subtraktionsundervisning i åk.1-6

I början var det svårt men nu har vi lärt oss! subtraktionsundervisning i åk.1-6 Margareta Löfstedt Matematikdidaktisk verksamhetsutveckling, 10 p. VT 07 1

Inledning Utveckling har alltid intresserat mig. Jag har alltid varit nyfiken och velat prova på nya saker. Matematik har jag också alltid tilltalats av och har alltid tyckt att ämnet har varit begripligt och logiskt. Märkligt nog har jag inte förrän nu kopplat ihop dessa intressen. För några år sedan gick vi en mattekurs på vår skola och jag fick verkligen upp ögonen för min egen undervisning. Som mellanstadielärare undervisar man ju i ett stort antal ämnen och många av ämnena har under min tid utvecklats och förändrats. Men matten där har utvecklingen möjligen bestått av att byta läromedel. Boken har varit en trygghet och något att luta sig mot. Mattekursen fick mig och min kollega att kritiskt granska vår undervisning och fick oss att förändra den. Vi började verkligen fundera på vad eleverna hade för kunskap inom varje nytt område och utifrån det letade vi material som passade dem. Vi försökte även att laborera inom varje delområde. Läroboken fanns naturligtvis där, men bara som ett komplement, inte något som vi slaviskt följde. Vissa områden kanske passade perfekt, medan andra var mindre lämpade. Många gånger tyckte vi att läroboken började på en alldeles för svår nivå. Vi ville verkligen ge eleverna en ordentlig grund och en förståelse. Uppnåendemålen i årskurs 5 blev vår nya ledstjärna. Läsåret gick och vi var nöjda över vår undervisning. Så blev det dags för ämnesproven i femman och vi fick plötsligt ont i magen. Tänk om vi hade gjort fel? Vad händer om många elever inte når målen? Då är det ju vårat fel!!! Efter att ha lugnat ned oss insåg vi det komisk i situationen. Tänk att vi inte tidigare hade tänkt så? Att vi då hade skyllt allt på matteboken och inte reflekterat över vår undervisning. Bakgrund Att hitta argument för skolutveckling i litteraturen är enkelt. Gunnar Berg (2003) beskriver skolutveckling som en problemlösningsprocess, där ordet problem jämställs med ett angeläget område som är värt att nagelfaras och studeras. Vidare säger Berg att syftet med skolutveckling är att utveckla vardagsarbetet för elevernas bästa. Enligt Scherp (2003) är syftet med skolutveckling att eleverna ska lyckas bättre i sitt lärande och sin utveckling. Han beskriver skolutveckling som en problemlösningsprocess med utgångspunkt i upplevda problem i vardagsverksamheten. Scherp menar att utvecklingen måste ta sin utgångspunkt ur vardagen och de människor som arbetar i den. Och vardagen för en lärare är ju elever och dessa förändras hela tiden. Detta faktum anses av lärare vara den viktigaste anledningen till att utvecklig måste ske. Gunnar Berg uttrycker sig på ett liknande sätt genom att säga att skolutveckling utgår från skolors egna behov och förutsättningar. Han menar att skolorna måste gräva där de står, bottom-up, hitta utgångspunkten i sin egen mylla. Det gäller att hitta det outnyttjade frirummet och att lärarna tar makten över sitt vardagsarbete, med elevernas bästa för sina ögon. Många rapporter har under de senaste åren visat på att just matematiken är i stort behov av utveckling. Skolverket skriver i rapporten Lusten att lära med fokus på matematiken (2003), att undervisningen i andra ämnen än matematik är mer progressivt när det gäller att utveckla bredd och djup i innehåll och arbetssätt. Den beskriver också hur lusten till matematik finns i de tidigare åren, men går förlorad. Att eleverna redan i årskurs 5 får en allt mer problematisk inställning till ämnet. Den säger också att alltför många elever tidigt bara får arbeta med text och talat språk, trots att de har behov av en mer konkret undervisning. 2

Denna tes spinner matematikdelegationens betänkande Att lyfta matematiken (Skolverket, 2004) vidare på. De menar att det finns ett stort behov av att ifrågasätta och utmana de traditioner som styr matematikundervisningen, att vi måste ifrågasätt den starka styrningen av det läromedel som används. Delegationen menar att förändringarna som gjordes av matematikämnets uppbyggnad och struktur under 1990- talet, inte alls har följts upp nationella och lokala initiativ som hade behövts, för att verkligen utveckla matematikundervisningen åt det håll som var tänkt. Undervisningen i matematik måste utvecklas och förändras, så att attityderna till matematikämnet förändras och intresset ökar. Den nationella utvärderingen (Skolverket, 2004) visar nämligen att eleverna tycker att ämnet är svårt och ointressant. Kunskapsresultatet visar på en försämring i både åk 5 och 9. Samtidigt tycker eleverna att det är ett viktigt och nyttigt ämne som de tror sig ha användning av i framtiden. Nu till vår skola. Vad hade vi behov av att utveckla? Efter en studie av resultaten på de nationella proven året innan, såg vi att våra elever hade problem med subtraktion. Vi började med att leta i våra styrdokument efter vad eleverna egentligen ska kunna inom området subtraktion. Eftersom både LPO -94 och kursplanerna är ganska luddigt skrivna, så gick vi vidare och granskade diagnosuppgifterna i åk. 2 och ämnesproven i matematik i åk.5. Där fick vi en tydligare indikation av vad som krävdes inom området subtraktion. Nu ville vi veta hur våra elever såg på subtraktion och vad de kunde. Vi intervjuade våra elever om vad som var svårt med subtraktion och delgav varandra resultatet. Både vi lärare och våra elever skrev räknesagor om subtraktion. Vi kategoriserade dem utifrån Gudrun Malmers sex olika indelningar av subtraktion. Dessa sex är: 1.Ta bort, minska, tappa, ha kvar Ola har 11 kr men tappar 4 kr. 11 4 = Hur många har han sedan kvar? 11-4? 2. Fattas.. Ola har 4 kr men behöver 11 kr. 11 4 = Hur mycket fattas? (4 + = 11) 4 +? 11 3. Ha från början När Ola hade fått 4 kr av sin mor 11 4 = Hade han 11 kronor. Hur många (4 + = 11) kronor hade han från början?? +4 11 4. Dela upp Ola delar sina 11 bollar i två högar. I den ena läggar han 4 bollar. Hur många bollar lägger han i den andra? 11 4 = 11 11 4? 4 3

