Bedömning av muntliga prestationer

Transkript

1 Bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå Bedömning av muntliga prestationer Materialet har framställts under 2013 av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i samarbete med Institutionen för tillämpad utbildningsvetenskap vid Umeå universitet med stöd från Skolverket. Syftet med materialet är att stödja lärare vid bedömning av elevers prestationer när de arbetar med muntliga uppgifter i matematik. Materialet visar två olika bedömningssituationer dels ett gruppsamtal i likhet med muntliga delprov i nationella prov för kurs 1 och dels elevpresentationer i likhet med motsvarande för kurs 2, 3 och 4. 1 Materialet passar bra att använda på en studiedag. Det är viktigt att det finns tid till diskussion. Innehåll 1. Bedömning av muntliga prestationer. Två modeller Studiehandledning 2 5 Se film 1 Bedömning av muntliga prestationer 2. Muntlig Bedömning gruppsamtal kurs Spelande på internet, tabell (bilaga 1) 1: Uppgiften (bilaga 2) 2:1 2.2 Bedömningsmatris (bilaga 3) 3:1 2.3 Lärarnas gemensamma bedömning kurs 1 (bilaga 4) 4:1 Se film 2 Muntligt delprov i matematik kurs 1 Se film 3 Lärardiskussion kring bedömning kurs 1 3. Muntlig bedömning presentationer (kurserna 2 4) 3.1 Bedömningsmatris och uppgifter (bilaga 5) 5: Elevernas skriftliga lösningar (bilaga 6) 6: Utskrifter av elevernas muntliga redovisningar (bilaga 7) 7: Exempel på lärarbedömningar (bilaga 8) 8:1 2 Se film 4 Muntligt delprov i matematik kurs 2 Ylva, Frida, Robin Se film 5 Robins presentation Uppgift 3 Se film 6 Sofies presentation Uppgift 3 Se film 7 Helenas presentation Uppgift 3 1 Med kurs 1-4 avses i materialet kurserna matematik 1a, 1b och 1c, matematik 2a, 2b och 2c, matematik 3b och 3c samt matematik 4. 1

2 Studiehandledning till filmer kring bedömning av muntliga prestationer Sedan drygt tio år har det nationella provet i årskurs 9 innehållit ett muntligt delprov. Även för gymnasieskolans matematik kurs C och D har det sedan 2003 funnits ett frivilligt muntligt bedömningsstöd. Idag framhålls än tydligare elevens muntliga prestationer i matematik som en viktig aspekt i ämnesplanens syfte, förmågor och kunskapskrav. Med Gy 2011 infördes obligatoriska muntliga provdelar i gymnasieskolans nationella prov. Filmerna med tillhörande material som presenteras i denna studiehandledning kan fungera som en del av en fortbildning/kompetensutveckling i bedömning av elevers muntliga prestationer. Bedömning av muntlig kommunikation Olika typer av kommunikation Elever kan visa sina kunskaper i matematik på olika sätt: i handling, skriftligt eller muntligt. I den muntliga kommunikationen ingår att uttrycka sig begripligt och att använda korrekt och relevant matematisk terminologi. Dessutom ingår att ta del av andras argument och själv kunna argumentera för sina synpunkter. Olika typer av bedömningssituationer Elevers muntliga prestationer i matematik kan bedömas i olika typer av situationer. Dessa kan illustreras med följande bilder. Förhör Eleven utreder problem eller svarar på frågor ställda av läraren. Lärare Elev Föredrag, presentation Eleven håller en presentation, redovisar en problemlösning eller liknade inför en grupp eller en hel klass. Lärare Elev Elev Elev Elev Grupparbete, samtal Eleverna löser och diskuterar problem tillsammans i grupp eller för ett samtal. Läraren följer eller leder samtalet. Elev Elev Elev Elev Lärare Det finns muntliga delprov i kurs 1 som är skapade enligt den tredje modellen och i kurs 2-4 enligt den andra modellen. Just nu är dessa delar endast obligatoriska på proven i kurs 1 och kurs 3. 2

