta funktionen är alltså F x = 4x 6e x/ + 6. 7. En rektangulär låda rätblock utan lock ska ha volymen m 3. För lådans botten gäller att den ena sidan ska vara dubbelt så lång som den andra. Materialet för lådans botten kostar kronor/m, medan materialet för lådans sidor kostar 6 kronor/m. Hur mycket kostar materialet till en sådan låda om man väljer måtten under ovan angivna villkor så att kostnaden blir minimal? Lösningsförslag: Låt lådans botten ha sidlängderna x m resp x meter, och låt höjden vara y meter. Då är volymen x h m 3 och kostnaden i kronor K = x + 6xy 6 = x + 36xy. Eftersom volymen ska vara m 3 har vi ekvationen x y = y = 5x. Vi substituerar detta i uttrycket för kostnaden och får då K = x + 8x. Vi vill bestämma minimum för K för x i intervallet, För att hitta minimum studerar vi derivatan dk = 4x 8x = 4x x 3 4,5 Vi noterar att dk < om < x < 4,5/3 och att dk > om x > 4,5/3. Eftersom K är en kontinuerlig funktion av x på intervallet, måste alltså K ha ett absolut maximum på, då x = 4,5 /3. Den minimala kostnaden i kronor är alltså K min = K = 4,5 /3 + 8 4,5 /3 = 4,5 + 8 4,5 /3 = 7 4,5 /3 64. 8. Bestäm en lösning y = fx x > till differentialekvationen som uppfyller villkoret f = 3. x dy = x + x y 6
Lösningsförslag: Differentialekvationen är separabel, och vi har x dy = x + x y dy = x + y y dy = x + y = x + x + C y = ± x + x + C. Alltså löser såväl y = x + x + C som y = x + x + C differentialekvationen, för vilket värde på C som helst. För alla x om C, och för x+ C om C <. Vi vill ha y = fx, där f = 3, så vi ska ha den positiva grenen y = fx = x + x + C. Då är f = 3 = 3 + C = 3 = C = 9 3 = 6. Vår sökta funktion är alltså fx = x + x + 6. 9. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + 4xy = x. Lösningsförslag: Differentialfunktionen är linjär, och kan lösas med integration om man multiplicerar med en integrerande faktor e Gx, där G x = 4x, dvs Gx = x + C. Vi använder den integrerande faktorn e x, och får då att dy + 4xy = x d ye x = xe x ye x = xe x = 4 ex + C [ d ye x = dy ex +4xye x ] [ d ex =4xe x ] y = 4 + Ce x Den allmänna lösningen till differentialekvationen dy + 4xy = x är alltså där C är en allmän konstant. y = 4 + Ce x, Alt. lösning. Om vi direkt noterar att y = /4 konstant är en partikulärlösning får vi den allmänna lösningen som y = 4 + y c, där y c + 4xy c =. Vidare, y c + 4xy c = d y ce x = y c e x = C y c = Ce x. 7
. a [p] Bestäm den allmänna lösningen y = yx till den homogena differentialekvationen y + 4y + 9y =. b [p] Bestäm lösningen y = yx till begynnelsevärdesproblemet y + 4y + 9y = 9x, y =, y =. Lösningsförslag: a Den allmänna lösningen till den homogena linjära differentialekvationen y + 4y + 9y = * kan vi bestämma genom att bestämma rötterna till dess karakteristiska ekvation r + 4r + 9 =, som är r = ± 9 = ± 5 = ± 5i. Vi konstaterar att det är två skilda komplexa rötter och får då den allmänna lösningen till * som y = C e +5ix + C e 5ix = e x A cos 5x + B sin 5x. b Den allmänna lösningen till den inhomogena linjära differentialekvationen y + 4y + 9y = 9x ** kan uttryckas som y = y p + y c där y = y p är en partikulärlösning till ** och y = y c den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation *. Det senare problemet klarade vi av i a, så vi hugger in på att hitta en partikulärlösning. Vi ansätter y p = ax + b och får då y p + 4y p + 9y p = + 4a + 9ax + b = 9ax + 4a + 9b. Vi bestämmer vilka värden på a och b som ger en lösning. y p + 4y p + 9y p = 9x för alla x 9ax + 4a + 9b = 9x för alla x 9a = 9, 4a + 9b = a =, b = 4/9 = Vi har alltså y = y p = x 4 9 8
