Flera digitala verktyg och exponentialfunktioner

Transkript

1 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 8: Matematikundervisning och utveckling med digitala verktyg Flera digitala verktyg och exponentialfunktioner Håkan Sollervall, Malmö högskola; Ola Helenius, NCM & Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet De tidigare delarna har behandlat flera olika digitala verktyg som var för sig kan användas som stöd i matematikundervisningen. En ytterligare dimension är att kombinera flera digitala verktyg på ett flexibelt sätt i matematikundervisningen. Både lärare och elever behöver utöver att lära sig använda enskilda digitala verktyg, också lära sig att välja mellan olika verktyg för att uppnå olika syften. Denna text tar som utgångspunkt ett specifikt lärandeobjekt, nämligen exponentiella förlopp och exponentialfunktioner som ingår i det centrala innehållet i matematik 1a, 1b och 1c (Skolverket, 2011). Exponentiella förlopp är intressanta som exempel att utgå ifrån eftersom många olika slags förlopp i naturen har denna karaktär, nämligen att den hastighet med vilken en storhet ökar eller avtar är proportionell mot storhetens aktuella värde. Exponentialfunktioner kan i undervisningen behandlas som en enskild företeelse med en multiplikativ struktur, som kan kontrasteras mot linjära funktioners additiva struktur. Liksom alla klasser av funktioner kan exponentialfunktionerna förstås via representationsformer som formel, tabell och graf, där kunskap om funktionerna naturligt handlar om relationen mellan olika representationsformer. Medan kalkylprogram kan användas för att illustrera formlers värden i tabeller, så kan Geogebra och Wolframalpha användas för att koppla samman formler och grafer. Genom att läraren väljer ut eller själv formulerar frågeställningar om dessa relationer får eleverna möjlighet att arbeta med uppgifter som både är begreppsorienterade och har problemlösningskaraktär. Vidare kan eleverna med hjälp av ett vanligt ordbehandlingsprogram (exempelvis Word) kombinera skriftlig och bildlig information från flera olika källor för att förstärka sin presentation av det egna arbetet. Exponentiella samband i formel, värdetabell och graf Ett sätt att introducera exponentialekvationer är att be elever undersöka formler av typen y = m a x. Digitala verktyg kan vara ett utmärkt stöd vid sådana undersökningar. Uppgift 1: Lista ut vart talen m och a i formeln y = m a x tar vägen när du: (a) Gör en värdetabell för formeln. Välj värden för m och a och använd Excel! (b) Gör en graf med formeln. Välj värden för m och a och använd Geogebra! Här förutsätts att eleverna redan är bekanta med båda verktygen, som sköter beräkningar respektive grafritning när de grundläggande inmatningarna är gjorda. Verktygen levererar resultat utan att eleverna behöver anstränga sig. I figur 1 visas värdetabell för funktionen y = 2,7 1,4 x, där en tänkt elev alltså har valt värdena m = 2,7 och a = 1,4 samt har matat in formeln i Excel och Geogebra. A-kolumnen innehåller x-värdena 0 till 10, B- och C- 1 (8)

2 kolumnerna innehåller värdena för m respektive a, medan D-kolumnen innehåller funktionsvärdena. Inmatning i kalkylarket: D6 = B6*C6^A6 Figur 1: Värdetabell för funktionen y = 1,4 2,7 x. I figur 2 visas hur en annan elev har konstruerat motsvarande värdetabell för värdena m = 3 och a = 2, fast inte genom att använda den givna formeln. Istället har eleven utnyttjat exponentialekvationens multiplikativa (rekursiva) egenskap, att värdet för nästa (större) heltal kan beräknas genom att multiplicera det tidigare värdet med a. Denna elev vet troligtvis svaret på den fråga som ställs i (a)-uppgiften, redan innan värdetabellen konstrueras. Inmatning i kalkylarket: D6 = C6*D5 Figur 2: Värdetabell för funktionen y = 3 2 x. Dessa olika val av värden och framförallt de olika sätten att implementera exponentialfunktionerna i kalkylarket, skapar goda förutsättningar för givande interaktion och kommunikation mellan eleverna. Om de upptäcker att de har matat in funktionerna på olika sätt, kan de börja med att testa varandras exempel. Den första eleven kan mata in den andra elevens värden i sitt kalkylblad och se att de genererar samma funktionsvärden. Detta kan göras effektivt genom att hela fältet i det första kalkylarket kopieras och klistras in i ett tomt fält (se figur 3). Kalkylarket fungera ju så, att de inbördes sambanden mellan värdena i det kopierade fältet bevaras när det klistras in på annan plats i arket (eller i ett nytt ark). 2 (8)

