Vektoranalys i rummet

Vektoranalys i rummet Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Vektoranalys görs bäst med hjälp av differentialformer, men i detta kapitel tar vi och går igenom de viktigaste delarna av vektoranalysen i rummet i den klassiska vektorterminologin. Vi diskuterar kurv- och ytintegraler och de tillhörande satserna av Gauss och Stokes för att följa upp med en kort översikt först över Newtons gravitationsteori och sedan Maxwells ekvationer inom elektordynamiken.

Vektoranalys i rummet 1 (16) 1 Introduktion Vektoranalysen handlar om analys av vektorfält i rummet, och utgör i mycket basen för den teoretiska fysiken. I det här kapitlet ska vi först översiktligt diskutera dess innehåll, utan detaljerade bevis, för att sedan koppla ihop den med den yttre differentialkalkylen. Förutsättningen i det här kapitlet är att vi har ett vektorfält u(x) = (u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x)) som är i C k i den meningen att alla funktionerna u 1, u 2, u 3 är C k -funktioner. Vi kräver alltid att vektorfältet är så reguljärt att alla i uttryck ingående funktioner är kontinuerliga. 2 Kurvintegraler Om u betecknar ett kraftfält vill man ofta beräkna det arbete som utförs när man förflyttar en partikel, som påverkas av fältet, längs en kurva γ i rummet. Om T (x) betecknar enhetstangenten i rörelsens riktning längs kurvan, så ges då kraften i punkten x i rörelsens riktning av skalärprodukten u(x) T (x), och det totala arbetet som utförs ges av integralen u T ds, γ där ds är bågelementet på γ. För ett kurvstycke γ = {c(t); t [a, b]} med en parametrisering sådant att c (t) överallt, blir ds = c (t) dt, T (c(t)) = c (t)/ c (t) och integralen beräknas därför genom b u T ds = u(c(t)) c (t) dt. γ a Vektorfältet u(x) sägs vara konservativt i ett område Ω med potentialfunktion F, om det gäller att u j (x) = j F (x) u(x) = grad F (x), x Ω. En sådan potentialfunktion är entydigt bestämd på en konstant när. Konservativa fält har många goda egenskaper, vilka sammanfattas i följande sats. Sats 1 Vektorfältet u är konservativt i Ω om och endast om u T ds = γ för alla slutna, enkla, kurvor i Ω. Då gäller att om γ är en kurva som förbinder punkterna p och p 1 i rummet, så gäller att F (p 1 ) F (p ) = u T ds. Ett vektorfält u(x) sägs vara virvelfritt i Ω om det gäller att j u k (x) = k u j (x), j, k = 1, 2, 3, x Ω. Ett konservativt fält är alltid virvelfritt, eftersom vi har att vid upprepad derivering spelar derivationsordningen ingen roll så länge slutresultetet är en kontinuerlig funktion, i vår fall jk 2 F = 2 kjf för alla j, k = 1, 2, 3, γ

Vektoranalys i rummet 2 (16) För att omvändningen ska gälla, d.v.s. för att varje virvelfritt vektorfält i Ω ska vara konservativt, måste man lägga ett geometriskt villkor på Ω. Vi analyserar inte den frågan närmare, utan nöjer oss med att visa att det är sant då Ω är stjärnformati den mening att det finns en punkt x i Ω sådan att för varje x Ω hela den räta sträckan {tx+(1 t)x ; t 1} mellan x och x ligger i Ω. Sats 2 I en öppen, stjärnformat, mängd Ω i R n är varje virvelfritt fält också konservativt. Bevis. Det är ingen inskränkning att anta att x = i definitionen av stjärnformad mängd ovan. Då ligger det räta linjestycket mellan origo och x i Ω och vi kan definiera den sökta potentialfunktionen genom F (x) = 1 ( 3 u k (tx)x k )dt. (1) 1 Vi ska visa att j F (x) = u j (x). Eftersom j u k = k u j för alla j och k, får vi j F (x) = 1 ( 3 j u k (tx)x k )tdt + 1 1 u j (tx)dt = 1 ( 3 k u j (tx)x k )tdt + 1 1 u j (tx)dt = 1 d dt (u j(tx)t)dt = u j (x). Exempel 1 Låt u vara ett virvelfritt vektorfält, definierat i hela rummet. Hela rummet är stjärnformat, så enligt Sats 2 finns det en potentialfunktion till u. För senare bruk ska vi visa att om u(x) M/ x 2 för någon konstant M, så kan man välja en potentialfunktion F till u med F (x) M/ x. För detta betraktar vi först potentialfunktionen definierad av (1). Om vi för x sätter r = x, θ = x/ x och gör variabelbytet τ = tr, så kan (1) skrivas F (rθ) = r u(τθ) θ dτ. (2) Eftersom u(x) M/ x 2, får vi att u(τθ) θ M/τ 2. Detta visar att integralen i (2), för fixt θ, konvergerar då r. Gränsvärdet bli detsamma för varje riktning θ, ty enligt Sats 1 har vi att F (rθ 1 ) F (rθ 2 ) = u T ds, γ r där γ r är den närmsta vägen från rθ 2 till rθ 1 på sfären x = r. Längden av γ r är högst πr och, eftersom (u, T ) M/r 2, det följer att F (rθ 1 ) F (rθ 2 ) då r. Vi kan alltså definiera F ( ) genom lim r F (rθ). Om vi sätter F (x) = F (x) F ( ), så får vi då att F (rθ)[= u(τθ) θ dτ M dτ = M/r τ 2 r r

