Dynamisk representation med digitala verktyg

Transkript

1 Matematik Grundskola årskurs 1-3 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg I Del 3: Dynamisk representation med digitala verktyg Dynamisk representation med digitala verktyg Ulrika Ryan & Håkan Sollervall, Malmö högskola; Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet & Ola Helenius, NCM Hur digitala verktyg kan skapa förutsättningar för en interaktiv matematikundervisning som bygger på elevernas egna matematiska konstruktioner har beskrivits i de tidigare delarna i denna modul. Denna text kommer särskilt att lyfta fram hur digitala verktyg kan stödja matematisk representation, samt hur sådana verktyg kan användas i matematikundervisningen. Människan har alltid använt olika slag av redskap eller verktyg i vilka hon har byggt in sitt kunnande. Verktygen kan ta oss bortom de gränser som våra biologiska förutsättningar sätter och medverka till att vårt sätt att leva förändras. Till exempel har utvecklingen av verktyg för transport och informationsöverföring förändrat våra levnadsvanor radikalt. Verktyg kan användas på olika sätt beroende på användarens kompetens och intressen. Datorn kan till exempel användas för att skriva och spara texter, utföra beräkningar, söka information eller översätta mellan matematiska representationer. När vi använder olika verktyg påverkas vårt tänkande, men verktygen präglas i lika stor omfattning av vårt tänkande. Även själva matematiken kan ses som ett verktyg som kan användas för att förstå, beskriva och påverka vår omvärld. Då det gäller matematikundervisning kan digitala verktyg fylla olika funktioner. De kan dels användas instrumentellt, till exempel som skriv- eller räkneinstrument för textframställning eller beräkningar, vilket motsvarar användandet i vardags- och yrkeslivet, men de kan också fungera som verktyg för lärande och undervisning. Ett exempel på detta är elever som laborerar med digitala konstruktioner av olika geometriska objekt för att utveckla sin begreppsförmåga kring dessa. Alla verktyg som finns eller görs tillgängliga i matematikklassrummet påverkar den undervisning som bedrivs och därmed påverkar de även elevernas lärande. Matematiska representationer och mänskliga uttrycksformer Matematiska objekt är till sin natur abstrakta. När vi ska kommunicera med andra om matematiska idéer, exempelvis när vi beskriver tal, matematiska beräkningar eller resonerar om lösningsstrategier, måste vi uttrycka dem på något sätt. De ljud, bilder, gester eller symboler som vi då använder brukar kallas för representationer av objektet i fråga. Å ena sidan är det en presentation, en återgivning eller framställning av en idé som någon vill förmedla. Å andra sidan beskriver ordledet re- att det också kan vara en åter-presentation, en alternativ presentation av något som redan presenterats. Matematiska objekt har den egenskapen att de kan representeras på många olika sätt. Många matematiska representationer är också i sig matematiska konstruktioner, som positionssystemet som bygger på basen 10 som vi 1 (12)

2 vanligtvis använder för att representera tal. Genom att manipulera tal i denna representation kan vi utföra beräkningar mycket enklare än om vi representerar talen verbalt eller med romerska siffror. För att exemplifiera ett begrepps relation till olika representationer använder vi det matematiska objektet tjugotvå, som kan representeras med de 22 korten i figur 1. Korten kan användas för att representera detta antal men de kan även representera annat, exempelvis olika värden om de ska bytas mot andra kort eller andra föremål. Figur 1: 22 stycken kort som en representation av det matematiska objektet tjugotvå. Eftersom det är antalet kort som är av intresse i vårt fall kan detta representeras genom att använda siffersymbolerna 22 eller det verbala uttrycket tjugotvå. Antalet kan även representeras med laborativt material, till exempel klossar eller tiobasmaterial. Ingen av dessa representationer är fullständig utan var och en av dem lyfter fram olika aspekter av talet 22. Det tidiga arbetet med tal som antal lägger fokus på att eleverna ska göra kopplingar mellan laborativa konstruktioner, skrivna symboler och räkneord. Med andra ord ska de göra översättningar mellan olika former av representationer. 22 tjugotvå Figur 2: Olika representationer för det matematiska objektet tjugotvå. 2 (12)