3 Figur 3: Värdetabeller för funktionerna y = 1,4 2,7 x och y = 3 2 x. I detta läge kan eleverna konstatera att de får samma värden (jämför kolumn D i figur 2 med kolumn I i figur 3) trots att de har matat in funktionerna på olika sätt. Detta är en bra utgångspunkt för fortsatt förhandling om hur de olika inmatningssätten fungerar och varför de genererar samma värden. De kanske till och med kommer på att de kan visa exponentialfunktionernas multiplikativa struktur genom att dividera det aktuella värdet med det närmast föregående värdet (figur 4). Om de inte kommer på det själva, så kan läraren utmana dem att försöka lista ut hur de kan visa den multiplikativa strukturen i kalkylarket. Inmatning i kalkylarket: E6 = D6/D5 Figur 4: I kolumn E kontrolleras funktionens multiplikativa struktur. Innan vi går vidare med (b)-uppgiften, kan vi konstatera att eleverna därmed är väl förberedda för att ta sig an följande typ av uppgift. Uppgift 2: Undersök om funktionerna med följande värdetabeller kan vara exponentialfunktioner. Om så är fallet, bestäm funktionsformeln. x y x y , , , (8)

4 Lösning: Tabellvärdena matas in i Excel och det aktuella värdet divideras med det närmast föregående värdet (figur 5). Då kan konstateras att endast tabellen till höger kan representera en exponentialfunktion. Denna funktion är (i så fall) y = 7 1,5 x. Figur 5: Icke exponentialfunktion (kolumn C) och möjlig exponentialfunktion (kolumn F). Läraren kan alltså välja att växla in eleverna på olika spår, exempelvis från uppgift 1(a) till uppgift 2, beroende på vad de upptäcker medan de arbetar med en viss uppgift. Ett annat sätt är att ta upp en lärarledd diskussion om uppgift 1(a) i helklass, så att alla elever får ta del av varandras upptäckter innan de går vidare med uppgift 2. Vi går nu vidare och tittar på uppgift 1(b). De två eleverna matar in sina formler i Geogebra och får då följande grafer (figur 6). Figur 6: Grafer till funktionerna y = 1,4 2,7 x och y = 3 2 x. De kommer överens om att de kan se startvärdet 3 och dubblingen i grafen till höger, men att de endast kan se startvärdet 1,4 (om de zoomar in) i grafen till vänster. De väljer att gå vidare genom att definiera glidare för startvärdet m och tillväxtfaktorn a. En fördel med att använda ett dynamiskt ritprogram som Geogebra är att grafens rörelse kan fånga elevernas uppmärksamhet på ett mer suggestivt sätt än en statisk bild kan göra. Läraren tipsar dem att ställa in Spår på och att ändra ett värde i taget. Resultatet visas i figur (8)

