Matematiska undersökningar med kalkylprogram

Transkript

1 Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Matematiska undersökningar med kalkylprogram Håkan Sollervall, Malmö högskola & Ola Helenius, NCM Enligt den gällande läroplanen Lgr 11 (Skolverket, 2011) ska matematikundervisningen bidra till att elever får förutsättningar att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer. Eleverna ska också utveckla kunskaper i att tolka vardagliga och matematiska situationer. Den här texten beskriver hur användandet av kalkylprogram kan bidra till att utveckla dessa förmågor och även möjliggör att en större del av undervisningen kan ägnas åt teoretiskt inriktade diskussioner och resonemang. Det i sin tur kan motivera eleverna att också engagera sig i praktisk räkning och problemlösning med penna och papper. Medan vissa program (exempelvis Geogebra) är specifikt anpassade till matematikundervisning, så används kalkylprogram i många vardagliga sammanhang, exempelvis för att hantera privatekonomi och bokföring. I ett kalkylblad kan beräkningar göras i tabellform (figur 1) och resultaten kan illustreras grafiskt, exempelvis i ett linjediagram (figur 2). Figur 1. Ett enkelt kalkylblad för privatekonomi. Figur 2. Ett linjediagram som visar saldo på ett lönekonto under en månad. 1 (6)

2 Kalkylprogram kan användas både för att utföra beräkningar och för att undersöka verklighetsnära matematiska modeller. Genom att programmen sköter beräkningarna kan eleverna koncentrera sig på modellernas numeriska egenskaper och speciellt hur förändringar av ingående värden påverkar utgående värden. På så sätt kan eleverna bygga upp en numerisk känsla för matematiska samband som utgångspunkt för att förstå de underliggande algebraiska formlerna. Med hjälp av kalkylprogram kan också mer komplexa och för eleverna mer relevanta samband behandlas än de som kan hanteras med papper och penna. I många sammanhang utanför skolan förekommer kalkylblad som är konstruerade av någon annan. Det är därför viktigt att inse hur kalkylblad är uppbyggda och speciellt att de innehåller matematiska formler som kan undersökas, tolkas och värderas. En elevuppgift om energikostnad för uppvärmning Ett exempel är att undersöka hur energikostnaden varierar i ett hus. När det är kallt ute måste våra bostäder värmas för att kompensera den värmeenergi som försvinner ut genom fönster, dörrar, väggar, golv och tak. Effektförlusten P (watt, W) genom en specifik del av huset kan beräknas med formeln P = λ A T L (effektförlust) (1) Storheten λ (lambda; enhet W/(m )) kallas värmeledningsförmåga och har olika värden för olika material. Exempelvis har mineralull λ = 0,038 medan trä har λ = 0,14. Dessa och andra värden går enkelt att söka fram på nätet med sökordet värmeledningsförmåga. Vidare tar formeln (1) hänsyn till materialets area A (kvadratmeter, m 2 ) och tjocklek L (meter, m). Den återstående variabeln T (grader Celsius, ) är skillnaden mellan inomhus- och utomhustemperaturerna. Eleverna kan här studera samband mellan material, effektförlust och energikostnad, med hjälp av en för dem komplicerad formel utan att behöva fastna i numeriska beräkningar. I detta exempel tas inte hänsyn till effektförluster genom golv och tak, vilket i sig kan skapa intressanta diskussioner bland eleverna om huruvida det är rimligt eller inte. För en fördjupning av aktiviteten och didaktisk analys, se Aktiviteter med kalkylblad i denna del. 2 (6)