5. Jämföra söka delen 11 4 = Ola har 11 bollar och Kurt Har fyra bollar färre. Hur Många bollar har Kurt? 6. Jämföra söka differensen 11 4 = Ola har 11 bollar och Kurt har 4 bollar. Hur många färre har Kurt? (Hur många fler har Ola?)? 11 4? Vi kunde konstaterar att både vi och eleverna hade en rejält enkelspårig syn på subtraktion. De allra flesta räknesagor var av typen ta bort, nr 1. Några få var av typen jämföra, nr 6. De övriga fyra kategorierna hade inte en enda räknesaga. Fortsättningsvis läste vi i NCM: s Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik om att skriva matematik och tittade på en tankekarta om subtraktion. I Gudrun Malmers Kreativ matematik läste vi om hennes tankar om subtraktion, att det väldigt tidigt förknippas med ta bort, tappa, förlora etc. Hon skriver om behovet av att införa begreppet skillnad tidigt och att koppla ihop subtraktionen med additionen. Jag distribuerade även Dagmar Neumans artikel Nybörjares uppfattning av tal och subtraktion till mina kollegor. Hon skriver där om hur viktigt det är att barnen lär sig dela upp talen 2 till och med 10 för att klara addition och subtraktion över 10- talsgränser. Utifrån dessa nya insikter om subtraktion var det dags att planera vårt arbete om subtraktion, aktioner. Och vad avsikten med dessa skulle vara. Vi enades efter samtal om dessa huvuddelar: Vidga elevernas syn på begreppet subtraktion Befästa jämförelser, skillnad som subtraktionsbegrepp Se sambandet mellan addition och subtraktion Syfte Syftet med denna aktion/undersökning är att höja elevernas medvetande och kunnande i subtraktion. Syftet är också att se om arbetssättet/arbetsmodellen som vi lärare har haft, kan fungera som en generell problemlösningsmodell för framtida behov. Frågeställningar 1. Ökar elevernas kunnande om subtraktion med hjälp av de aktioner vi gjort? 2. Vidgas elevernas syn på subtraktion genom de aktioner vi gjort? 3. Ökar lärarnas medvetenhet om sin undervisning efter vårt arbete med subtraktion? 4. Kan modellen användas på nya identifierade problemområden inom matematik? 4

Metod För att ta reda på svaret till mina frågeställningar valde jag att jobba både med elever och med lärare. Själva grunden i arbetet blev aktioner, efter Tillers modell. I Aktionslärande (1999) menar Tiller att aktionslärande är en kontinuerlig lärande- och reflektionsprocess, där kollegor hjälps åt och syftet är att uträtta något. Aktionslärande beskrivs som något som hjälper människor ut ur handlingsförlamande situationer för att förändra dem till något bättre. I vårt fall våra elevers ringa kunnande inom subtraktion. Vi utförde två aktioner, som beskrivs mer ingående längre fram. Arbetet omfattar också diagnoser, intervjuer och utvärderingar. Alla elever fick göra en diagnos före och efter aktionerna. Jag intervjuade tio stycken elever i inledningen av arbetet och gjorde samma intervju, med samma elever efter avslutat arbete. Lärarna fick vid tre tillfällen fylla i utvärderingar. Urval Urvalet för denna studie är den skola som jag jobbar på, en skola med elever från årskurs ett till årskurs 6. Skolan är årskursblandad, 1-2: or, 3-4; or och 5-6: or i tre parallella spår. Alla elever från årskurs 1 till årskurs 6 deltog i studien, ca 165 stycken. Detta föll sig naturligt, eftersom alla klasslärare på skolan deltog i studien. Innan vi gjorde någon aktion fick alla elever göra en diagnos i subtraktion, 164 elever. Jag gjorde också intervjuer med 10 stycken barn. Dessa barn valdes ut av respektive klasslärare. Jag bad dem välja två olika elever, en högpresterande och en lågpresterande. Jag gjorde en intervju med barnen i åk 1 och åk 2 och en annan med barnen i åk 3 till och med åk.6. Efter aktionerna gjordes samma procedur en gång till. Alla fick göra om samma diagnos och jag intervjuade samma barn med samma frågor som vid första tillfället. Vid det andra intervju- tillfället var en av de tio eleverna sjuk. Vid andra diagnostillfället deltog 161 barn. Sjukdom och annan frånvaro gjorde att det var färre deltagande elever vid andra diagnosen. Alla lärare som deltog i k-tiderna fick fylla i utvärderingar efter varje moment. Efter k- tiderna om matte fyllde åtta i utvärderingen. Efter första aktionen var det nio som deltog och efter andra aktionen sex lärare som utvärderade. Datainsamlingsmetoder Här valde jag att använda mig av tre olika metoder i insamlingen av data. Diagnos Diagnosen som alla barn gjorde, började med talen under tio och stegrades sedan i svårighet (bilaga 1). Jag valde att bara använda heltal, eftersom det bara är de äldre eleverna som kommer i kontakt med decimaltal. Intervjuer De intervjuer som jag gjorde delade jag in i två områden; intervju med de yngre barnen, (bilaga 2) och intervju med de äldre barnen (bilaga 3). De yngre barnen fick som huvuduppgift att dela talet nio på olika sätt och samtala om enkla subtraktionsuppgifter, med stark verklighetsförankring. Med de äldre barnen samtalade jag om vad subtraktion egentligen betyder och deras inställning till subtraktion. De fick också berätta om vilka av några givna ord som kunde kopplas ihop med subtraktionsbegreppet och utifrån dessa ord skapa en räknesaga. Som avslutning fick de också lösa några subtraktionsuppgifter. 5