3 Vad innehåller bedömningsstödet? Materialet innehåller, utöver denna studiehandledning, sju filmer och till dem relaterade pdf-filer i form av bilagor med med följande innehåll: 1. En diskussion kring muntlig bedömning i matematik och en kort presentation av materialet. 2. Ett gruppsamtal, med tre elever från kurs Lärardiskussion om hur dessa elevers visade kunskaper kan bedömas med stöd av en uppgiftsspecifik bedömningsmatris Muntligt prov, i form av redovisning i grupp, med tre elever från kurs 2 och två lärare. Dessutom tre kortare filmer som visar olika elevpresentationer av en och samma matematikuppgift. En av dessa kortare filmer ingår också som del i den större gruppredovisningen. Avsikten med filmerna är att lärare ska få möjlighet att analysera vilket kunnande eleverna i filmerna visar, men också att de ska få stöd i sin analys och bedömning av utarbetade bedömningsunderlag. Lärardiskussionen i materialet kan ses som ett extra bidrag till det stödet. Det skriftliga materialet innehåller uppgifter och bedömningsanvisningar till uppgifterna men också bland annat förslag till hur bedömningsstödet kan användas. Observera att filmerna inte har spelats in då eleverna genomfört det muntliga delprovet i samband med nationella proven utan eleverna har utifrån autentiska bedömningssituationer fått olika roller att spela. Hur kan filmerna användas? Filmerna visar exempel på situationer för bedömning av muntliga prestationer. Det första exemplet visar bedömning av muntliga prestationer i kurs 1. En lärare fördelar frågor och leder en diskussion mellan tre elever. Varje elev har fått statistiska resultat i form av en tabell och ett diagram kring spelande på internet. Uppgiften går ut på att varje elev utifrån den givna statistiken får besvara några frågor. Vi får följa hela det muntliga delprovet. I nästa film får vi sedan följa en grupp lärare som bedömer elevprestationerna. Lärarna har sett filmen och fyllt i bedömningsmatrisen var och en för sig. Deras enskilda bedömningar har sedan sammanställts. Lärarna diskuterar sedan utifrån sammanställningen med målet att enas om en gemensam bedömning. Nästa exempel visar muntliga prestationer i kurs 2. Eleverna har någon dag tidigare förberett sig genom att lösa var sin matematikuppgift och sedan tänka ut en presentation av lösningen till denna uppgift. I den första filmen får vi följa ett genomförande av ett muntligt delprov med en grupp med tre elever och två lärare. Eleverna presenterar sina lösningar för varandra och för lärarna. Slutligen finns det tre kortare filmer som var och en visar en elevpresentation, där eleverna har löst samma matematikuppgift. (En av dessa filmer ingår också som del i den första filmen med gruppredovisningen.) Tanken med dessa tre filmer är att visa på och göra det möjligt att jämföra olika kvaliteter i elevernas redovisningar, vilket kan vara enklare om det är samma matematikuppgift som eleverna behandlar. I det övriga material som följer med så finns exempel på bedömning med hjälp av den generella bedömningsmatris som hör till det muntliga delprovet för kurs 2 (bilaga 5). Det finns också möjlighet att se elevernas skriftliga lösningar samt utskrifter av elevernas muntliga redovisningar (bilagor 6 och 7). 3

