Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II
Innehåll Räta linjens ekvation repetition Planets ekvation på parameterform Planets ekvation på normalform Normalformen i ortonormerade system 21 januari 2014 2(21)
Räta linjens ekvation repetition I ett givet koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för rummet gäller att varje rät linje kan framställas på parameterform x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. Detta är ekvationen för den räta linje som går genom punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) och somharvektornv = (α, β, γ)soms.k.riktningsvektor. Analogt ges ekvationen på parameterform för en linje i planet som { x = x0 + tα y = y 0 + tβ. P 0 v 21 januari 2014 3(21)
Vi återger resonemanget för hur man kan härleda ekvationen på parameterform för en rät linje i rummet: Låt ett koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för punkterna i rummet vara givet. För att entydigt kunna bestämma en linje L i rummet, behöver vi känna till en punkt P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) på L en riktningsvektor v = (α, β, γ) 0 för L. En punkt P = (x,y,z) ligger på L, om och endast om P 0 P = tv för något t. Ekvationen P 0 P = tv blir (x x 0,y y 0,z z 0 ) = (tα,tβ,tγ) på koordinatform. Vi jämför koordinat för koordinat och får räta linjens ekvation på parameterform: x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ. P 0 P P 0P När vi härnäst ska härleda ekvationen för ett plan i rummet, kommer vi resonera på ett liknande vis. 21 januari 2014 4(21) v L
Planets ekvation på parameterform För att kunna lokalisera ett plan i rummet, behöver vi känna till En punkt P 0 som ligger i planet Två vektorer v 1 och v 2 som båda är parallella med planet, men inte med varandra (vi säger att v 1 och v 2 spänner upp planet). Låt P vara en godtycklig punkt i rummet. Då ligger P i planet, om och endast om vektorn P 0 P kan skrivas som en linjärkombination av v 1 och v 2, d.v.s. det ska finnas reella tal t 1 och t 2 sådana att P 0 P = t 1 v 1 +t 2 v 2. v 2 P 0 v 1 P 0 P P 21 januari 2014 5(21)
Vi inför ett koordinatsystem (O,e x,e y,e z ) för rummets punkter (inte nödvändigtvis ortonormerat). Antag vi i detta koordinatsystem har P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) och P = (x,y,z), samt att v 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) och v 2 = (α 2, β 2, γ 2 ). Ekvationen P 0 P = t 1 v 1 +t 2 v 2 blir då på koordinatform (x x 0,y y 0,z z 0 ) = t 1 (α 1, β 1, γ 1 ) +t 2 (α 2, β 2, γ 2 ) = (t 1 α 1 +t 2 α 2,t 1 β 1 +t 2 β 2,t 1 γ 1 +t 2 γ 2 ). Jämför vi koordinat för koordinat så får vi planets ekvation på parameterform: x = x 0 + α 1 t 1 + α 2 t 2 y = y 0 + β 1 t 1 + β 2 t 2 z = z 0 + γ 1 t 1 + γ 2 t 2. Vi kallar t 1 och t 2 för parametrar. När t 1 och t 2 genomlöper alla reella tal, kommer P = (x,y,z) att genomlöpa alla punkter i planet, och inga andra. 21 januari 2014 6(21)
Exempel Planet med ekvationen x = 1 + 3t 1 3t 2 y = 3 2t 1 + 2t 2 z = 2 + t 1 5t 2 innehåller punkten P 0 = ( 1,3,2) och spänns upp av vektorerna v 1 = (3, 2,1) och v 2 = ( 3,2, 5) (som vi noterar inte är parallella). Ligger någon av punkterna P = (5, 1, 0) eller Q = (1,2,1) i detta plan? Lösning. Om P ligger i planet, måste det finnas värden på t 1 och t 2 så att 5 = 1 + 3t 1 3t 2 3t 1 3t 2 = 6 { t1 = 3 1 = 3 2t 1 + 2t 2 2t 1 + 2t 2 = 4 t 0 = 2 + t 1 5t 2 t 1 5t 2 = 2 2 = 1. Punkten P ligger alltså i planet. Avgör på egen hand ifall samma sak gäller för Q. 21 januari 2014 7(21)
Exempel Bestäm en ekvation på parameterform för det plan som innehåller de tre punkterna P = (1,0,3), Q = ( 1,2,3) och R = (6, 2,1). Lösning. Vi behöver två icke-parallella vektorer som spänner upp planet, samt en punkt som ligger i planet. Som vektorer kan vi välja PQ = ( 2,2,0) och PR = (5, 2, 2). Om vi som punkt i planet väljer P, så får vi ekvationen x = 1 2t 1 + 5t 2 y = 2t 1 2t 2 z = 3 2t 2. Precis som när vi plockar fram en rät linjes ekvation på parameterform, kan vi få olika ekvationer beroende på hur vi väljer punkter och vektorer. 21 januari 2014 8(21)