som en partikulärlösning till ** och den allmänna lösningen är då y = x 4 9 + e x A cos 5x + B sin 5x Kvar att bestämma den särskilda partikulärlösning som uppfyller begynnelsevillkoren y = och y = Vi att y = + e x A + 5B cos 5x + B 5A sin 5x så y = y = 4 9 + A = + A + 5B = A = 33 9 B = 37 5 A = 45. Lösningen till begynnelsevärdesproblemet är alltså y + 4y + 9y = 9x, y =, y = y = x 4 33 9 + 37 e x cos 5x + sin 5x. 9 45 Det går lika bra att räkna på begynnelsevärdena på den komplexa formen av lösningen om man föredrar det. 9
Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 4. Även presentationen bedöms.. Två punkter A och B är skärningspunkterna mellan parabelkurvan y = x och en linje y = kx + m. Bestäm den punkt P på parabelns båge mellan A och B som gör att arean av triangeln ABP blir maximal. Vilken denna punkt är kommer förstås att bero på punkterna A och B eller linjeparametrarna k och m. Lösningsförslag: För att få en formel för arean, kan vi till exempel utnyttja att arean av en parallellogram med vektorerna u = [u x, u y ] och v = [v x, v y ] som sidor har area som är absolutbeloppet av determinanten u x v x u y v y = u xv y v x u y. Om vi låter A = a, a, B = b, b och P = x, x, så är BP = [x b, x b ] och triangelarean är då T = x ax b x bx a = x ax bx + b x bx ax + a = b a x ax b. Om vi förutsätter att a x b, a < b så har vi arean AP = [x a, x a ] och T = b a x a x b = b a b a x ab x = x + a + bx ab. För att bestämma maximum studerar vi derivatan av T med avseende på x, dt = b a x + a + b. Notera att T = dels då x = a, dels då x = b. Vi kan också notera att d T = b a < då b > a, så triangelarean är maximal då x = a + b, dvs då P är punkten vars x-koordinat ligger mitt emellan x-koordinaterna för A och B.. Bestäm om integralen är konvergent, och i så fall, dess värde. ln x + x Lösningsförslag: Notera att integranden är odefinierad dels då x = dels då x =. För < a < b < har vi b ln x + = [ x ln x x x ] b x a = b ln b b b a ln a+a+ a a
Vi vet formelbladet att x ln x då x +, så lim b ln b b b a ln a + a + a = b ln b b b + a + och vi har sedan att lim b ln b b b + = + =. b Alltså: Integralen är konvergent med värdet. ln x + x 3. En kropp i ett xyz-koordinatsystem begränsas av planen x = och x = b > samt av ytan y + z + x 3 =. a Visa att den är rotationssymmetrisk kring x-axeln. Bestäm kroppens volym, i koordinatsystemets volymenheter, som en funktion av b, dels b genom skivmetoden, dels c genom metoden med cylindriska skal. d Har volymen något gränsvärde då b? Lösningsförslag: a Avståndet från x-axeln till en punkt x, y, z är y + z, så om r = y + z, så ligger, för ett givet värde på x, om x b alla punkter med r i kroppen, och alla med r > +x 3 +x 3 kring x-axeln. utanför. Kroppen är alltså rotationssymmetrisk b Vi beräknar volymen genom att integrera arean av de skivformiga tvärsnitten vinkelrätt mot x-axeln. Notera att r r + x 3 = r = + x 3/ För x b är tvärsnitten en cirkelskiva med radien r = + x 3/ och volymen blir då c Notera att b πr = b [ π = = π π + x 3 + x ] b + b = π + b + r + x 3 = + x 3 = r x = r /3 Ett givet cylindriskt skal av radie r runt x-axeln vid x begränsas längs x-axeln av i ena änden x = och i andra änden av x = b om r + x 3/ och av x = r /3 om + x 3/ r.
