1. Repetition av vektoranalysen Maxwells ekvationer En vektor kan ges en geometrisk tolkning som en vektorpil där pilens riktning anger vektorns riktning och pilens längd anger vektors storlek (belopp). Ett annat sätt att se på vektorer är att se dem som en taltrippel med vissa analytiska egenskaper. Det är bra att kunna växla mellan dessa olika synsätt. Det analytiska synsättet är väsentligt när man vill utvidga vektorbegreppet till fler dimensioner än tre och generalisera begreppet till så kallade tensorer. I huvudsak kommer vi att använda analystiskt synsätt i det följande men då och då ge en geometrisk tolkning. En vektor är en taltrippel a = ( a x,a y,a z ). De tre talen inom parentesen kallas vektorns cartesiska komponenter. ektorsumma: Om vi har två vektorer a = a x,a y,a z vektorsumman a + b som en ny vektor c given av och b = ( b x,b y,b z ) definieras c a x + b x,a y + b y,a z + b z Geometriskt får man summavektorn parallellogramaddition på känt sätt. Multiplikation med tal (skalär) ac a x c, a y c,a z c Uppenbart gällerac = ca Om c < 0 byter vektorn riktning. Geometriskt är multiplikation med en skalär en skalning av vektorns längd. kalärprodukt a b ( a x,a y,a z ) b x,b y,b z Uppenbart är a b = b a = a x b x + a y b y + a z b z Observera att gångertecknet skall sättas ut för att markera att det är en skalärprodukt. Geometrisk tolkning: a b = abcosθ ab dvs längden av a multiplicerad med längden av b gånger cosinus för vinkeln mellan vektorerna. Alternativt kan man tolka det så att man tar längden av en vektor gånger längden av projektionen av den andra vektorn på den första. peciellt har vi skalärprodukten av en vektor med sig själv a a = a 2 a a = a a, längden av vektorn a. Kryssprodukt eller vektorprodukt = a b a y b z a z b y,a z b x a x b z,a x b y a y b x e x e y e z a x a y a z b x b y b z Geometrisk tolkning: Kryssprodukten är en vektor c vars belopp är ab sinθ ab, som är vinkelrät mot både a och b och där a, b och c bildar ett högersystem. Obs! Ur matematisk 1
synpunkt är kryssprodukten inte en vektor eftersom den inte transformeras som en vektor vid en spegling. Egenskap: a b = b a Räkneregel 1 Byte av och : ( a b) c= a ( b c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z Geometrisk tolkning: Resultatet är en skalär = volymen av den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna, positiv om vektorerna bildar ett högersystem, negativ om de bildar ett vänstersystem. Man kan i denna produkt utelämna parentesen men skriver oftast ut den för tydlighetens skull. Räkneregel 2 Trippel kryssprodukt : a b c = b( a c) c( a b) 1.1 kalärfält och vektorfält Ett skalärfält är en skalär funktion av rummets koordinater d v s till varje punkt i rummet är tillordnat ett tal. Exempel: Temperaturfältet i ett rum, T = T ( x, y, z) = T ( r), elektrisk potential U = U( r). Ett vektorfält är en vektorfunktion av rummets koordinater d v s till varje punkt i rummet är tillordnad en vektor. Exempel: attnets hastighet i en flod, v = v x, y, z E = E r = v ( r), elektriska och magnetiska fält,, B = B( r). Många av de fält vi kommer att stöta på beror dessutom på tiden. 1.2 Nablaoperatorn i definierar nablaoperatorn x, y, z. Att den är en operator innebär att den måste verka på någonting till höger om sig. Nablaoperatorn är dessutom en vektoroperator, den har tre komponenter precis som en vektor. i kan hantera nabla nästan som en riktig vektor men måste hela tiden komma ihåg att den verkar på storheterna till höger om sig vilket innebär att vi inte kan byta ordning hur som helst. 1.3 Operationer med nabla Motsvarande multiplikation med skalär kan vektoroperatorn nabla operera på ett skalärfält t exφ( x, y,z). Resultatet blir ett vektorfält: φ x, y, z φ = φ x, φ y, φ z Obs! Inget gångertecken! I matematiken skriver man grad f Motsvarande skalärprodukt kan vi multiplicera nabla skalärt med ett vektorfält texa x, y,z. Resultatet blir ett skalärt fält: 2
a x, y, z ( a,a,a x y z ) = a x x + a y y + a z z I matematiken skriver man div a. Obs! Gångertecknet måste sättas ut. torheten a saknar mening! Obs! torheten a har en mening och betyder operatorn a ( a x,a y,a z ) x, y, z = a x x + a y y + a z z Motsvarande kryssprodukten kan vi multiplicera nabla vektoriellt med ett vektorfält t ex a( x, y,z). Resultatet blir ett vektorfält: a x, y, z a,a,a ( x y z ) = a z y a y z, a x z a z x, a y x a x y = e x e y e z x y z a x a y a z I matematiken skriver man rot a. i kan multiplicera nabla skalärt med sig självt: x, y, z x, y, z = 2 x + 2 d v s vi får då Laplaces operator. 3 2 y 2 + 1.4 Hur gör man då nabla verkar på flera storheter? 