ERFARENHETER FRÅN SKOLUTVECKLIGSPROJEKT MED GEOGEBRA Jaana Zimmerl Suneson (Älvkullegymnasiet Karlstad) jaana.zimmerl.suneson@alvkullegymnasiet.se mirela.vinerean@kau.se GeoGebra i matematikundervisningen 19-20 April, Karlstads universitet ANVÄNDNING AV GEOGEBRA I KLASSEN - OLIKA MÖJLIGHETER Demonstration- visualisering Helklass diskussion Aktivitet som introduktion Aktivitet som repetition Läxa Istället för grafritande miniräknare 1
DEMONSTRATION-VISUALISERING Kan konstrueras under lektionen eller förberedas som en färdig fil. Istället för whiteboard Tydliga bilder Hinner visa flera exempel Kan återanvändas Möjliggör animeringar Exempel Ma D Ståendevågor y = asin(x) + bcos(x) till y = Asin(x+v) DEMONSTRATION-VISUALISERING Att tänka på: Går fort - hinner eleverna uppfatta allt? Mycket att fästa blicken på - Fokuserar eleven på rätt sak? Eleven har svårare att göra anteckningar. - Genom att göra själv lär man sig - muskelminne? Upplösning i projektor? 2
DISKUSSION I HELKLASS T.ex. introduktion till eller repetition av ett arbetsområde gemensamt i helklass Växla mellan gruppdiskussioner och resonemang i helklass Sammanfatta tillsammans i GeoGebra Alla får överblick Man spar tid som kan läggas till gemensamma diskussioner Exempel Ma 2c Ekvationssystem Räta linjen är en mängd lösningar till en ekvation. Vad är ett ekvationssystem? Vad innebär en lösning till ett ekvationssystem? DISKUSSION I HELKLASS A Klassen delas in i grupper och eleverna får i uppgift att hitta lösningar till ekvationerna y - 2x = -1 och y + 3x = 9. T.ex. låt höger sida av klassrummet få ekvationen y - 2x = -1 och vänster sida får y + 3x = 9. B Efter en stunds fundering och diskussioner be eleverna att begränsa sina lösningar så att x ligger mellan 0 och fem. C Öppna upp GeoGebra-filen och fyll i lösningarna gemensamt med eleverna i de förberedda tabellerna. D Följande frågor kan sedan diskuteras i mindre grupper och helklass Har vi fyllt i alla lösningar? Vilken slags lösningar har vi tagit upp? Hur många lösningar finns det? Om ni betraktar båda tabellerna samtidigt kan ni upptäcka något? Finns det fler gemensamma lösningar? 3
E Sammanfatta det eleverna diskuterat och skriv upp ekvationssystemet de löst och för in begreppen ekvationssystem och lösning till ekvationssystem. F Tabellens värden kan ju tolkas som punkter (x,y). Låt oss föra in dessa punkter i ett koordinatsystem. Visa grafikfönstret. Och gör en lista med punkter från den ena tabellen (färga dessa t.ex blå). Diskutera gemensamt: Varför ligger de som de ligger. Var skulle de oändligt många lösningarna som vi inte tagit upp i tabellen hamna? Diskutera gemensamt: Om vi skulle göra en motsvarande lista med punkter från den andra tabellen hur skulle det synas att ekvationerna har en gemensam lösning? Komplettera med en lista med punkter från den andra tabellen. G Skriv om ekvationerna till k-form på tavlan. Och skriv in dem i tabellfönstret. Diskutera att räta linjer egentligen är en ekvation och punkterna på linjen är lösningar till denna ekvation. H Sammanfatta med eleverna: Den punkt som linjerna har gemensam är då lösningen till ekvationssystemet som består av linjernas ekvationer. 4