Vektoranalys i rummet 3 (16) 3 Ytintegraler och Gauss sats Vi ska nu behandla integraler av formen M u N ds där M är en kompakt, orienterad, yta med enhetsnormal N. En yta i detta sammanhang är en mängd sådan att varje punkt har en omgivning som är ett ytstycke, d.v.s kan skrivas Σ = {ψ(t); t ω} där ω är en öppen delmängd av planet och ψ : ω R 3 är kontinuerligt deriverbar och sådan att dess partiella derivator är linjärt oberoende i varje punkt på ω. ψ sägs då vara en parametrisering av Σ. På ett sådant ytstycke gäller att enhetsnormalen N i punkten ψ(t) ges av N(ψ(t)) = ± 1ψ(t) 2 ψ(t) 1 ψ(t) 2 ψ(t), (3) och vi väljer en orientering (sida) av ytstycket genom att välja ett av tecknen (på motsvarande sätt orienterar vi en hel yta genom att välja en kontinuerligt varierande normal på ytan). Samtidigt ges ytelementet av så vi får att Σ ds = 1 ψ(t) 2 ψ(t) dt, u N ds = ± (u(ψ(t)), 1 ψ(t) 2 ψ(t))dt. ω En öppen, begränsad, mängd Ω i rummet sägs ha C 1 rand om är en kompakt, orienterad, yta med kontinuerlig enhetsnormal N(x) som pekar ut från Ω. Observera att en kompakt yta inte behöver vara sammanhängande utan kan bestå av flera bitar. Gauss sats ser likadan ut i tre som i två dimensioner. Sats 3 (Gauss sats) Låt Ω vara en öppen, begränsad, mängd i rummet med C 1 rand och låt N vara den yttre enhetsnormalen till. Om u 1, u 2, u 3 är C 1 funktioner definierade i en omgivning av ω och u = (u 1, u 2, u 3 ), så är u N ds = div u dx, (4) där divergensen av u definieras av div u(x) = 1 u 1 (x) + 2 u 2 (x) + 3 u 3 (x). Istället för att bevisa den, ger vi några exempel på hur man använder Gauss sats. Exempel 2 Betrakta en gas (eller en vätska) som rör sig i ett område i rummet. Låt u(x, t) och ρ(x, t) vara strömningshastighet respektive tätheten av gasen i punkten x vid Ω

Vektoranalys i rummet 4 (16) tiden t. Låt B vara ett godtyckligt klot i det område där gasen strömmar. Den totala gasmassan i B vid tiden t ges då av M(t) = ρ(x, t)dx B och M (t) blir massökningen (som kan vara negativ) i B per tidsenhet. Om vi förutsätter att ingen gas nybildas eller ombildas till något annat, så beror ökningen endast på inströmning av gas i B över randen B. Om N betecknar den utåtriktade normalen på B, så mäter integralen ρ(x, t)u(x, t) N(x) ds B den mängd gas som strömmar in i B per tidsenhet. Vi har alltså att d dt B ρ(x, t)dx = B ρ(x, t)u(x, t) N(x) ds. Om vi tar in tidsderivatan i vänsterledet under integraltecknet och använder Gauss sats på integralen i högerledet får vi t ρ(x, t)dx = div x (ρ(x, t)u(x, t))dx. B Eftersom detta ska gälla för varje klot B följer att B t ρ + div x (ρu) =. Denna ekvation kallas kontinuitetsekvationen för en strömmande gas (eller vätska). I härledningen har vi förutsatt att ρ och u är kontinuerligt deriverbara funktioner av x och t. Det finns situationer av praktiskt intresse där denna förutsättning inte är uppfylld och ρ och u är diskontinuerliga funktioner. Exempel 3 På liknande sätt kan man härleda värmeledningsekvationen i mer än en rumsvariabel. Låt Ω vara en masshomogen kropp i rummet med masstäthet ρ och värmekapacitivitet c, båda konstanter. Om u(x, t) är temperaturen i punkten x vid tidpunkt t och B är ett godtyckligt klot i Ω, så ges värmetillskottet i B per tidsenhet av d dt B cρu(x, t)dx. Låt F (x, t) vara värmeströmningen i Ω. Denna är då en vektor. Om N är den utåtriktade enhetsnormalen till randen B av B ges värmetillskottet i B per tidsenhet av F (x, t) ( N(x))dS = div x F (x)dx; B likheten enligt Gauss sats. De två uttrycken för värmetillskotten ska vara lika och det för varje klot B i Ω. Det följer härur att cρ t u(x, t) + div x F (x, t) = i Ω. B