2 z 2 2 i kommer ofta att råka på att nabla verkar på flera olika storheter som står till höger om operatorn. Ett exempel på detta är uttrycket ( aφ ) där a är ett vektorfält medan f är ett skalärfält. Observera att uttrycket är ett tillåtet uttryck. Produkten aφ är ett vektorfält som vi får operera på med nabla via skalärprodukt. i kan förstå hur vi skall hantera uttrycket ovan genom att jämföra med hur vi hanterar en vanlig derivata av en produkt av två funktioner: d ( dx fg) = g d dx f + f d dx g = d + d dx f dx g fg i får tydligen rätt resultat om vi formellt delar upp operatorn d/dx och skriver den som en summa av två speciella operatorer, en som bara opererar på f och en som bara opererar på g symboliserat av indexen f och g på operatorerna. i försöker samma trick på nabla: ( aφ ) = ( a + φ ) aφ = a ( aφ) + φ ( aφ) i kan nu betrakta f som ett fixt tal i första termen och a som en fix vektor i andra termen ( aφ) = a ( aφ) + φ ( aφ) = ( a a)φ + a φ φ där vi utnyttjat att eftersom nabla och a i den sista termen uppför sig som vanliga vektorer relativt varandra kan vi byta ordning i skalärprodukten. Även i den första termen kan vi sätta f före nablaoperatorn eftersom f bara beter sig som ett tal relativt nabla. Detta ger
= φ( a a) + a φ φ aφ i har nu lyckats placera storheterna i en ordning så att vi kan ta bort indexen på nabla utan att meningen ändras: ( aφ) = φ( a) + a φ Det är lätt att genom komponenträkning kontrollera att detta resultat är riktigt. Exempel: ( a b) = ( a + b ) ( a b) = a ( a b) + b ( a b) = a( a b) b( a a) + a( b b) b( b a) i måste nu ändra ordningen så att det som nabla verkar på står till höger om nabla och om möjligt, det nabla inte verkar på till vänster: ( b a )a b( a a) + a( b b) ( a b )b i kan nu ta bort indexen på nabla ( b )a b( a) + a( b) ( a )b Exempel: ( a b) = ( a + b ) ( a b) = a ( a b) + b ( a b) Byt kryss och punkt i den första termen byt ordning i den andra (Obs! Teckenbytet): ( a a) b b ( b a) Byt kryss och punkt i den andra termen ( a a) b ( b b) a Hyfsa slutligen ordningen och hjälpindex kan då tas bort: b a a 1.5 Integraler Linjeintegral: a ( b b) = b ( a) a ( b) Γ AB a dr. Observera punkten som markerar en skalärprodukt. Här går vi en viss väg Γ AB mellan två punkter A och B. För varje infinitesimal vägsträcka dr längs vägen bildar vi skalärprodukten med vektorfältet a och summerar sedan upp resultatet. Fysikaliskt exempel : Om vektorfältet är en kraft ger linjeintegralen arbetet att förflytta sig längs vägen mellan två punkter. pecialfall:. Ytintegral:! a dr betyder linjeintegralen längs den slutna kurvan G som omsluter ytan Γ a d. i har en yta. i definierar en av ytans sidor som positiv. i delar in ytan i infinitesimala ytelement d som är vektorer. Arean av ytelementet är d och riktningen är vinkelrät mot ytan i den riktning vi definierat som positiv. För varje ytelement beräknar vi skalärprodukten mellan d och vektorfältet och summerar resultatet. Om t ex vektorfältet a beskriver vattnets hastighet i en flod kommer ytintegralen att beskriva flödet av vatten genom ytan. Man kallar därför ofta denna integral för flödesintegralen. Ibland ser man beteckningen a d. 4
pecialfall: a d. I denna ytintegral beräknar vi över den slutna ytan som omsluter volymen. Konventionellt definierar man positiv riktning på ytan som rikningen ut ur volymen. Integralen beräknar alltså flödet av vektorfältet a ut ur volymen. Detta är ett mått på styrkan av vektorfältets källor d v s punkter eller områden inom volymen där fältlinjer startar eller slutar. Ibland ser man beteckningen! a d. olymsintegral: φ d. i delar in volymen i infinitesimala volymselement, multiplicerar värdet på skalärfältet f i varje element med elementets volym och summerar. Om t ex det skalära fältet är laddningstätheten kommer volymsintegralen att ge den totala laddningen inom volymen. Ibland ser man beteckningen φ d. 1.6 Integralsatser tokes sats: a dr = ( a) d Γ Gauss sats: a d = a d ( ) För bevis se föreläsningarna. Om a = 0 i ett område säger man att vektorfältet är virvelfritt inom detta område. Om a = 0 i ett område säger man att vektorfältet är källfritt inom detta område. Exempel från klassisk mekanik. Anta att vi har ett kraftfältf r. Betrakta linjeintegralen F dr Γ! för en sluten kurva G. Anta att denna linjeintegral är noll för alla kurvor inom ett visst område. Det är då mycket lätt att visa att linjeintegralen mellan två godtyckliga punkter i detta område är oberoende av vägen mellan dessa punkter och endast beror på vägens ändpunkter. Om intergralen bara beror på ändpunkterna kan vi betrakta integraler från en fix referenspunkt P0 till en godtycklig punkt P. i har då att integralen värde är en funktion av P:s läge enbart, vi kan definiera den potentiella energin i punkten P genom = F dr U P P P 0 i kan vända ut och in på detta uttryck vilket medför att F = U. lutligen kan vi också använda tokes sats: 0 =! F dr = ( F) d Γ Eftersom vägen är godtycklig medför detta direkt att F = 0 vilket också inses från andra hållet genom att F = U = ( )U = 0 i har alltså ekvivalens mellan påståendena! F dr = 0 U; F = U F = 0 (kraftfältet är virvelfritt) Γ Ett sådant kraftfält kallas ett konservativt kraftfält. 5