4 Filmerna passar bra att använda som fortbildning på en studiedag. Det är viktigt att det finns tid för diskussioner. Materialet är inte framtaget som instruktionsfilmer för bedömning av nationella prov. Bedömningsmaterialet för kurs 2 4 är hämtat från det nationella kursprovet för kurs 2 vårterminen 2012 men kan även användas som fortbildningsmaterial för kurserna 3 och 4 då samma generella bedömningsmatris används i alla dessa kurser. Principen för genomförandet är densamma även om innehållet i uppgifterna skiljer sig åt på grund av kursernas olika centrala innehåll. Ett sätt att använda filmen för kurs 1 för fortbildning är 1. Läs igenom uppgift och bedömningsmatris (bilaga 1, 2 och 3). 2. Titta på filmen som visar elevernas arbete. Gör anteckningar, men kommentera helst inte. Bedömningsmatris till uppgiften finns som bilaga 3. Gör bedömningen under filmens gång. 3. Titta gärna igenom samma avsnitt ännu en gång och stanna upp och ta om avsnitt när det finns behov av det. 4. Jämför era iakttagelser, argumentera för er bedömning av de olika eleverna och försök att enas om en bedömning. Vad gjorde att ni kunde enas? Vad gjorde att ni inte kunde enas? 5. Titta nu på lärardiskussionen och jämför med er bedömning. Observera att filmens lärare inte levererar något facit. Se deras bedömning (bilaga 4) som ett exempel på hur man kan bedöma elevers muntliga prestationer. Ett sätt att använda filmerna för fortbildning för kurserna 2 4 är 1. Läs igenom och lös själv de matematikuppgifter som eleverna har i uppgift att presentera och studera bedömningsmatrisen (bilaga 5). Fundera över vilka beskrivningar och förklaringar samt vilken terminologi som kan vara aktuell för de olika matematikuppgifterna. 2. Titta på filmerna som visar elevernas presentationer och gör själv en bedömning av deras prestationer med hjälp av den generella bedömningsmatrisen (bilaga 5). Det kan vara bra att ha elevens skrivna lösning till hands i samband med detta, då blir det lättare att följa med i deras redovisning (se bilaga 6) Gör gärna anteckningar och försök göra bedömningen under filmernas gång. 3. Titta gärna igenom samma avsnitt ännu en gång och stanna upp och ta om avsnitt när det finns behov av det. Det finns också möjlighet att titta på utskrifter av elevernas muntliga redovisningar (bilaga 7). 4. Jämför era iakttagelser, argumentera för er bedömning av de olika eleverna och försök att enas. 5. Jämför till sist med det exempel på bedömning som följer med materialet (bilaga 8). Observera att denna bedömning endast ska ses som ett exempel och inte som ett facit. Exempel på frågor att diskutera i anslutning till filmerna 1. Hur kan man påverka så att eleverna känner trygghet och kan göra sitt bästa för att visa sitt kunnande? 2. Hur påverkas bedömningen om läraren känner eleven? 3. Vilka elever gynnas eller missgynnas vid de olika bedömningssituationerna? 4

5 Frågor riktade enbart till modell för kurs 1 4. Hur ska man sätta samman elevgrupper, för att alla elever ska få maximal chans att visa vad de kan? 5. Vilket matematiskt kunnande ger uppgiften möjlighet att visa och hur kan eleverna visa det? 6. Vilken är skillnaden på enkla, välgrundade och välgrundade och nyanserade matematiska resonemang? 7. På vilka olika sätt kan en elev visa delaktighet? 8. Hur mycket och när ska läraren lägga sig i diskussionen? Frågor riktade enbart till modell för kurserna Vid några tillfällen i filmerna går lärarna in och ställer några följdfrågor. Diskutera om det var lämpligt att de gjorde så. På vilket sätt påverkade det er egen slutliga bedömning? 10. Var förekommer det beskrivningar och förklaringar i elevernas presentationer? 11. Vilka beskrivningar och förklaringar är nödvändiga? 12. Hur utförligt behöver eleverna redovisa? 13. När det gäller elevernas redovisning, vilka krav kan ställas på: 1) fullständighet, relevans och struktur; 2) förklaringar och beskrivningar; 3) terminologi? 14. Hur likvärdiga är de olika matematikuppgifterna som eleverna har fått? 15. Vilka egenskaper bör en matematikuppgift ha som är lämplig för den här typen av bedömning? 5

6 Bilaga 1 Spelande på internet tabeller Tabellen visar hur stor andel av befolkningen som spelade spel på internet en genomsnittlig dag under tidsperioden (%). Kön Ålder Totalt Män Kvinnor Diagrammet visar hur stor andel av befolkningen 9 79 år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag år 2010 (%) Män Kvinnor år år år år år Källa: Nordicom-Sverige 1:1