5 Figur 7: Konstant startvärde 3 respektive konstant ändringsfaktor 2. Eleverna ser nu tydligare startvärdet 3, som en invariant i bilden till vänster. Efter att ha undersökt värdena för x = 0 och x = 1 för några av graferna i bilden till höger, så kan de konstatera att alla graferna beskriver dubblingar fast med olika startvärden. Elevernas samlade erfarenheter kan med fördel lyftas i en lärarledd diskussion, där läraren vid behov kan tillföra ytterligare tolkningar med syfte att uppnå specifika lärandemål. Kanske kan lektionen avrundas med en gissningslek, där eleverna utifrån två givna punkter i ett koordinatsystem ska gissa formeln för en exponentialfunktion som går genom punkterna. Gissningarna kan prövas med Geogebra, med eller utan hjälp av glidare (figur 8). Figur 8: En exponentialfunktion som nästan går genom två givna punkter. Det är svårt att med enbart grafisk metod hitta en lösning till uppgiften. Detta kan emellertid utnyttjas som ett lärandetillfälle, då svårigheten att grafiskt hitta en lösning kan stimulera eleverna att arbeta med ekvationer i symbolisk form. Uppgiften kan ju lösas effektivt och exakt med algebra. 5 (8)

6 Uppgift 3: Bestäm den exponentialfunktion y = m a x som går genom punkterna (3, 4) och (8, 5). När de har löst denna uppgift algebraiskt (för hand, efter att ha testat att gissa och undersöka grafer) så kanske de inser värdet av att även kunna behärska algebraiska metoder. Ibland är en värdetabell att föredra, ibland är en grafisk prövning mer effektiv, medan en effektiv algebraisk undersökning ger ett exakt svar (om man vet vad man ska göra). Kanske någon elev ändå kommer på ett smartare sätt att grafiskt undersöka problemet. Alternativt kan läraren föreslå följande ansats. Genom att skriva y = m 1 a x 3 så inses att m 1 = 4. Det räcker därmed att undersöka funktioner av typen y = 4 a x 3 (figur 9). Eftersom alla dessa grafer går genom den ena punkten (3, 4) så behöver grafen endast anpassas till den andra punkten (8, 5). Precisionen kan dessutom förbättras genom att glidaren ställs in så att den visar fler decimaler. En rimlig slutsats är ändå att den algebraiska metoden är mest effektiv, men att den grafiska representationen bidrar till att förstå problemet och tolka lösningen. Inte minst kan den grafiska representationen användas för att kontrollera det svar som erhållits algebraiskt. Något facit behövs inte, eftersom eleven själv kan kontrollera svaret med hjälp av Geogebra. Figur 9: Grafer till exponentialfunktioner av typen y = 4 a x 3. Digital presentation med ordbehandlingsprogram Medan eleverna arbetar med kalkylprogram och Geogebra kan de uppmanas att dokumentera sitt arbete genom att göra bilder i form av skärmdumpar av sina resultat och klistra in dessa bilder i ett separat dokument, exempelvis i Word eller Powerpoint. Där kan de också skriva ner kommentarer till bilderna. Det kan ibland vara tidsödande och ineffektivt att göra alla konstruktioner med digitala verktyg. Även handritade konstruktioner kan då infogas i den digitala presentationen, så att allt underlag samlas in och dokumenteras på ett ställe. 6 (8)

