Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går det att, genom att sätta ihop kanterna mot varandra, vika en kon. Den här undersökningen har gått ut på att analysera och undersöka hur volymen på konen beror på den bortklippna sektorns vinkel och att hitta den ultimata vinkeln för att få så stor volym som möjligt av konen. Ifall även den bortklippta cirkelsektorn används för att göra en annan kon blir det en totalvolym av båda konerna. Därav har följduppgiften varit att bestämma den vinkel som ger maximal totalvolym. För att undersökningen ska ge större förståelse och överblick av problemet har den blivit löst med flera olika metoder, då uppgiften är löst på flera sätt alltså kvantitativt ges ett mer kvalitativt dvs ett mer tillförlitligt svar. Resultat Genom grafisk lösning, beräkning av många värden och algebraisk härledning blev resultatet att den vinkel som ger maximal volym av den resterande cirkelsektorn är. Då volymen av båda konerna ska vara maximal är de optimala vinklarna på cirkelskivan och där är vinkeln och är (. 1

Grafisk lösning Till en början är det lämpligt att rita upp problemet för att få en tydlig överblick. Detta har gjorts genom att illustrera situationen med hjälp av programmet GeoGebra där geometriska figurer och grafter kan ritas, dels ger det som sagt en tydlig förståelse av situationen, men dessutom kan mycket beräknas direkt i progammet. Nedan till vänster är en bild från GeoGebra som illustrerar cirkelskivan där radien Med en viss vinkel beräknas cirkelbågens längd. I bilden till höger är en kon som skapas av den resterande biten av cirkelskivan efter den bortklippta cirkelsektorn tagits bort. Observera att cirkelbågens läng är lika lång som konens omktrets i basytan i bilden till höger, och att cirkelskivans radie blir konens generatris (jämför färger). Den nya konen får en höjd, och en radie som är mindre än cirkelskivans. Geogebra kan beräkna vinklar och sträckor som radierna och cirkelbågen, däremot inte omkretsen eller höjden på konen eftersom konen är ritad i 2 dimentioner men ska föreställa 3D, det är alltså en figur av en kon sedd från ett vinklat perspektiv. Omkretsen blir som sagt samma som cirkelbågen och höjden beräknas med pythagorassats. 2

Volymen kan beräknas av konen: För att illustrera hur volymen varierar med vinkeln kan värdet av volymen för var femte vinkelenhet i grader,, visas med hjälp av punkter. Ifall värderna av vinklarna och den beräknade volymen överförs till kalkylbladet kan vi se en tabell om hur volymen varierar med vinkeln, för att det ska bli tydligare kan en lista av punkter skapas i ett graffönster: Uppgiften är också att bestämma det maximala värdet av den totala volymen från koner gjorda av båda cirkelsekorerna, då krävs det att vi gör motsvarande för den överblivna biten för att se hur dess volym beror på vinkeln: 3

Om vinkelns och den nya konens värde av volymen på exakt samma sätt som tidigare överförs till kalkylbladet för att sedan överföras till en graf skapas självklart en spegelvänd graf till den första konens: 4

I figuren ovan går det alltså att se hur konernas volym ökar, är maximal och sedan minskar vid vissa värden på. För att ta reda på de maximala värderna krävs det att anpassa en funktioner till punkterna. Däremot är utseendet för komplicerat för en funktion, för olikt för att vara till exempel ett polynom. Det som endast är intressant är som sagt de maximala värderna av graferna, därför är det möjligt att anpassa en funktion som är identiskt med de högsta punkterna från varje kon. Så, då en lista skapas av de översta punkterna från respektive kon går det att anpassa polynom med verktyget Regression, Poly där funktionen anpassas till respektive lista av punkter och har ett visst polynomgrad som beror på hur de översta punkterna ligger. I det här fallet har en tredje- och en andragradsfunktion anpassats till de översta punkterna: 5

De globala maximunpunkterna av de blåa graferna i figuren motsvarar de lokala maximumpunkten på tredjegradsfunktionen respektive vertexpunkten av andragradsfunktionen. Då det är mycket lättare att ta reda på extrempunkter av funktioner går det nu att beräkna de blåa grafernas (se figur ovan) maximum. För att hitta de lokala maximi- och minimipunkterna av funktionerna används verktyget Extrempunkt[ <Polynom> ] som skapar punkter där. Till vänster är det möjligt att se deras x-koordinater vilket är värderna på vinklarna för maximal volym: 6