7 Bilaga 2 Det muntliga provet i matematik för kurs 1 uppgiften Uppgiften är hämtad från den muntliga provdelen ur nationella provet Kurs 1 våren Hela denna version och ytterligare en version av kursprovet finns på Följande påståenden får eleverna Julia (J), Emma(E) och Marcus(M) ta ställning till utifrån tabell och diagram. 1.(J): 3.(E): 4.(M): 6.(J): 7.(M): Andelen av befolkningen i åldersgruppen år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag minskade mellan år 2007 och år Ungefär en tredjedel av männen i åldern år spelade spel på internet en genomsnittlig dag år Andelen kvinnor som spelade spel på internet en genomsnittlig dag har mellan åren 2009 och 2010 nästan fördubblats. Andelen av befolkningen i åldersgruppen år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag ökade mellan år 2004 och år 2010 med 400 %. I åldersgruppen 9 14 år var det tre gånger så många som spelade spel på internet år 2010 jämfört med år (E): Andelen män som spelade spel på internet en genomsnittlig dag år 2004 utgjorde 1 % av den totala befolkningen. 12.(M): Dubbelt så många 30-åriga män som 30-åriga kvinnor spelade spel på internet år Här följer de diskussionsfrågor kring vilka eleverna diskuterar i filmen. 1. Hur förhåller sig tabell och diagram till varandra? 3. Fanns det inga kvinnor och ingen i åldersgruppen år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag år 2004? 6. Hur skulle man kunna förändra diagrammet för att förstärka skillnaden mellan andelen män och kvinnor som spelade spel på internet? 7. Hur skulle en speltillverkare kunna använda informationen i tabell och diagram för sin spelutveckling? 2:1

8 Bilaga 3 Bedömningsmatris till Spelande på internet, max 4/5/4 Begrepp E C A Procedurer Hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär. Eleven gör någon enkel avläsning i tabell eller diagram. +E P Eleven gör flera korrekta avläsningar och använder dessa i beräkningar, t.ex. förhållande eller procentuella förändringar. +C P Problemlösning Analysera och lösa matematiska problem samt tolka och värdera metoder och resultat. Eleven gör enkla tolkningar utifrån sina avläsningar och beräkningar. (t.ex. i påstående 1 6) +E PL Eleven använder begrepp och samband mellan begrepp i problemlösning genom att skilja mellan antal och andel. (t.ex. påstående 7 8 och vid enklare svar i påstående 9 12 eller i diskussionen) Eleven synliggör komplexitet i problemet, t.ex. genom att påpeka att olika helheter och grupperingar påverkar slutsatsen. (t.ex. vid utförligare svar i påstående 9 12 eller i diskussionen) +A PL +C PL Matematiska modeller Matematiska resonemang Följa, föra och bedöma matematiska resonemang. Eleven för ett enkelt resonemang kring någon eller några avläsningar. +E R Eleven bidrar med enkla omdömen vid andra elevers redovisningar eller i diskussionen. Eleven för välgrundade resonemang utifrån tabell och diagram samt bidrar med egna idéer och förklaringar vid andra elevers redovisningar eller i diskussionen. +C R Eleven för välgrundade och nyanserade matematiska resonemang och tar del av andras argument samt vidareutvecklar egna och andras resonemang. +A R +E R Kommunikation Muntligt kommunicera matematiska tankegångar. Eleven uttrycker sig tydligt och det är möjligt att följa förklaringarna under större delen av provtillfället. +2C K Eleven uttrycker sig med säkerhet och använder ett lämpligt matematiskt språk, t.ex. genom att genomgående korrekt använda relevanta matematiska begrepp. +2A K 3:1

9 Bilaga 4 Den gemensamma lärarbedömningen av elevprestationerna i kurs 1 Begrepp E C A Procedurer Hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär. J E M +E P E +C P M Problemlösning Analysera och lösa matematiska problem samt tolka och värdera metoder och resultat. J E M E M E M +E PL +C PL +A PL Matematiska modeller Matematiska resonemang Följa, föra och bedöma matematiska resonemang. J E M +E R J E M E M E M +E R +C R +A R Kommunikation Muntligt kommunicera matematiska tankegångar. J E M +2C K M +2A K Julia (J): 4/2/0 Emma (E): 4/5/2 Marcus (M): 4/5/4 Den inbördes placeringen i rutan är slumpmässig. 4:1

