REDOVISNINGSUPPGIFTER

REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av matematiken och svarar mot samtliga betygsnivåer. Den skriftliga rapporten ska innehålla: problemformulering beräkningar/resultat diskussion källförteckning Följande kommer att bedömas både i den muntliga och skriftliga redovisningen: dina matematiska beräkningars korrekthet hur generella metoder och modeller du använder hur utvecklat matematiskt språk du använder hur väl du motiverar/bevisar dina påståenden din analys och tolkning av resultatet hur strukturerat du redovisar din uppgift BETYGSKRITERIER Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att lösa uppgiften. Eleven genomför matematiska resonemang. Eleven använder matematiska termer och symboler samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl Godkänd krävs förutom Godkända kunskaper att Eleven visar kunnande som spänner över olika kunskapsområden som ingår i kursen. Eleven gör matematiska tolkningar och redovisar sitt arbete med logiskt resonemang. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösningar av problemet. Kriterier för betyget Mycket Väl Godkänd krävs förutom att Väl Godkända kunskaper uppnåtts att Eleven närmar sig en vetenskaplig redovisning. Eleven väljer generella metoder och modeller för problemlösningen. Eleven genomför matematiska bevis. Eleven analyserar och tolkar resultatet. Eleven bedömer slutsatsens rimlighet och giltighet. Eleven använder ett korrekt matematiskt språk.

FÖRDELNING Namn Uppgift Redovisningstid Sofie 3/ kl 9:-:3 Sandra 7 3/ kl 9:-:3 Hampus 8 3/ kl 9:-:3 Victor 2 3/ kl 9:-:3 Henrik 5 3/ kl :3-:3 Klara 2 3/ kl :3-:3 Lisa 22 3/ kl :3-:3 Elisabeth 26 4/ kl 2:-3:3 Gustav 2 4/ kl 2:-3:3 Jenny 5 4/ kl 2:-3:3 Rebecka 28 4/ kl 2:-3:3 Frida 25 4/ kl 3:3-5: Johanna 24 4/ kl 3:3-5: Julia 3 4/ kl 3:3-5: Irwin 4 4/ kl 3:3-5: Alice 6 2/ kl 9:-:3 Cecilia 4 2/ kl 9:-:3 Sofia 7 2/ kl 9:-:3 Linnea 23 2/ kl 9:-:3 Jessica 6 2/ kl :3-:3 Björn 27 2/ kl :3-:3 Oliver 3 2/ kl :3-:3 Shayan 3 2/ kl 2:-3:3 Nathalie 8 2/ kl 2:-3:3 Sara 2 2/ kl 2:-3:3 Tim 9 2/ kl 2:-3:3 Agnes 9 2/ kl 3:3-5: William 2/ kl 3:3-5: Jonathan 6 2/ kl 3:3-5: Adrian 29 2/ kl 3:3-5: Obligatorisk närvaro på det egna redovisningstillfället, frivilligt att delta på övriga redovisningar. Skriftlig inlämning senast den 28 januari.

REDOVISNINGSUPPGIFT : REELLA RÖTTER Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen x 2 + px + q = har reella rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet a) mellan och b) mellan och 5 c) mellan och N, där N REDOVISNINGSUPPGIFT 2: DIFFERENTIALEKVATIONER Inom naturvetenskapen formulerar man teorier utgående från observationer och experiment. Man tar fram matematiska modeller som beskriver olika förlopp, och med hjälp av dessa modeller kan man ofta dra slutsatser om verkligheten i nya situationer. Vanligtvis ingår differentialekvationer i de matematiska modellerna. Ta reda på vad en linjär differentialekvation innebär. Vad anger differentialekvationens ordning? Man skiljer mellan homogena och inhomogena differentialekvationer, vad är definitionen för detta? Antag att r är en reell rot till r 2 + ar + b =. Visa att y = Ce rx är en lösning till y + a y + by =. Visa att om r är en dubbelrot så är även Cxe rx en lösning till y + a y + by =. En kropp startar vid tiden t = från stillastående i origo och drivs i y-axelns riktning av den konstanta kraften k. Bromskraften är proportionell mot hastigheten med proportionalitetskonstanten p varigenom rörelsens differentialekvation blir d 2 y dt 2 + p dy dt = k Visa att differentialekvationen har lösningen y = k p 2 e pt ( ) + kt p

REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SKATEBOARDRAMP En skateboardramp har en profil som beskrivs av funktionen 2 f (x) = +,3x 2 där x och enhet motsvarar meter. Hur hög är rampen? Bestäm rampens lutning i grader för x = 2. Var är rampen som brantast? Hur ser rampen ut? a Undersök generellt rampen f (x) = + bx 2 REDOVISNINGSUPPGIFT 4: ASTROIDEN Figuren visar en s.k. astroid, som skär x- och y-axeln i punkten a respektive -a. Ekvationen för astroiden är x 2 3 + y 2 3 = a 2 3. Beräkna längden av hela astroidkurvan. Längden L av en kurva mellan x-värderna x och x 2 beräknas enligt formen x 2 ( ) 2 L = + y (x) x Härled formeln för L genom att utnyttja Pythagoras sats. dx

REDOVISNINGSUPPGIFT 5: MacLaurins FORMEL En godtycklig funktion kan approximeras med MacLaurins formel, förutsatt att funktionen är deriverbar. Ta reda på hur formeln ser ut, och förklara varför den ger bättre och bättre uppskattningar ju fler termer man tar med. Bestäm MacLaurinserien för f(x) = cos x och jämför grafiskt cosinusfunktionen med MacLaurinpolynomet av grad, 2, 3 o.s.v. Gör detsamma för f(x) = e x cos(ax) Visa att lim x cos(bx) = a genom att MacLaurinutveckla. b REDOVISNINGSUPPGIFT 6: DAGSLJUS Du ska beskriva hur antalet timmar med dagsljus beror på tiden, enligt funktionen y = A sink( x + v) där y är antalet timmar dag x (x = den januari). Gå in på www.stjarnhimlen.se/stjh för att få data för Göteborg. Bestäm A, k och v. Ta reda på vad begreppen vårdagjämning, höstdagjämning, vintersolstånd och sommarsolstånd innebär, samt ta reda med hjälp av din graf när detta inträffar. Vid vilka tidpunkter ökar respektive minskar antalet dagsljustimmar som mest?

REDOVISNINGSUPPGIFT 7: PARTIALBRÅKSUPPDELNING Det finns integraler som kan lösas med hjälp av partialbråksuppdelning. Ta reda på hur denna metod fungerar och lös följande integraler: 2x + x 2 + 3x + 2 dx x x 2 x 2 dx 8x 9 3x 2 5x 2 dx 3x 2 3x 4 x 3 4x 2 + 5x 2 dx 3x 2 3x 8 dx x 3 ( ) ( ) x 2 + REDOVISNINGSUPPGIFT 8: ELLIPSEN En ellips är en plan kurva med ekvationen x 2 a + y 2 2 b = 2 Beräkna ellipsens area. Bestäm volymen av den ellipsoid som uppstår om ellipsen roterar kring y-axeln. Jämför dina resultat med cirkelns area och klotets volym!

REDOVISNINGSUPPGIFT 9: FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Arean av ett klot ökar med den konstanta hastigheten 32 cm 2 /min. Med vilken hastighet ökar klotets volym då radien är 5,5 cm? En upp och nedvänd kon med höjden 6 cm och bottenradien 2 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är cm 3 /min kommer vattenytan att sjunka med,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara ifall man vill att vattenytan skall hålla sig konstant på en nivå? En annan upp och nedvänd kon med toppvinkeln 9 fylls med vatten med hastigheten q m 3 /s. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är y m? Hur ser uttrycket ut för en godtycklig toppvinkel α? REDOVISNINGSUPPGIFT : HYPERBOLISKA FUNKTIONER De trigonometriska funktionerna kallas ibland för cirkulära (härleds ur enhetscirkeln). Det finns en annan grupp av funktioner som kallas hyperboliska. De tre viktigaste av dessa är cosinus hyperbolicus (cosh), sinus hyperbolicus (sinh) och tangens hyperbolicus (tanh). De defineras på följande sätt: cosh x = ex + e x 2 sinh x = ex e x 2 tanh x = sinh x cosh x De hyperboliska funktionerna har tydligt släktskap med de cirkulära funktionerna. Finn så många likheter du kan! Studera också derivatan av de hyperboliska funktionerna. Bevisa motsvarigheten till den trigonometriska ettan, som kallas den hyperboliska ettan cosh 2 x sinh 2 x =. Visa att cosh 2 x + sinh 2 x = cosh2x och 2sinh x cosh x = sinh2x. Härled formler för cosh (x+y), sinh (x+y) och tanh (x+y).