2. Härledning av Maxwells ekvationer A. i startar med Coulumbs lag. Det elektriska fältet utanför en laddning q i origo är sfäriskt symmetriskt och ges av q E( r) = e r 4π r 2 i lägger nu en sfärisk yta med radien R runt laddningen med laddningen i centrum och beräknar ytintegralen q E d = ( ) 4π r e d q q 2 r = d ( ) 4π R = 2 ( ) 4π R 2 4πR2 = q där vi har använt att det elektriska fältet har samma riktning som ytelementet d och att det elektriska fältet har samma storlek i varje punkt på sfärens yta samt att sfärens area är 4πR 2. i ser att resultatet är oberoende av radien på sfären vilket är naturligt eftersom integralen mäter flödet av elektriska fältlinjer ut från laddningen och det totala antalet fältlinjer genom en sfärisk yta runt laddningen är konstant. Uppenbart har vi att för varje sluten yta som inte omsluter en laddning att E d = 0 ( ) eftersom flödet av fältlinjer som går in genom ytan måste vara detsamma som flödet av fältlinjer ut genom ytan, fältlinjer måsta alltid börja eller sluta på en laddning. i utvidgar nu vå ursprungliga sfär med en "bula". Ytintegralen över den nya kroppen är fortfarande ( ) E d = q eftersom den extra bulan inte innehåller någon laddning och därför inte bidrar till integralen. Dettta innebär att värdet på ytintegralen ovan måste vara detsamma för varje godtycklig sluten yta som innehåller laddningen q eftersom vi tydligen kan deformera sfären genom att lägga till eller ta bort bulor som inte innehåller laddningen. i generaliserar nu till en sluten yta som innehåller ett antal laddningar, q 1, q 2... i har då q i i E d = = Q ( ) Ytintegralen "mäter" alltså hur mycket total laddning Q som finns innanför den slutna ytan. i generaliserar ytterligare ett steg och uttrycker den totala laddningen innanför ytan som en volymsintegral över en laddningstäthet ρ r innanför ytan: Q = ρd lutresultatet blir E d = 1 ( ) ρd 6
Detta uttryck är som vi skall se mycket användbart.. Det kallas Gauss' lag i integralform. För matematiska manipulationer är det emellertid bra att skriva om lagen ytterligare några steg. i utnyttja Gauss' sats och skriver om ytintegralen som en volymsintegral: E d = 1 ρd Uttrycket är giltigt för varje volym vilket innebär att integranderna måste vara lika: E = ρ Detta är Gauss' lag i differentialform. B. När det gäller magnetiska fält kan vi notera att det inte finns några magnetiska laddningar vilket innebär att de magnetiska fältlinjerna bildar slutna kurvor. Detta medför i sin tur att flödet av magnetiska fältlinjer alltid är noll för alla slutna ytor. i har alltså B d = 0 = B d ( ) där vi igen har utnyttjat Gauss' sats. Åter, eftersom volymen är godtycklig, har vi B = 0 Ekvationen uttrycker helt enkelt matematiskt att det inte finns några magnetiska laddningar. C. i ger oss nu på Faradays induktionslag. Om vi har en sluten slinga beskriven av en kurva Γ i rummet säger Faradays induktionslag att u = dφ dt där u är den inducerade spänningen i slingan och Φ är det magnetiska flödet som passerar ytan som omsluts av kurvan Γ. Nu har vi och Φ = u = Γ() vilket ger oss Γ() B d E dr E dr = d dt B d = B d i använder tokes sats på vänstra ledet ( E) d = B d Eftersom ytan är godtycklig måste integranderna vara lika och vi får 7
E = B Detta är Faradays lag i differentialform. D. i behandlar nu slutligen den sista fundamentala lagen inom elektromagnetismen, Ampères lag för magnetfältet B utanför en lång rak ledare med strömmen I I B = µ 0 2πr Magnetlinjerna bildar slutna cirklar som omsluter strömmen och vi har axial symmetri. i skriver något om uttrycket: B 2πr = µ 0 I i ser nu att vi kan skriva om vänstra ledet som en linjeintegral längs en cirkel som omsluter strömmen: B dr = µ 0 I circle eftersom storleken på magnetfältet på cirkeln är det samma överallt och parallellt med integrationsvägen. i deformerar nu integrationsvägen enligt figuren: Det är lätt att inse att linjeintegralen kring den deformerade vägen har exakt samma värde som innan. Integralerna över de raka bitarna av kurvan är noll eftersom här magnetfältet är vinkelrätt mot vägen. Integralen över den extra kurviga delen är också densamma, visserligen är vägen längre men magnetfältet är svagare vilket precis går jämnt ut. Allmänt kan vi inse att vi kan deformera vägen runt strömmen som vi vill, så länge kurvan Γ, som beskriver vägen, omsluter strömmen. i får då B dr = µ 0 I Γ för varje kurva Γ som omsluter strömmen I. På samma sätt som i Gauss' lag kan vi låta den omslutna strömmen I vara summan av ett antal strömmar som omsluts av kurvan Γ. i definierar nu strömtätheten J. Den har dimensionen [A/m ]. Flödesintegralen 2 (ytintegralen) över denna strömtäthet över ytan som omsluts av kurvan Γ ger oss den totala strömmen inom Γ. i kan tydligen skriva B dr = µ 0 J d Γ i gör igen tricket med tokes sats och omvandlar linjeintegralen till en ytintegral 8