Det ger oss volymen som h = min{b, r /3 } πrh dr = +b 3/ Om vi tar integralerna var för sig har vi och +b 3/ πr Summerar vi får vi d πrh dr = +b 3/ r /3 dr = = πrb dr + πr r /3 dr. +b 3/ πrb dr = [ πbr ] +b 3/ = πb + b 3 [ π +b 3/ π 3 4 r4/3 r r /3 r dr ] +b 3/ = π 4 3 4 + b + + b 3 πb + b 3 + π + 3 + b + + b 3 = π = π 3b = π + b + b 3 π lim b + b = π. Volymen har gränsvärde π/ volymenheter, då b. + 4. Bestäm den allmänna lösningen för x > /3 till differentialekvationen + 4x 3x + dy = x + 3y. 3 + b + + b 3 + b 3 + b 3 = π + b Lösningsförslag: Observera att y = konstant är en lösning till differentialekvationen. Differentialekvationen är separabel, så för y har vi att + 4x 3x + dy dy = x + 3y. y För vänsterledet har vi dy y = ln y + C. = x + 3 + 4x 3x +. För högerledet behöver vi göra en partialbråksuppdelning. Vi ansätter, efter en förenklande förkortning, x + 3 + 4x 3x + = 6 x + 4 4 + x x + 3 = Ax 4 + + B x 4 + + C x x +. 3
Vi gör liknämnigt, Ax 4 + + B x 4 + + C x x + 3 = Ax x + 3 + B x + 3 + C 4 + x 4 + x x + 3 = A + Cx + 3 A + B x + 3 B + 4 C 4 + x x + 3, vilket, genom att identifiera polynomkoefficienter i täljaren, ger oss ekvationssystemet A + C = 3 A + B = 6 3 B + 4 C = 4 Alltså har vi A + C = B 3 C = 6 3 B + 4 C = 4 A + C = B 3 C = 6 3 36 C = 7 36 C = 7 3 B = 6 + 3 C = 9 A = C = 7 3 x + 3 + 4x 3x + = 7 x 3 4 + + 9 x 6 4 + + 7 x 3 x + 3 = 7 3 ln 4 + x + 9 7 arctan x + 6 3 ln x + 3 + C = 7 6 ln 4 + x + 9 3 arctan x + 7 3 ln x + 3 + C Lösningen till differentialekvationen är alltså, utöver den konstanta lösningen y =, ln y = 7 6 ln 4 + x + 9 3 arctan x + 7 3 ln x + 3 + C y = ±e 7 ln 6 4 +x + 7 3 ln x+ 3 + 9 arctan x+c 3 7/6 x + 7/3 = c 4 + x 3 e 9 3 arctan x, 6 där c = ±e C är en allmän konstant. /SK, 5 april 6 3
The exam is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result grade 3 at least 7 points are needed from problems Part I, among these at least 3 points from problems 8. Each of these problems may yield 3 points. From each of problems 6 you may choose to use the results from the pre-tests dugga instead of giving a solution to the exam problems. The results from the pre-tests are found appended. In case the pre-test result is used no solution shall be given to the exam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. If you have been active in the tutorials during the course, the points for problem seven will be awarded for free. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 5% points in part II problems 4. For grade 5 at least 75% 8 points in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as expressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. Problems is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course grade 3 5 at least 7 points are required, whereof at least 3 points from problems 8. Problems 6 may one by one be substituted for by pre-test grades, problem 7 by participating in tutorials during the course.. Let fx = x 3. Let a Which is the largest possible domain D f of f? We require real values. b f is strictly increasing in its domain, and is therefore invertible. Find an expression for f x. c Which is the domain D f of f? fx = sin π x 4x 8x. Find the following limits, if they exist. The limit may be a number, + or. If a limit should not exist, state and motivate this. Hint: See cheat sheet for the limit of sin x x x. a lim fx x b lim fx x + c lim fx x + as 3. The equation y xy + lnx = defines a curve in the xy plane which contains the point x, y =,. Find the tangent slope dy of the curve in this point. 4. The function fx = xe 4 x /8 is defined in, a Find the local extreme values of fx, if they exist, and for which x they are taken, and for each, find if it is a local minimum or maximum. b Examine if fx has any absolute maximum or minimum, that is, a greatest and/or least value globally, and in that case, their values. 4
5. Find the value of the integral e ln x 3. x 6. Find a primitive function anti-derivative F x i.e. F x = fx to the function fx = x + e x/ such that F =. 7. A rectangular box without a top lid shall have a volume of m 3. For the base of the box one side shall have twice the length of the other. The material for the rectangular bottom costs kronor/m, while the material for the sides costs 6 kronor/m. How much does the material for a box cost, if we choose the dimensions under the conditions given so that the cost is minimized=? 8. Find a solution y = fx x > of the differential equation which fulfills the condition f = 3. x dy = x + x y 9. Find the general solution of the differential equation dy + 4xy = x.. a [p] Find the general solution y = yx of the homogeneous differential equation y + 4y + 9y =. b [p] Find the solution y = yx of the initial value problem y + 4y + 9y = 9x, y =, y =. 5
Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation.. Two points A and B are the intersection between the parabola y = x and a line y = kx + m. Find the point P on the arc of the parabola between A and B which maximizes the area of the triangle ABP. This point will of course depend on the points A and B.. Find whether the integral is convergent or not. If so, find its value. ln x + x 3. A solid in the xyz coordinate system is bounded by the planes x = and x = b > the surface y + z + x 3 =. a Show that the solid is a solid of revolution around the x axis. Find the volume, in the volume units of the coordinate system, as a function of b, b by cross sections, and c by cylindrical shells. d Does the volume have a limit as b? Which? 4. Find the general solution for x > /3 of the differential equationen + 4x 3x + dy = x + 3y. Good luck! /SK 6