Vektoranalys i rummet 5 (16) Fouriers värmeledningslag säger att Om λ är konstant, k = λ/cρ och F (x, t) = λ grad x u(x, t). u = div(grad u) = 2 1u + 2 2u + 2 3u, så följer att u uppfyller värmeledningsekvationen t u = k u i Ω. Exempel 4 Låt Ω vara en öppen, begränsad, delmängd av rummet med C 1 rand sådan att inte ligger på randen. Om u(x) = x/ x 2 gäller då att { on / u N ds = Ω 4π on Ω. Detta visas på samma sätt som motsvarande tvådimensionella resultat. Vi visar först att div u(x) = om x. Om / Ω följer påståendet direkt ur Gauss sats. Om Ω plockar vi bort ett litet klot B ɛ kring origo och använder vad vi redan visat till att få att u N ds = B ɛ u(x) x ɛ ds = B ɛ ɛ 2 ds = ɛ 2 4πɛ 2 = 4π. 4 Rotationen av ett vektorfält. Stokes sats Låt M vara ett plan i rummet och Σ en öppen delmängd av M som begränsas av en enkel, sluten C 1 kurva Σ. Orientera planet M genom att fixera en enhetsnormal N till det. Orientera vidare randen δσ så att den genomlöps i positiv omloppsriktning sett från spetsen av N. Om T är enhetstangenten till Σ i rörelsens riktning och u är ett vektorfält i rummet, så gäller att u T ds = div(u N)dS. (5) Σ Σ För at inse detta noterar vi först att båda leden är oberoende av valet av positivt orienterat ON-system i rummet. Låt Oe 1 e 2 vara ett ON-system i planet M sådant att e 1 e 2 = N. Då blir Oe 1 e 2 N ett positivt orienterat ON-system i rummet. Låt x = (x 1, x 2, x 3 ) vara koordinaterna för en punkt i rummet m.a.p. detta och låt u 1, u 2, u 3 vara komponenterna av u i detta system. Greens formel säger då att u T ds = u 1 (x)dx 1 + u 2 (x)dx 2 = ( 1 u 2 2 u 1 )dx 1 dx 2. Σ Σ Men u N = u (,, 1) = (u 2, u 1, ) i basen e 1 e 2 N, så div(u N) = 1 u 2 2 u 1. Därmed har vi visat formel (5). Låt nu Oe 1, e 2, e 3 vara ett godtyckligt positivt orienterat ON-system i rummet och x = (x 1, x 2, x 3 ) koordinaterna m.a.p. detta. Med N = N 1 e 1 + N 2 e 2 + N 3 e 3 kan då integranden i högerledet av (5) skrivas div(u N) = N 1 div(u e 1 ) + N 2 div(u e 2 ) + N 3 div(u e 3 ). Här gäller t.ex. att div(u e 1 ) = div(, u 3, u 2 ) = 3 u 3 3 u 2. Detta motiverar följande definition. Σ