( B) d = µ 0 J d Återigen är ytan helt godtycklig så att integranderna måste vara lika: B = µ 0 J Maxwell som satte upp sina ekvationer omkring 1875 upptäckte snart att denna ekvation inte kunde vara riktig. Den leder nämligen till att lagen om laddningens oförstörbarhet inte gäller. För att visa detta härleder vi först den så kallade kontinuitetsekvationen som uttrycker just att laddningen är bevarad. ådana kontinuitetsekvationer uppträder på många områden i fysiken, i ett vatten- eller luftflöde är materien bevarad, i kvantmekaniken är sannolikheten bevarad osv. Betrakta en yta som omsluter laddningen Q. Om denna laddning ändras måste vi ha en ström I genom ytan som omsluter laddningen. Matematiskt skriver vi detta dq = I dt i skriver nu laddningen Q som en volymsintegral över en laddningstäthet och vi skriver strömmen genom ytan som en ytintegral av en strömtäthet d ρ d dt = ρ d = J d ( ) i använder Gauss' sats för att skriva om ytintegralen som en volymsintegral ρ d = J d och åter eftersom detta är giltigt för godtyckliga volymer har vi J + ρ = 0 vilket är kontinuitetsekvationen i differentialform. i tittar nu på den ekvation vi fick från Ampères lag B = µ 0 J Multiplicera skalärt med operatorn från vänster ( B) = ( ) B = 0 = µ 0 J eller J = 0 vilket inte är kontinuitetsekvationen. Ampères lag kan inte vara riktig! Nu visade Ampère sin lag experimentellt för statiska dvs tidsoberoende fält. Faktiskt är ju ekvationen ovan en korrekt kontinuitetsekvation om laddningstätheten ρ inte beror av tiden. Kanske måste lagen modifieras om vi har tidsberoende fält? Maxwell löste problemet genom att lägga till en extra term, den så kallade förskjutningsströmmen (i vårt fall mer precist men ganska otympligt förskjutningsströmtätheten) till ekvationen E B = µ 0 J + µ 0 Tillägget ger en korrekt kontunuitetsekvation ty ( B) = ( ) B = 0 = µ 0 J + µ 0 E µ 0 J + ε 0 E = µ 0 J + ρ där vi använt Gauss' lag som vi härledde i A. Genom tillägget blir kontinuitetsekvationen automatiskt inbyggd i teorin. Förskjutningsströmmen får dramatiska konsekvenser för teorin. Om vi t ex har en tom rymd är ju strömtätheten noll men om vi har ett varierande 9
elektriskt fält kan detta tydligen alstra ett magnetiskt fält analogt med att ett varierande magnetiskt fält kan inducera ett elektriskt fält. om vi senare skall visa, leder detta till att man kan ha lösningar till Maxwells ekvationer i form avelektromagnetiska vågor som 1 utbreder sig i den tomma rymden med farten. Om vi sätter in numeriska värden µ 0 på konstanterna och µ 0, dessa kan bestämmas i enkla elektriska exteriment (vilket du kommer att göra), finner man att vågfarten blir 2.998 10 m/s, eller ljusfarten!! i kan 8 uppfatta ljus som elektromagnetiska vågor med kort våglängd. Denna egenskap hos Maxwells ekvationer ledde mycket snabbt till upptäckten av radiovågorna (Hertz) som mycket snart började utnyttjas för radiokommunikation (Marconi). idare innebar Maxwells upptäckt att optiken blir en del av elläran vilket ledde till en helt ny beskrivning av optiska fenomen. En annan intressant egenskap hos Maxwells ekvationer är att de är invarianta under en viss klass av transformationer nämligen Lorentztransformationerna som är den speciella relativitetsteorins fundamentala transformationer. Från modern synpunkt har vi ett krav att varje acceptabel fysikalisk teori måste vara invariant under Lorentransformationer. Maxwells ekvationer var alltså i detta avseende före sin tid, Albert Einstein publicerade sin avhandling om relativitetsteorin först år 1905. i avslutar med att sammanfatta Maxwells ekvationer i differentialform: E B = µ 0 J + µ 0 E = B B = 0 E = ρ Notera symmetrin i ekvationerna. ymmetrin bryts av det faktum att det inte finns magnetiska strömmar och laddningar. Ekvationerna i differentialform är som sagts lämpliga för vidare matematiska manipulationer. I många fall är det dock praktiskt att skriva ekvationerna i den mera ursprungliga integralformen d! B dr = µ 0 I + µ 0 E d dt Ampères (modifierade) lag Γ! E dr = d dt Γ B d = dφ dt Faradays lag B d = 0 Inga magnetiska laddningar E d = 1 ρ d = Q Gauss' lag 10
Exempel 1: Beräkna det elektriska fältet inne i och utanför en homogent laddad sfär med raddningen Q och radien R. a) Utanför kulan Lägg en sfärisk yta på avståndet r > R symmetriskt runt sfären. i har då med Gauss' lag E d = Q ( ) Av symmetriskäl är det elektriska fältet radiellt och har samma värde E(r) överallt på den sfäriska ytan. Detta medför E ( r) d = E r d = E ( r) 4πr 2 = Q Detta ger direkt 1 Q E( r) = 4π r 2 Fätlet är precis detsamma som om laddningen var koncentrerad till kulans centrum. Detta gäller uppenbart för varje sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning som är noll uytanför en viss radie. amma sak gäller uppenbart för gravitationsfältet kring en sfärisk massa. Newton använde 20 år av sitt liv för att bevisa detta! b) Inne i kulan. Lägg en sfärisk yta med r < R i kulan. i har E d = q ( ) där q är den av sfären omslutna laddningen. Eftersom kulan är homogent laddad blir den inneslutna laddningen proportionell mot den inneslutna volymen dvs q = Q r 3 R 3 Detta medför direkt E ( r) d = E r d = E ( r) 4πr 2 = q = Qr3 R 3 eller 1 Qr E( r) = 4π R 3 Det elektriska fältet växer linjärt med avståndet från noll i centrum av kulan. 11