Utvärdering Lärarna fick i samband med våra k-tider fylla i tre stycken utvärderingar. Den första efter våra k-tider om subtraktion, den andra efter första aktionen och den tredje efter andra aktionen. Procedur Diagnosen som eleverna gjorde distribuerades av respektive klasslärare. Många lärare hade också rättat den när jag fick tillbaka den. Intervjuerna genomförde jag med ett barn i taget, i ett litet rum i närheten av deras klassrum. Lärarna fick vid tre tillfällen svara på tre olika utvärderingar. Dessa delade ut av mig i samband med våra träffar. Vissa valde att göra utvärderingarna direkt, andra vid ett senare tillfälle. För att få en tydlig och klar bild av hur vi jobbat med subtraktion, med både lärare och elever, väljer jag att först beskriva själva genomförandet, konferenstiderna med lärarna och de två aktionerna med eleverna. Efter detta kommer jag att redovisa resultatet och knyta ihop det med de fyra frågeställningarna. Genomförande Konferenstiderna Efter diskussion med min rektor så kom vi fram till att alla lärare på skolan skulle vara med och jobba med subtraktionsarbetet och att detta framförallt skulle ske på våra konferenser. Min roll vid dessa tillfällen var att hålla i konferenserna. Jag försökte i viss mån använda mig av de kunskaper som Kerstin Häggs föreläsning om Det lärande samtalet gav mig, trots att gruppen egentligen var för stor. Jag höll en låg profil och försökte få andra att prata. Jag förde anteckningar under samtalen och försökte vid varje tillfälle göra en sammanfattning av vad som hänt gången innan. De första två tillfällena använde vi till att komma fram till vad vi skulle jobba med. Här lyftes problem i matematikundervisningen fram och diskuterades. Vi såg också TIMSS Video Study, filmen om de olika sätten att undervisa i matte i olika länder. Efter diskussioner valde vi så att jobba med subtraktion. Aktion 1 Första aktionen skedde inom de parallella klasserna. Denna skulle ske under en veckas tid, en stund varje dag. I 5-6: ans arbetslag planerade vi att jobba 4 lektioner á 40 minuter i respektive klass. Vi bestämde oss för att jobba med lilla och stora subtraktionstabellerna. Att verkligen se till att de automatiseras. Läxor gavs och hade ett litet förhör varje dag under veckan. Vi jobbade också med begrepp. Ett läromedel som tog upp ord som hör ihop med minus blev en bra grund i det arbetet. Eleverna skulle där kunna identifiera de ord som hör ihop med minus. Vi jobbade också med strategier i skriftlig huvudräkning för subtraktion. Vi koncentrerade oss på två metoder: Utfyllnad: En metod som användas i huvudsak när talen ligger nära varandra. Tex. 103-97. Man börjar då på talet 97 och tar sig först upp till 100 och sedan vidare till 103. Med mellanled ser talet ut så här: 103 97 = 3 + 3 = 6 6

Talsorterna-för-sig-strategin: I denna metod väljer man att subtrahera varje talsort för sig. Hundratalen för sig, tiotalen för sig och entalen för sig. 396 235 = 100 + 60 + 1 = 131 Vi jobbar grundligt med dessa båda metoder för att de verkligen skulle få fäste i eleverna. Och att de skulle vara säkra på vilken strategi de skulle använda när. I 3-4: an ägnade man veckan till en mängd olika aktiviteter. Man gjorde tankekartor runt subtraktionsbegreppet, man försökte befästa sambandet mellan + och -, med hjälp av tankekartor (7-3 = 4, 7-4 = 3, 4+3 = 7 och så vidare). Stor tid lades ned på jobbet med skillnader. Mätning av kompisars kroppsdelar och jämförelser av typen: Hur stor är skillnaden mellan din och min arm?. Volymen i olika kärl jämfördes och det räknades ut skillnader. Är det skillnad på Sverige?, frågade man sig. De utgick från faktatabeller om Sverige och tog rätt på skillnader: Hur många fler/färre landskap finns det i Norrland jämfört med Götaland. Hur stor skillnad i höjd är det mellan det högsta och lägsta berget i Sverige? Hur mycket djupare är Hornavan än Vättern etc. I 1-2: ans arbetslag tog man också fasta på begreppet skillnad. Arbetet handlade till stor del om att gissa och sedan mäta eller väga och räkna ut skillnaden. Det kunde handla om längder, volymer eller massor. Leka affär ägnade man sig också åt. Att få handla med 10: or, 20: or, 50- och 100-kronors sedlar i en uppbyggd affär. Aktion 2 Nu tyckte vi på skolan att vi skulle försöka jobba vertikalt, dvs. en 1-2: a, en 3-4:a och en 5-6:a tillsammans. I mitt spår gjorde vi grupper med elever från varje klass och sedan gällde det att välja lämpliga aktiviteter, som innehöll subtraktion och som lämpade sig för alla åldrar. Efter ett tags spånade kom vi fram till fyra stationer som eleverna skulle få cirkulera emellan. Den här gången blev det en mer lustfylls aktion, med ett ganska stort inslag av lek. Station nummer ett var pilkastning som gick ut på att räkna baklänges från 100 och så få kast som möjligt. På station nummer två använde vi tärningar och räknade minus under tävlingsliknande former. På den tredje stationen skrev vi räknesagor med hjälp av ord som förknippas med subtraktion och på slöjden, den fjärde stationen mätte eleverna varandras kroppsdelar och räknade ut skillnader. Resultat För att få en tydlig struktur på resultatet, väljer jag att redovisa resultatet i tre underrubriker: diagnos intervjuer med elever utvärdering med lärarna Knyter sedan, efter denna resultatgenomgång, an till frågeställningarna. Diagnos (bilaga 1) När vi tillsammans hade bestämt vad vi skulle jobba med konstruerade jag en subtraktionsdiagnos som alla barn skulle göra. Denna genomfördes av klasslärarna i klasserna. Nedan ses resultatet av den diagnosen. 7