Vektoranalys i rummet 6 (16) Definition Om u = (u 1, u 2, u 3 ) är ett C 1 vektorfält uttryckt i ett positivt orienterat ON-system, så definieras dess rotation, rot u, som vektorfältet rot u = ( 2 u 3 3 u 2, 3 u 1 1 u 3, 1 u 2 2 u 1 ). (6) Det följer av diskussionen ovan att div(u N) = rot u N. Vi har därför bevisat följande sats Sats 4 Låt M vara ett plan i rummet med enhetsnormal N. Låt Σ vara en öppen delmängd av M som begränsas av en enkel sluten C 1 kurva Σ, orienterad så att den genomlöps i positiv omloppsriktning sett från spetsen av N. Då gäller att u T ds = rot u N ds, (7) om u är C 1 i en omgivning av Σ i rummet. Σ Anmärkning Man kan minnas formel (6) genom att observera att högerledet formellt kan skrivas som en vektorprodukt rot u = ( 1, 2, 3 ) (u 1, u 2, u 3 ). På motsvarande sätt kan divergensen skrivas som en skalärprodukt div u = ( 1, 2, 3 ) (u 1, u 2, u 3 ). Vi ska nu titta lite närmare på innebörden av rot u. Låt M vara ett plan med enhetsnormal N som går genom punkten x och låt B r vara cirkelskivan {x M; x x < r} i planet M. Eftersom arean av B r är πr 2, så ger (7) att rot u(x 1 ) N) = lim r πr 2 Σ 1 rot u N ds = lim B r r πr 2 B r u T ds. (8) Betrakta integralen i högerledet. Låt x vara en punkt på cirkelperiferin B r och lägg ett litet ytstycke Σ genom x ortogonalt mot B r. Om vi uppfattar u som strömningshastighet för en vätska, så mäter u(x) T (x) hur mycket vätska som strömmar igenom Σ per areaoch tidsenhet. Att gränsvärdet i högerledet av (8) är skilt från noll betyder att det finns ett inslag av virvelrörelse i vätskeströmningen. Om rot u(x ) så är vänsterledet i (8) störst då N har samma riktning som rot u(x ). Man kan alltså uppfatta riktningen av rrot u(x ) som rotationsaxel för virvelrörelsen. Längden av rot u(x ) är ett mått på virvelns styrka. Anmärkning Vi kan notera att villkoret rot u = är ekvivalent med vår tidigare definition av vad som menas med att ett vektorfält är virvelfritt. Följande exempel belyser ytterligare denna fysikaliska tolkning.

Vektoranalys i rummet 7 (16) Exempel 5 Låt punkterna i rummet rotera runt en axel med riktningsvektorn N, där N = 1, med konstant fart så att ett varv tar τ tidsenheter. Antag att rotationen sker moturs sett från spetsen av N. Då ges rotationshastigheten u(x) i punkten x av u(x) = ω x, där ω = 2π N. Vi vill beräkna rot u(x). Eftersom denna storhet är oberoende av val av τ positivt orienterat ON-system i rummet kan vi anta att N = (,, 1). Då blir N x = ( x 2, x 1, ) och rot(n x) = 2N. Det följer att rot u(x) = rot(ω x) = 2ω, d.v.s. ω = 1 rot u(x). 2 Sats 4 kan generaliseras till fallet då Σ är ersatt av en allmänn kompakt orienterad yta M. För en sådan består randen M av ändligt många enkla slutna styckvis C 1 kurvor. Med hjälp av den kontinuerliga enhetsnormalen N(x) som bestämmer orienteringen av M, kan man beskriva genomloppsriktning på dessa kurvor. Låt x vara en randpunkt till M som inte ligger i ett hörn på M och låt T vara en tangentvektor till M i x som inte tangerar M och som pekar bort från M. I x bestäms då riktningen på M av den enhetstangentvektor T till M för vilken vektorerna T, T, N är positivt orienterade. (Detta innebär att set från spetsen av N ligger M till vänster då man genomlöper M i riktning av T.) Med dessa konventioner får vi följande sats. Sats 5 (Stokes sats) Låt M vara en kompakt orienterad yta i rummet och u ett C 1 vektorfält i en omgivning av M. Då gäller att u T ds = rot u N ds. (9) M Notera speciellt i Sats 5 att om M är en orienterad yta utan rand, så gäller att rot u N ds =. M Om t.ex. Ω är en öppen, begränsad, delmängd av rummet med C 1 rand och u(x) är ett vektorfält som är C 2 i en omgivning av Ω, så gäller därför enligt Gauss sats och ovanstående observation att div(rot u)dx = rot u N ds =. Ω Då detta är sant för t.ex. alla klot i ett område där u är C 2 följer att M div(rot u) =. (1) Man kan naturligtvis också verifiera detta direkt genom uträkning. Det finns fler samband mellan vektoranalysoperationerna div, rot och grad. Vi avslutar detta avsnitt med att diskutera några sådana.