3 Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad dessa skall användas till och också på vilken förförståelse eleverna har. För att nå en fördjupad förståelse av matematiska begrepp behöver vi tolka och använda olika representationer och även göra översättningar mellan dem. Det finns två sätt att översätta mellan representationer, dels genom att behandla representationer av samma slag och dels genom att omvandla mellan olika slags representationer. Att sortera tjugotvå stycken klossar så att det lättare går att se deras antal innebär en behandling, vars resultat kan omvandlas till de skrivna symbolerna 22 (figur 3). behandling omvandling 22 Figur 3: Behandling och omvandling av representationer för det matematiska objektet tjugotvå. Att omvandla mellan olika slags representationer för ett matematiskt objekt kräver en aktiv handling från elevens sida och anses kognitivt mer ansträngande än att behandla representationer av samma slag (Duval, 2006; Kirsh, 2010). Det är av vikt att elever får möta samma matematiska objekt representerat på flera olika sätt och att de får tillfälle att själva representera samma matematiska objekt på olika sätt. Här kan digitala verktyg spela en viktig roll, eftersom de kan hjälpa till med själva översättningen så att eleverna kan koncentrera sig på att tolka, jämföra och kombinera tolkningar som stöds av olika representationer. Då matematik kommuniceras väljs vad som ska uttryckas med stöd av en viss representation. Det matematiska uttrycket kan ses som en kombination av representation och kommunikation (Hegedus & Moreno-Armella, 2009). Matematiska uttryck uppstår först när matematiska tankar och idéer kommuniceras med stöd av representationer. Kommunikationen sker ofta verbalt eller skriftligt, ibland i kombination med fysiska gester, bildspel eller filmer. I läroplanen anges att undervisningen ska syfta till att eleverna utvecklar förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011). En förutsättning för att eleverna ska kunna göra detta är att de har tillgång till och kan översätta mellan olika matematiska representationer och att de får möjlighet att kommunicera kring dessa översättningar. Matematiklärande med digitala verktyg Att orkestrera matematikundervisning med digitala verktyg inkluderar att tänka igenom vilka konsekvenser användandet av ett visst verktyg har för elevernas lärande och sedan välja ut verktyg som eleverna ska arbeta med för att uppnå specifika lärandemål. Verktygen är betydelsefulla för att stödja lärandet men de bär naturligtvis inte själva upp hela 3 (12)

4 undervisningen. Helt avgörande är hur verktygen, genom lärarens orkestrering, sätts i spel i elevernas tänkande och lärande. Verktyg kan användas för att underlätta utförandet av uppgifter men också för att lyfta fram vissa aspekter av matematiska objekt. Eftersom syftet med matematikundervisning är elevernas lärande är det självfallet så även då digitala verktyg används. Det innebär till exempel att då verktygen används för att underlätta någon aspekt i utförandet av en uppgift bör det göras för att ge eleverna möjlighet att fokusera på den eller de aspekter av uppgiften som sammanfaller med lärandemålet och inte för att eleverna ska lösa uppgiften så snabbt som möjligt. Lärarens val av verktyg och matematikuppgifter anpassas till lärandemålen och utformas för att erbjuda eleverna utmaningar och motstånd, vilket krävs för att lärande ska uppstå (Brousseau, 1997). Det kan förstås vara så att eleverna gör andra matematiska upptäckter än de som läraren har planerat att eleverna ska göra. Detta kan leda till att lektionens lärandemål ändras och att lektionen ändrar inriktning. Elevernas upptäckter har i så fall fått inflytande på lektionens innehåll och lärandemål. Syftet med att använda verktyg i matematikundervisningen, oavsett vilket lärandemål som avses, är inte att underlätta vägen fram till svar på utvalda matematikuppgifter utan att erbjuda eleverna väl genomtänkta utmaningar, så att de lär sig något (specifikt) medan de löser uppgifterna. Digitala verktyg som instrument för lärande och undervisning Relationen mellan uppgifters utmaningar och verktygets möjligheter är dock inte den enda frågan att fundera på när undervisningen planeras och genomförs. En viktig fråga handlar om relationen mellan svårigheten att lära sig använda själva verktyget och den nytta verktyget sedan gör för elevens lärande. När nya digitala verktyg introduceras i matematikundervisningen kan den tekniska hanteringen ta tid från den matematiska verksamheten. Här gäller det för läraren att värdera nyttan av verktyget i relation till de lärandemål som undervisningen syftar till. I matematikundervisningen måste läraren därför planera hur digitala verktyg ska introduceras och användas. Det eleverna lär sig av att använda verktyget måste vara värt mödan att lära sig använda verktyget. Detta värde av att använda digitala verktyg bör dock bedömas i ett långsiktigt perspektiv, eftersom de stora fördelarna med att använda digitala verktyg kanske visar sig först efter en tids systematisk användning. Matematikapplikationer av olika slag är inte sällan utformade för specifika lärandesyften. Det kan handla om att hantera en viss typ av uppgifter eller att lyfta fram egenskaper hos specifika matematiska objekt. När ett verktyg används för att uppnå ett specifikt syfte eller helt enkelt för att utföra något används det som ett instrument för att uppnå detta syfte (Verillon & Rabardel, 1995; Guin & Trouche, 1999). Exempelvis är en vanlig pensel ett verktyg som kan användas som instrument för att måla. Det är vårt syfte med målandet eller vad vi vill åstadkomma som avgör huruvida det är komplicerat eller inte att behärska ett verktyg. Då penseln används som instrument för att måla en vägg vit tar det relativt kort tid att lära sig använda verktyget i detta syfte, men om avsikten är att använda penseln för att måla som Leonardo davinci, ja då kanske en hel livstid krävs för att behärska penseln som instrument för måleri. Det är alltså syftet med användandet som avgör huruvida det är 4 (12)