3. Maxwells ekvationer i vakuum. ågekvationen i sätter då ρ = J = 0 vilket innebär att vi inte har några laddningar eller strömmar. Maxwells ekvationer blir då B = µ 0 E E = B B = 0 E = 0 Multiplicera den andra ekvationen vektoriellt med nabla från vänster ( E) = ( E) ( )E = B = B Använder vi nu den fjärde och första av Maxwells ekvationer får vi 2 E 2 E = µ 0 2 Övning: isa att om vi multiplicerar den första av Maxwells ekvationer vektoriellt med nabla får vi 2 B 2 B = µ 0 2 Den partiella differentialekvation vi får fram kallas för vågekvationen som vi mer generellt kan skriva 2 F = 2 F x + 2 F 2 y + 2 F 2 z = 1 2 F 2 c 2 2 i studerar den först i en dimension 2 F x = 1 2 F 2 c 2 2 Ekvationen kommer att visa sig ha generella lösningar i form av vågor. ad menar vi då med en våg? Betrakta en funktion F 1 ( x ct) av två variabler x och t där x står för läge och t för tid. Anta först att vi ritar upp funktionen för t = 0. i ritar sedan upp funktionen för t = 1, 2, 3... Man ser då att vi får "samma" funktion som innan men förskjuten längs den positiva x-axeln med respektive c, 2c, 3c... Funktionen beskriver tydligen en "störning" som vid tiden t = 0 har det godtyckliga utseendet F 1 ( x) och sedan förflyttar sig med farten c längs positiva x-axeln. Funktionen beskriver en våg. På samma sätt övertygar man sig lätt om att funktionen F 2 ( x + ct) beskriver en våg som rör sig i negativ riktning. i visar nu att dessa funktioner är lösningar till vågekvationen ovan: F 1 ( x ct) x 2 F 1 x = F 2 1 = F ( x ct ) 1 = F 1 x 12
F 2 ( x ct) 2 F 2 x 2 = c 2 F 2 = F ( x ct) 2 = cf 2 ätter vi samman detta ser vi att funktionen F 1 ( x ct) är en lösning till den endimensionella vågekvationen. På samma sätt visar man att även F 2 ( x + ct) är en lösning. Den allmänna lösningen är då en överlagring av dessa två lösningar dvs F( x, t ) = F 1 ( x ct) + F 2 ( x + ct ) eller en överlagring av två godtyckliga störningar som rör sig åt var sitt håll längs x-axeln. För att bestämma lösningen i ett visst speciellt fall måste vi sedan lägga på randvillkor som bestämmer hur funktionen F ser ut vid t ex tiden t = 0. Den allmänna lösningen till den tredimensionella vågekvationen blir då vågor som rör sig på olika håll i rummet. Går vi nu tillbaka till de vågekvationer som vi fick från Maxwells ekvationer ser vi att vi har våglösningar för både det elektriska och magnetiska fälten. ågfarten c =1 / µ 0 = 2.998 10 8 m/s dvs ljusfarten. 4. Harmoniska lösningar till vågekvationen Det visar sig ofta fruktbart att studera en viss typ av vågor, nämligen vågor som beskrivs av trigonometriska funktioner, sinus och cosinus. om vi senare kommer att se i Fourieranalysen kan vi sedan bygga upp en godtycklig våg av trigonometriska vågor med olika våglängd och frekvens. i studerar därför t ex lösningar av typen F = Asin 2π x 2π ft λ som beskriver en harmonisk våg med våglängden λ och frekvensen f. i inför nu vågtalet k = 2π / λ och cirkelfrekvensen ω = 2π f. i kommer i förtsättningen ofta att kalla cirkelfrekvensen för bara frekvensen när ingen missuppfattning kan uppstå. Med dessa definitioner har vi F = Asin( kx ωt ) Nu kunde vi lika gärna ansatt en cosinusfunktion. Dessa trigonometriska funktioner har emellertid den litet irriterande egenskapen att övergå i varandra när man deriverar dem. i skall därför använda en annan matematisk funktion för att representera denna typ av vågor nämligen den komplexa exponentialfunktionen. i har nämligen (Eulers formel) 13
e ix = cosx + i sin x där i är den imaginära enheten med egenskapen i 2 = 1. i ser nu att vi har Ae i ( kx ωt ) = A cos( kx ωt ) + iasin ( kx ωt ) i får på detta sätt med både sinus och cosinuslösningar och kan lätt välja vilken vi vill ha genom att ta real- eller imaginärdelen av exponentialfunktionen. Exponentialfunktionen har den trevliga matematiska egenskapen att väsentligen vara oförändrad när den deriveras d dx Aeax = aae ax dvs derivation blir multiplikation med ett tal. detta medför t ex x Aei kx ω t = ikae i kx ωt 2 ( x 2 Aei kx ωt ) = ( ik) 2 Ae i ( kx ωt ) = k 2 Ae i ( kx ω t ) Aei kx ωt = iωae i kx ω t 2 ( 2 Aei kx ωt ) = ( iω ) 2 i ( kx ωt Ae ) = ω 2 Ae i ( kx ω t ) toppar vi nu en lösning av typ F( x, t ) = Ae i( kx ω t) i vågekvationen 2 F x 2 tydligen = 1 2 F c 2 2 får vi k 2 F = 1 c 2 ω 2 F dvs vår linjära partiella differentialekvation har förvandlats till en vanlig algebraisk ekvation. i ser att vi måste ha ett samband mellan cirkelfrekvensen och vågtalet ω ( k) = ±ck Relationen kallas vågornas dispersionrelation, i detta fallet en mycket enkel, linjär relation. Går vi tillbaka till våra ursprungliga kvantiteter, våglängd och frekvens är det lätt att se att relationen då blir λ f = c ett känt resultat från vågläran i gymnasiet. De två tecknen i relationen svarar mot vågor som går åt olika håll som tidigare. Tricket vi använt här att ansätta våglösningar i form av den komplexa exponentialfunktionen är, som vi kommer att se mycket användbart när man skall hantera partiella differentialekvationer. Nu vill vi studera vågor i tre dimensionen och använder som byggstenar plana vågor i rummet. i kan representera dessa med generaliseringen 14