Resultat av subtraktionsdiagnos, februari 06, max poäng 41 Årskurs Antal elever Medelvärde Högsta poäng Lägsta poäng 1 21 12,0 22 2 2 23 19,4 34 7 3 27 30,2 40 21 4 26 34,8 41 (5 st.) 15 5 38 34,6 41 (2 st.) 24 (2 st.) 6 29 35,2 41 (4 st.) 22 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Åk 1 Åk 2 Åk 3 åk 4 åk 5 åk 6 Medelvärde Högst Lägst Diagram 1: Resultat av subtraktionsdiagnos, februari 06, max poäng 41 Som man tydligt ser på diagrammet är staplarna för årskurs 4, 5 och 6 relativt lika. Detta beror förmodligen på att diagnosen endast innehöll heltal och inga decimaltal. Jag valde att inte ta med de senare eftersom eleverna i de lägra årskurserna inte kommer i kontakt med dessa. Efter våra båda aktioner gjordes så samma diagnos igen. Även denna gång genomfördes den av klasslärarna i klasserna. Resultatet av denna diagnos föll ut som nedan. Resultat av subtraktionsdiagnos, maj 06, max poäng 41 Årskurs Antal elever Medelvärde Högsta poäng Lägsta poäng 1 21 13,2 26 3 2 22 25,5 38 13 3 25 31,6 40 (5 st.) 18 4 25 37,4 41 (5 st.) 25 5 40 36,9 41 (5 st.) 27 6 28 37,4 41 (6 st.) 27 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Åk 1 Åk 2 Åk 3 åk 4 åk 5 åk 6 Medelvärde Högst Lägst Diagram 2: Resultat av subtraktionsdiagnos, maj 06, max poäng 41 8

Efter dessa två diagnoser gjorde jag en jämförelse mellan resultatet i februari och resultatet i maj. Närmare bestämt var det medelvärdets förändring som jag jämförde. Stapeldiagrammet nedan visar hur medelvärdet i de olika årskurserna har förändrats. Medelvärdets förändring från februari till maj. 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Åk 1 Åk 2 Åk 3 åk 4 åk 5 åk 6 Medelv. Feb. Medelv. Maj. Diagram 3: Medelvärdets förändring från februari till maj. Man kan se att medelvärdet har stigit i alla årskurser efter de två aktionerna som eleverna var med om. Intervjuer med elever Intervjuerna som jag gjorde redovisar jag i två delar: Intervju med de yngre eleverna Intervju med de äldre eleverna Jag gjorde två intervjuer med varje barn. En i februari, före aktionerna och en i maj samma år, efter aktionerna. Intervju med de yngre eleverna (åk. 1 2, bilaga 2) Intervjun innehåller en uppgift där man ska dela på talet nio på så många olika sätt som möjligt och fyra stycken enkla subtraktions uppgifter, utan tiotalsövergångar. Valet av elever hade klasslärarna gjort och jag hade uppmanat dem att välja en svagpresterande elev och en högpresterande. För att få en tydligare bild vid intervjuredovisningen får varje elev en bokstav. A = svagpresterande elev i åk 1 B = högpresterande elev i åk 1 C = svagpresterande elev i åk 2 D = högpresterande elev i åk 2 I årskurs ett var spannet mellan eleverna väldigt stort. Elev B klarade mina intervjuuppgifter galant vid både tillfälle ett och två. Elev A har stora problem med uppgifterna. Eleven kunde inte dela talet nio på något sätt och gissar på alla subtraktionsuppgifter. Tre av de fyra uppgifterna är av typen; hur mycket fattas och där gissar eleven på en tjugolapp eller kanske en femtiolapp. Vid intervjutillfälle två klarar eleven att dela på talet nio på två sätt. Subtraktionsuppgifterna angriper eleven mycket mer medvetet sätt denna gång. Eleven gissar inte längre utan försöker räkna på fingrarna och lyckas svara rätt på ett av talen. Urvalet av de två eleverna i årskurs liknar mycket urvalet i årskurs ett. Elev D klarar alla mina uppgifter snabbt och enkelt vid båda intervjutillfällena. Elev C har bekymmer att dela upp talet nio vid båda tillfällen. Eleven klarar dock av uppgiften vid båda intervjutillfällena när jag säger den ena siffran. Eleven räknar då på fingrarna för 9

