Flera digitala verktyg och räta linjens ekvation

Transkript

1 Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 8: Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg Flera digitala verktyg och räta linjens ekvation Håkan Sollervall, Malmö högskola; Ola Helenius, NCM & Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet Den här modulen har behandlat flera olika digitala verktyg som var för sig kan användas som stöd i matematikundervisningen. En ytterligare dimension är att kombinera flera digitala verktyg på ett flexibelt sätt i matematikundervisningen. Både lärare och elever behöver utöver att lära sig använda enskilda digitala verktyg, också lära sig att välja mellan olika verktyg för att uppnå olika syften. Kalkylprogram är bra på att illustrera värden i tabeller och diagram, medan Geogebra är särskilt bra på att koppla samman algebra och grafer. Denna text tar som utgångspunkt ett specifikt lärandeobjekt, nämligen räta linjens ekvation som är tydligt framskriven i det centrala innehållet i matematik för årskurs 7-9 (Skolverket, 2011). Räta linjen är ett intressant exempel att utgå ifrån eftersom den dels går att behandla på olika svårighetsnivåer och även för att kunskap om räta linjens ekvation naturligt handlar om relationen mellan olika representationsformer. Genom att läraren väljer ut eller själv formulerar frågeställningar om dessa relationer får eleverna möjlighet att arbeta med uppgifter som både är begreppsorienterade och har problemlösningskaraktär. I texten fokuseras även på hur elever formulerar och sammanställer sina lösningar skriftligt (och bildligt). Genom att använda ett ordbehandlingsprogram (exempelvis Word) kan eleven tillföra skriftlig och bildlig information för att förstärka sin presentation av det egna arbetet. Linjära samband i formel, värdetabell och graf Ett sätt att introducera räta linjens ekvation är att be elever undersöka formler av typen y = kx + m. Digitala verktyg kan vara ett utmärkt stöd vid sådana undersökningar. Uppgift 1: Lista ut vart talen 2 och 3 i formeln y = 2x + 3 tar vägen när du: (a) Gör en värdetabell för formeln. Använd Excel! (b) Gör en graf med formeln. Använd Geogebra! Här förutsätts att eleverna redan är bekanta med båda verktygen, som sköter beräkningar respektive grafritning när de grundläggande inmatningarna är gjorda. Verktygen levererar resultat utan att eleverna behöver anstränga sig (Figur 1). Eleverna behöver då inte fastna i numeriska beräkningar utan kan direkt ta sig an uppgiftens kognitiva utmaningar, som i detta fall består i att tolka resultaten. Vart tog tvåan och trean vägen? Hur hittar man 2 och 3 i värdetabellen? Hur hittar man dem i grafen? Dessa frågor är betydligt enklare (men inte nödvändigtvis enkla) att besvara när man vet att man ska leta efter just 2 och 3, jämfört med att leta efter okända konstanter k och m. 1 (11)

2 De viktigaste frågorna i det här fallet kanske ändå är: Hade det gått att hitta 2 och 3 även om jag inte kände till dem från början? Vilka mönster ska jag i så fall leta efter? Figur 1. Värdetabell och graf till y = 2x + 3. Linjära samband i formel och värdetabell När eleverna har lärt sig att hitta 2 och 3 i värdetabellen med x-värdena 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, kan nästa utmaning bli att göra motsvarande i en värdetabell med färre x-värden. Uppgift 2: Gör en värdetabell för y = 2x + 3 med x-värdena 2, 4 och 7. Beskriv hur du kan hitta talen 2 och 3 i den tabellen, alltså de tal 2 och 3 som står i formeln. Denna uppgift kan i och för sig lösas utan digitala verktyg, men en poäng är att formlerna kan kopieras inom samma kalkylblad och snabbt generera en ny tabell (Figur 2). Elevernas uppmärksamhet kan då riktas mot samband mellan representationer, utan att de för tillfället behöver bry sig om de numeriska beräkningarna. I den inringade värdetabellen i Figur 2 är det svårt att direkt hitta talet 3. Någon finurlig elev kan komma på att steget från 2 till 0 är lika stort som steget från 4 till 2 dvs. 4 steg bakåt (11 7) och 4 steg bakåt från 7 landar på det sökta talet 3. En annan elev kanske kommer på att y-värdet för x = 3 bör ligga mitt emellan 7 och 11, dvs. y = 9. Det påbörjade mönstret 11, 9, 7 för x = 4, 3, 2 kan fortsättas ner till x = 0 enligt 11, 9, 7, 5, 3 och då är det sökta talet 3 hittat. 2 (11)