F( x, y,z) = Ae i ( k xx + k y y + k z z ω t ) i( k r ω t) = Ae där vi ser att vågtalet har blivit en vågvektor k = ( k x, k y, k z ). ågvektorns riktning visar åt vilket håll den plana vågen utbreder sig. toppar vi in vår våg i den tredimensionella vågekvationen får vi lätt eller k 2 F = 1 c 2 ω 2 F ω = ±c k 5. ågor med fix frekvens och Maxwells ekvationer i skall nu tillämpa våra resultat på Maxwells ekvationer i vakuum. i ansätter elektriska och magnetiska fält i k r ω t E = E 0 e i k r ωt B = B 0 e toppar vi in denna ansats i Maxwells ekvationer får vi ik B = µ 0 ( iω)e k B = ωµ 0 E ik E = iωb k E = ωb k B = 0 k E = 0 i ser att vi har förvandlat våra ekvationer till vanliga algebraiska ekvationer. idare ser vi att vi har motsvarigheterna ik och iω. Låt oss nu försöka tolka våra ekvationer. De två sista ekvationerna talar om att E- och B- fälten båda är vinkelräta mot k, dvs utbredningsriktningen. åra vågor är transversella elektromagnetiska vågor. idare ser vi ur någon av de två översta ekvationerna, som relaterar E- och B-fälten, att E-fältet är vinkelrätt mot B-fältet och att vektorerna E, B och k bildar ett högersystem. lutligen eftersom k är vinkelrät mot t ex E får vi ut den andra ekvationen k E = ke = ω B B = k ω E = E / c Om vi känner E-fältets styrka i en elektromagnetisk våg kan vi beräkna B-fältstyrkan. Om t ex E = 40 /m (ungefär det elektriska fältet 1 meter från en 60 W-lampa) blir det magnetiska fältet ungefär 0.1 µt ett oerhört svagt magnetfält. I en elektromagnetisk våg i vakuum är det tydligen det elektriska fältet som är det dominerande. Man låter därför det elektriska fältets riktning bestämma den elektromagnetiska vågens polarisation. 15
6. Maxwells ekvationer i "snälla" medier Nu studerar man ju ofta inte elektromagnetiska fält i vakuum utan man har t ex elektromagnetiska vågor i glas. Om vi tittar på våra ursprungliga ekvationer ser vi då att vi har problem. Betrakta t ex ekvationen E = ρ / I laddningstätheten ρ skall vi ta med samtliga laddningar vilket innebär att om vi har en kubikcentimeter av ordinärt material att vi måste hålla reda på av storleksordningen 10 20 stycken laddningar. Inte nog med det, i varje atom i materialet har vi ett antal elektroner som går runt sina kärnor och utgör därmed massor av mikroskopiska strömmar som skall tas med i strömtätheten J och som alstrar en magnetisering av materialet och modifierar därmed det pålagda yttre magnetfältet. Lyckligtvis kan vi för de flesta material klara av denna situtation genom ett trick. För attt illustrera detta studerar vi en plattkondensator. Om vi har en plattkondensator med arean A med avståndet d mellan plattorna och med laddningen Q på plattorna har vi ett elektriskt fält mellan plattorna som är E = Q A förutsatt att vi har vakuum mellan plattorna. ad händer om vi har ett isolerande material mellan plattorna? Det elektriska fältet kommer att försöka separera negativa och positiva laddningar, positiva laddningar kommer att dras ett litet stycke mot den negativa plattan och vice versa. De kan dock i en isolator inte dras särslikt långt från sina moderatomer där de sitter fast. Materialet polariseras elektriskt. Man kan beskriva denna elektriska polarisation med en polarisationsvektor P. lutresultatet blir att man får en negativ ytladdning på materialet närmast den positiva kondensatorplattan och en motsvarande positiv ytladdning närmast den negativa plattan som kompenserar de "riktiga" laddningarna på plattorna. Detta innebär att vi effektivt får ett svagare elektriskt fält mellan plattorna. Man kan visa att detta kan i en första approximation beskrivas genom man delar upp alla elektriska laddningar i två grupper, dels de "fria" elektriska laddningarna, de som sitter på kondensatorplattan och de bundna laddningarna i materialet, de som ger upphov till polarisationen. i kan skriva om Maxwells ekvation E = ρ fri + ρ bund Approximationen visar sig medföra att vi kan skriva ρ bund = P vilket innebär 16
E = ρ fri P eller ( E + P) = ρ fri Ofta inför man ett nytt elektiskt fält D = E + P. i har emellertid kvar vårt ursprungliga problem: för att beräkna den elektriska polarisationen P måste vi veta var alla bundna laddningar sitter. Men vi har tur. För många material och om det elektriska fältet E inte är för starkt visar det sig att den elektriska polarisationen P helt enkelt är proportionell mot det elektriska fältet E. i har då P = χ e E där χ e är en dimensionslös materialkonstant, den elektriska susceptibiliten. Om detta gäller har vi ( E + χ e E) = ( 1 + χ e ) E = ρ fri Den dimensionlösa kvantiteten ε r = ( 1+ χ e ) kallas dielektricitetstalet och har för de flesta isolatorer ett värde mellan 1 och 15. Om vi inför beteckningen ε = ε r ser vi att vi kan skriva Maxwells ekvation som E = ρ fri / ε dvs ekvationen har precis samma struktur som innan, men nu behöver vi bara bry oss om de fria laddningarna, hela inverkan av materialets laddningar är inbakade i den modifierade konstanten ε. På samma sätt kan vi dela upp strömtätheten i en del med fria strömmar och en del med bundna strömmar från alla molekyler och atomer i materialet. Man kan då visa (igen som en första approximation) att J = J fri + J bund = J fri + M + P Den näst sista termen kommer från alla små molekylmagneter, den sista termen kommer från att när materialet polariseras elektriskt flyttar sig de bundna laddningarna och utgör därför en ström. toppar vi in detta i Ampères lag får vi eller B = µ 0 J fri + M + P B M µ 0 = J + ε E + P 0 fri E + µ 0 17
