Cirkelkriteriet (12.3)

Relevanta dokument
TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 8. Inversa cirkelkriteriet. Föreläsning 9. Föreläsning 9: Cirkelkriteriet och beskrivande funktion

Reglerteori. Föreläsning 10. Torkel Glad

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 10: Fasplan. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet. Torkel Glad Reglerteori 2015, Föreläsning 10

Frekvensbeskrivning, Bodediagram

TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet. Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Amplitudstabilitet hos svängningar

Reglerteori. Föreläsning 8. Torkel Glad

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik fk M (TSRT06)

Reglerteknik I: F6. Bodediagram, Nyquistkriteriet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0

Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 8: Olinjäriteter och stabilitet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120

Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 5. Sammanfattning av föreläsning 4 Frekvensanalys Bodediagram

Exempel: DC-servo med styrsignalmättning DEL III: OLINJÄR REGLERTEORI. DC-servo forts.: Rampsvar och sinussvar

G(s) = 5s + 1 s(10s + 1)

ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

Figur 2: Bodediagrammets amplitudkurva i uppgift 1d

Olinjära system (11, 12.1)

TSIU61: Reglerteknik. Frekvensbeskrivning Bodediagram. Gustaf Hendeby.

Frekvensbeskrivning, Bodediagram

Lösningar till Tentamen i Reglerteknik AK EL1000/EL1100/EL

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Nyquistkriteriet, kretsformning

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

TSIU61: Reglerteknik. de(t) dt + K D. Sammanfattning från föreläsning 4 (2/3) Frekvensbeskrivning. ˆ Bodediagram. Proportionell }{{} Integrerande

Stabilitetsanalys och reglering av olinjära system

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl

Reglerteknik AK, FRTF05

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

Frekvenssvaret är utsignalen då insginalen är en sinusvåg med frekvens ω och amplitud A,

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp (a) Statiska förstärkningen = (0), och ( )= [ ( )].

Reglerteknik AK. Tentamen 24 oktober 2016 kl 8-13

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl

Komplexa tal. j 2 = 1

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Reglerteknik AK, FRTF05

Lösningar Reglerteknik AK Tentamen

REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL En tillståndsmodell ges t.ex. av den styrbara kanoniska formen: s 2 +4s +1.

Kompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem

Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2

Specifikationer i frekvensplanet ( )

( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

TENTAMEN I REGLERTEKNIK TSRT03, TSRT19

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Övning 3. Introduktion. Repetition

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning av kursen. Gustaf Hendeby.

TSRT19 Reglerteknik: Välkomna!

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3

Kap 3 - Tidskontinuerliga LTI-system. Användning av Laplacetransformen för att beskriva LTI-system: Samband poler - respons i tidsplanet

ERE 102 Reglerteknik D Tentamen

10. Kretsar med långsamt varierande ström

i(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del B

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2

Reglerteknik AK Tentamen

TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT12 för Y3 och D3. Lycka till!

Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning.

TSIU61: Reglerteknik. Poler och nollställen Stabilitet Blockschema. Gustaf Hendeby.

Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University

Industriell reglerteknik: Föreläsning 3

Lösningsförslag TSRT09 Reglerteori

Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet

TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 3 (2/4) ˆ PID-reglering. ˆ Specifikationer. ˆ Sammanfattning av föreläsning 3.

TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter

TSIU61: Reglerteknik. PID-reglering Specifikationer. Gustaf Hendeby.

Bestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, i termer av ( ) in a) Utspänningen vut b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Exempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3

Nyquistkriteriet. Henrik Sandberg. Extra material till Reglerteknik AK 19 maj 2014

TSIU61: Reglerteknik. Reglerproblemet. Innehåll föreläsning 12: 1. Reglerproblemet: Ex design av farthållare. Sammanfattning av kursen

REGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Tentamen , kl

Reglerteknik AK, Period 2, 2013 Föreläsning 12. Jonas Mårtensson, kursansvarig

Föreläsning 2. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 3 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

För att förenkla presentationen antas inledningsvis att förstärkningen K 0, och vi återkommer till negativt K senare.

Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik Y/D (TSRT12)

5B1134 Matematik och modeller

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 1 den 21 oktober 2008 klockan 8:00 13:00

Reglerteknik AK, FRT010

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Transkript:

Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2 f( ) är en statisk olinjäritet där f(0) = 0 k 1 f(y) y k 2 G(s) saknar poler i HHP. Exempel: 12

Cirkelkriteriet: Om frekvensfunktionen G(iω) 0 ω < ej passerar igenom eller omsluter en cirkel (symmetrisk runt real-axeln) genom punkterna 1/k 1 och 1/k 2 gäller: För r = 0 är origo en globalt asymptotisk stationär punkt för det återkopplade systemet. För r 0 är det återkopplade systemet insignal-utsignalstabilt, d v s u(t) C 1 y(t) C 2 För bevis, se boken. 3 2 1 0-1/k 1-1/k 2 1 2 G(iω) 3 3 2 1 0 1 2 3 Obs! Cirkelkriteriet är ett tillräckligt, men ej nödvändigt villkor. 13

Exempel: f(e) = e, d v s linjärt med k 1 = 1 och k 2 = 1. Cirkeln blir punkten 1 i komplexa talplanet. Exempel: f begränsad då y Exempel: Relä 14