5 komplicerat att använda verktyget som instrument eller ej, men också i vilken utsträckning det fungerar som ett instrument för lärande. Ovan belystes problematiken kring huruvida ett verktyg är svårt eller lätt att använda. Till diskussionen om verktyg och matematiklärande kan ytterligare en aspekt läggas, nämligen den om vad det är för något specifikt som instrumentet kommit att utföra. Det kan tyckas självklart (i alla fall ur ett lärarperspektiv) att det är matematiklärande som instrumentet ska utföra, men det är fullt möjligt att tänka sig att elever under samma matematiklektion, använder ett och samma verktyg för helt olika syften. I utdraget nedan, som är hämtat från en studie om lärares antaganden om matematikundervisning med digitala verktyg, samtalar två lärare om digitala verktygs möjligheter och hinder i matematikundervisningen. (L1 står för lärare 1.) L1: Han ska träna enkel matematik det är någon additionsgrej eller något sådant här som han gör. Och då ska han kolla och så ska han lägga... han sitter bara och drar så här L2: Ja, ja... L1:... och det är ett hinder tycker jag för då lär man sig inte va tycker jag Många: Ja nä L1: då ska man ha något annat och jobba med och inte sitta så för att det funkar ju liksom inte asså han lär ju sig ingenting av det Lärare 1 beskriver hur elevens interaktion med verktyget inte leder till matematiklärande. Det specifika syfte som elevens tankar och handlingar sammansmält med verktygets möjligheter och begränsningar är tänkt utföra, sammanfaller inte med det avsedda syftet som läraren hade, nämligen additionslärande. Det som istället sker är att han sitter bara och drar. Det är fullt möjligt att det specifika som instrumentet (dvs. elevens tankar och handlingar tillsammans med verktyget) utför är att undersöka hur olika ljud, som kanske finns inbyggda i applikationen, kan sättas samman till en melodi eller något annat. Det går att tänka sig många alternativa sätt att hantera matematikapplikationer på, som inte nödvändigtvis handlar om matematiklärande. Utdraget visar att det inte är tillräckligt att sammanföra elev och verktyg för att ett matematiklärande ska ske och att det i själva verktyget inte finns inbyggt ett matematiklärande. Istället är det lärarens orkestrering av undervisningssituationen som spelar en avgörande roll för elevernas lärande, så till vida att det är genom den som elever stöttas i att rikta sin uppmärksamhet mot de aspekter hos verktyget som är relevanta för att lärandemålet ska uppnås. En form av digitala verktyg för matematikundervisning är applikationer som stödjer digital representation av matematiska objekt. Det är skillnad mellan statiska och dynamiska representationer. De statiska är i stort sett digitala avbildningar av olika slags fysiska representationer, ofta laborativt material. Dessa avbildningar är låsta och tillåter inte att eleverna påverkar dem i någon nämnvärd grad. Dynamiska representationer däremot 5 (12)

