Föreläsning 4, följder och serier. Följd I en följd {a n } n= sriver vi istället elementen som f(n). Följden {sin(n)} n= är begränsad, ty sin n. Följden {/ n} n= är onvergent mot 0: { Följden 2n 2 3n } n= n 0 då n. onvergerar mot 2n 2 3n = 2 /n 2/n 3 2 3. Definition: En följd, sådan att f(n) C för alla n är begränsad. Sats: En onvergent följd är begränsad. Ex: (a) Bandbredderna på en gitarr ges av b() = b 2 /2, där b 0 är bredden på det första bandet. b b x b x 2 Band på gitarrhals Out[57]= I II III IV XII L 2 L x = 2 /2. b bruar vara 35 mm för en normalstor gitarr. (b) Hur sall man beriva följden {, 2, 3, 8, 0, 2, 3,...}? Geometris serie:.2 Några exempel på serier.3 Serie Med en partialsumma menas n f(). =0 x =, om x < x divergent om x. Detta är ett exempel på en funtionsserie och är Maclaurinserien för f(x) := x. Ex: Serien j=2 ( ) j 2 3 är geometris med x = 2/3. Den an srivas ( ) 2 2 (2/3) j 2 = {j 2 = } = 4 3 9 j=2 (2/3) = 4 9 =0 2/3 = 4 3.
Telesopsumma: Termerna i 2 + Det gör att partialsumman Alltså är seriens summa Integral och serie: Är serien Vi jämför med an delas upp partialbrå: 2 + = +. ( + ) = då n. n + 2 onvergent? 0 ( + ) =. dx x 2. Termerna i serien an srivas f() = 2 och integralen (som är onvergent) an srivas partialsumman f() med dito integral. y f(x)dx. Vi an jämföra 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 2 3 4 5 6 x Vi förstår att summan av retanglarnas areor är en undersumma till integralen, så att n 2 dx x 2. =2(!) Termerna i serien är ju 0, en s.. positiv serie. Genom att låta n får vi att integralen växer och alltså onvergerar mot. Därmed an inte seriens summa vara och alltså ommer partialsummorna växa mot ett reellt positivt tal. Det visar att seriens summa är samma tal och alltså onvergent. Kommentar: Partialsumman är en undersumma till motsvarande integral. ocså ha en linande partialsumma, som översumma. Kommentar: Man an visa att Integralriteriet (Theorem 9.3:8) 2 = π2 6. : Antag att f(x) 0 och avtagande på intervallet [0, ). Då gäller f(x)dx onvergent f() onvergent. Man an 2
Evivalensen följer av den första ommentaren. p testet: Med p = α an vi ur föregående sats sluta oss till att Speciellt är den Harmonisa serien onvergent α >. α = d.v.s. divergent. A comparison test: (Theorem 9.3:9) Ett jämförelsetest mellan två positiva serier ser ut som motsvarande test f() onvergent. Då är g() onver- för integraler. Antag 0 g() f() och gent. Ex: Telesopsumman 2 har vi visat är onvergent genom att beräna + den. Konvergens följer (även om vi inte får seriens summa) ocså av Jämförelsriteriet ovan eftersom är onvergent och 2 0 g() := 2 + f() := 2. Räcer det, för en serie, d.v.s. a = f(), att f() 0, då 0 för att vi sall ha en onvergent serie? Svaret är nej, eftersom med ex.vis α = /2 är / /2 0, då men motsvarande serie är divergent. Villoret ovan är alltså inte tillräcligt för onvergens men nödvändigt (enligt nästa sats). Sats: (Theorem 9.2:4) Antag att serien f() är onvergent.. Bevis: Sätt f() = S, som är S ett reellt tal. Då gäller att f() 0, då n+ f(n + ) = f() f() S S = 0 då n. I lihet med generaliserad integral finns begreppen absolutonvergens och betingad onvergens. Definition: En serie f() är absolutonvergent om serien f() är onvergent. Sats: En absolutonvergent serie är onvergent. 3
Ex: Serien är onvergent enligt tidigare exempel. Alltså är serien 2 ( ) 2 onvergent, ty med f() = ( ) / 2 är f() = / 2 och motsvarande serie är ju onvergent. Ex: Beräna summan av serien i föreg. exempel m.h.a. resultatet för serien som belyser integralriteriet. Kalla den söta seriens summa för S 0. Vi utgår alltså från att S := / 2 = π2 6. Vi sätter S 2 som summan av de termer som motsvarar jämnt index som S 2 := (2) 2 = 4 S. Sätt S 3 := (2 ) 2 d.v.s. S 3 är summan som motsvarar udda index. Nu är S 0 = S 3 S 2 samt S = S 3 + S 2 som ger S 0 = S 2S 2. Det ger S 0 = π2 6 2 π2 6 = π2 2. Ett comparison test till (Theorem 9.3:0) Antag att f() och g() > 0 samt att tal (A > 0). Då gäller f() lim =: A där A ett positivt g() f() onvergent g() onvergent. Definition: En serie som är onvergent men inte absolutonvergent allas betingat onvergent. Kvot och rottestet (Theorem 9.3: and 9.3:2) Kvottestet Antag att f(n + ) lim = ρ med alla f(n) > 0. existerar. m f(n) (a) Om 0 < ρ <, så är (b) Om < ρ, så är f(n) onvergent. n= f(n) divergent. n= (c) ρ = ger ingen information om onv. eller div. Rottestet Antag att lim m (a) Om 0 < σ <, så är (b) Om < σ, så är n f(n) = σ med alla f(n) > 0. existerar. f(n) onvergent. n= f(n) divergent. n= 4
(c) σ = ger ingen information om onv. eller div. För serier med termer, som alternerar tecen, gäller utsagorna ovan för f(n). Ex: Undersö om serien j= Vi tar rottestet till hjälp. ( ) j 2 är onvergent eller divergent. j f(j) /j = ( /j) j e =: σ < då j. Alltså är serien onvergent. Leibnizs riterium: Om f() f( + ) 0 då och f()f( + ) < 0, så är serien f() onvergent. Kommentar ang. bet. onv. Ex: Serien ( ) uppfyller L:s riterium och är alltså onvergent. Enligt Maclaurinserien för ln(x + ) är dess värde ln 2. ( ) Leibnizs riterium visar att är betingat onvergent. Summan av de negativa resp. positiva termerna är 2 = 2 =, resp. 2 2 = +. Tydligen är både den positiva delserien och den negativa delserien resp.. I partialsummorna balanserar de varandra: ( ) = 2 + 3 4 +... + ( )n n. Men vad händer om man adderar två positiva termer och en negativ? ( + 3 ) ( + 2 5 + 7 ) ( +... + 4 2n + 2n + ) +... n + Man an visa att denna summa är större än ln 2 nämligen.5 ln 2. Man an, med en betingad onvergent serie få den att onvergera mot vilet reellt tal som helst och t.o.m. divergera (mot ± ) genom lämpliga omordningar av additionen av termerna! Det ovan nämnda är typist för alla betingat onvergenta serier. 5