Beskrivande funktion (14) Exempel: Enligt cirkelkriteriet: k 1 = 0 och k 2 = 1 vilket ger att området Re s < 1 är otillåtet område. Stabiltet garanteras då Re(G(iω) > 1 ω. Vad händer då G(iω) går in i det förbjudna området? Exempel (i): Då y(0) = 1 fås att y(t) 0. G(s) = 10 (s + 1) 2 Exempel (ii): G(s) = 10 (s + 1) 3 Då y(0) = 1 fås att y(t) och u(t) börjar oscillera. Amplituden stabiliseras på en konstant nivå. 15

När kan självsvängning förväntas inträffa? Linjärt: Antag att det återkopplade system självsvänger, d v s e(t) = C sin ωt Detta ger y(t) = G(iω) C sin(ωt + φ) där φ = arg G(iω). Vidare ger e(t) = y(t) att e(t) = G(iω) C sin(ωt + φ + π) Jämförelse ger G(iω) = 1 arg G(iω) = 180 d v s G(iω) = 1 för någon frekvens. Nyquistkurvan passerar genom punkten 1. Olinjärt: r e f(e) w G(s) y -1 där f() är en statisk olinjäritet. Viktig observation: e(t) = C sin ωt medför att w(t) är periodisk, dock ej sinusformad. 16

Exempel: Mättning Kurvformen hos w(t) beror av C. Hur beskriva olinjäritetens förstärkning? Fourierserieutveckla w(t). En periodisk signal, med periodtiden T kan uttryckas som en summa av sinus och cosinustermer x(t) = a 0 + b n sin nωt + a n cosnωt n=1 n=1 där och där ω = 2π T. b n = 2 T a n = 2 T T 0 T 0 x(t) sin nωtdt x(t) cos nωtdt Detta ger Försumma övertoner där d v s w(t) b 1 (C) sin ωt + a 1 (C) cosωt +... w(t) b 1 (C) sin ωt + a 1 (C) cosωt = A(C) sin(ωt + Φ(C)) A(C) = Olinjäritetens förstärkning ges av a 2 1 (C) + b2 1 (C) Φ(C) = arctan(a 1 (C)/b 1 (C)) w(c, t) = A(C) sin(ωt + Φ(C)) A(C)/C och dess fasvridning ges av Φ(C) 17

Detta ger och Jämförelse ger y(t) = A(C) G(iω) C sin(ωt + φ + Φ(C)) e(t) = A(C) G(iω)C sin(ωt + φ + Φ(C) + π) G(iω) A(C) C Inför den beskrivande funktionen Villkor för självsvängning = 1 φ + Φ(C) = 180 Y f (C) = A(C) C eiφ(c) G(iω)Y f (C) = 1 d v s för något ω och något C. G(iω) = 1 Y f (C) Lösningsgång: (i) Bestäm Y f (C) för aktuell olinjäritet (ii) Lös ekvationen med avseende på ω och C. G(iω) = 1 Y f (C) (iii) Tolka resultatet, d v s avgör självsvängningens karaktär. Exempel: G(s) = 10 (s + 1) 3 18

(i): Enligt kompendiet Y f (C) = 2 π (asin(1/c) + 1/C 1 1/C 2 ) för C 1. Detta ger för C = 1 att Y f = 1 och 1/Y f = 1. Vidare fås då C att Y f (C) 0 och 1/Y f. 1/Y f utgör negativa realaxeln till vänster om 1. Detta ger att 1/Y f och G(iω) skär varandra. (ii): Algebraisk lösning ger att ImG(iω) = 0 då ω = 0 ω = ± 3 vilket ger T = 2π/ 3 3.6. Vidare fås G(i 3 = 1.25. Ekvationen d v s 1/Y f (C) = 1.25 Y f (C) = 0.8 ger den approximativa lösningen C = 1.4. (iii) Kurvorna skär varandra då C = 1.4 och ω = 3. Antag att systemet inledningsvis svänger med amplitud mindre är 1.4. Olinjäritetens förstärkning är större. (Punkten på 1/Y f omcirklas av G(iω).) Svängningens amplitud ökar. Antag att systemet inledningsvis svänger med amplitud större är 1.4. Olinjäritetens förstärkning är mindre. (Punkten på 1/Y f omcirklas ej av G(iω).) Svängningens amplitud minskar. Alltså: Svängningens amplitud kommer att ställa in sig på 1.4 med vinkelfrekvens 3. Stabil självsvängning. Andra fall: 19

Y f då C växer, d v s 1/Y f 0. 1/Y f omsluts för stora C men ej för små C. Instabil självsvängning. Exempel: f(e) = e 3. 1/Y f omsluts helt av G(iω). Signalerna växer obegränsat för alla initialtillstånd. Exempel: Olinjäritet bestående av tre räta linjer. 1/Y f omsluts ej för något C. Alla svängningar dör ut. Exempel: Exemplet ovan med G(s) = 5 (s + 1) 3 Egenskaper hos Y f : f entydig och udda f( e) = f(e) ger att Y f är reell, d v s enbart förstärkning. f komplex både förstärkning och fasvridning Exempel: Relä med hysteres, glapp. Utvidgningar av metoden: System med flera olinjäriteter. Frekvensberoende beskrivande funktion. 20