3 Figur 2. Två värdetabeller för funktionen y = 2x + 3. Läraren kan följa ett sådant resonemang, men kanske inte alla de andra eleverna. Det behövs något mer än en rent språklig beskrivning för att reda ut detta ordentligt, förslagsvis en effektiv matematisk representation (Figur 3). Denna representationsform kan sedan användas av eleverna som mall, för att lösa uppgifter av liknande typ. Figur 3. Underlag för matematisk diskussion om talmönster i en värdetabell. Här kan alla elever prova på att lista ut vilka tal som ska stå i de tomma rutorna och sedan jämföra sina svar med tabellen till vänster, som ju innehåller de rätta svaren. 3 (11)

4 När eleverna har kommit fram till en strategi, eller olika strategier, kan de få pröva dessa på ett vanligt arbetsblad med uppgifter som läraren har förberett. Svaret kan sedan kontrolleras i ett kalkylblad. Ett exempel på en sådan process redovisas kortfattat i Figur 4. Uppgift 3: Hitta talen k och m i formeln y = kx + m så att värdetabellen stämmer. x y x y x y Svar: y = 3 x + 5 Kontroll: Figur 4. Kortfattad redovisning av en lösning till Uppgift 3. Det är inte helt enkelt att tolka konstruktionerna i Figur 4. Det skulle krävas en hel del muntliga förklaringar om de skulle presenteras inför en högstadieklass. En fördel med att ändå ha gjort en kortfattad lösning med digitala verktyg är att delarna kan återanvändas och utökas till en mer utförlig presentation. En sådan redovisas nedan. Digital presentation med ordbehandlingsprogram Uppgift 3 handlade om att bestämma konstanterna k och m i formeln y = kx + m. Några värden på x och y stod i en värdetabell. x Det är enklare att bestämma k och m om tabellen fylls på med alla x-värden från 0 till 9. I den tabellen kan man se att y-värdet ökar med 9 när x-värdet ökar från 2 till 5. Alltså ökar y y (11)

5 med 9 när x ökar med 3. Då måste y öka med 3 när x ökar med 1. Det betyder att k-värdet är lika med 3. När man vet det kan man fylla i hela tabellen genom att öka med 3 när man går nedåt och minska med 3 när man går uppåt. Vid x = 0 ser vi m = 5. Det är inte helt enkelt att tolka resonemanget ovan när det formuleras enbart i skrift, det framträder tydligare när det framställs med stöd av tabeller. Tabellerna kan kopieras från kalkylprogrammet och klippas in i ett ordbehandlingsprogram, där de kan kompletteras med förklarande pilar och beteckningar (Figur 5). x y x y x y x y Figur 5. En följd av representationer som stöd för ett matematiskt resonemang. Svaret kan kontrolleras genom att mata in formeln y = 3x + 5 i kalkylprogrammet, som då räknar ut precis samma tabell som den till höger. Redovisningen ovan innehåller bra exempel på ett matematiskt resonemang, som förs med stöd av väl valda representationer. Det kan ibland vara tidsödande och ineffektivt att göra alla konstruktioner med digitala verktyg. Ett alternativ kan då vara att skanna in handritade konstruktioner och infoga dem i den digitala presentationen, så att allt underlag samlas in och dokumenteras på ett ställe. Uppgifter som utmanar alla elever Uppgift 3 var förhållandevis enkel att lösa eftersom den resulterade i heltalslösningar (k = 3 och m = 5). Svårighetsgraden kan skruvas upp, om så önskas, exempelvis genom att introducera bråktal (rationella tal) i lösningarna, som i Figur (11)