10 Bilaga 5 Kurs 2 4: Bedömningsmatris för bedömning av muntlig kommunikativ förmåga Kommunikativ förmåga E C A Max Fullständighet, relevans och struktur Hur fullständig, relevant och strukturerad elevens redovisning är. Redovisningen kan sakna något steg eller innehålla något ovidkommande. Det finns en övergripande struktur men redovisningen kan bitvis vara fragmentarisk eller rörig. Redovisningen är fullständig och endast relevanta delar ingår. Redovisningen är välstrukturerad. (1/0/0) (1/0/1) (1/0/1) Beskrivningar och förklaringar Förekomst av och utförlighet i beskrivningar och förklaringar. Någon förklaring förekommer men tyngdpunkten i redovisningen ligger på beskrivningar. Utförligheten i de beskrivningar och de förklaringar som framförs kan vara begränsad. Redovisningen innehåller tillräckligt med utförliga beskrivningar och förklaringar. (1/0/0) (1/0/1) (1/0/1) Matematisk terminologi Hur väl eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner. Eleven använder matematisk terminologi med rätt betydelse vid enstaka tillfällen i redovisningen. (1/0/0) Eleven använder matematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom delar av redovisningen. (1/1/0) Eleven använder matematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom hela redovisningen. (1/1/1) (1/1/1) Summa (3/1/3) 5:1

11 Uppgift 1. Lösning av ekvationssystem Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin a) { 2x y = 8 Lös ekvationssystemet 3x + 2y = 5 algebraiskt. b) { x y = 8 Lös ekvationssystemet 2y + 4x = 6 grafiskt. 5:2

12 Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln. Bestäm linjens ekvation. 5:3

13 Uppgift 4. Kaffetemperaturen Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin Johan fyller en termos med hett kaffe och placerar den genast utomhus där temperaturen är 0 C. Temperaturen hos kaffet avtar exponentiellt med tiden. I tabellen visas kaffetemperaturen vid några olika tidpunkter. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 C. Tid (h) Temperatur ( C) ,0 50 Bestäm hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart. 5:4

14 Bilaga 6 Kurs 2: Elevernas skriftliga lösningar Uppgift 1. Lösning av ekvationssystem Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin Ylva Namn: a) { Lös ekvationssystemet 2x y = 8 3x + 2y = 5 algebraiskt. b) { x y = 8 Lös ekvationssystemet 2y + 4x = 6 grafiskt. 6:1

15 6:2

16 Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation Robin Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln. Bestäm linjens ekvation. 6:3

17 Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation Sofie Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln. Bestäm linjens ekvation. 6:4

18 Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation Helena Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln. Bestäm linjens ekvation. 6:5

19 Uppgift 4. Kaffetemperaturen Frida Namn: Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till: Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning är Hur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösning Hur väl du använder den matematiska terminologin Johan fyller en termos med hett kaffe och placerar den genast utomhus där temperaturen är 0 C. Temperaturen hos kaffet avtar exponentiellt med tiden. I tabellen visas kaffetemperaturen vid några olika tidpunkter. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 C. Tid (h) Temperatur ( C) ,0 50 Bestäm hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart. 6:6

20 Bilaga 7 Utskrifter av elevernas muntliga redovisningar Film 4: Muntligt delprov i matematik Kurs 2 Ylva, Frida, Robin Vi ska nu följa tre elever från kurs 2 i matematik som genomför ett muntligt delprov. Delprovet ingick i det nationella provet i matematik, kurs 2 våren Eleverna fick på lektionen dagen innan varsin matematikuppgift som de fick lösa och sedan också förbereda en presentation av lösningen. Läraren samlade in deras arbetsmaterial efter lektionen. Vi kommer att få följa hela gruppredovisningen med eleverna Ylva, Frida och Robin och deras lärare Gunilla och Klas. Klas: Igår så förberedde ni er och nu ska ni få tillbaks era uppgifter. Ylva här är din, Frida och Robin. Känner ni er redo för att börja? Vi börjar med dig Ylva, varsågod. Ylva Jag har då uppgift 1, lösning av ekvationssystem. Jag börjar med den algebraiska och den var då att jag skulle lösa och 2x y = 8 och 3x + 2y = 5. Så jag multiplicerade jag med 2 här på den 1:a och fick 4x + 2y = 16 och den andra är samma då och sen så använde jag additionsmetoden här och fick 7x på ena sidan och 21 på andra och sen så delar jag med 7 på båda sidor och fick då att x = 3. Ja, och sen använder jag 1:a ekvationen igen och fick att 2 3 y = 8 så att 6 y blir 8 då och att y = 2 och då är svaret då x = 3 och y = 2. Och så var nästa uppgift då som jag skulle lösa grafiskt och då var det att jag skulle lösa x + y = 9 och att 2y 4 x = 6 och sen så skrev jag om det så att jag fick y på ena sidan och något annat på andra sidan och då fick jag att y = 9 x och på den andra blev det y = 2x 3 och sen ritar jag upp det så här i ett koordinatsystem med det här 9 x och 2x 3 och så tittar jag var de skär varandra. Gunilla: Hur ritade du upp linjerna? Jag har 9 här det är var den skär y-axeln och 3 var den andra skär y-axeln och sen så kan jag se här att den alltså 1 x så man kan säga att man går 1 steg till höger och 1 steg ner och så kunde man rita linjen så. På den andra kunde jag göra likadant fast det står 2 så jag går 1 steg till höger och 2 steg upp och sen så blir det här Gunilla: OK, och själva lösningen? Ja det blir då, ja där dom här möts då där x var 4 och y blir lika med 5. 7:1