Planets ekvation på normalform På förra föreläsningen konstaterade vi att räta linjer i planet kan framställas på normalform (förutom parameterform). Vi har då en ekvation av typen ax +by +c = 0, där minst ett av talen a och b är skilt från noll. Omdetkoordinatsystem (O,e x,e y )vianvänder oss av är ortonormerat, d.v.s. om (e x,e y ) är en ON-bas, så är n = (a,b) en normalvektor till en linje med ekvationenax +by +c = 0. Linjens riktningsvektor är alltså då ortogonal mot n. ax +by +c = 0 Vi ska nu se att även ett plan i rummet kan skrivas på s.k. n = (a,b) normalform, och att en motsvarande geometrisk tolkning som ovan kan göras, så fort vi använder ett ortonormerat system. 21 januari 2014 9(21)
Betrakta det plan som innehåller punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) och spänns upp av vektorerna v 1 = (α 1, β 1, γ 1 ) och v 2 = (α 2, β 2, γ 2 ). Låt P = (x,y,z) vara en godtycklig punkt i rummet. Då spänner de tre vektorerna v 1, v 2 och P 0 P = (x x 0,y y 0,z z 0 ) upp en parallellepiped i rummet, vars volym (sånär som på tecknet) är lika med determinanten av den matris, vars kolonnvektorer utgörs av v 1, v 2 och P 0 P. P P 0P v 2 P 0 v 1 Speciellt intressant blir det om denna determinant är noll. Detta sker om och endast om punkten P ligger i planet. 21 januari 2014 10(21)
Detta betyder alltså P = (x,y,z) ligger i planet, om och endast om α 1 α 2 x x 0 β 1 β 2 y y 0 γ 1 γ 2 z z 0 = 0. Genom att beräkna determinanten med hjälp av Sarrus regel, så får vi efter litet räkningar att ekvationen ovan kan skrivas som Ax +By +Cz +D = 0, (1) där A, B, C och D är konstanter som beror av koordinaterna hos v 1, v 2 och P 0. Antag att A = B = C = 0. Då måste också D = 0 för att (1) överhuvudtaget ska vara uppfyllt för någon punkt P = (x,y,z). Men om A = B = C = D = 0, så blir (1) uppfyllt för alla punkter i rummet, vilket vi inte vill; vi är bara ute efter en ekvation för alla punkter i ett plan. Alltså måste minst ett av talen A, B och C vara skilt från noll, för att vi ska få ekvationen för ett plan. 21 januari 2014 11(21)
Vi har därmed åtminstone delvis bevisat följande sats: Sats Oberoende av vilket koordinatsystem för rummet som används, så kan varje plan beskrivas med hjälp av en ekvation på formen Ax +By +Cz +D = 0, (2) där minst ett av de tre talen A, B och C är skilt från noll. Omvänt beskriver varje sådan ekvation ett plan i rummet. Vad vi inte har bevisat är en ekvation på formen (2) kan tolkas som ett plan: Vi vet att minst ett av talen A, B och C är skilt från noll; låt oss anta att C 0. Om vi då sätter x = t 1 och y = t 2, så blir Cz = D Ax By = D At 1 Bt 2 z = D C A C t 1 B C t 2, d.v.s. vi får x = t 1 y = t 2 z = D C A C t 1 B C t 2, vilken är ekvationen för ett plan på parameterform, närmare bestämt det plan som går genom punkten (0,0,D/C ) och spänns upp av vektorerna (1,0, A/C ) och (0,1, B/C ). Nu är satsen helt bevisad! 21 januari 2014 12(21)
Definition (Normalform) Ekvationen för ett plan på formen Ax +By +Cz +D = 0, där minst ett av de tre talen A, B och C är nollskilt, kallas för planets ekvation på normalform. I stället för normalform säger man ibland affin form. 21 januari 2014 13(21)
Exempel x = t 1 2t 2 Skriv en ekvation på normalform för planet y = 2 2t 1 + 3t 2 z = 1 + t 1 + 5t 2, d.v.s. det plan som innehåller punkten P 0 = (0,2, 1) och spänns upp av vektorerna v 1 = (1, 2,1) och v 2 = ( 2,3,5). Låt P = (x,y,z) vara en godtycklig punkt i rummet. Då spänner v 1, v 2 och P 0 P = (x,y 2,z +1) upp en parallellepiped, vars volym (sånär som på tecken) ges av determinanten 1 2 x 2 3 y 2 1 5 z +1. 21 januari 2014 14(21)