DISKUSSION I HELKLASS Att tänka på: Om man förberett för mycket i filen kan man lätt leda eleverna för mycket. - Eleverna tänker inte fritt Eleven har svårare att göra egna anteckningar. Kan vara svårt att kombinera tavla/projektor - Vilken utrustning finns? ELEVAKTIVITET SOM INTRODUKTION Eleven arbetar själv eller i grupp i GeoGebra utifrån t.ex. ett arbetsblad. Konstruktionerna kan byggas upp av eleven själv eller så kan eleven utgå från en förberedd fil. Eleven får möjlighet att närma sig ett nytt område på ett undersökande arbetssätt Ger eleven ett frihet att upptäcka själv och reflektera kring matematik. Ger eleverna träning i att uttrycka sina tankar muntligt och skriftligt. 5
Elevaktivitet Andragradsfunktioner sidan 15, punkt b) 6
Elevaktivitet Andragradsfunktioner sidan 15, punkt b) Exempel på elevsvar: Ifall a är positiv går kurvan uppåt. Om a är negativ går den nedåt. Linjen blir bredare ju närmare noll a är. Värdet på a är samma som värdet på y då x = 1 eller x = -1. Grafen blir snävare. a-värdet a ändrar lutningen. Öppen uppåt när a>0 och öppen nedåt då a<0. Grafen blir spetsigare ju längre från 0 a är. Positiva värden ger glas medan negativa berg. Elevaktivitet Andragradsfunktioner sidan 15, punkt c) 7
Elevaktivitet Andragradsfunktioner sidan 15, punkt c) Exempel på elevsvar: b förändrar inte grafens utseende men ändrar grafens läge. Den bestämmer var grafen vänder. b får grafens minimipunkt att flytta sig till en annan punkt på den graf som skulle existera om a var negativ. När c=0 är x 1 =0. Värdet på x 2 = -b. Grafen flyttar sig runt c-punkten. ELEVAKTIVITET SOM INTRODUKTION Kommentarer från elevutvärdering: Positiva: Jag tyckte man lärde sig mer hur själva funktionen funkar och rörde sig och det känns som det blir lättare att förstå när man räknar i boken, då man får en bra bild på funktionen. Tycker att vi ska göra såna här uppgifter ibland då det blir tråkigt att bara räkna i boken. Får ett roligt tänk när man inte får veta exakt hur man ska gå tillväga innan man gör uppgiften. Jag tycker att det är väldigt bra att man inte bara räknar att man får chansen att förstå. Själva labben var medel. Jag fick tänka till o träna på att förklara och resonera. Det var ett bra inlärningssätt eftersom man såg det på ett nytt och väldigt pedagogiskt sätt. Man lärde sig saker som man inte hade tänkt på innan. 8
ELEVAKTIVITET SOM INTRODUKTION Kommentarer från elevutvärdering: Negativa: Frågorna var kanske lite konstigt formulerade, de var ju betydligt lättare än vad vi trodde eftersom egna ord var att man skulle beskriva enkelt hur grafen förändras. Vi fick lite för lite tid, och hann inte ens klart med hälften av labben Ibland var det lite väl svårt. Inte instruktionerna, utan resonemang och förklara frågorna. ELEVAKTIVITET SOM INTRODUKTION Att tänka på: Frågeformuleringarna avgörande. Revideringar behövs Lätt att göra aktiviteterna för ambitiösa Eleverna hinner inte med. Dela upp i delaktiviteter. Kombinera med läxor. Eleverna är ovana vid att behöva uttrycka sig. De låser sig om de tror att språket måste vara matematiskt korrekt. Aktivitetsblad är levande dokument 9
10
