Tillämpningar på främst geometriska, men även aritmetiska summor och talföljder. Att röka är ett fördärv. Förutom att man kan förlora hälsan går en mängd pengar upp i rök. Vi träffar Cigge, som röker 20 cigaretter, lika med ett helt paket om dagen. Nu till nyår har han bestämt sig för att sluta. Pengarna som blir över har han tänkt sätta in på banken. Han får betala 40 kr för ett paket och kommer i framtiden att spara 7 40 = 280 kr i veckan. Detta belopp tänker han sätta in på banken varje måndag, till 5% ränta. Han undrar nu hur länge det kommer att dröja innan han kommer att vara miljonär! Om man får 5% ränta om året få man 5 % ränta på beloppet under en vecka. Detta 52 ger en förändringsfaktor 1 + 5 52 100 = 57 52 = 1041 1.00096 Vi kan nu teckna hur mycket pengar han har, just när han har satt in sina 280 kr den tredje måndagen 280 + 280 ( ) 1041 + 280 ( ) 2 1041 840.81 De sista 280 kronorna han just satt in har han förstås inte fått någon ränta på ännu. De 280 kr han satt in för en vecka sedan har blivit 280.27. Han har alltså fått 27 öre i ränta under veckan De 280 kr han satt in för två veckor sedan har blivit 280.54. Efter 1 år = 52 veckor har han lyckats spara 280 + 280 ( ) 1041 +... + 280 ( ) 51 1041 14922.80 Om Cigge inte satt in pengarna på banken utan gömt dem i madrassen hade han istället haft 280 52 = 14560 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Så lite har räntan bidragit med. Så här kommer nu hans sparkapital att utvecklas: Antal år Sparkapital Antal år Sparkapital Antal år Sparkapital 1 14923 2 30610 3 47102 4 64438 5 82663 6 101822 7 121963 8 143136 9 165394 10 188792 11 213390 12 239248 13 266431 14 295008 15 325048 16 356628 17 389827 18 424726 19 461415 20 499983 21 540528 22 583151 23 627958 24 675061 25 724578 26 776632 27 831354 28 888880 29 949354 30 1012928 Så efter 30 år har Cigge drygt en miljon på banken. Inte för jag vet vad den kan vara värd då, men Cigge kan vid 52 års ålder fortfarande hoppa 1.70 i höjd. Sedan har vi inte heller tagit hänsyn till höjda cigarettpriser. Om han sparat alla pengarna i garderoben (de få inte rum i madrassen) hade han haft 30 52 280 = 436800. Så ränta på ränta det gör susen det! 1 Bestäm med hjälp av formeln för geometriska summor 25 + 5 1.25 2 + 5 1.25 3 +... + 5 1.25 10 Inledningen på summan är inte ren. Talet 25 får vi särbehandla. För den geometriska summan blir då a 1 = 5 1.25 2, k = 1.25 och n = 9. Genom formeln s n = a 1(k n 1) k 1 får vi då s 9 = 5 1.252 (1.25 9 1) = 201.581 1.25 1 25 + s 9 = 226. ger till slut svaret. 2 Bertil sparar in 1000 kr/månad till 5% årlig ränta. Hur lång tid kommer det att ta innan han sparat ihop till den bil, med prislappen 000 kr, som han så hett eftertraktar? Om man får 5% årlig ränta får man 5 % månatlig ränta. Detta ger en föränd- 12 ringsfaktor, tillika k k = 1 + 5 1200 = Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Den geometriska summa vi ska studera har följande utseende ( ) ( ) 2 ( 1000 + 1000 + 1000 +... + 1000 Det är n vi söker. Summan av n termer kan bestämmas med hjälp av formeln s n = 1000 (( ) n ) 1 1 Eftersom vi vet vilken summa vi vill uppnå får vi ekvationen 000 = 1000 (( ) n ) 1 1 ( ) ( ) n 000 1000 1 + 1 = lg 000 ( ) ( ) 1000 1 + 1 = n lg lg 000 ( n = n 166.7 1000 Svar: 167 månader eller nästan 14 år är en lång tid. lg ) n ) 1 + 1 ) ( 3 Adam har en skuld som ska betalas om 4 år, då med 12000 kr. Men han vill betala den redan idag. Hur mycket ska han betala om räntan på lånet är 13%? Den här uppgiften har inget med geometriska summor att göra. Istället får vi en ekvation av enkelt slag. Vi utgår från formeln f(t) = C a t Där C är startkapitalet (eller i denna uppgift aktuell skuld) t är tiden, här t = 4 år. a är förändringsfaktorn a = 1 + 0.13 = 1.13. f(t) är beloppet efter tiden t. Obekant för oss är C. I övrigt är allting känt och vi får följande ekvation Svar: 7360 kr 12000 = C 1.13 4 C = 12000 1.13 4 C = 7360 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 Curt lånar 100000 kr till 10% ränta. Han ska