6 medger att eleverna kan påverka och laborera med dem, vilket i sin tur möjliggör matematiska undersökningar och upptäckter särskilt eftersom de digitala representationerna kan programmeras så att de beter sig matematiskt korrekt. Applikationer som stödjer dynamisk representation finns att tillgå både som appar till surfplattor, som applikationer till datorer eller online via nätet. Geogebra är ett exempel på en omfattande dynamisk matematikapplikation som medger att användaren laborerar med olika representationsformer. Geogebra används i matematikundervisning från grundskolans tidigaste år till matematikutbildning på universitetsnivå. Här i modulens del används Geogebra i uppgiften Spatialt tänkande som finns beskriven i dokumentet Aktiviteter med ett dynamiskt verktyg. Talundersökning med hjälp av dynamiska representationer I detta avsnitt ges ett exempel på hur en lärare kan orkestrera sin undervisning med utgångspunkt i det matematiska objekt hon vill att eleverna ska undersöka och utveckla förtrogenhet med. Läraren har valt att arbeta med fyrsiffriga tal i det decimala talsystemet, alltså vårt vanliga positionssystem med basen 10. Inledningsvis gör hon en analys av elevernas förkunskaper. Hon konstaterar att de känner till de hindu-arabiska siffrorna 0-9 och hur tal kan representeras, både symboliskt och som antal. Eleverna har också viss kunskap om siffrornas platsvärden då de används i flersiffriga tal och vad det innebär att använda basen 10. Lärarens mål med lektionen är att eleverna ska lära sig mer om siffrors platsvärden och speciellt vad som händer det blir fullt i alla använda positioner, som i talet 999. Hon vill att eleverna ska komma fram till att en ökning med 1 medför att en ny position behöver öppnas upp och att summan skrivs Hennes långsiktiga mål är att eleverna laborativt ska lära sig vad det innebär att addera två tal i det decimala talsystemet och hur summan måste behandlas innan den kan skrivas i samma talsystem. Det specifika målet för den aktuella lektionen är att eleverna ska lära sig att behandla tiobasmaterial så att givna tal läggs på det sätt som positionssystemet kräver, dvs. med högst nio stycken block av varje storleksordning 1, 10, 100, Nu är det dags att fatta beslut om den didaktiska organisationen, det vill säga att bestämma vilken elevernas uppgift ska vara och vilka verktyg eleverna ska använda sig av. Uppgiften som läraren beslutar sig för går ut på att eleverna i par väljer ett flersiffrigt tal som den ena säger och den andra lägger med hjälp av en dynamisk applikation. Uppgiften erbjuder eleverna att möta det valda talet representerat på tre olika sätt nämligen med laborativt material, med talade symboler och med skrivna symboler. Eleverna får även i uppgift att avbilda talet, att ange siffrornas platsvärden, samt att skriva talet i utvecklad form och med hjälp av bokstäver. Som stöd ska eleverna använda en applikation hämtad från webbplatsen National Library of Virtual Manipulatives (NLVM). NVLM är framtagen av Utah State University i samarbete 6 (12)

7 med National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). På webbplatsen finns ett antal applikationer varav somliga möjliggör möte med matematiska objekt representerade på mer än ett sätt. Eftersom applikationerna är dynamiska går det även att undersöka hur olika representationsformer förändras då någon av dessa påverkas. Den applikation som eleverna ska använda kallas för Base Blocks och kan hämtas på nedanstående länk: Applikationen Base Blocks fungerar så att eleverna kan påverka hur många kolumner som ska finnas öppna och de kan klicka fram ental, tiotal, hundratal och tusental (då basen är 10) varvid det lagda talet representeras med symboler i fältet till höger (se figur 4). Figur 4: Talet 1242 visat med olika representationer i applikationen Base Blocks. Om fler än 9 ental läggs i entalskolumnen (eller tiotal i tiotalskolumnen och så vidare) försvinner den skrivna symbolrepresentationen från högerspalten, eftersom talbasen 10 endast tillåter siffror upp till 9 i varje position. Om exempelvis 12 ental läggs i entalskolumnen, så visas ingen symbol i högerspalten (se figur 5). Figur 5: Om fler än 9 ental läggs i entalsspalten försvinner den symboliska representationen. I stället måste de tio entalen föras samman till ett tiotal vilket låter sig göras i denna applikation genom att markera samtliga entalskuber. I figur 6 visas hur 12 ental är på väg att representeras som 1 tiotal plus 2 ental. 7 (12)