M kallas magnetiseringen. Inför vi ett nytt fält, den magnetiserande fältstyrkan H = B µ 0 M kan vi skriva H = J fri + D Igen har vi för många material att magnetiseringen visar sig vara proportionell mot den magnetiserande fältstyrkan dvs M = χ m H, där χ m är den magnetiska susceptibiliteten. Detta leder till att B H = µ 0 1+ χ m B µ 0 µ r B µ µ r kallas för permeabiliteten för materialet. ätter vi in detta i Maxwells ekvation och antar som innan att den elektriska polarisationen är proportionell mot det elektriska fältet kan vi skriva B = µj fri + εµ E dvs vår ekvation ser ut precis som tidigare men med modifierade ε och µ. i kan alltså i många fall klara av elektromagnetiska fält i material på ett synnerligen enkelt sätt. i bör dock notera att hela förfarandet är en approximation. I en hel del material t ex så kallade optiskt aktiva material har inte den elektriska polarisationsvektorn P samma riktning som det elektriska fältet E. För starkare fält är inte sambanden mellan fält och polarisation/magnetisering linjära, speciellt gäller detta för magnetiseringen i magnetiska material. Många magnetiska material har dessutom ett magnetiskt minne, så att magnetiseringen vid en given tidpunkt beror på vilka magnetiska fält materialet utsats för tidigare. För magnetiska material kan värdet på µr vara mycket stort, av storleksordningen 10-10. Å andra sidan är för omagnetiska material i allmänhet den magnetiska 4 5 susceptibiliteten mycket liten, typiskt med en storlek av 10-10 vilket innebär att för -6-8 sådana material kan vi oftast sätta µ µ 0. När man sysslar med Maxwells ekvationer i den form vi har ovan skriver man oftast inte indexet "fri" på strömmar och laddningar utan underförstår detta. lutligen kan vi se att om vi betraktar elektromagnetiska vågor i en isolator där vi ju inte har fria laddningar eller strömmar leder detta till en vågekvation för t ex det elektriska fältet 18
2 E = εµ 2 E 2 dvs en ljusfart i isolatorn som blir c iso = 1 εµ = 1 ε r µ 0 µ r = 1 ε r µ r c vakuum 1 ε r c vakuum. Eftersom vi från optiken har att ljusfarten i en (genomskinlig) isolator ges av c iso = c vakuum / n, där n är materialets bryningsindex har vi n = ε r dvs ett samband mellan dielektricitetstalet och brytningsindex. lår man upp dielektricitetstalet för glas i TEFYMA anges det till att ligga mellan 5 och 16 vilket skulle ge ett brytningsindex för glas på 2-4 medan det i själva verket är cirka 1.5. Detta beror på att susceptibiliteterna och därmed dielektricitetstalet varierar med frekvensen. Det dielektricitetstal som anges i tabellen är för frekvensen noll. 7. Elektrisk ledning i ledare. Ohms lag i skall nu göra en modell för sambandet mellan strömtäthet och elektrisk ström i en ledare (metall). I en ledare är det (oftast) ledningsselektronerna som är fritt rörliga och som står för den elektriska strömmen. i betraktar en sådan elektron som utsätts för ett elektriskt fält. i har Newtons rörelseekvation v m e = ee m v e τ Den sista termen försöker simulera att elektroner som accelereras av det elektriska fältet stöter mot atomer i materialet och därmed bromsas. Konstanten τ har dimensionen tid och kallas av skäl som vi straxt skall se relaxationstiden. trömtätheten för ledningselektronerna som rör sig i det elektriska fältet ges av J = nev där n är antal ledningselektroner per volym. Dividera Newtons ekvation med m e och multiplicera med ne. i får J = ne2 m e E J / τ i noterar först att om vi inte har något elektriskt fält blir lösningen till differentialekvationen t /τ J = J 0 e dvs strömtätheten avtar exponentiellt mot noll med den karakteristiska tidskonstanten τ. 19