ELEVAKTIVITET SOM REPETITION Bra med en gemensam start och sammanfattning. Eleven arbetar själv eller i grupp i GeoGebra utifrån t.ex. ett arbetsblad. Konstruktionerna kan byggas upp av eleven själv eller så kan eleven utgå från en förberedd fil. Eleven får möjlighet att avsluta ett område på ett undersökande arbetssätt. Ger eleven möjlighet till en Aha!-upplevelse och en djupare förståelse. Ger eleverna träning i att uttrycka sina tankar muntligt och skriftligt och dra slutsatser utifrån sina kunskaper. 11
12
ELEVAKTIVITETEN INVERSA FUNKTIONER 1 2 3 4 5 6 f(x)=2x 2 4 6 8 10 12 Som introduktion repeterades begreppen definitionsmängd, värdemängd och att man kan representera en funktion på olika sätt, t.ex. genom en graf eller en formel. Eleverna fick även gissa formeln för funktionen ni ser här bredvid. Därefter fick de utföra aktiviteten. Efter aktiviteten sammanfattades vad eleverna kommit fram till. ELEVAKTIVITETEN INVERSA FUNKTIONER Eleverna fick ge något ex på en invers t.ex. vad är inversen till y=10 x? 1 2 3 4 5 6 f(x)=2x 2 4 6 8 10 12 f -1 (x)=x/2 De fick även berätta vad de tycker en invers funktion är för något. en funktion som gör motsatsen till den första funktionen Sedan infördes beteckningen för en invers funktion f -1 och eleverna fick frågan om de sett denna beteckning förut? Har ni stött på inverser förut? Eleverna kunde ge sinus och arcusinus som exempel. 13
Elevaktivitet Inversafunktioner sidan 22 punkt 4 Elevaktivitet Inversafunktioner sidan 22 punkt 4 Exempel på elevsvar: Vi får två y-värden y på ett x. Inte bra! y= Den har flera y-värden. y y= Ett x-värde x ger två y-värden, y vilket inte är tillåtet i en funktion. y= Den inversa funktionen blir y 2 =x, och är en ogiltig funktion då ett x-värde x endast får ge ett y-värde. y 14
ELEVAKTIVITET SOM REPETITION Att tänka på: Det är aha!-upplevelsen som är viktig. Eleven ska känna en tillfredställelse efter aktiviteten. Välj något begränsat exempel som knyter ihop påsen. Bra om man hinner sammanfatta på slutet av lektionen tillsammans så att alla får ett avslut. Aktivitetsblad är levande dokument LÄXA Kan användas inför en ny genomgång eller som extra befästning av kunskap. Eleven får en chans att i lugn och ro testa och fundera kring en matematiskt frågeställning. Bör återkopplas under en lektion. Mycket tid att vinna om eleverna är förberedda inför lektionen. 15
LÄXA INFÖR RANDVINKELSATSEN Exempel elevsvar: Slutsats: Värdet ändras inte så länge A inte ligger på rött. Förklaring: Vinkeln bildas av avståndet mellan B och C. Slutsats: Vinkel BAC är konstant i det icke röda området. Förklaring: Vid förflyttning läggs det subtraherade från BA till på AC och vise versa. LÄXA INFÖR RANDVINKELSATSEN Exempel elevsvar: BMC är alltid dubbelt så stor som BAC M=2BAC+0,01 16
LÄXA INFÖR RANDVINKELSATSEN Exempel elevsvar: Vinklarna är alltid 360 o tillsammans A och C styrs av B och D och vise versa. Vinkel A och C =180 o. Vinkel A och C =180 o. 360 o tillsammans LÄXA Att tänka på: Frågeformuleringarna avgörande. Eleven har kanske ingen att fråga. Aktiviteterna bör kännas överkomliga. Eleverna ska inte hoppa över läxan Återkoppling viktigt! Aktivitetsblad är levande dokument 17
ISTÄLLET FÖR GRAFRITANDE MINIRÄKNARE För att rita grafer, lösa ekvationer, göra regressioner o.s.v. Exempel Helklass laboration Kvadratiska plywood plattor Sidans längd och plattans vikt ISTÄLLET FÖR GRAFRITANDE MINIRÄKNARE Jaana Zimmerl Suneson (älvkullegymnasiet) Mirela Vinerean Bernhoff (Karlstads universitet) 2012 18