att komma fram till svaret. Av de fyra subtraktionsuppgifterna har hon tre rätt båda gångerna, dock inte på samma uppgifter vid de olika tillfällena. Både vid intervjun i februari och i maj använder eleven fingrarna för att komma fram till svaret. Intervju med de äldre eleverna (åk. 3 6, bilaga 3) Denna intervju inleds med frågor om subtraktion, vad eleverna tänker på när de hör ordet och vad de tycker om subtraktion. Sedan kommer en fråga om vilka av 19 stycken ord som eleven kan använda i en räknesaga om subtraktion. Sedan ska eleven göra en egen uppgift med minst tre av de orden som de i uppgiften innan hade valt. Intervjun avslutades med tre stycken subtraktionsuppgifter som ska lösas på bästa sätt. En av dessa uppgifter var en typisk utfyllnad uppgift, nämligen 905-899. Vid första tillfället intervjuades sex elever, en i åk 3, en i åk 4, två i åk 5 och två i åk 6. Vid andra tillfället var en av eleverna i åk. 6 frånvarande och deltog inte i intervjun. Urvalet av dessa äldre elever gjordes på samma grunder som vid intervjun med de yngre barnen i årskurs 5 och 6. För att kunna hänvisa till respektive elev har jag gett även dessa elever varsin bokstav. E = elev i åk 3 F = elev i åk 4 G = svagpresterande elev i åk 5 H = högpresterande elev i åk 5 I = svagpresterande elev i åk 6 (frånvarande vid andra intervjun) J = högpresterande elev i åk 6 På frågan om vad eleverna tänker på när ordet subtraktion nämns, svarar elev E, G och J minus vid första intervjun. Elev I svarar mindre, elev F ta bort och elev H svarar jag vet inte. Vid intervjutillfälle två säger alla elever minus. Elev F och J säger även ta bort. Elev F nämner ordet skillnad och elev J rea som ord som de tänker på när de hör ordet subtraktion. Fråga nummer två löd: Vad tycker du om subtraktion? Varför? Vid första intervjun svarade fyra av eleverna, elev E, F, I och J, att det var svårt. Elev J tyckte det hade med talen utseende att göra, det var knöligt att göra om vissa tal. Elev F svarade att det var svårt med minus om det är stor skillnad mellan talen. Eleverna G och H svarade att det var lätt, för att man tar bort. Vid andra intervjun däremot svarade elev H att det var det jobbigaste räknesättet och elev G att det är sådär att räkna minus. E, F och J har en mer positiv syn på subtraktion vid andra intervjun. Elev F säger att det inte är jättesvårt och Nu har vi lärt oss! Fråga nummer tre gällde att ringa in de ord som skulle gå att använda vid en räknesaga som hör ihop med subtraktion. Orden som fanns med var dessa: Yngre skillnad ökning minskning fler Färre rea rabatt fattas kvar Från början tillsammans bli över spara dyrare Billigare lägga till jämföra tjänar 10

Elevernas svar såg ut så här: Elev Antal ord vid 1: a intervjun Antal ord vid 2: a intervjun E 8 13 F 4 12 G 8 11 H 9 8 I 3 Frånvarande J 3 10 Alla elever, utom H, hade vid andra tillfället ringat in fler ord. Följdfrågan, att göra en uppgift med minst tre av orden var en svår fråga. En elev vid första tillfället (elev H) och en vid andra tillfället (elev J) klarade av denna uppgift. Resterande elevers räkneuppgifter innehöll ett eller två av de inringade orden, vid båda intervjutillfällena. Så till de avslutande tre räkneuppgifterna. Vid en sammanställning ser resultatet ut så här: Elev Antal rätt vid 1: a intervjun Antal rätt vid 2: a intervjun E 0 1 F 1 2 G 0 2 H 3 3 I 1 Frånvarande J 3 3 När det gäller strategin utfyllnad Hade en elev, elev H, använt den metoden med talen 905-899 vid första intervjun. Vid andra intervjun hade två elever, elev H och J, använt den metoden. Elev J hade även använt den metoden vid ett av de andra talen, nämligen 145-89. Den klart övervägande metoden att lösa uppgifterna var annars talsorterna-för-sig-metoden Utvärdering med lärarna Efter varje delmoment fick de lärare som deltagit subtraktionsarbetet fylla i en utvärdering. Redovisning av resultat sker i dessa tre delar: Utvärdering av k-tider om matte (bilaga 4) Utvärdering av första aktionen (bilaga 5) Utvärdering av andra aktionen (bilaga 6) Utvärdering av k-tider om matte (bilaga 4) På första frågan, hur de hade upplevt de att ha matematik på k-tiderna, var alla lärare positiva. Bra med diskussioner, alla är fokuserade på samma område, ta del av andra årskursers arbete, bra med något matnyttigt på k-tiderna och inte bara information var några synpunkter som kom fram. Fråga två (Ökade dina kunskaper om matematik/subtraktion?) besvarades med ja av sex lärare och nej av två. De som ansåg att deras kunskap hade ökat skrev om de olika subtraktionsstrategierna, vikten av begreppsförståelse och att samtal mellan kollegor alltid är ett lärande samtal. Det som hade varit mest givande var att hela skolan var med, samtalen mellan varandra, att själva få prova på att skriva räknesagor, att vi stannade upp och verkligen funderade på matten, tog tag i ett problem. 11