i studerar sedan den statiska strömmen dvs vi antar att E-fältet är konstant och att vi väntar tills även strömmen blivit konstant J J = ne2 τ E = σ m 0 E e = 0. i har då Detta är Ohms lag i differentialform, konstanten σ 0 är materialets konduktivitet, inverterade värdet av resistiviteten. Indexet 0 anger att det är den statiska konduktiviteten, dvs konduktiviteten för frekvens noll. För att se att detta verkligen är den välbekanta Ohms lag tillämpar vi den på en ledare med tvärsnittsarean A och längden L. Eftersom strömtätheten och det elektriska fältet uppenbart är parallella tittat vi bara på vektorernas belopp. i har LE AJ = I = Aσ 0 L = Aσ U 0 L där U är spänningen över ledaren och I strömmen genom den. Detta leder till U = 1 σ 0 L 1 L I = RI med R = A σ 0 A som är det välkända uttrycket för resistansen för en ledare med tvärsnittsarea A och längd L. Låt oss ett ögonblick se vad som händer om vi antar att det elektriska fältet varierar harmoniskt med frekvensen ω. Det verkar rimligt att även strömtätheten kommer att variera med denna frekvens. Ansätt alltså J = J 0 e iωt medför vilket insatt i rörelseekvationen iωj = σ 0 τ E 1 τ J J = σ 0 1 iωτ E = σ ( ω )E Konduktiviteten beror på frekvensen! i ser att om ω = 0 får vi tillbaka vårt tidigare resultat. i ser också att om ω >> 1/ τ så blir strömtätheten noll, om det elektriska fältet varierar tillräckligt snabbt hinner inte elektronerna med. Ledaren blir alltså en isolator för tillräckligt höga frekvenser, en metall blir genomskinlig för röntgenstrålning av tillräckligt hög frekvens. Notera att Ohms lag inte är en fundamental naturlag i klass med Maxwells ekvationer. Ohms lag gäller approximativt för en speciell klass av material och under speciella omständigheter. 20
8. Överkursparentes. En annan vågekvation Den andra ordningens partiella vågekvation som vi nu har sett är inte den enda möjliga. Betrakta t ex följande första ordningens partiella differentialekvation: f + c f x = 0 Det är lätt att genom insättning visa att denna har lösningen f ( x,t) = F( x ct) dvs en våg som rör sig i den positiva x-axelns riktning. Denna vågekvation används ibland när man studerar modeller för trafikflöden och vi skall nu titta på en väldigt enkel sådan modell som dock ger förhållandevis realistiska förutsägelser. i antar att vi har en väg med endast en fil. i har en rad med bilar med en täthet (antal bilar per meter) i punkten x på vägen vid tiden t som vi betecknar med ρ x,t. i har en ( ) som är antalet bilar som per sekund strömtäthet av bilar som vi betecknar med J ρ x,t passerar punkten x på vägen vid tiden t och som vi tänker oss är en funktion av biltätheten. Rimligtvis försvinner inga bilar utefter vägen dvs vi har en kontinuitetsekvation för bilarna: ρ + J x = 0 trömtätheten kan vi skriva som J ( x,t) = ( ρ)ρ( x,t) där ρ är bilströmmens fart som vi tänker oss bero på biltätheten. i kan mäta denna kvantitet genom att mäta ρ och J och sedan bilda = J / ρ. i gör nu en modell för hur beror av ρ. Det verkar vettigt att anta att bilköns hastigheten minskar när biltätheten ökar. i gör det enklaste antagandet att vi har ett linjärt samband mellan hastighet och täthet: ( ρ) = 0 1 ρ ρ max i har då en hastighet 0 som är den högsta hastighet som är tillåten och som kan hållas när biltätheten blir mycket liten. Den största biltätheten ρ max har vi då bilarna står så tätt de kan och då bilköns fart är noll. i har då ρ max = 1/ L där L är bilarnas (medel)längd. i får då alltså J = 0 ρ 1 ρ ρ max J ρ 21
i har nu J x = dj ρ vilket instoppat i kontinuitetsekvationen ger dρ x ρ + dj ρ dρ x = 0 i ser att detta är en vågekvation och där vågornas fart beror på biltätheten och ges av c( ρ) = dj dρ = 0 1 2ρ ρ max Ur dessa uttryck och ur figuren ser vi att bilköns fart vid en viss biltäthet ges av lutningen på en linje i diagrammet J ( ρ) från origo till kurvan. ågornas fart i bilkön ges av lutningen på tangenten till kurvan. i ser att vi har en kritisk täthet ρ krit = ρ max /2 då vågornas fart (relativt marken) blir noll. Här har bilströmmen sitt maximum dvs vägen har maximal kapacitet. trömmen av bilar är då J max = 0 ρ max /4. ad händer i denna situation? Låt oss anta att vi har kritisk täthet men har en liten puckel med högre täthet runt en viss punkt på vägen. Denna puckel kommer att flytta sig bakåt i kön viket medför att bilar börjar bromsa in varvid biltätheten blir ännu större. Flödet av bilar blir instabilt puckeln växer efterhand som den rör sig bakåt i kön och så småningom blir biltätheten så stor att blir noll. i får en trafikstockning vilket innebär en chockvåg som fortplantar sig bakåt. ρ x Eftersom vi bakom stoppet har en ström av bilar som är J max (bilar/sekund) och varje bil har längden L kommer chockvågen att fortplanta sig bakåt med farten J max L = J max / ρ max = 0 /4. Detta är ju ett välkänt fenomen om man t ex i rusningstrafik kör motorvägen till Malmö och bilströmmen har kritisk densitet eller större. En mycket liten anledning, någon bromsar, en avsmalning av vägen startar en kompressionsvåg som går bakåt och man kan få ett totalstopp i trafikströmmen flera kilometer längre bak i kön där man ilsket undrar vad orsaken är. Risken för trafikolyckor med seriekrockar är i denna situation mycket stor. i kan uppskatta några av parametrarna i vår modell. i kan t ex anta att L 5 m vilket medför att ρ max = 0.2 och ρ krit = 0.2. Om vi antar att 0 = 90 km/h 25 m/s blir bilköns fart vid kritisk täthet omkring 45 km/h. Chockvågens fart blir cirka 6 m/s. När stoppet löser upp sig får man också en våg som vandrar bakåt i kön. Farten på denna våg beror väsentligen på reaktionstiden på förarna. Typiskt rör sig denna våg med en fart av ungefär 5 m/s. 22