REDOVISNINGSUPPGIFT : CYKLOMETRISKA FUNKTIONER De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas arcussin x, arcuscosinus x och arcustangens x. Ett gemensamt namn för dessa funktioner är cyklometriska funktioner. Studera hur graferna till de cyklometriska funktionerna ser ut. Förklara varför de ser ut som de gör! Bestäm definitions- och värdemängd för funktionerna. Visa att arcsin x = arccos x 2 för x. Visa att arcsin x = arctan x för < x <. x 2 Härled derivatan till de cyklometriska funktionerna samt ange deras definitionsmängd. Bestäm andraderivatan och tredjederivatan för y = arctan x. REDOVISNINGSUPPGIFT 2: TÄLTET Ett tält har formen av en halv sfär med en regelbunden sexhörning som basyta. Dela tältet i ett antal skivor som får en regelbunden sexhörning som basyta. Bestäm sedan volymen genom integration. Vilka mått får tältet för olika volymer mellan,5 m 3 och 2, m 3? REDOVISNINGSUPPGIFT 3: POTENSFUNKTIONER Figuren föreställer grafen till funktionen y = x n, x, där n är ett reellt tal större än noll. Från den punkt på kurvan där x-koordinaten är c (där c är en positiv konstant) dras linjer parallellt med de båda koordinataxlarna. Dessa linjer avgränsar tillsammans med koordinataxlarna och grafen två områden med areorna A och A 2.

Sätt n = 2 och undersök för olika värden på c vad kvoten slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på c när n = 2. Sätt c = och undersök för olika värden på n vad kvoten slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på n när c =. A A 2 A A 2 blir. Formulera en blir. Formulera en Låt nu både c och n variera. Formulera en slutsats om kvoten slutsats gäller för alla värden på c och n. A A 2 och visa att din REDOVISNINGSUPPGIFT 4: MÄTSTICKAN En familj har en liggande cylindrisk tank med volymen 4.m 3 i vilken de förvarar olja för uppvärmning. Tankens diameter är.2m. Indikatorn som sitter utanpå tanken har gått sönder, så man kan inte se hur mycket olja som är kvar. Dottern i huset är naturvetare och gör en matematisk modell som beskriver oljevolymen som funktion av oljedjupet, så att man kan gradera en trästav som man sticker ned i toppen på tanken vinkelrätt mot oljeytan. Hur graderar dottern trästaven? Hur ser det funktionella sambandet ut? Hur mycket olja finns kvar när oljedjupet är.45 meter? REDOVISNINGSUPPGIFT 5: FYSIKALISKT PUMPANDE En konisk tank med radien 3m och djupet 4m är fylld med vätska med densiteten arbete uträttas om allt vatten pumpas ut ur tanken [över kanten]? ρ. Hur stort

REDOVISNINGSUPPGIFT 6: PARABOLISKA SEGMENTET En vågrät linje skär en andragradskurva i punkterna A och B. Linjen AB och andragradskurvan innesluter ett område. Detta område kallas ett paraboliskt segment. Den tangent till kurvan som är parallell med kordan AB tangerar kurvan i C. Den grekiske matematikern, fysikern och uppfinnaren Arkimedes (287-22 f.kr.) upptäckte att arean av triangeln ABC och arean av det paraboliska segmentet alltid har samma förhållande. Undersök vilket förhållandet är genom att beräkna det paraboliska segmentet och den inskrivna triangeln som begränsas av funktionen y = x 2 + 2x samt x-axeln. Visa att sambandet gäller generellt med funktionen y = - x 2 +px samt x-axeln. Andragradsfunktionen y = x 2 +px skärs av linjen y = x i punkterna A och B. Sträckan AB är en korda till andragradsfunktionen. Punkten C bestäms som ovan av att tangenten till andragradsfunktionen i C ska vara parallell med kordan AB. Undersök om Arkimedes samband gäller även då kordan inte är parallell med x-axeln.