Utvärdering av första aktionen (bilaga 5) Fråga ett i denna utvärdering var hur respektive lärare tyckte att aktionen fungerade. Vad som var positivt respektive negativt. På den positiva sidan kom argument som att: uppskattat hos eleverna, räknesättet befästes bättre, välbehövlig och intressant. Ingen av de nio lärarna har angett något negativt med aktionen. Andra frågan undrade om respektive lärare tyckte att deras elevers kunskaper om subtraktion ökade. Här har alla lärare svarat ja. Vissa med ett tillägg att de åtminstone tror det, att det är svårt att verkligen veta om begreppen är befästa eller om de bar kan dem för stunden. Någon skrev att de givetvis måste fortsätta att träna, någon annan att räkneberättelser ökar elevernas strukturerade tänkande. En lärare tyckte att det var mycket värdefullt att repetera subtraktionsstrategierna, eftersom många elever hade glömt dom och att eleverna lärde sig nya matteord som ökade deras kunskaper. Ytterligare en annan lärare skrev att begreppsförståelsen hade ökat. Fråga tre på denna utvärdering löd: Kan detta var en modell för att åtgärda problemområden inom matematiken (lokalisera problemet, teoretisk fördjupning, gemensam aktion)? Här hade alla lärare svarat ja. Många hade angett det positiva med att hela skolan jobbar mot samma område, att hela skolan under denna vår pratade subtraktion. Att det blir en röd tråd. En lärare hade också med ett nej tillsammans med sitt ja. Denne menade att problemområden inte alltid är kollektiva, men å andra sidan kan alla delta i en aktion. Utvärdering av andra aktionen (bilaga 6) Fråga ett i denna utvärdering var densamma som i utvärderingen av första subtraktionsaktionen, hur fungerade aktionen, positivt, negativt. Det var denna aktion som var i åldersblandade grupper och lite mer lek- och tävlingsinriktade. Alla sex lärare som har svarat tycker det var positivt för att alla barn tyckte det var så roligt. Samarbetet mellan de äldre och yngre eleverna fungerade mycket bra. Att det var nyttigt för de äldre eleverna att förklara för de yngre. Men tre av lärarna tycker det blev lite för lite minus-tänk i denna aktion, att det blev mer konstnärligt tänk. En av lärarna har angett just åldersblandningen som anledning till detta. Att det är svårt att hitta lämpliga uppgifter till en sådan grupp. Fråga två undrar om lärarna har blivit mer medvetna om hur de undervisar i subtraktion. Alla svarar jakande. Tredje frågan handlade om läraren kommer att förändra sin undervisning i subtraktion i framtiden och i så fall hur. Alla sex har här svarat att de kommer de att göra. Någon ska försöka använda fler ord/begrepp för minus, inte bara ta bort. Någon betonar att man måste lägga ned ännu mer vikt vid förståelsen, ytterligare två kommer att betona skillnaden mer i sin subtraktions undervisning i fortsättningen. En lärare tycker att vi måste lägga ner mer tid på subtraktionstänkandet och att varje strategi måste överinläras. Och att inte låta barnen slippa skriva mellanled förrän tidigast i årskurs 5. En annan lärare understryker vikten av att dela tal och att den träningen är viktig även i högre åldrar. Samme lärare nämner också öppna utsagor som en viktig del av undervisningen. Frågeställningar 1. Ökar elevernas kunnande om subtraktion med hjälp av de aktioner vi gjort? Här har jag med hjälp av subtraktionsdiagnosen för och efter aktionerna visat att elevernas kunnande om subtraktion har ökat. Medelvärdet har ökat i alla årskurser. 12

Även intervju frågorna visar att många elever har bättre resultat på subtraktions uppgifterna vid andra intervjutillfället. 2. Vidgas elevernas syn på subtraktion genom de aktioner vi gjort? I intervjun med de äldre barnen finns en fråga där eleverna ska ringa in de ord som de tycker hör ihop med subtraktion. Här kan man se en tydlig ökning av antalet ord hos de flesta av barnen vid andra intervjutillfället. 3. Ökar lärarnas medvetenhet om sin undervisning efter vårt arbete med subtraktion? Vid utvärderingarna som lärarna som deltog gjorde har alla lärare svarat jakande på frågan ovan. De har blivit mer medvetna om hur de undervisar i subtraktion. Många har också på nästa fråga, huruvida de ska förändra sin subtraktionsundervisning svarat ja. Någon ska lägga ner mer tid på minus och befästa kunskaperna ordentligt. En annan ska bredda minustänket, försöka använda fler minusord. En tredje lärare kommer att betona skillnaden mer och en fjärde kommer att repetera oftare. 4. Kan modellen användas på nya identifierade problemområden inom matematik? Modellen som jag vid denna frågeställning menar är den modell som vi har jobbat efter. Dvs. att på en skola gemensamt lokalisera ett problem, angripa detta med gemensamma diskussioner och litteraturstudier, som sedan mynnar ut i gemensamma aktioner med eleverna. Denna fråga besvarades på lärarenkäten med ja av alla lärare Diskussion Som man kan se under resultatdelen, så har jag besvarat alla mina frågeställningar med ja. Vi har tack vare vårt arbete lyckats höja våra elevers kunnande i subtraktion. Alla mätmetoder som jag har använt visar detta. Elevernas medelvärde på diagnosen har vid andra tillfället blivit högre och de har vidgat subtraktionebegreppet eftersom de vid andra intervjutillfället kopplar ihop fler ord med räknesättet subtraktion. Lärarnas medvetenhet om sin undervisning har ökat. De kommer att använda sina erfarenheter vid sin fortsatta undervisning, vilket måste ses som mycket positivt. Alla lärare tyckte att modellen som vi använde skulle vara tillämpningsbar på nya problem inom matematiken. Men hur hade dessa saker sett ut om vi inte jobbat med våra aktioner? Hur hade resultaten sett ut om vi under våren -06 undervisat precis som vanligt? Hur hade eleverna utvecklats då? Hade medelvärdet på en subtraktionsdiagnos stigit även då? Hade elevernas subtraktionsbegrepp vidgats? För att svara på dessa frågor hade jag varit tvungen att göra samma diagnoser och intervjuer på en annan skola, med andra barn, som ej varit med i våra aktioner. Det som jag däremot med visshet kan säga, är att lärarnas medvetenhet om sin undervisning i subtraktion hade omöjligt ökat om vi inte jobbat med våra aktioner, läst och diskuterat. Problemlösningsmodellen hade inte heller varit beprövad och betrodd. Detta ser jag som ett viktigt resultat. Ett av problemen i skolan idag är just lärarnas skepsis till utveckling. Många lärare kan på fullt allvar referera till en 20 år gammal utbildning. Vilken annan yrkesgrupp skulle våga göra det? Lärare måste inse att man som lärare måste fortsätta att utvecklas och att lärarutbildningen bara är början på ett 13