7 Elevernas digitala presentationer kan sedan användas vid fortsatt diskussion i helklass. Sådana diskussioner, där eleverna får jämföra sina redovisningar, kan leda till att de utvecklar och förbättrar sina preliminära strategier. Helt avgörande för att lektionen ska bli bra är att läraren har tänkt igenom och formulerat tänkbara lärandemål som utgångspunkt för att planera lektionen. Uppgifter som del av en orkestrerad didaktisk situation De tre uppgifterna är tillsammans med Excel, Geogebra och Word (eller liknande program) viktiga beståndsdelar i lektionens didaktiska organisation (Trouche, 2004). Återstår för läraren att planera och orkestrera lektionen så att eleverna förstår vad uppgifterna går ut på och blir motiverade att arbeta med dem. Exempelvis kan några elever ha svårt att komma igång med uppgift 1, där de själva ska välja värden på de två konstanterna. När eleverna har arbetat ett tag med uppgifterna återstår för läraren att tillsammans med eleverna sammanfatta deras nya matematiska erfarenheter och förankra dem gentemot lektionens matematiska lärandemål. Då har läraren genomfört en komplett didaktisk situation, bestående av introduktion, elevarbete och uppföljning (Brousseau, 1997; jämför del 2). Under den lärarledda sammanfattningen bjuds eleverna in att presentera och diskutera vad de har gjort, som utgångspunkt för att med gemensamma matematiska konstruktioner bygga vidare mot de matematiska lärandemålen. De beskrivna uppgifterna kan naturligtvis formuleras om och anpassas till en specifik grupp elever. Det informella tilltalet lista ut vart talen tar vägen kan stimulera en grupp vana problemlösare att diskutera vad uppgiften egentligen går ut på medan elever som är mer ovana vid sådana aktiviteter kan behöva ytterligare motivation för att komma igång, exempelvis genom att frågan formuleras nästa gång kanske du inte har formeln utan bara värdetabellen eller grafen, hur kan du då identifiera talen m och a?. Här har läraren en viktig roll i att bedöma vilka uppgifter och instruktioner eleverna ska få ta del av. Å ena sidan är det viktigt att inte informera om sådant som eleverna kan tänkas komma fram till på egen hand, å andra sidan ska instruktionerna vara så pass tydliga att eleverna får möjlighet att komma i kontakt med den matematik som uppgifterna är tänkta att synliggöra. Det är alltså inte enbart de digitala verktygen som ska hanteras i undervisningen. De digitala verktygen skapar möjligheter att arbeta med nya typer av uppgifter som ger eleverna ännu fler ingångar till att förstå matematiken. Samtidigt krävs att läraren noga har planerat och organiserat didaktiska situationer där verktygen kan användas på ett meningsfullt sätt. I exemplet med exponentialfunktioner fick eleverna möjligheter att fokusera samband mellan olika representationer (formel, värdetabell och graf) utan att behöva genomföra numeriska beräkningar, som istället hanterades av de digitala verktygen. När lektionen planeras bör olika typer av förslag noga tänkas igenom, så att eleverna inte i onödan instrueras att göra sådant de skulle kunna komma på själva. En bra strategi kan vara att hålla inne med egna förslag och använda dem selektivt, för att få igång de elever som inte kommer vidare i sina egna undersökningar. 7 (8)

8 Sammanfattning Genom att använda digitala verktyg får eleverna ännu fler strategier att jämföra och att välja mellan, vilket är helt i linje med den gällande läroplanen för gymnasieskolan. Utifrån de beståndsdelar som har beskrivits och diskuterats i denna text, går det att utforma en didaktisk situation som berör flera av förmågorna i matematikämnets ämnesplan: använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat. följa, föra och bedöma matematiska resonemang. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang. Återstår modelleringsförmågan och relevansförmågan, där den förstnämnda delvis har berörts genom anpassning av en funktion till givna värden. Vi har valt att inte alls beröra relevansförmågan för att istället rikta fokus mot exponentialfunktionernas matematiska struktur. Anledningen till detta är att exponentialfunktioner är ett av de matematiska innehåll där det finns gott om relevanta tillämpningar utanför ämnet. Hela den beskrivna didaktiska situationen, med användning av både kalkylprogram, Geogebra och ordbehandlingsprogram samt behandling av samtliga uppgifter, ryms rimligen inte inom en enda lektion utan kan behöva fördelas över ett flertal lektioner om den ska genomföras i sin helhet. Det går dock alldeles utmärkt att välja ut och orkestrera delar av situationen, vilket också antyds i texten. Exempelvis kan uppgift 1(a) och uppgift 2 räcka för en lektion, särskilt om elevernas lösningar följs upp i en helklassdiskussion. Referenser Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, (8)