21 Frida Jag har uppgift 4, kaffetemperaturen och den lyder så här att Johan fyller en termos med hett kaffe och placerar den genast utomhus där temperaturen är 0 grader. Temperaturen hos kaffet avtar exponentiellt med tiden. I tabellen visas kaffetemperaturen vid några olika tidpunkter. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 grader. Vid tiden 0 timmar är temperaturen 93 grader och vid tiden 6 timmar så är temperaturen 50 grader. Och jag ska då bestämma hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart. Och då tog jag den formeln och satte in dom värdena där, och sen så fick jag ju då att 93 a 6 = 50 och det fick jag ju då eftersom att, jo att 93 är ju då starttemperaturen som är det här C-värdet och sen så har vi att x är ju då tiden i timmar efter och då ska ju va när temperaturen är 50 grader det är ju y-värdet så ska ju det va 50 grader och då är ju 93 starttemperaturen och 6 ska ju då va x och sen ska jag ju räkna ut a här och då är det ju 93 a 6 = 50 och då får jag att och sen så delar jag på 93 och då så får jag att a 6 = 50/93 1 och sen så tar jag att jo (a 6 6 ) = ( 50 6 ) som då gör att a 0,90 ungefär Och sen skulle jag bestämma hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart och kaffet var ju drickbart så länge det inte understiger 55 grader. Så att då vill jag ju veta x, för x är ju tiden så då vill jag ju veta hur lång tid efter så att då har jag ju att 90 0,9 x = 55 (anmärkning: Lapsusfel, Frida säger 90 i stället för 93) och sen så tar jag ju då och delar på 93 på bägge sidor och då har jag ju 0,9 x = 55/93 och sen så, jo sen så tar jag och logaritmerar detta och då får jag att (10 lg0,9 ) x och så tar jag den upphöjt potenslagarna där (eller vad det nu heter) och så tar jag ju då att då blir det ju x lg0,9 = 10 lg(55/93) och då så när basen är samma så är exponenterna samma och då får jag att x = lg(55/93) genom lg0,9 och sen så blir ju det, så slår jag det på miniräknaren och då så blir att x = 4,98 så att ungefär 5 timmar. Gunilla: Okej, tack så mycket! Men jag undrar lite över det här, vad har du gjort här? Jo detta är här att, det den här det är en graf och sen så, det här är ju då den linjen att, det är ju när y = 55 grader och den andra är ju då att y = 93 0,9 x och då visar ju detta att när, alltså när, den här y = 93 0,9 x är över den här y = 55 grader så är det ju drickbart för då är ju temperaturen över 55 grader så att de här 5 timmarna det är ju det x-värdet där linjerna skär varandra. 7:2