Med en inzoomning av maximipunkten för kon 1 går det att se x-värdet som Om samma sak gör med maximipunkten för kon 2 går det att se dess x-värdet som Den optimala vinkeln från kon 1 är tillräckligt med information eftersom kon 2 får vinkeln, som kan bekräftas med att (summan är endast ungefär pga avrundningar. För att få optimal volym av konerna bildade av båda cirkelskivorna krävs det att först se hur den totala volymen, som är summan av konernas volym, varierar med vinkeln. Detta görs genom att enligt figuren nedan skapa en kolumn som består av värden vilka är summan av värderna för konernas volym vid en viss vinkel. En lista med punkter skapas av kolumnerna Vinkel och Volym 1 + Volym 2 och skapar de gröna punkterna, varje grön punkts y-värde är alltså summan av de två punkterna rakt under. 7

För att ta reda på vinkeln som ger maximal totalvolym krävs det att ta reda på x-värderna för de översta punkterna alltså maximipunkterna från den gröna grafen. Problem som uppstår är att det inte går att anpassa en funktion för dessa punkter, inte heller anpassa ett polynom till de översta punktarna eftersom de inte ligger likt till exempel en andragradsfunktion eller ett annat polynom. Detta betyder att det inte går att lösa andra uppgiften för tillfället och det krävs en annan metod också. Den vinkel som ger optimal volym på kon 1 är alltså Lösning med beräkning av många värden En annan metod är att göra många beräkningar för att se vilken vinkel som ger den största volymen. För den metoden är Excel lämligt som kan göra tusentals beräkningar direkt, däremot behövs ett uttryck hur volymen varierar med vinkeln. Till en början kan ett uttryck för hur stor volym kon 1 får, se figur på s. 4 för att se hur variablerna hänger ihop. 8

( ( ) ( ) Då formeln V v som är härledd matas in i Geogebra kan resultaten jämföras med den tidigare metoden, enligt figuren ovan stämmer resultaten överens. 9

Med detta uttryck går det att räkna ut volymen vid en viss vinkel, därför är det möjligt att låta Excel räkna ut volymen för kon 1 med varje heltalsvinklar upp till ett varv. Uttrycket ovan har matats in som en operation i kolumnen Volym nedan. Variablerna som används tas ifrån värdena till vänster alltså radien från cirkelskivan och vinkeln: r c 1 3 (1 Vinkel π Vinkel 4π ) π 4π Vinkel Vinkel2 4π 2 För att direkt hitta det största värdet på volymen kan en funktion på Excel användas där den i det här fallet hittar och markerar det största värderna. Enligt bilden under kan slutsatsen alltså dras att den största volymen fås av vinkeln 10

För att motsvarande ska göras för den totala volymen behövs ett uttryck som bestämmer hur den totala volymen varierar med vinkeln: På samma sätt som för V v har formeln V v matats in i Geogebra och ritat en kurva som stämmer överens med resultaten i den tidigare metoden. 11

Precis som innan räknas den totala volymen ut med alla heltalsvinklar för ett varv och ser ut på föjlande sätt: Radie 1 3 (1 Vinkel π Vinkel 4π 4π Vinkel Vinkel2 ) π 4π 2 Radie v Vinkel 1 4π 12π Ytterligare en gång hittar Excel de största värderna, i det här fallet de två största som markerats med grön bakgrund och syns i bilderna till höger. De gul-markerade cellerna är alltså vinklarna som ger störst total volym och är enligt bilderna och, observera att summan av vinklarna är eftersom det är vinklar från båda cirkelsektorna. 12

Algebraisk lösning för optimering Låt Låt Så [ ] 13

[ ] [ ] [ ] I Geogebra kan derivatan till funktionen ( f (x) i bilden till höger) ritas genom att mata in g(x) = derivata[f] vilket är den tunna, sträckade, blåa kurvan. Då formeln ovan,, matas in ritas den oranga kurvan upp i figuren vilket matchar den blå-sträckade funktionen vilket betyder att den härledda funktionen stämmer. 14

Nu kan extrempunkterna i funktionen hittas eftersom vi har dess derivata. För detta behövs nollställerna till derivatan och löses ut då En av extrempunkterna är alltså maxpunkten och ligger i intervallet 0 < < Funktionen består visserligen av en rotfunktion i täljaren, dock kan den elimineras eftersom funktionen är lika med noll, genom att båda leden multipliceras med täljaren och förändrar inte VL som alltså är 0. Det som återstår av funktionen är däremot ett fullständigt tredjegradspolynom och är för krånglig att lösa för hand. För att lösa detta kan funktionen skrivas i en annan form, några tidigare steg i förenklingen innan termerna multiplicerades in: ger Så 15

Aningen är vilket ger Den här lösningen är irrelevant då extrempunkten till funktionen intervallet, det är enligt grafen på s. 15 en minimipunkt. är inte inom Eller så är Vilket ger dvs Lösningen är inte heller relevant då den är större än och utanför intervallet, däremot är inom intervallet 0 < < och är därför en lösning för problemet, den enda. Vinkeln för optimal volym av kon 1 är alltså 16