6 x y Figur 6. En värdetabell för ett linjärt samband där k och m är bråktal. En ytterligare utmaning kan vara att inkludera några värdetabeller där sambanden inte är linjära, vilket är fallet för värdetabellen i Figur 7. x y Figur 7. En värdetabell för ett icke-linjärt samband. Uppgifter som del av en orkestrerad didaktisk situation De tre uppgifterna, samt de möjliga utmaningarna, är tillsammans med kalkylprogrammet viktiga beståndsdelar i lektionens didaktiska organisation (Trouche, 2004). Återstår för läraren att planera och orkestrera lektionen så att eleverna förstår vad uppgifterna går ut på och blir motiverade att arbeta med dem, särskilt när det handlar om annorlunda uppgifter där det från början är givet vad eleverna ska leta efter (som talen 2 och 3 i uppgift 1). När eleverna har arbetat ett tag med uppgifterna återstår för läraren att tillsammans med eleverna sammanfatta deras nya matematiska erfarenheter och förankra dem gentemot lektionens matematiska lärandemål. Då har läraren genomfört en komplett didaktisk situation, bestående av introduktion, elevarbete och uppföljning (Brousseau, 1997; jämför del 2). Under den lärarledda sammanfattningen bjuds eleverna in att presentera och diskutera vad de har gjort, som utgångspunkt för att med gemensamma matematiska konstruktioner bygga vidare mot de matematiska lärandemålen. De beskrivna uppgifterna kan naturligtvis formuleras om och anpassas till en specifik grupp elever. Den något otydliga uppmaningen lista ut vart talen 2 och 3 tar vägen kan stimulera en grupp vana problemlösare att diskutera vad uppgiften egentligen går ut på medan elever som är mer ovana vid sådana aktiviteter kan behöva ytterligare motivation för att komma igång, exempelvis genom att frågan formuleras nästa gång kanske du inte har formeln utan bara värdetabellen eller grafen, hur kan du då hitta talen 2 och 3?. Ett annat förslag kan vara att be eleverna skriva in formler med andra tal, för att kunna jämföra med y = 2x + 3. Andra elever kan behöva konkreta förslag, exempelvis att jämföra med y = 4x + 3 och y = 2x + 5. Här har läraren en viktig roll i att bedöma vilka uppgifter och 6 (11)

7 instruktioner eleverna ska få ta del av. Å ena sidan är det viktigt att inte informera om sådant som eleverna kan tänkas komma fram till på egen hand, å andra sidan ska instruktionerna vara så pass tydliga att eleverna får möjlighet att komma i kontakt med den matematik som uppgifterna är tänkta att synliggöra. Det är alltså inte enbart de digitala verktygen som ska hanteras i undervisningen. De digitala verktygen skapar möjligheter att arbeta med nya typer av uppgifter som ger eleverna ännu fler ingångar till att förstå matematiken. Samtidigt krävs att läraren noga har planerat och organiserat didaktiska situationer där verktygen kan användas på ett meningsfullt sätt. I exemplet med linjära samband fick eleverna möjligheter att fokusera samband mellan olika representationer (formel och värdetabell) av linjära funktioner utan att behöva genomföra numeriska beräkningar, som istället kalkylprogrammet hanterade. I nästa exempel omvandlas formel till graf utan att passera värdetabell, som annars brukar behöva konstrueras som stöd om grafen ska ritas för hand. Därmed får vi ytterligare ett exempel på en situation där det digitala verktyget skapar nya möjligheter både avseende hur uppgifter kan utformas och hur de kan behandlas i undervisningen. Linjära samband i formel och graf Här fördjupas diskussionen om Uppgift 1b: Använd Geogebra för att göra en graf till formeln y = 2x + 3. Beskriv hur du kan se talen 2 och 3 i grafen! När formeln y = 2x + 3 matas in i Geogebra visas grafen till vänster i Figur 8. Talet 3 är enklare att hitta i grafen, men det är svårare att lista hur talet 2 kan hittas. Här kan läraren avgöra om eleverna från början ska uppmanas att lägga till rutnät, som i grafen till höger i Figur 8, eller om detta förslag ska användas vid behov för de som eventuellt inte kommer på att göra detta på egen hand. Figur 8. Grafen till y = 2x + 3, visad utan och med rutnät. 7 (11)

