Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. EX. F (A) = T 1 AT, där T är en fix inverterbar matris kan uppfattas som en linjär avbildning F : M n,n M n,n. EX. En linjär differentialoperator, t ex P (x, D) = a(x)d 2 + b(x)d + c(x) kan uppfattas som en linjär avbildning C (R) C (R), där C (R) är rummet av alla oändligt deriverbara f : R R ( a(x), b(x), c(x) C (R)). EX. Om A är en m n-matris så definieras en linjär avbildning F : R n R m genom vanlig matrismultiplikation F (X) = AX.
Det sista exemplet är på sätt och vis fundamentalt: varje linjär avbildning mellan ändligtdimensionella vektorrum V och U kan i koordinater representeras av en matrisavbildning. Sats 1 Låt F : V U vara en linjär avbildning och låt e 1,..., e n och f 1,..., f m vara baser i V respektive U. Då finns det en entydigt bestämd matris A sådan att om X är koordinatvektorn för en vektor v V och Y är koordinatvektorn för motsvarande F (v) U, så är Y = AX. Matrisen A utför så att säga samma arbete som F. I själva verket är det lätt att se att A måste vara den matris vars kolonner är precis koordinaterna för F (e 1 ),..., F (e n ). Det är då nämligen klart att A måste avbilda koordinatvektorerna för e 1,..., e n på motsvarande för F (e 1 ),..., F (e n ). Och av linjäriteten följer att detsamma då gäller för alla v V. EX Bestäm matriserna för de avbildningar F, G : P 3 P 3 som ges av F (p(x)) = p (x) och G(p(x)) = p(x 1) (i basen 1, x, x 2, x 3 ). A= 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0, B= 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 1 3 0 0 0 1. (1)
EX. V = [e x sin x, e x cos x, e x sin x, e x cos x] är ett vektorrum med de fyra genererande funktionerna som bas. Bestäm matrisen för D = d/dx i denna bas. En mycket viktig egenskap för matris-representation av avbildningar är följande: Sats 2 Matrisen för en sammansatt avbildning är lika med matrisprodukten av de ingående avbildningarna matriser. Den har satsen kan ses som förklaringen till att definitionen av matrisprodukt ser ut som den gör! Observera också att det är mycket viktigt att man multiplicerar matriserna i rätt ordning, dvs den matris som svarar mot den avbildning som utförs först ska stå till höger. Beviset är enkelt: Låt F : U V och G : V W vara två avbildningar och låt e, f, g vara baser i U, V och W. Låt vidare A = F ] ef och B = G] fg vara motsvarande matriser och låt X = [u] e beteckna koordinaterna för en godtycklig vektor u U i basen e. Då följer att (BA)X = B(A[u] e ) = B([F (u)] f ) = [G[F (u)] g, vilket visar att BA är matrisen till G F. EX. Beräkna matrisen för D 2 i föregående EX.
För att studera en linjär avbildning är det ofta mycket praktiskt att först välja en bas i vilken matrisen för avbildningen har en enkel form Det är därför också viktigt att veta hur man transformerar avbildningsmatriser mellan olika baser. Låt e och e vara två baser i V med basbytesmatrisen S, vars kolonner är e -vektorernas koordinater i e-basen. Om nu F : V V är en linjär avbildning så vet vi enligt ovan att det finns en matris A sådan att om X = [v] e och Y = [F (v)] e, så är Y = AX. P s s finns A så att om X = [v] e och Y = [F (v)] e, så är Y = A X. Från tidigare vet vi också att X = SX och Y = SY. Ur detta kan vi lätt räkna fram sambandet mellan A och A : Y = AX SY = A(SX ) Y = (S 1 AS)X. Vi ser att matrisen S 1 AS överför X = [v] e i Y = [F (v)] e för alla v V. Men eftersom A just är den unika matrisen med denna egenskap följer det att A = S 1 AS. EX. Transformera matriserna i (1) ovan till basen e = {1, 1 + x, 1 + x 2, 1 + x + x 2 + x 3 }.
Definition 2 Två linjära avbildningar F och G kallas similära om det finns en inverterbar avbildning T så att F = T 1 GT. På samma sätt kallas två matriser A och B similära om det finns en inverterbar matris S så att A = S 1 BS. Det är lätt att se att två similära matriser har samma determinant, eftersom A = S 1 BS = S 1 B S = S 1 S B = B. Därför kan vi också definiera determinanten av en linjär avbildning F som determinanten för någon matris som representerar F. Determinanten innehåller viktig geometrisk information om avbildningen. T ex är avbildningen inverterbar om och endast om det(f ) 0. Vi har tidigare definierat rangen av en matris och kan nu också definiera spåret ( Trace ) som Tr A = a ii. i Både rang och spår är lika för similära matriser och därför kan definitionen utvidgas även till linjära avbildningar. Rangen hos en linjär avbildning har en mycket viktig geometrisk tolkning som vi återkommer till nästa gång.