Låt ger Och ger Så ( ) ( ) ( ) 17

( ) ( ) ( ) 18

På samma sätt som tidigare kan derivatan till funktionen (d(x) i figuren till vänster) ritas genom kommandot d (x) = derivata[d] vilket enligt bilden ger den röda, smala och sträckade kurvan. Då funktionen ovan matas in i inmatningsfältet i Geogebra ritas den blåa kurvan ovan som är identiskt med d (x), alltså stämmer uttrycket. Eftersom maxvolymen av kon 1 ges av vinkeln måste maxvolymen av kon 2 vara Alltså bör maxpunkten av ha x-koordinaten. För att ta reda på maximipunkten till dvs ett nollställe till derivatan sätts uttrycket ger Antingen är ger 19

eller så är ger dvs Den enda lösningen inom intervallet är alltså Detta bekräftar det tidigare nämna! Den andra uppgiften är alltså att bestämma vinkeln i den första cirkelskivan där båda konerna som bildas av de två delarna ska tillsammans ha optimal volym tillsammans. Den totala volymen beroende av vinkeln är summan av de två funktionerna för respektive kon: För att ska bli optimal behövs funktionen deriveras för att hitta maximipunkter. Eftersom derivatan till funktionen 20

Så är ( ) ( ) ger alltså extrempunkter: Högerledet är dels en blandning av flera sortes funktioner och innehåller fler termer, som gör de omöjligt att lösa förhand med exempelvis nollproduktsmetoden som tidigare. Här 21

behövs andra verktyg så som Wolfram Alpha. Om ekvationen ovan matas in i inmatningsfältet i Wolfram Alpha ges följande rötter: Eftersom intervallet är 0 < < ligger den här extrempunkten i mitten av intervallet. Det är väntat eftersom funktionens värdemängd är en summa av de två konernas volymer, då båda bitarna av den första cirkelskivan används är den totala volymen från vinkel desamma som den totala volymen från vinkeln, detta gör att kurvans utseende är symmetriskt och att en extrempunkt kommer ligga i mitten av intervallet, dvs vid En annan lösning är alltså att titta på den tredje roten: Detta kan bekräftas genom Då grafen för är symmetriskt och har en extrdempunkt dels i mitten och även två andra inom det givna intervallet är det ganska självklart att den mittersta punkten antingen är en maximipunkt och de två övriga är det motsatta. I den tidigare metoden kunde maximiputerna hittas grafiskt (s. 8) och visar att det ligger en minimipunkt vid och att maximipunkterna alltså är och. För att visa detta stämmer algebraiskt är det möjligt att upptäcka hurvidare extrempunkterna är maximi- eller minimipunkter genom andraderivatans rötter som i det här fallet antingen kommer vara positiva eller negativa. Däremot är funktionen väldigt stor och kan delas in uppdelad i väldigt många funktioner vilket gör det extremt komplicerat att derivera och framförallt att sedan hitta nollställerna. Istället går det att använda en annan metod där funktionsvärderna av x- koordinaterna till höger och vänster om extrempunktens x-koordinat antingen är högre eller lägre än funktionsvärdet av extrempunktens x-koordinat. Eftersom kurvan är symmetrisk inom intervallet har den inga terasspunkter där och det räcker med den anledningen att kontrollera värdemängden med endast ett högre eller lägre x-värde än extrempunktens x- koordinat. 22

Eftersom en punkt på graften nära har ett högre värde, är punkten med x- koordinaten en minimipunkt. Då vi vet att både och så kan slutsatsen direkt dras att punkterna med x-koordinaterna och, som är de enda andra extrempunkterna inom intervallet, är maximipunkter (se bild av grafen på s. 8). Då och är x-koordinaterna för maximipunkterna är de vinklarna som ger störst volym. Svaret på frågan om vilken vinkel som ger maximal totalvolym är alltså eller. Dessa olika metoder har gett likadana svar efter avrundning. Däremot har de skillt sig från varandra något och vissa metoder kan vara bättre än andra. Till en början är den grafiska metoden med Geogebra väldigt lämplig eftersom det visar mycket tydligt vad som räknas ut, hur vinkeln påverkar cirkelbågen som i sin tur påverkar omkretsen o.s.v. Dessutom går det att se med hjälp av glidare hur konens form och därav volym ungefär varieras med vinkeln. Graferna visar tydligt exakt hur volymen varierar för varje och förståelse skapas om exakt varför alla steg görs, dessutom går det snabbt att låta GeoGebra mäta/beräkna sträckor, funktionsvärden och maximala värden. Problemet är att de flesta sträckor inte går att mäta direkt i figuren eftersom bilderna i 2-D ska föreställa 3-D bilder, vilket gör att det krävs att rita sträckor mellan punkter vars positioner är bestämda enligt formler, även om detta fungerar är det en omständig metod. Volymen som beräknas i GeoGebra går dessutom endast efter bestämda värden på radier och vinklar, som endast går att variera med glidare. Då lösningen på detta är att överföra värden av vinklar och volymer till ett kalkylblad för att senare överföra värderna till punkter i ett koordinatsystem får man inte en färdig funktion för volymen beroende av vinkeln, utan just punkter. Då det inte går att anpassa en funktion efter punkterna av den anledningen att uttrycket är för krånglig, går det inte heller att hitta det exakta maximivärdet. Det sätt som löste detta var att anpassa ett polynom till de översta punkterna, däremot är det inte garanterat att polynomets maximipunkt är identiskt med punkternas motsvarande funktions maximipunkt. Dessutom var det inte möjligt att hitta maximivärderna för punkterna som visar volymen av båda konerna endast med den här metoden. Metoden förtydligar alltså problemet och arbetsgången, men ger inte exakta svar. 23