Vektoranalys i rummet 8 (16) Den första observationerna är inte nya. För det första har vi att rot(grad f) =, (11) om fär i C 2, ty varje konservativt vektorfält är virvelfritt. Omvänt ger Sats 2 att om rot u = i ett öppet, enkelt sammanhängande, mängd Ω i rummet, så finns en C 2 funktion f sådan att u = grad f i Ω. Eftersom div rot u = inställer sig då följande fråga: om div v = i Ω, finns då ett C 2 vektorfält v sådant att u = rot v i Ω? Vi ska nedan visa att så är fallet under lämpliga villkor på Ω. Dessförinnan ska vi härleda ytterligare några identiteter som man ibland har användning för. I formlerna antas alla ingående funktioner vara så reguljära som krävs för att ge formlerna mening. u och v står för vektorfält, medan f står för en reellvärd funktion. e 1, e 2, e 3 är en given positivt orienterade, ortonormerad bas och alla koordinatangivelser är med avseende på denna bas. Vi börjar med rot(fu) = (grad f) u + f rot u. (12) Det räcker med att visa denna formel då u = (u 1,, ) = u 1 e 1 och då är rot u = (, 3 u 1, 2 u 1 ) = (grad u 1 ) e 1. Eftesom fu = (fu 1 )e 1 följer att rot(fu) = grad(fu 1 ) e 1 = (f grad u 1 + u 1 grad f) e 1 = grad f (u 1 e 1 ) + f(grad u 1 e 1 ) = grad f u + f rot u. Därmed är (12) visad. Ur denna formel härleder vi sedan rot(u v) = (v grad)u (u grad)v + u div v v div u. (13) Här står t.ex. (v grad)u för i v i i u. För att visa (13) antar vi först att u = u 1 e 1 och v = v 2 e 2. Då gäller att u v = u 1 v 2 (e 1 e 2 ) = u 1 v 2 e 3, så rot(u v) = grad(u 1 v 2 ) e 3 enligt (12). För samma val av u och v blir högerledet i (13) (v 2 2 u 1 )e 1 (u 1 1 v 2 )e 2 + (u 1 2 v 2 )e 1 (v 2 1 u 1 )e 2 = 2 (u 1 v 2 )e 1 1 (u 1 v 2 )e 2, vilket är lika med grad(u 1 v 2 ) e 3. Det följer att (13) är sann för dessa val av u och v och därför för varje vektor u på formen u k e k och v på formen v j e j där k j. Den är emellertid också sann för sådana u och v med k = j, ty då ser man enkelt att båda leden blir noll. Härav följer att formeln är sann för godtyckliga u och v. Den sista formeln som vi visar är rot rot u = grad(div u) u (14) där u = ( u 1, u 2, u 3 ) och u k = div(grad u k = 2 1u k + 2 2u k + 2 3u k. Vi har att rot(u k e k ) = (grad u k ) e k, så rot rot(u k e k ) = rot(grad u k e k ) = (e k grad)(grad u k ) div(grad u k )e k = k (grad u k ) div(grad u k )e k = grad( k u k ) ( u k )e k, vilket visar att (14) är sann för u = u k e k, k = 1, 2, 3. Av linjäritetsskäl är den därför sann för alla vektorfält u. Vi återvänder nu till frågan när ekvationen div u = i en öppen mängd Ω medför att u = rot v för något vektorfält v i Ω. Följande sats svarar mot Sats 2 i föregående avsnitt.

Vektoranalys i rummet 9 (16) Sats 6 Anta att Ω är en öppen, stjärnformad, delmängd i rummet. Då gäller för varje C 1 vektorfält u som uppfyller div u = i Ω att det finns ett C 2 vektorfält v i Ω sådant att u = rot v i Ω. Bevis. Det är ingen inskränkning att anta att Ω är stjärnformat med avseende på origo. Från Exempel 5 vet vi att om u är konstant kan man ta v = 1 (u x). För icke-konstanta 2 vektorfält sätter vi v(x) = 1 (u(tx) x)tdt (jämför med (1)). Formel (13) ger att då div u = gäller att rot x (u(tx) x) = 3 j u(tx)x j t + 2u(tx) = 1 d t dt (t2 u(tx)). 1 Det följer att varmed påståendet är bevisat. rot v(x) = 1 d dt (t2 u(tx))dt = u(x), Exempel 6 Betrakta vektorfältet u(x) = x/ x 3 i R 3 \{}. Enligt Exempel 4 gäller att div u(x) = för x men u N ds = 4π. x =1 Följaktligen kan det inte finnas något vektorfält v i R 3 \{} med rot v = u, ty enligt Stokes sats skulle man då ha u N ds = rot v N ds =. x =1 x =1 Observera att R 3 \{} inte är stjärnformat, och att t.ex. enhetssfären begränsar ett område som inte är innehållet i R 3 \{}. 5 Newtons gravitationslag Låt y vara en given punkt i rummet. Om man väljer lämpliga enheter, så säger Newtons gravitationslag att en partikel i punkten y med massan q alstrar gravitationsfältet q(x y) u(x) = x y, x y. 3 En potentialfunktion till u är F (x) = q x y, x y.