livslångt lärande. Jag tycker att vi i skolan måste våga ifrågasätta oss själva och titta på vår undervisning med kritiska ögon. Här tror jag också att vi behöver hjälp av varandra. Tillbaka till problemlösningsmodellen som jag själv verkligen tror på. Att på en skola införa en modell där man tillsammans, kanske med hjälp av ämnesproven i åk 5, identifierar områden där eleverna inte har tillräckliga kunskaper, tar del av nya rön inom detta område och ser över sin undervisning. Jag tror det är en effektiv modell för problemlösning och utveckling på skolorna. Modellen knyter ju an till både Scherps och Bergs teorier. Båda två skriver om att problemlösningsmodeller och utveckling måste ta sin början i vardagen. Scherp talar om att utveckling måste utgå ifrån behovet, problemen i vardagen och Berg pratar om att gräva i sin egen mylla, där man står, bottom-up. Det verkar vara en bra modell. Att man måste ha ett problem för att överhuvudtaget vilja utvecklas och att man inte kan ta andra skolors modeller utan måste titta på den egna strukturen, erfarenheten, traditionerna mm. Ett sätt att se om eleverna har utvecklats i subtraktion är att titta på årets nationella prov. Det man först kan se är att årets prov innehåller en mängd subtraktionsuppgifter, det räknesätt med absolut flest uppgifter. Och eftersom innehållet i ämnesproven är styrande, borde tyda på att subtraktion är ett område som är problematiskt för många elever. På en hel del uppgifter ska eleverna dessutom kryssa för hur de tänkt, inte bara redovisa svaret. Våra femmor har precis gjort proven och det verkar som att alla utom en når målen i subtraktion. Det jag tycker att jag kan se när jag granskar dem närmare, är att de är väldigt duktiga på att räkna subtraktion med tal-sorterna-för-sig-metoden, dvs. 233 129 = 100 + 10 6 = 104. Utfyllnadsmetoden är det färre som använder. Det finns alltså mer att göra! Metodreflektion Att göra en subtraktionsdiagnos för alla elever från åk 1 till åk 6 var verkligen inte enkelt. Eleverna i åk 1 hade inte ens börjat med subtraktion, så det fanns dom som vätte sina diagnoser med tårar för att de inte förstod något. I de högre årskurserna däremot, blev det en för liten nivåskillnad. Det märks tydligt på resultatet. Skillnaderna i poäng mellan åk 4, 5 och 6 är oerhört små. Kanske det hade varit vettigare att göra två diagnoser, en för de yngre eleverna och en för de äldre eleverna. För att på så sätt få en bättre bild av elevernas utveckling inom området på sin nivå Intervjuerna med eleverna blir nog vid en granskning det mest intressanta. Och de mest intressanta är intervjuerna med de äldre barnen. Där märks det tydligt att jag, som mellanstadielärare i snart 20 år, kan den åldern. Intervjuerna med de eleverna blev så oerhört mycket mer intressanta än intervjuerna med de yngre barnen. Där ställdes de rätta frågorna, eleverna tvingas tänka efter, och då blir det ju så mycket mer intressant svar. Intervjuerna med de yngre eleverna blev ganska intetsägande. Detta kan också ha berott på att skillnaden mellan den lågpresterande eleven och den högpresterande var så oerhört stort. Det blev för enkelt för de högpresterande eleverna, vid båda tillfällen och för svårt för de lågpresterande. Det var svårt att se någon utveckling för båda parter. Kanske jag hade kunnat göra en bättre intervju om jag hade tagit hjälp av någon med mer erfarenhet av de yngre eleverna. Inte vid något utvärderingstillfälle var lärarmedverkan hundraprocentig. Sista utvärderingen var det ca femtio procent som lämnade in. Detta kanske kan förklaras med att alla lärare på skolan var med. Det var inte bara de som var intresserade, utan 14