Volymen (determinanten) blir noll, om och endast om P ligger i planet. Vi får 1 2 x 2 3 y 2 = 0 13x 7y z +13 = 0, 1 5 z +1 där determinanten kan beräknas med hjälp av Sarrus regel. Planets ekvation på normalform blir alltså 13x 7y z +13 = 0 (eller om man så vill 13x +7y +z 13 = 0). 21 januari 2014 15(21)
Alternativ lösning. Vi utgår från planets ekvation på parameterform och försöker lösa det som ett ekvationssystem med avseende på t 1 och t 2 : x = t 1 2t 2 t 1 2t 2 = x y = 2 2t 1 + 3t 2 2t 1 + 3t 2 = y 2 z = 1 + t 1 + 5t 2 t 1 + 5t 2 = z +1 2 t 1 2t 2 = x t 2 = 2x +y 2 7t 2 = x +z +1. I de två sista ekvationerna kan vi nu lösa ut t 2 och sätta dessa två uttryck för t 2 lika med varandra: 2 2x y = x +z +1 7 7(2 2x y) = x +z +1 13x +7y +z 13 = 0. Vi får samma ekvation 13x +7y +z 13 = 0 för planet som vi fick med determinantmetoden. 21 januari 2014 16(21)
Exempel Skriv en ekvation på parameterform för planet 4x 3y +z +1 = 0. Lösning. Analogt med motsvarande problem för räta linjer i planet, döper vi om två av variablerna x, y och z till parametrar t 1 och t 2, och löser sedan ut den tredje variabeln. Sätter vi t.ex. x = t 1 och y = t 2 så blir z = 1 4x +3y = 1 4t 1 +3t 2 och vi får ekvationen x = t 1 y = t 2 z = 1 4t 1 + 3t 2. Detta är planet genom punkten P = (0,0, 1) som spänns upp av vektorerna v 1 = (1,0, 4) och v 2 = (0,1,3). 21 januari 2014 17(21)
Normalformen i ortonormerade system Vi påminner än en gång om att vi i ett ortonormerat koordinatsystem i planet kan tolka vektorn n = (a,b) som en normalvektor till den räta linjen som på normalform har ekvationen ax +by +c = 0. Något liknande gäller även för ett plans ekvation på normalform: Sats I ett ortonormerad koordinatsystem gäller att ett plan, som på normalform har ekvationen Ax +By +Cz +D = 0, har vektorn n = (A,B,C ) som normalvektor, d.v.s. för varje vektor v som är parallell med planet gäller att n v = 0. n = (A,B,C) Ax +By +Cz +D = 0 21 januari 2014 18(21)
Bevis. Låt P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) vara en punkt i planet. Då uppfyller P 0 :s koordinater planets ekvation, så Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D = 0. Om punkten P = (x,y,z) är en annan godtyckligt vald punkt i planet, så gäller av samma anledning Ax +By +Cz +D = 0. Utifrån detta kan vi skriva 0 = (Ax +By +Cz +D) (Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D) = A(x x 0 ) +B(y y 0 ) +C (z z 0 ). Sätt n = (A,B,C ). Högerledet ovan kan då tolkas som skalärprodukten mellan vektorerna n = (A, B, C ) och P 0 P = (x x 0,y y 0,z z 0 ), eftersom vi använder oss av ett ortonormerat system. I och med att denna skalärprodukt är noll, visar detta att vektorn n är ortogonal varje vektor v som är parallell med planet. 21 januari 2014 19(21)
Vi kan nu redogöra för en tredje metod att omvandla ett plans ekvation från parameterform till normalform. Exempel x = t 1 2t 2 Vi tittar på samma ekvation på parameterform y = 2 2t 1 + 3t 2 z = 1 + t 1 + 5t 2 som tidigare, men med tillägget att koordinatsystemet nu är ortonormerat. Vi söker en ekvation på normalform Ax +By +Cz +D = 0. Eftersom koordinatsystemet är ortonormerat, kan vektorn n = (A,B,C ) tolkas som en normalvektor till planet. Då planet spänns upp av v 1 = (1, 2,1) och v 2 = ( 2,3,5), ska n vara ortogonal mot såväl v 1 som v 2. Vi kan därför som n välja vektorprodukten v 1 v 2 av v 1 och v 2 (se definitionen av vektorprodukt i kapitel 5). 21 januari 2014 20(21)
Formeln för beräkning av vektorprodukt ger ( ) 2 1 v 1 v 2 = (1, 2,1) ( 2,3,5) = 3 5, 1 1 5 2, 1 2 2 3 = ( 13, 7, 1) Alltså är n = (A,B,C ) = ( 13, 7, 1) vilket så här långt ger ekvationen 13x 7y z +D = 0 för planet. Det återstår att bestämma D. Men eftersom punkten P = (0,2, 1) ligger i planet, så måste koordinaterna för denna punkt uppfylla planets ekvation, vilket ger 13 0 7 2 ( 1) +D = 0 D = 13, och vi får på nytt ekvationen 13x 7y z +13 = 0. 21 januari 2014 21(21)