återbetala detta lån på 10 år. Varje år ska han amortera 10000 kr plus årets ränta. Hur mycket kommer lånet att kosta honom? Efter ett år ska han betala 10000 kr i amortering plus räntan som också är 10000 kr. Totalt alltså 20000. Inför nästa år har han ett lån på 90000 kr, så andra året utgör amortering och ränta 19000 kr. Han har nu ett lån på 80000 kr som betyder att han ska betala 18000 kr nästa år. Slutligen kommer han efter 10 år att betala 11000 för ränta och amortering. Vi har alltså att summera 20000 + 19000 + 18000 +... + 11000 Detta är en aritmetisk summa som vi beräknar med formeln n(a 1 + a n 2 Svar: Curt får betala 55000 kr i ränta. = 10(20000 + 11000) 2 = 155000 5 David lånar 100000 kr till 10% ränta. Han ska återbetala detta på 10 år. Varje år ska han betala ett lika stort belopp. Detta kallas för ett annuitetslån. Hur stort belopp ska han betala varje år? Hur mycket kostar lånet honom? Antag att han ska betala x kr varje år annuiteten. Problemet leder till denna ekvation x + 1.1x + 1.1 2 x +... + 1.1 9 x = 100000 1.1 10 Vänstra ledet är en geometrisk summa, som med hjälp av formeln ger Vi får nu ekvationen x(1.1 10 1) 1.1 1 x(1.1 10 1) = 100000 1.1 10 1.1 1 10x(1.1 10 1) = 100000 1.1 10 x = 100000 1.110 10(1.1 10 1) x 16274.5 Här en formel som klarar av problemet i ett slag. b är lånat belopp, r är årlig ränta i %, n är antalet år. b r 10 100 1 ( 100 ) 1 + r n = 100000 100 1 ( ) 1 + 10 10 = 16274.5 100 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
6 Vilket är bäst ur ekonomisk synpunkt, att betala 65000 kr kontant idag, eller 100000 kr om 4 år, om räntan är 11%. Om jag sätter in pengarna, 65000 kr, på banken till 11% ränta har jag om 4 år 65000 1.11 4 98674.6 Då fattas det en del när jag ska betala de 100000 kr. Svar: Jag sparar nästan 12000 om jag betalar kontant. 7 Adam tog i slutet av 1992 ett lån på 50000 kr mot 15% årlig ränta. Han betalade av lånet med 20000 kr i slutet av 1994 och 20000 kr i slutet av 1996. Hur mycket betalade han i slutet av 1997 för att lånet med ränta på ränta skulle bli betalt? Efter 2 år har lånet vuxit till 50000 1.15 2 = 66125 Han betalar av 20000 och lånet är nu på 46125 kr. Efter ytterligare 2 år har lånet vuxit till 46125 1.15 2 = 61000 Nu gör han en ny avbetalning och lånet sjunker till 41000. Efter ett år till är det dags att betala av resten som då vuxit till Svar: Han ska betala 47150 kr 41000 1.15 = 47150 8 En spelkonsol av okänt märke kostar vid kontantköp 2995 kr. Vid avbetalningsköp erläggs 995 kr vid leveransen och 2120 kr tre månader senare. Vilken årlig räntesats motsvarar detta? Man får betala 995 + 2120 2995 = 120 kr mer vid avbetalning än vid kontantköp. Räntan är alltså 120 kr. Skulden man har är 2000 kr Antag att den årliga räntan är x%. Då är kvartalsräntan (3 månader) x%. 4 ( 2120 = 2000 1 + x ) Svar: Årsräntan är 24% 2120 = 2000 + 5x 5x = 120 x = 24 400 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
1 Vilken är det tredje talet i denna geometriska talföljd 2 Beräkna den geometriska summan 196, 182,... 12345 + 12345 1.23 + 12345 1.23 2 +... + 12345 1.23 15 3 Adam får på sin födelsedag varje år 2000 kr av sina föräldrar, från det år han fyller 1 till och med det år då han fyller 16. Pengarna sätts in på banken till 9% årlig ränta. Hur stor är behållningen på hans 16-årsdag? 4 Bertil satt in 10000 kr på ett konto till 7% ränta och 8000 kr på ett annat konto till 8% ränta. Efter hur lång tid var de två kapitalen lika stora och hur stora var de då? 1 Vi bestämmer k k = 182 196 = 13 14 och nu a 3 a 3 = 182 13 14 = 169 Svar: a 3 = 169 2 Med formeln får vi 12345(1.23 16 1) 1144003 1.23 1 3 Vi använder direkt formeln 2000(1.09 16 1) 1.09 1 66006.80 Svar: 66000 kr Håkan Strömberg 6 KTH Syd
4 Vi får ekvationen Till sist får vi kapitalet storlek 10000 1.07 x = 8000 1.08 x 10000 = 1.08x 8000 ( 1.07 x ) x 5 1.08 4 = 1.07 ( ) ( ) 5 1.08 lg = x lg 4 ( 1.07 ) 5 lg 4 x = ( ) 1.08 lg 1.07 x 24 10000 1.07 2 4 = 50682 Svar: Efter cirka 24 år är båda kapitalen 50682 kr Håkan Strömberg 7 KTH Syd