Vektoranalys i rummet 1 (16) Har man flera partiklar med massorna q 1,..., q n i punkterna y 1,..., y n, så alstras ett kraftfält som är summan av de fält som ges av de enskilda massorna u(x) = n i=1 q i (x y i ) x y i 3. Slutligen, om man har en kontinuerlig masstäthet q(y) som är noll utanför en begränsad mängd i rummet, så får man gravitationsfältet q(y)(x y) u(x) = dy. (15) x y 3 En potentialfunktion till detta ges av F (x) = q(y) dy. (16) x y Sätt nu v(x) = x/ x 3. Formeln (15) kan då skrivas u(x) = q(y)v(x y)dy. (17) Om Ω är en öppen, begränsad, delmängd av rummet med C 1 rand och N(x) är den yttre enhetsnormalen till, så vet vi från Exempel 4 att { om y v(x y) N(x) ds(x) = Ω 4π om y Ω. (18) Antag nu att q = nära. Då följer av (17) och (18) att u(x) N(x) ds(x) = ( q(y)v(x y) N(x) dy)ds(x) = q(y) v(x y) N(x) ds(x))dy = 4π q(y)dy. Ω Ω Om q på approximerar vi q med funktioner som är noll på randen och får generellt följande formel, som kallas Gauss lag på integralform, u N ds = 4π q(y)dy. (19) Denna utgör en sorts omvänding till Newtons gravitationslag. Newtons lag säger att om masstätheten q är given, så ges gravitationsfältet u av (15). Gauss lag säger att om gravitationsfältet u är givet, så ges den totala massan i området Ω av 1/4π gånger integralen i vänsterledet av (19). Antag nu att masstätheten q är en C 1 -funktion. Då blir vektorfältet u i (15) också C 1. Detta kan man se genom att göra variabelbytet x y = z i högerledet av (15): u(x) = q(x z) z z dz. 3 Ω Ω

Vektoranalys i rummet 11 (16) Här kan man derivera m.a.p. x under integraltecknet. Vi kan nu tillämpa Gauss sats på vänsterledet i (19). Om vi döper om integrationsvariabeln i högerledet till x får vi div u(x)dx = 4π q(x)dx. Ω Eftersom detta gäller för alla områden Ω med C 1 rand följer härav Gauss lag på differentialform div u(x) = 4πq(x). (2) Här kan man ersätta u(x) med grad F (x), där F är potentialfunktionen i (16). Eftesom grad = = 2 1 + 2 2 + 2 3 får man Poissons ekvation Ω F (x) = 4πq(x). (21) För en kontinuerligt deriverbar masstäthet q som är noll utanför en begränsad mängd i rummet har vi gått från Newtons gravitationslag (15) till Gauss lag på differentialform (2). Det är naturligt att fråga sig om man kan gå den omvända vägen, d.v.s. om ett vektorfält u som satisfierar (2) måste ges av formeln (15). Följande sats visar att så är fallet om man kräver att vektorfältet är konservativt och uppfyller u(x) M/ x 2 för någon konstant M. Sats 7 Låt q vara en C 1 funktion som är noll utanför en begränsad delmängd av rummet. Då finns precis ett konservativt vektorfält u sådant att div u(x) = q(x) och u(x) M/ x 2 för någon konstant M. Detta vektorfält ges av formeln u(x) = 1 4π q(y)(x y) x y 3 dy. Bevis. Att u löser div u(x) = q(x) har vi redan visat. Vidare vet vi att u är konservativt med potentialfunktionen F (x) = 1 q(y) 4π x y dy. För att visa att u(x) M/ x 2 väljer vi R så stor att q(y) = då y R. Om y R och x 2R har vi x y x y x 2. Detta ger att u(x) 1 4π y <R q(y) x y dy 1 2 π x 2 q(y) dy, x 2R. Antag nu att ũ är ett annat vektorfält som uppfyller förutsättningarna i satsen och sätt v = u ũ. Då är v ett konservativt vektorfält sådant att v(x] 2M/ x 2 och div v(x) =. Enligt Exempel 1 finns en potentialfunktion G till v sådan att G(x) 2M/ x. Betrakta vektorfältet G(x)v(x). Eftersom div v(x) = är div(g(x)v(x)) = grad G(x) v(x) + G(x) div v(x) = v(x) 2.