Metoden med att ta fram ett uttryck för hur volymerna varierar med vinkeln utnyttjar Excels kapacitet att göra många beräkningar och ger alla volymer för många olika vinklar, där det sedan gick snabbt att hitta det största. Problemet med den här metoden är att den inte kontrollerar alla möjliga vinklar, utan bara en del med jämna mellanrum. Även fast programmet räknade ut alla heltalsvärden av vinklarna inom ett varv, får således svaret en felgräns på ± 0,5 och gör inte svaret exakt. Om den här metoden ska vara optimal och ge ett exakt svar måste det största värdet på volymen hittas med vinklar mellan 0 < < där alltså skillnaden mellan varje vinkel är oändligt små. Den algebraiska metoden är den mest omständiga då dels flera variabler är beroende av varandra vilket skapar stora uttryck, som även ska derivera och dessutom lösas för att hitta rötter. Däremot är detta en generell metod som till skillnad från övriga metoder arbetar med variabler istället för att beräkna från olika situationer med specifika vinklar. Uttrycket är alltså en exakt funktion där det exakta värdet på vinkeln ger funktionens riktiga maximipunkt, innan avrundningen på slutet ger alltså den här metoden ett exakt svar. Uppgiften är att i praktiken skapa dessa koner av papper för att få maximal volym eller att optimera glasstrutar, detta gör att det inte är nödvändigt med ett så precist svar som är exakt utan kräver endast ett svar i hela grader, just den precisionen uppfyller alla tidigare metoder. Slutsatserna kan alltså dras att de olika metoderna hade olika fördelar och nackdelar, vissa förbättrade försåelsen medan andra gav exakta svar, för att i teorin få det ultimata svaret är den algebraiska metoden bäst, däremot spelar det inte i det här fallet någon roll då alla svar var tillräckliga i praktiken. Med den anledningen är den grafiska metoden troligtvis den bättre då den visar tydligt och simulerar olika vinklars betydelse. Det vi nu vet är att den bästa formen för att ge en kon stor volym, är att skapa den av en cirkelskiva med en bortklippt cirkelsektor med vinkeln eller att två koner från samma cirkelskiva ger maximal volym tillsamman då den bortklippta sektorns vinkel är eller. Liknande frågor kan ställas, till exemel vilka vinklar som är bäst om cirkelskivan delas i tre cirkelsektorer för att tillsammans ge optimal volym vilket skulle kunna lösas på liknande sätt dock med fler variabler, eller att optimera andra geometriska former tillverkade av en form i 2-D till exempel pappskiva för att ge maximal volym. 24

Källor Wolfram Alpha: Derivative of Derivative of Roots of = -(r_c^3 (16 pi^4 (sqrt((4 pi-v) v)-14 sqrt(4 pi^2-v^2)) v^2+32 pi^5 (3 v sqrt(4 pi^2-v^2)-2 v sqrt((4 pi-v) v))+32 pi^6 sqrt(4 pi^2-v^2)+3 (sqrt(4 pi^2- v^2)+sqrt((4 pi-v) v)) v^6-12 pi (2 sqrt(4 pi^2-v^2)+sqrt((4 pi-v) v)) v^5+6 pi^2 (7 sqrt(4 pi^2-v^2)-3 sqrt((4 pi-v) v)) v^4+72 pi^3 (sqrt(4 pi^2-v^2)+sqrt((4 pi-v) v)) v^3))/(12 pi^2 ((4 pi-v) v)^(3/2) (4 pi^2-v^2)^(3/2)) 25