22 Film 5: Robins presentation Jag har ju uppgift 3 och jag ska bestämma en ekvation till en linje. Och jag har lite värden på den i en bild här för den skär en andragradsfunktion står det på x-axeln Den här andragradsekvationen, den har värdena (6, 8) då är det ett minsta värde och sen har den ett värde (10, 0) alltså den har ett värde 10 när den är 0 (eller tvärt om) och sen har jag en punkt på den här räta linjen som är ( 3, 5) det är en punkt på linjen, så det vet jag, så då får jag använda det och sen den skar ju den här andragradsekvationen på x-axeln och då kallar jag den punkten P och då vill jag veta vad punkten P är. Då vet jag att y-värdet är 0 och x-värdet är ju 10 8 för att andragradsfunktionen är ju samma på höger o vänster sida om den där....och då sen så har jag då att punkten (2, 0) och punkten ( 3, 5) det är punkter på den här räta linjen och sen för jag in det i den här i det här uttrycket så att jag får att k = 1 (anmärkning: Lapsusfel: Robin har räknat rätt men säger fel här, ska vara +1.) k i funktionen y = kx + m och sen kan jag sätta in värden här så vet jag vad m är när jag satt in dom värdena och då får jag fram att m = 2 genom att lösa det uttrycket. Så slutgiltiga svaret är att y = x 2 Klas: Robin, det gick lite fort här, kanske du skulle Robin: Den? Klas: k, ja Robin: k, jo det är en formel som säger att k är delta-y genom delta-x, och då vill jag, då sätter jag in värdena här för punkten P som jag har så att 5 0 är lika med, 5 0 är lika med, nej 5 0 så får man fram att k = 1, så att det är 5 och 5, så det är samma 3 2 (anmärkning: Här blir det rätt, k = 1). 7:3

23 Film 6: Sofies presentation Gunilla: Okej Sofie, då är det din tur och du kan börja med att läsa uppgiften. Ja, jag har uppgift 3, att jag ska bestämma linjens ekvation. I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln och då ska jag bestämma linjens ekvation. Jag hade ju det att minsta värdet var 8 då har jag utgått från det eftersom det är där i mitten då är x = 6 det är sen 4 enheter från den här nollpunkten där x = 10 och eftersom det är i mitten och det är 4 steg så måste det även vara 4 steg åt andra hållet så den andra nollpunkten är ju då när x = 2. Och det har jag ju kommit fram till för att jag behöver 2 punkter som är på den här linjen för att kunna bestämma dens ekvation. Då sätter jag in dem i den här formeln för att kunna bestämma lutningen. Då får jag fram att k = 0 ( 5) = 1 2 ( 3) Då har jag k-värdet här sen sätter jag in det här i y = kx + m och då kommer jag fram till att y = x + m eftersom k = 1. Sen måste jag sätta in en punkt så att jag ska kunna få fram vad m är. Då sätter jag in punkten (2, 0) då blir det alltså att 0 = 2 + m och då blir det att m = 2 och sedan då, så gör det att lösningen blir y = x 2 7:4

24 Film 7: Helenas presentation Klas: Jaja, nu var det din tur. Kan du ta och berätta om uppgiften? Helena: Ja, jag fick uppgift 3, Bestäm linjens ekvation, och då har vi en figur där man har grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion med minsta värdet 8 och linjen och andragradsfunktionens graf skär varandra på x-axeln och så ska man bestämma ekvationen till den räta linjen. Och det vi vet är att den räta linjen skär grafen till andragradsfunktionen i en okänd punkt men den punkten är ett nollställe till andragradsfunktionen och då känner vi det andra nollstället (10, 0) och vi vet att andragradsfunktionerna är symmetriska i sina maximum eller minimum så då går det en symmetrilinje genom där som jag har ritat ut. och minimipunkten är där x = 6 och skillnaden mellan 10 och 6 är 4 och då är också skillnaden mellan 6 och det andra nollstället 4 eftersom det är en symmetrilinje och då får vi den punkten till (2, 0) och då har vi två punkter på den räta linjen ( 3, 5) och (2, 0) och riktningskoefficienten kan vi få som skillnaden i y-värdet delat med skillnaden i x-värden och detta ger 0 ( 5) 2 ( 3) = 1 Och 1:a-gradsekvationen kan skrivas som kx + m där k är riktningskoefficienten som vi har bestämt till 1. Och m är värdet där grafen skär y-axeln och m-värdet kan jag få genom att sätta in riktningskoefficienten och några kända y-värden i den ekvationen så y = kx + m då kan jag sätta in k som 1 och y och x då kan jag välja (2, 0) som den punkten jag sätter in och det ger 0 = m och det ger m = 2 och då blir linjens ekvation y = x 2. 7:5