Vektoranalys i rummet 12 (16) Om vi tillämpar Gauss sats på klotet x < r får vi v(x) 2 dx = div(g(x)v(x))dx = x <r x<r x =r G(x)v(x) N(x)dS. Här går integralen i högerledet mot noll då r, ty G(x)v(x) N(x) 4M 2 /r 3 då x = r och sfären med radien r har arean 4πr 2. Detta visar att v(x) 2 dx =. Följaktligen är v = och alltså ũ = u. Anmärkning I diskussionen ovan utgick vi ifrån Newtons gravitationslag. Vi kunde naturligtvis lika gärna ha börjat med Coulombs lag i elektrostatiken. Formellt får man precis samma räkningar bara med den skillnaden att q nu betecknar laddningstäthet och alltså både kan anta postiva och negativa värden. Om man i Sats 7 släpper kravet att vektorfältet ska vara konservativt, så är inte längre lösningen till div u(x) = q(x) entydigt bestämd. Att vektorfältet u inte är konservativt betyder att rot u(x) för något x, d.v.s. lite löst uttryckt att det finns virvlar i flödet. Om man emellertid föreskriver en viss virveltäthet w(x), så kan det högst finnas ett vektorfält u sådant att div u(x) = q(x), rot u(x) = w(x) och u(x) M x 2. (22) Detta följer ur Sats 7, ty om u och ũ är två vektorfält som uppfyller (22) och v = u ũ, så gäller att div v(x) =, rot v(x) = och v(x) 2M x 2. Att rot v(x) = betyder att v är konservativt, så enligt satsen måste vi ha att v =. Det återstår att undersöka om man för givet w kan finna en lösning u till ekvationen (22). För att detta ska vara möjligt måste man kräva att div w(x) =, ty div rot u(x) =. Sats 8 Antag att q är en C 1 funktion och w ett C 1 vektorfält och att q och w är noll utanför en begränsad mängd i rummet. Antag vidare att div w =. Då finns precis ett vektorfält u sådant att för någon konstant M. div u(x) = q(x), rot u(x) = w(x) och u(x) M x 2. Bevis. Vi vet redan att det kan finnas högst ett vektorfält med egenskaperna i satsen. För att visa att det verkligen existerar ett sådant, ska vi konstruera vektorfält u 1 och u 2 sådana att u i (x) M/2 x 2, i = 1, 2, och div u 1 (x) = q(x), rot u 1 (x) =,

Vektoranalys i rummet 13 (16) div u 2 (x) =, rot u 2 (x) = w(x). Då uppfyller u = u 1 + u 2 alla villkor i satsen. Existensen av u 1 garanteras av Sats 7, så det återstår att bestämma u 2. Sätt v(x) = 1 w(y) dy. (23) 4π x y Vi vet då att Definitionen av v(x) kan också skrivas v(x) = w(x). (24) v(x) = 1 4π w(x z) dz. z Eftersom vi har förutsatt att div w =, ger derivation under integraltecknet att Vi sätter nu div v(x) =. (25) u 2 (x) = rot v(x). Eftersom div rot = följer att div u 2 =. Vidare ger formel (14) tillsammans med (24) och (25) att rot u 2 = rot rot v = grad(div v) v = w. För att visa att u 2 (x) M/2 x 2, för någon konstant M, tillämpar vi rot under integraltecknet i (23). Enligt (12) ger detta u 2 (x) = 1 rot x ( w(y) 4π x y )dy = 1 grad 4π x ( x y 1 ) w(y)dy = 1 w(y) (x y) dy. (26) 4π x y 3 Eftersom w = utanför en begränsad delmängd, följer att u 2 (x) M/2 x 2 för någon konstant M. Anmärkning Om man tolkar u som strömningshastighet för en vätska, så svarar punkter där div u(x) mot källor (eller brunnar) för flödet och punkter där rot u(x) mot virvlar. Sats 8 säger då att för godtyckligt val av källtäthet q ch virvelflöde w (med div w = ) som båda är noll utanför en begränsad mängd, så finns precis ett stationärt vätskeflöde med dessa källor och virvlar sådant att strömningshastigheten går mot noll som x 2 då x. 6 Maxwells ekvationer I detta avsnitt ska vi kortfattat diskutera Maxwells ekvationer i elektrodynamiken. I vakuum, men i närvaro av elektriska laddningar och elektriska strömmar, har dessa utseendet rot E = 1 c tb, (27)