3 Figur 3. Elevens ifyllda kalkylblad. Att använda kalkylprogram i en didaktisk situation I exemplet ovan möter eleverna ett förprogrammerat kalkylblad så att de kan undersöka vardagsnära matematiska samband. Eleven behöver inte själv lista ut hur kalkylprogrammet fungerar utan kan använda kalkylbladet som ett instrument (Guin & Trouche, 1999; Verillon & Rabardel, 1995) för att studera hur olika dimensioner och variabler påverkar energiförbrukningen. Eleven kan fokusera på att genomföra matematiska undersökningar, tack vare att läraren har förberett ett verktyg som är anpassat till den specifika uppgiften. Eleverna kommer i kontakt med matematik som de annars troligen hade haft svårt att hantera också med miniräknare. Användning av kalkylprogram och andra digitala verktyg i matematikundervisningen förutsätter en väl genomtänkt orkestrering, där läraren har valt ut och anpassat verktyg till undervisningens behov samt tänkt igenom och planerat hur dessa verktyg ska användas i undervisningen. Lektionens upplägg med introduktion-elevarbete-uppföljning följer strukturen för en komplett didaktisk situation (Brousseau, 1997). Under uppföljningen synliggörs aktivitetens matematiska innehåll, med utgångspunkt i elevernas nyvunna erfarenheter. Här handlar det inte om att tvinga fram en på förhand bestämd matematisk diskussion utan att vara lyhörd för vad eleverna faktiskt engagerar sig i och vara beredd att följa upp deras matematiska resonemang. Ju mer förberedd man som lärare är på olika vändningar som undervisningen kan tänkas ta, desto bättre, men det måste alltid finnas utrymme för att bli överraskad och följa upp elevernas olika resonemang. Elevernas tankar och idéer sammanfattas och kan följas upp på ett sätt som är meningsfullt för hela klassens matematiklärande. Detta betyder inte att alla elever nödvändigtvis måste förstå allt som diskuteras, minst lika viktigt är att förtydliga syftet med lektionen och de aktuella matematiska lärandemålen. 3 (6)

4 I nästa avsnitt ger vi några exempel på hur en lärarledd sammanfattning och uppföljning kan orkestreras, med utgångspunkt från att eleverna har arbetat med kalkylbladet i föregående exempel. Lärarledd sammanfattning och uppföljning Det faktum att eleverna har arbetat var för sig, eller i mindre grupper, med en och samma uppgift skapar bra förutsättningar för en matematiskt givande helklassdiskussion, där eleverna får möjlighet att resonera, argumentera och värdera olika lösningsförslag. Därmed får de möjlighet att tolka och reflektera över vad de har gjort när de använde kalkylbladet. Då elever arbetar med kalkylblad behöver de inte fundera på vilka formler som styr beräkningarna. Ibland kan dock undervisningens syfte vara att undersöka formlerna närmare, exempelvis genom att först fråga eleverna vilka variabler de tror påverkar kostnaden. När de har kommit fram till att area, kvalitet, tjocklek, tid, energipris och temperaturen påverkar, så kan det passa att ta upp en diskussion om hur de påverkar. En sådan diskussion kan landa i följande sammanställning: Hög energikostnad Stor area Dåligt material Tunna material Lång tid Högt energipris Låg utomhustemperatur Hög inomhustemperatur Låg energikostnad Liten area Bra material Tjocka material Kort tid Lågt energipris Hög utomhustemperatur Låg inomhustemperatur Figur 4. Tabell som visar hur olika variabler påverkar energikostnaden. Hur ett förberett kalkylblad kan bidra till att utveckla förmågor Förmågorna i den gällande läroplanen för matematik (Skolverket, 2011) lyfter fram olika dimensioner av matematiskt kunnande. Eleverna ska bland annat utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. De ska också utveckla förmåga att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp samt föra och följa matematiska resonemang. Medan att lösa problem, använda matematiska begrepp och föra resonemang handlar om eget arbete och att processa matematik, så handlar värdera strategier, analysera problem och följa matematiska resonemang om att reflektera över matematiska objekt och fenomen. Kort ut- 4 (6)