8 Figur 6: Tolv ental som är på väg att representeras som ett tiotal plus två ental. Då tiotalsstaven förts över till tiotalskolumnen dyker den symboliska representationen upp igen eftersom både tiotals- och entalspositionerna används och talet kan representeras med siffror (figur 7). Figur 7: Då tiotalsstaven förts över till tiotalskolumnen syns den symboliska representationen igen. Eftersom Base Blocks uppför sig på detta vis är lärarens förhoppning att elever ska upptäcka att om de exempelvis representerar 717 som 7 hundratal och 17 ental så kommer den symboliska representationen att försvinna. Lärarens plan är då att visa problemet med det försvunna talet på den interaktiva skrivtavlan och tillsammans med eleverna finna en lösning och förklaring till problematiken, det vill säga att det inte kan finnas fler än 9 i entalspositionen och om det gör det måste 10 av dessa föras samman till ett tiotal och flyttas över till tiotalspositionen. Nu är läraren klar med den didaktiska organisationen. Planen för genomförande omfattar att läraren planerat att inleda lektionen med att visa det fysiska tiobasmaterial som eleverna är bekanta med sedan tidigare och att använda den interaktiva skrivtavlan och det fysiska materialet för att visa kopplingar mellan den fysiska och den digitala representationen. Eleverna ska också genom det inledande samtalet få tillfälle att friska upp minnet kring olika aspekter av det decimala talsystemet, som klassen tidigare arbetat med. Efter det ska läraren presentera uppgiften och låta eleverna arbeta två och två vid datorerna som lånats in till klassrummet. I det gemensamma samtalet efteråt får läraren tillfälle att stötta eleverna i arbetet med att byta vardagsord mot matematikens ord och begrepp. Eftersom eleverna 8 (12)

9 själva först formulerat innebörden i de ord och begrepp de använder ges de bättre möjlighet att skapa mening kring de matematikord som läraren därefter erbjuder. Lärarens förberedelse av lektionen, som en del av orkestreringen, följer Brousseaus (1997) struktur för en didaktisk situation (se del 2) med introduktion, elevarbete och uppföljning. Den dynamiska representation som används i uppgiften möjliggör en systematisk talundersökning och ger eleverna tillfälle att vara konstruerande och kreativa samtidigt som de kommunicerar sina upptäckter med sina klasskamrater. De använder olika slags representationer och arbetar speciellt med förmågan kommunicera matematik med matematikens uttrycksformer. Avgörande för elevernas matematiklärande i uppgiften är att de genom lärarens orkestrering riktar sin uppmärksamhet mot just de aspekter av tal som undersökningen avser. Som visats ovan ligger elevernas lärande inte i själva applikationen och inte heller i ett oreflekterat görande, utan i att deras kognitiva aktivitet då de interagerar med applikationen riktas just mot, i det här fallet, hur tal representeras i det decimala talsystemet. Hur valet av verktyg kan påverka lektionens orkestrering Om läraren i stället för att låta eleverna använda Base Blocks hade låtit dem arbeta med vanliga klossar eller konkret tiobasmaterial hade hon varit tvungen att först förklara för eleverna vad det innebär att en position blir full och först därefter hade eleverna kunnat använda klossarna för att konkretisera det läraren förklarat. Tack vare den dynamiska representationen Base Blocks kan eleverna själva experimentera med vårt talsystem och på egen hand göra upptäckter kring detsamma. Det finns gott om olika dynamiska applikationer som kan användas för att representera tal i vårt talsystem. Eftersom olika applikationer ofta fungerar på något skilda sätt medför det att eleverna kan göra olika matematiska upptäckter, vilket i sin tur påverkar lärarens orkestrering av undervisningen. Vi ska använda applikationen Virtual Place-Value Blocks (EnVisionMATH, 2007) för att illustrera detta. Applikationen fungerar så att eleverna lägger upp block på arbetsytan, varpå antalet representeras med symboler i rutan längst ner (se figur 8). Figur 8: Talet 452 representerat i applikationen Virtual Place-Value Blocks. 9 (12)