Vektoranalys i rummet 14 (16) rot B = 1 c te + 4π c J, (28) div E = 4πρ, (29) div B = (3) (CGS enheter). Här är E(x, t) och B(x, t), för fixt t, vektorfält i rummet som anger det elektriska respektive magnetiska flödet vid tiden t. ρ(x, t) betecknar laddningstätheten i punkten x vid tiden t och J(x, t) är strömtätheten, d.v.s. en vektor som anger den elektriska strömmens riktning och styrka per areaenhet vinkelrätt mot strömmens riktning. Konstanten c är ljushastigheten i vakuum. Eftersom rot = så ger ekvationen (28) att = div rot B = 1 c t(div E) + 4π c div J. Om vi här sätter in uttrycket (29) för div E får man t ρ + div J =. (31) Detta samband mellan ρ och J måste alltså gälla för att ekvationerna (28) och (29) ska vara förenliga med varandra. Ekvationen (31) svarar mot kontinuitetsekvationen i Exempel 7 för strömmande gas eller vätska. Via Gauss sats ser man att den fysikaliska innebörden av (31) är att inga elektriska laddningar skapas eller förstörs. Varje förändring av den totala laddningen i ett område Ω måste bero på in- eller utströmning av laddningar över randen: d dt Ω ρ(x, t)dx = J N ds. För att belysa innebörden av Maxwells ekvationer betraktar vi först det stationära fallet, när E, B, J och ρ är oberoende av t. Ekvationerna (27) och (29) blir då rot E =, div E = 4πρ. Om ρ = utanför en begränsad mängd och om vi antar att E(x) M/ x 2, för någon konstant M, såg ger Sats 7 att ρ(y)(x y) E(x) = dy. (32) x y 3 Detta är Coulombs lag. Ekvationerna (28) och (3) blir rot B = 4π c J, div B =. (33) Om J = utanför en begränsad mängd och B(x) M/ x 2, så finns enligt Sats 8 precis ett vektorfält B som uppfyller dessa ekvationer. Observera att (31) medför att div J = då ρ är oberoende av t. En granskning av beviset för Sats 8 visar att B ges av formeln (26) med w = 4πJ: c B(x) = 1 J(y)(x y) dy. (34) c x y 3

Vektoranalys i rummet 15 (16) Denna formel kallas Biot-Savarts lag. Vi kan också tillämpa Stokes sats på den första ekvationen i (33). Om Σ är ett ytstycke vars rand γ = Σ är en enkel, sluten, C 1 kurva och T, N som i Stokes sats, får vi B T ds = 4π J N ds. (35) γ c Σ Vänsterledet kallas cirkulationen av B längs γ. Om strömmen J är koncentrerad till en ledande slinga, som i vidstående figur, så följer av (35) att cirkulationen av magnetfältet B är densamma längs varje enkel, sluten, kurva γ som går runt ledaren med given genomloppsriktning. Detta är en generalisering av Ampères cirkulationslag i Exempel 3. Ofta kallas även den allmänna formeln (35) för Ampères lag. Tillsammans med kravet att div B = (som uttrycker frånvaron av magnetiska monopoler) bestämmer (35) det stationära magnetiska fältet B (förutsatt att J = utanför en begränsad mängd och B(x) M/ x 2 ). Det var Örsted som upptäckte att en elektrisk ström inducerar ett magnetfält. En närmare analys av detta fenomen ledde till Ampères cirkulationslag. Det var naturligt att fråga sig om omvändningen gällde, d.v.s. om ett magnetfält kunde inducera en ström i en ledare. Faraday fann att det var inte statiska utan variabla magnetfält som gav upphov till magnetiska strömmar. I precis matematisk form säger Faradays induktionslag att γ E T ds = 1 c d dt Σ B N ds. (36) (Här har vi använt samma beteckningar som i (35).) Vänsterledet i (36) betecknar spänningsfallet då man går ett varv runt γ, d.v.s. det arbete som utförs då en positiv enhetsladdning transporteras ett varv runt γ. Om γ är en ledande slinga, så säger Faradays induktionslag att ändring i det magnetiska flödet genom Σ ger upphov till elektrisk ström i γ orsakad av spänningsfallet i vänsterledet av (36). Eftersom ytstycket Σ i (36) är godtyckligt, så följer av Stokes sats att (36) är ekvivalent med differentialekvationen (27). Den sista byggstenen i Maxwells ekvationer är termen t E i högerledet av (28). Att det krävs en tilläggsterm hör kan man förstå av ekvation (31). Om t ρ blir inte div J = och eftersom div rot B = måste man ha något mer än 4π J i högerledet av (28). Det var c Maxwell som angav den fullständiga ekvationen (28). Utanför alla laddningar och elektriska strömmar får Maxwells ekvationer det nästan helt symmetriska utseendet rot E = 1 c tb rot B = 1 c te div E = div B =. Vi ska avsluta detta avsnitt med att visa att dessa ekvationer medför att E och B uppfyller vågekvationen 2 t u = c 2 u. Det två första ekvationerna ger att rot rot E = 1 c t(rot B) = 1 c 2 2 t E

Vektoranalys i rummet 16 (16) och rot rot B = 1 c t(rot E) = 1 c 2 2 t B. Eftersom div E = div B =, så ger formeln (14) att rot rot E = E och att rot rot B = B. Det följer att t 2 E = c 2 E, t 2 B = c 2 B. Dessa ekvationer vittnar om existensen av elektromagnetiska vågor och de ledde Maxwell till förutsägelsen att ljus är en form av vågrörelse.