5 tryckt, så handlar det både om att göra (lösa, använda, föra) och att förstå (värdera, analysera, följa). Ofta kommer praktik (att göra) före teori (att förstå) i matematikundervisningen, vilket kan tyckas naturligt eftersom eleverna bör ha processat något innan de kan börja fundera över den produkt som har kommit fram i processen. Med kalkylblad som verktyg går det emellertid att vända på denna ordning. Kalkylbladet kan, som i exemplet med energikostnad, producera resultat som eleverna kan reflektera över för att förstå (värdera, analysera, följa), antingen på egen hand eller i en lärarledd diskussion. Om de då upptäcker att resultaten faktiskt är intressanta och användbara, kan det tänkas att de blir mer motiverade att lära sig mer om hur de själva kan komma fram till dessa resultat, dvs. att göra (lösa, använda, föra). För att arbetsordningen från teori till praktik ska fungera i matematikundervisningen krävs att teorins matematiska objekt görs tillgängliga för eleverna och det är just denna funktion som kalkylbladet har i exemplet med energikostnad för uppvärmning. När eleverna har arbetat med kalkylbladet (figur 3) och deltagit i den sammanfattande diskussionen har de inte själva processat de algebraiska formler som ligger till grund för beräkningarna. Däremot har de tolkat värden och kommit i kontakt med matematiska uttryck av den typ som används i kalkylprogrammet. Variablerna heter där inte x och y, utan anges med hänvisning till position i kalkylbladet, exempelvis C5 eller D12. Kalkylbladet i figur 3 har programmerats så att en del av en kolumn innehåller värden för en och samma variabel, vilket till exempel gäller fälten B3 B16 (area) och C3 C16 (tjocklek). I kolumnerna B, C, D och E kan eleverna fylla i vilka värden som helst. Sedan beräknas värdena i kolumnerna F och G av kalkylbladets förprogrammerade formler. När eleverna har vant sig vid detta sätt att tänka och arbeta med kalkylbladet kan de prova på att själva formulera matematiska samband i ett nytt kalkylblad. Eleverna kan arbeta tillsammans och hjälpa varandra med att reda ut den tekniska hanteringen, så att de börjar använda kalkylbladet som ett instrument för att formulera egna matematiska samband och undersöka samband som de själva har formulerat. Ett sätt att göra detta är att formulera matematiska samband i form av talföljder. Ett annat, något mer konkret, sätt är att undersöka löner: Markus har fått ett sommarjobb på ett café. Han vet inte hur många timmar han kommer jobba eller vad timlönen är. Det han vet är att han ska betala 31 % i skatt. Hur kan Markus bestämma hur mycket pengar han får efter skatt? För fler aktiviteter, se Aktiviteter med kalkylblad. Sammanfattning Det är inte helt enkelt för elever att använda kalkylprogram för att göra matematiska undersökningar. En strategi kan vara att förbereda kalkylblad där eleverna kan mata in numeriska värden för att sedan försöka värdera och analysera de resultat som kalkylbladet producerar med stöd av de formler som läraren har skrivit in. Eleverna får på så sätt en teoretisk ingång 5 (6)

6 till matematiken, där de får möjlighet att studera matematiska samband utan att behöva fastna i numeriska beräkningar. Därefter kan eleverna prova på att formulera sig matematiskt genom att själva skriva in formler i ett tomt kalkylblad. Deras förståelse kan stärkas ytterligare om de får tillfälle att arbeta med och diskutera varandras teknikstödda formuleringar. När undervisningen sammanfattas och följs upp i en lärarledd diskussion kan elevernas aktiviteter förankras gentemot de matematiska lärandeobjekten i lektionsplaneringen. Eleverna kan stimuleras att fördjupa sina kunskaper genom att använda och arbeta med formler och uttryck för hand, utan stöd av digitala verktyg. Det har i flera undersökningar konstaterats att svensk matematikundervisning i alltför hög grad består av praktiskt inriktat arbete där elever följer procedurer och löser standarduppgifter. Att använda kalkylblad i matematikundervisningen kan ge förutsättningar för att orkestrera en teoretiskt inriktad undervisning där alla elever också får möjlighet att värdera strategier, analysera problem och följa matematiska resonemang. Referenser Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Guin, D. & Trouche, L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: The case of calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3(3), Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, Lgr 11. Stockholm: Skolverket. Tillgänglig från Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students command process through instru-mental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, Verillon, P. & Rabardel, P. (1995): Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrument activity. European Journal of Psychology in Education, 10(1), (6)