10 Eleverna kan använda olika verktyg, exempelvis en hammare för att slå sönder en tiotalsstav, eller klister för att klistra ihop t.ex. tio tiotalsstavar till ett hundratal. I en studie av Burris (2010) användes denna applikation för att undersöka 8-9-åriga elevers matematiska tänkande då de arbetade med den. I studien beskrivs hur två elever arbetar med talet 163 som de representerat på arbetsytan med hjälp av 1 hundratal, 6 tiotal och 3 ental, varpå den ena eleven använder hammaren för att slå sönder 1 tiotal till ental. På arbetsytan visas nu 1 hundratal, 5 tiotal och 13 entalskuber. Följande från studien återgivna samtal uppstår mellan eleverna: Nuri: Är det fortfarande 163? Kim: Ja, titta. Det är det här. [Pekar på skärmen där den symboliska representationen fortfarande visar 163.] Eleverna fortsätter att utveckla sin upptäckt och slår sönder hundratalet till 10 tiotal varvid de kontrollräknar att de har 16 tiotal genom att räkna tio, tjugo, trettio och så vidare till 160. Slutligen slår de sönder alla tiotal så att de har 163 entalskuber. På vilket vis kan eleverna ha användning av att bygga och använda representationer av tal som inte är av standardkaraktär? Betrakta subtraktionen Genom att uttrycka 62 som 5 tiotal och 12 ental kan subtraktionen beräknas som = = = 35. Motsvarande tankeform används även vid växling i subtraktionsalgoritmer. Att eleverna upptäcker att tal kan representeras annorlunda än vad som är standard för tal i basen tio spelar alltså roll i ovan nämnda subtraktionsberäkning. Trots att de båda applikationerna är lika varandra finns det också avgörande skillnader. Den första möjliggör upptäckter och diskussioner som kan kopplas till grundläggande egenskaper i vårt talsystem, exempelvis några aspekter av vad det innebär att basen 10 används. Den andra applikationen ger eleverna tillfälle att undersöka representationer av tal som inte är av standardkaraktär, något som är användbart till exempel vid subtraktionsberäkningar. Dynamiska representationer möjliggör att elever kan experimentera med matematik på ett sätt de annars inte skulle kunna göra, vilket i sin tur innebär att lärarens frågeställningar och uppgifter till eleverna blir annorlunda. Detta påverkar och förändrar såväl lärandemål som orkestrering. Det är således möjligt att utveckla sin matematikundervisning genom att använda dynamiska representationer. Sammanfattning Läraren påverkar vad som sker i klassrummet bland annat genom att välja vilka verktyg som eleverna ska använda sig av i sitt lärande. Att välja verktyg kräver kännedom om vilka lämpliga verktyg som finns, hur olika verktyg fungerar och på vilket sätt undervisningen ska orkestreras för att de ska fungera som instrument för att nå specifika lärandemål. Det finns 10 (12)

11 digitala verktyg som erbjuder dynamiska och samtidiga representationer på ett sätt som inte är möjligt med enbart penna och papper. Dessa digitala verktyg tillåter elever att själva undersöka kopplingar mellan olika representationer och på så sätt få insikt i sätt att omvandla mellan olika representationsformer, vilket är särskilt viktigt i matematisk kommunikation, matematiska resonemang och framför allt vid problemlösning. En fördel med att använda applikationer som stödjer dynamisk representation är att de ofta ger direkt respons på elevernas arbete, vilket stimulerar deras inbördes kommunikation och interaktion samt ger underlag till en uppföljande gemensam diskussion i helklass. Exempel på sådan respons är utebliven symbolisk representation i applikationen Base Blocks när talet läggs på otillåtet sätt, vilket kan jämföras med den bibehållna symboliska representationen i Virtual Place-Value Blocks när delar av talet slås sönder eller klistras ihop. Båda dessa funktioner stimulerar eleverna att resonera om vad som händer när de arbetar med applikationerna. Snarlika digitala dynamiska representationer kan alltså fungera på något olika sätt, vilket i sin tur påverkar vilka upptäckter eleverna ges möjlighet att göra. Även detta behöver läraren ta hänsyn till i sin orkestrering av undervisningen. Referenser Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Kluwer Academic Publishers. Burris, J. (2010). Third Graders Mathematical Thinking of Place Value through the Use of Concrete and Virtual Manipulatives. Houston: University of Houston Press. Chi, M.T.H. (2009). Active constructive interactive: A conceptual framework for differentiating learning activities. Topics in Cognitive Science, 1(1), Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, EnVisionMATH (2007). Math games 2009 CD-ROM grade K/6. Scott Foresman Addison Wesley Mathematics. Guin, D. & Trouche, L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: The case of calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3(3), Hegedus, S., & Moreno-Armella, L. (2009). Intersecting representation and communication infrastructures. ZDM: The International Journal on Mathematics Education Transforming Mathematics Education through the Use of Dynamic Mathematics Technologies, Vol. 41, No. 4, Kirsh, D. (2010). Thinking with external representations. AI & Society, 25, (12)

12 Verillon, P. & Rabardel P. (1995). Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrument activity. European Journal of Psychology in Education, 9(3), (12)