8 Om eleverna har lärt sig att göra glidare i Geogebra kan de göra var sin glidare för k och m och studera hur grafens utseende ändras när värdena ändras. En fördel med att använda ett dynamiskt ritprogram som Geogebra är att grafens rörelse fångar elevernas uppmärksamhet på ett mer suggestivt sätt än en statisk bild kan göra. Den dynamiska representationen stödjer tolkningen att grafens fästpunkt på y-axeln flyttas uppåt eller nedåt när m-värdet ändras, medan grafen vrids kring fästpunkten när k-värdet ändras. När lektionen planeras bör olika typer av förslag noga tänkas igenom, så att eleverna inte i onödan instrueras att göra sådant de skulle kunna komma på själva. En bra strategi kan vara att hålla inne med egna förslag och använda dem selektivt, för att få igång de elever som inte kommer vidare i sina egna undersökningar. Genom att skriftligt och muntligt redovisa egna slutsatser, får eleverna ytterligare bearbeta vad de har kommit fram till. Gemensamma diskussioner, där eleverna får jämföra sina redovisningar, kan leda till att de utvecklar och förbättrar sina preliminära strategier. Utförlig skriftlig redovisning med stöd av Geogebra Här redovisas lösningar till Uppgift 1b och Uppgift 3. Uppgift 1b började med formeln y = 2x + 3 och gick ut på att beskriva var talen 2 och 3 kan hittas i grafen. Talet 3 syns ganska enkelt på y-axeln när grafen ritas med Geogebra. Det är svårare att lista ut hur talet 2 hör ihop med grafen, men det blir lite tydligare när fler grafer ritas in tillsammans med den första grafen. 8 (11)

9 Graferna till y = 2x + 3, y = 3x + 3, y = 4x + 3, y = 5x + 3 lutar olika mycket. Det blir enklare att se hur mycket de lutar om det finns ett rutnät i bilden. Lutningen för den första linjen y = 2x + 3 kan då mätas med rutorna i koordinatsystemet. Om man går på linjen så tar man ett steg åt höger och samtidigt två steg uppåt, som om man går i en brant trappa. Detta kan illustreras genom att rita för hand på en pappersutskrift av skärmbilden ovan, eller genom att skärmbilden klistras in i ett program med ritfunktion. 9 (11)

10 Uppgift 3 kan lösas med talet på y-axeln och trappans lutning. Först ritar man in punkterna, sedan linjen och sist trappan. Då syns det att talet på y-axeln är 3 och att lutningen är 5. Svaret y = 3x + 5 kan kontrolleras genom att mata in formeln i Geogebra. Då blir det en linje som går genom de tre punkterna (11)

11 Undersökningar med värdetabeller och grafer Vid jämförelse mellan att använda värdetabell respektive graf, kan noteras att den första utmaningen (där k och m är bråktal) är enklare att hantera med värdetabell, medan den andra utmaningen (där det inte rör sig om ett linjärt samband) enklare kan tolkas grafiskt. Genom att använda digitala verktyg får eleverna ännu fler strategier att jämföra och att välja mellan, vilket är helt i linje med den gällande läroplanen Lgr 11 (Skolverket, 2011). Utifrån de beståndsdelar som har beskrivits och diskuterats i denna text, går det att utforma en didaktisk situation som berör samtliga förmågor i matematikämnets kursplan: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp, välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, föra och följa matematiska resonemang, och använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Sammanfattning Hela den beskrivna didaktiska situationen, med användning av både kalkylprogram, Geogebra och ordbehandlingsprogram samt behandling av samtliga uppgifter, ryms rimligen inte inom en enda lektion utan kan behöva fördelas över ett flertal lektioner om den ska genomföras i sin helhet. Det går dock alldeles utmärkt att välja ut och orkestrera delar av situationen. Några förslag på hur en sådan orkestrering kan organiseras: Uppgift 1, där hälften av eleverna (enskilt eller i par) gör Uppgift 1a och hälften gör Uppgift 1b och sedan förklarar för varandra. Uppgift 1a, inklusive skriftlig redovisning. Kan genomföras enskilt eller i par. Uppgift 1b, inklusive skriftlig redovisning. Kan genomföras enskilt eller i par. Uppgift 1a och Uppgift 1b, som eleverna löser tillsammans i mindre grupper. Kan följas upp med helklassdiskussion eller individuell skriftlig redovisning. Referenser Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11. Stockholm: Skolverket. Tillgänglig från Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, (11)