alla var tvungna att delta. Anledningen kan också vara att det var i slutet av terminen och att jag inte påminde de som inte lämnat in. Kanske man hade fått en bättre bild om man valt att intervjua istället. Att några stycken av lärarna hade blivit intervjuade vid ett par tillfällen och att jag hade valt ut just de lärare som verkligen var intresserade. Utformningen av utvärderingarna hade också kunnat vara bättre. Nu är de ganska lika varandra och ger inte så mycket information. Aktionerna om subtraktion blev verkligen positiva. Jag var till en början skeptisk till att alla lärare skulle vara med, men har under arbetets gång ändrat mig. Det blev oerhört positivt, och särskilt under aktionerna. Hela skolan surrade av minustänk. Alla hade samma sak som de skulle planera och alla delade med sig av sina kunskaper och erfarenheter inom just detta område. Naturligtvis blev också genomslagskraften ofantligt mycket större när alla var med. Jag har inte full insikt i vad alla höll på under aktionstillfällena, eftersom jag deltog själv med min egen klass i våra aktioner, men det som jag ångrar i efterhand var att inte jag tryckte mer på kommunikation. Att verkligen försök göra matematiken till ett kommunikationsämne och hitta uppgifter som verkligen får eleverna att kommunicera med varandra om matematik. Visst fanns det uppgifter av den karaktären, men kanske inte i tillräckligt stor omfattning. 15

Litteraturförteckning Berg, Gunnar & Scherp, Hans-Åke. (red.) (2003). Skolutvecklingens många ansikten. Stockholm: Liber Distribution Björn, Christina & Ekman Philips, Marianne & Svensson, Lennart. (red.) (2002). Organisera för utveckling och lärande. Om skolprojekt i nätverksform. Lund:Studentlitteratur Hägg, Kerstin & Kuoppa, Svea Maria (1997). Professionell vägledning. Lund: Studentlitteratur Malmer, Gudrun. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB NCM. (2004.) Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Göteborg Neuman, Dagmar.(1993). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Skolverket/Fritzes Skolverket. (2004). Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens. Stockholm: Fritzes Skolverket. (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket/Fritzes Skolverket. (2003). Lusten att lära med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket/Fritzes Skolverket. (2004). Nationella utvärderingen av grundskolan 2003. Stockholm: Skolverket/Fritzes Tiller, Tom. (1999). Aktionslärande. Stockholm: Runa Förlag Utbildningsdepartementet (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskole klass och fritidshemmet. Lpo94 anpassad till att också omfatta förskoleklass och fritidshem. Stockholm: Skolverket/Fritzes 16

SUBTRAKTION Bilaga 1 A 9 = 5 + 7 + = 10 5 + = 8 10 4 = 9 5 = 8 2 = 13 2 = 45 4 = 28 5 = B 146 12 = 184 62 = 166 45 = 738 526 = 297 122 = 999 736 = 100 53 = 100 76 = 100 29 = C 9 + = 13 7 + = 16 14 = 8 + 13 9 = 12 6 = 15 8 = 64 7 = 52 8 = 25 9 = D 73 29 = 45 28 = 51 18 = 403 398 = 505 499 904 898 = 1000 765 = 1000 572 = 1000 239 = 17

E 645 289 = 935 538 = 772 286 = 924 875 = 514-79 = 18

Intervju med barn om subtraktion. Lek med tal. Siffran 9 Bilaga 2 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 19

1. Om du har 3 kronor och vill köpa ett tuggummi som kostar 7 kronor, räcker dina pengar då? Hur många kronor fattas? Svar: Väg till svaret: 2. Om du har 10 karameller och äter upp 7 stycken, hur många har du då kvar? Svar: Väg till svaret: 3. Om du har 2 kronor och vill köpa en glass för 9 kronor, räcker dina pengar då? Hur många kronor fattas? Svar: Väg till svaret: 4. Om du har 4 pennor och ni är 10 barn som vill rita, räcker dina pennor då? Hur många pennor fattas? Svar: Väg till svaret: 20

Intervju med barn om subtraktion. Bilaga 3 1. Vad tänker du på när du hör ordet subtraktion? Ge exempel: 2. Vad tycker du om subtraktion? Varför? 3. Här ser du en massa ord som man kan använda när man ska skriva räknehändelser. Yngre skillnad ökning minskning fler Färre rea rabatt fattas kvar Från början tillsammans bli över spara dyrare Billigare lägga till jämföra tjänar a) Ringa in alla ord som du tycker hör ihop med subtraktion. b) Använd minst tre av orden och hitta på en uppgift. c) Berätta hur du löser uppgiften. 4. Hur tänker du när du ska lösa dessa tal? 145 89 = 905 899 = 897 569 = 21

Utvärdering av k-tider om matte Bilaga 4 1. Positivt, negativt med k-tider om matte: 2. Ökade dina kunskaper om matematik/subtraktion? 3. Vad var det som var mest givande under k-tiderna? 4. Något annat du vill tillägga? 22

Utvärdering av första subtraktionsaktionen Bilaga 5 1. Hur tyckte du att aktionen fungerade i din klass? Positivt? Negativt? 2. Ökade dina elevers kunskap om subtraktion? 3. Kan detta vara en modell för att åtgärda problemområden inom matematiken? (lokalisera problemet, teoretisk fördjupning, gemensam aktion) 4. Något annat du vill tillägga: 23

Utvärdering av andra subtraktionsaktionen Bilaga 6 3. Hur tyckte du att aktionen fungerade i ert spår? Positivt? Negativt? 4. Har du blivit mer medveten om hur du undervisar i subtraktion efter subtraktionsaktionerna? Hur? 3. Kommer du att förändra din undervisning i subtraktion efter dessa aktioner? Hur? 5. Något annat du vill delge mig? TACK FÖR ATT DU TOG DIG TID ATT SVARA!! -Maggan 24