REDOVISNINGSUPPGIFT 7: HÖGAKUSTENBRON En kedja som hänger mellan två punkter får formen av en kedjelinje som har den allmänna ekvationen f (x) = A cosh x A + B + C där cosh kallas för cosinus hyperbolicus och definieras av cosh x = ex + e x. 2 Högakustenbron norr om Härnösand i Ångermanland är en av världens längsta hängbroar. Kablarna bildar en kurva som approximativt kan beskrivas med funktionsuttrycket x y =36 cosh 36,4448 37 där x är horisontella avståndet från ena tornet och y är höjden över vattenytan. Vilken definitionsmängd har funktionen? Hur långt är det mellan brotornen? Beräkna hur högt upp kablarnas upphängningspunkter ligger. Uppskatta den segelfria höjden. Vilket motsvarande funktionsuttryck får brokablarna till Golden Gate bron i San Fransisco där avståndet mellan brotornen är 28 m, tornens höjd är 227 m och den segelfria höjden är 67 m? Jämför kablarnas längder i de båda broarna. Formeln för längden L av grafen till f(x) från x = a och x = b ges av formeln b ( ) 2 L = + f (x) a dx. Bevisa även denna formel. REDOVISNINGSUPPGIFT 8: PARTIELL INTEGRATION Omvändningen av produktregeln vid derivering används när man gör s.k. partiell integration. x 2 ln x dx g [ ] f (x)g(x)dx = F(x)g(x) a a a b b F(x) g (x)dx Härled denna formel och använd metoden för att göra följande integralberäkningar exakt: 2 π x 2 sin( 2x) dx 2 x e 2x dx Bestäm funktionen f då och.

REDOVISNINGSUPPGIFT 9: LOGARITMISK DERIVERING Härled deriveringsregeln för f (x) = ln( g(x) ). Derivera funktionen Härled deriveringsregeln för Bestäm andraderivatan till funktionen Visa att den primitiva funktionen till att bestämma a så att f (x) = x x. Har funktionen några extrempunkter? Motivera! ln x dx =. f (x) = log a x Ta fram den primitiva funktionen till a f (x) = lg x. f (x) = ln x är F(x) = x ln x x + C. Använd detta för f (x) = tan x. Bestäm också definitionsmängden. REDOVISNINGSUPPGIFT 2: KONVERGENT OCH DIVERGENT Om en integral är integrerbar över ett viss intervall och ett gränsvärde existerar säger man att integralen är konvergent. Om däremot gränsvärdet inte existerar säger man att integralen är divergent. Visa följande två satser: dx är konvergent om α >. x α dx är konvergent om α <. x α Visa att följande integraler är konvergenta samt beräkna dess värde: e x dx x e x 2 dx Visa att följande integraler är divergenta: 2x + x 2 dx sin x dx

REDOVISNINGSUPPGIFT 2: NUMERISKA METODER Ekvationen ln x = 2 x kan inte lösas algebraiskt. Använd den numeriska metoden Newton- Raphson för att lösa problemet. Förklara hur metoden går till och förklara iterationsformeln x n + = x n f (x n) f (x n ). Hur kan Newton Raphson s metod användas med miniräknaren? Använd Simpsons formel för att beräkna integralen uppbyggd! 2 x 2 + dx. Förklara hur metoden är Finns några brister i Newton-Raphson och Simpsons formel? REDOVISNINGSUPPGIFT 22: HERONS FORMEL Den grekiske matematikern Heron (ca e Kr) har fått ge namn åt en formel för beräkning av en triangels area A om man vet sidornas längder a, b och c. A = s( s a) ( s b) ( s c) där s = ( a + b + c) /2. Bevisa denna formel och undersök om den kan generaliseras till fyrhörningar. REDOVISNINGSUPPGIFT 23: LJUSSTAKE För att få en välsvarvad ljusstake kan man låta funktionen i intervallet. Vilken blir ljusstakens volym? Vilken blir volymen då man generellt låter rotera kring x-axeln? rotera kring x-axeln