25 Bilaga 8: Exempel på lärarbedömning av elevprestationer i kurs 2 Observera att dessa bedömningar endast ska ses som exempel och inte som ett facit. Ylva: Uppgift 1. Lösning av ekvationssystem (3/1/1) Kommunikativ förmåga E C A 1) Fullständighet, relevans och struktur X X 2) Beskrivningar och förklaringar X 3) Matematisk terminologi X X 1) Redovisningen är välstrukturerad. Redovisningen kompletteras efter lärarens frågor och kompletteringen gör redovisningen fullständig. (E, A) 2) Redovisningen innehåller mest beskrivningar och ett fåtal förklaringar. T.ex. förklaras inte varför den ena ekvationen multipliceras med två och inte heller varför ekvationerna skrivs om i samband med den grafiska lösningen. (E) 3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse genom delar av redovisningen. I den senare delen av redovisningen finns det brister i terminologin, t.ex. hänvisas det inte till räta linjens ekvation i samband med omskrivningen av ekvationerna. I samband med uppritandet av linjerna används inte termen lutning. (E, C) Frida: Uppgift 4. Kaffetemperaturen (3/1/0) Kommunikativ förmåga E C A 1) Fullständighet, relevans och struktur X 2) Beskrivningar och förklaringar X 3) Matematisk terminologi X X 1) Redovisningen är i huvudsak fullständig men i början görs ingen koppling mellan den valda formeln och att kaffetemperaturen är exponentiellt avtagande. Hur C-värdet i formeln bestäms är inte heller redovisat. Dessutom är redovisningen något ostrukturerad då ekvationen 93 0,9 x = 55 ska lösas. (E) 2) Redovisningen innehåller både beskrivningar och förklaringar, även om vissa brister förekommer. Bland annat saknas förklaring till varför båda leden i ekvationen a 6 = 50 upphöjs till 1/6. (E) 93 3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom delar av redovisningen. Det finns dock brister, t.ex. används termerna logaritmera och potenslagarna felaktigt i samband med lösningen av ekvationen 93 0,9 x = 55. Dessutom hade det varit lämpligt att använda termen exponentialfunktion i inledningen. (E, C) 8:1

26 Robin: Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation (3/0/0) Kommunikativ förmåga E C A 1) Fullständighet, relevans och struktur X 2) Beskrivningar och förklaringar X 3) Matematisk terminologi X 1) Redovisningen har en övergripande struktur men några av stegen är otydligt redovisade, bland annat är det otydligt hur symmetrin används för att ta fram det andra nollstället. (E) 2) Redovisningen innehåller i huvudsak beskrivningar och någon förklaring. Både beskrivningar och förklaringar är ibland bristfälliga, t.ex. vid bestämningen av k respektive m. (E) 3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse vid några tillfällen men det finns brister. I början nämns värde men det är oklart om det är x-värdet eller y-värdet som avses. Även om k-värde nämns så skulle termer som lutning eller riktningskoefficient gett mer klarhet åt redovisningen. Termerna andragradsekvation och andragradsfunktion blandas ihop på några ställen och uttryck används i stället för ekvation på något ställe. Termen symmetri används inte då det andra nollstället bestäms. (E) Sofie: Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation (3/1/2) Kommunikativ förmåga E C A 1) Fullständighet, relevans och struktur X X 2) Beskrivningar och förklaringar X X 3) Matematisk terminologi X X 1) Redovisningen är fullständig och välstrukturerad, även om vissa förklaringar kommer i efterhand. Exempelvis kommer bestämningen av andragradsfunktionens nollställe före förklaringen till varför nollstället behövs. (E, A) 2) Redovisningen innehåller tillräckligt med utförliga beskrivningar och förklaringar. (E, A) 3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse i delar av redovisningen. Terminologin är dock bristfällig vid hanteringen av funktionens symmetriegenskaper. Termen nollpunkt används i stället för den mer lämpliga termen nollställe. (E, C) Helena: Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation (3/1/3) Kommunikativ förmåga E C A 1) Fullständighet, relevans och struktur X X 2) Beskrivningar och förklaringar X X 3) Matematisk terminologi X X X 1) Redovisningen är välstrukturerad och fullständig med användning av lämpliga begrepp som gör redovisningen lätt att följa och förstå. (E, A) 2) Redovisningen innehåller tillräckligt med beskrivningar och förklaringar. (E, A) 3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom hela redovisningen. (E, C, A) 8:2