REDOVISNINGSUPPGIFT 24: VARIABELSUBSTITUTION För att lösa vissa typer av integraler behöver man göra s.k. variabelsubstitution. Anta att man önskar beräkna integralen b b a β f (x) dx. Om g(α) = a och g(β) = b så gäller att f (x) dx = f ( g(t) ) g (t) dt a α Förklara vad metoden innebär! Lös integralen x 2 dx genom att ersätta x = sin t. Lös integralen 4 x + x dx genom att ersätta x = t 2. Lös följande integraler genom lämplig variabelsubstitution: 3 8 x 2 + 4x dx 3 cos( + x ) dx + x REDOVISNINGSUPPGIFT 25: VÄXANDE FUNKTION Tabellen visar funktionsvärden till en växande funktion y = f(x) för vilken man vet att den är deriverbar och f (x),5 för x. Bestäm ett så litet värde b som du kan för vilket säkert gäller att 3 f (x)dx < b

REDOVISNINGSUPPGIFT 26: SYMMETRISKA EKVATIONER I ekvationen ax 5 bx 4 + cx 3 + cx 2 bx + a = är koefficienterna parvis lika. Utnyttja detta för att finna en rot till ekvationen. Visa att om ekvationen ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = ( a ) har en rot x = r så är också Lös ekvationen x = r en lösning till ekvationen. 6x 4 35x 3 + 62x 2 35x + 6 = genom att dividera båda leden med x 2 samt sammanföra termer med samma koefficient och sätta x + x = y. Lös ekvationen x 6 3x 5 x 4 + 6x 3 x 2 3x += REDOVISNINGSUPPGIFT 27: ACCELERATION I reklamen för en ny bilmodell anges att accelerationen vid omkörning är anmärkningsvärt bra. Bilen uppges kunna accelerera från 6 km/h (6,7 m/s) till km/h (27,8 m/s) på sekunder på fjärde växeln. Anta att hastigheten v m/s vid olika tidpunkter under accelerationen kan beskrivas med uttrycket v(t) = a t + b, där a och b är konstanter och t sekunder är den tid som bilen accelererat. Bestäm konstanterna a och b. Hur lång sträcka behövs enligt denna modell för en omkörning som tar sekunder, om du från början kör 6 km/h? En sådan bil ligger bakom en lastbil som kör 6 km/h och föraren ska köra om på en rak väg med god sikt. Hur lång tid tar omkörningen om den sker enligt bilderna nedan? Hur lång tid tar motsvarande omkörningen om lastbilen istället kör i z km/h? Diskutera styrkor och svagheter med denna modell.

REDOVISNINGSUPPGIFT 28: KRISTALLGLASET En formgivare har designat kristallglas med de former som figurerna nedan visar. Glasen består av en kupa och en fot. Du skall hjälpa formgivaren med att beräkna lämpliga mått på glasen. a) Kupan för glaset i figur har den form som uppkommer då parabeln y = kx 2 roterar kring y-axeln. Bestäm konstanten k då h =, cm och r = 4, cm. Beräkna sedan glasets volym. b) Ute i handeln är 75 cm 3, 2 cm 3 respektive 3 cm 3 vanliga värden för kupornas volym. Beräkna lämpliga dimensioner (h och r) för att ett glas som figur skall få en volym som stämmer med en av de angivna volymerna. c) Formgivaren vill också göra glas av den typ som avbildas i figur 2. Kupan ska ha harmoniska proportioner mellan h och r som bygger på det gyllene snittet. Välj en ny potensfunktion y = k x p för att beskriva en kupa som i figur 2. Bestäm dimensionerna (h och r) för ett sådant glas med harmoniska proportioner och volymen 75 cm 3. d) Gör generella beräkningar för figur och 2 då du önskar volymen V cm 3. REDOVISNINGSUPPGIFT 29: ANTAL RÖTTER Undersök algebraiskt antalet rötter till ekvationen x 2 = a ex x + för olika värden på konstanten a.

REDOVISNINGSUPPGIFT 3: TREDJEGRADSEKVATIONEN Visa att ekvationen x 3 + ax 2 + bx + c = () övergår i x 3 + px + q = (2) om x ersätts med x a 3. När har ekvationen () tre reella rötter som är olika stora? Visa i ett pq-system de områden där ekvation (2) har en, två respektive tre reella rötter.