Matematisk Grundkurs

LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap

Sida 2

Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till att ge studenterna en positiv start på sina ingenjörstudier; de skall repetera och utveckla sin matematiska förmåga inför kommande studier inom matematik (särskilt Envariabelanalys I och Envariabelanalys II) och tillämpningar inom andra kurser. En del nya matematiska begrepp introduceras och det matematiska hantverket utvecklas. Studenterna skall dessutom uppleva en social tillhörighet och utveckla sin studieteknik inom ämnet. Ett viktigt mål är att utveckla lärandet genom att använda olika typer av arbetssätt. Detta skall bidra till att förbättra studenternas kunskaper i att skriva, läsa och tala matematiskt språk; kunna redovisa lösningar av matematiska problem med tydlig tankegång förmåga att genomföra logiska resonemang begreppsbildning och kalkylfärdighet samt vana att utföra lösningskontroller förmåga att reflektera över sitt eget lärande och ge dem förtrogenhet med att arbeta i grupp; gruppen skall kunna ses som en resurs och goda samarbetsformer uppmuntras Lärandemål Studenterna skall efter genomgången kurs kunna visa en elementär förmåga att både skriva, läsa och tala det matematiska språket kunna visa god algebraisk räkneförmåga med reella och komplexa tal kunna använda grundläggande begrepp inom funktionsläran, såsom definitionsmängd, värdemängd och invers funktion kunna elementära funktioners egenskaper samt använda detta i problemlösning kunna ställa upp och lösa ekvationer och olikheter innehållande absolutbelopp kunna genomföra beräkningar med hjälp av trigonometriska funktioner Sida 3

Sida 4

Innehåll 1 Elementär algebra... 7 1.1 Elementär algebra mängdlära... 7 1.1.1 Begreppet delmängd... 7 1.1.2 Några standardtalmängder... 8 1.1.3 Mängdoperationer... 9 1.2 Elementär algebra kombinatorik... 11 1.2.1 Kombinationer och permutationer... 11 1.2.2 Pascals triangel ger enkelt binomialkoefficienterna... 12 1.2.3 Binomialutveckling... 13 1.3 Elementär algebra polynom och delbarhet... 15 1.3.1 Vad är ett polynom?... 15 1.3.2 Polynomdivision... 16 1.3.3 Begreppet delare till ett polynom... 18 1.3.4 Primpolynom irreducibla polynom... 18 1.3.5 Faktorsatsen... 19 1.3.6 Algebrans fundamentalsats och summan av multipliciteten hos rötterna... 20 1.4 Enkla ekvationer med reella rötter... 21 1.5 Ekvationssystem... 27 1.5.1 Linjära ekvationssystem... 27 1.5.2 Ytterligare ekvationssystem... 30 1.6 Rationella uttryck... 31 1.6.1 Partialbråksuppdelning... 31 1.7 Ekvationer, olikheter och absolutbelopp... 35 1.8 Övningsuppgifter... 45 2 Funktionslära... 53 2.1 Inledning... 53 2.2 Sammansatta funktioner... 54 2.3 Funktioner och till hörande inverser... 55 2.3.1 Injektiva funktioner har invers... 55 2.3.2 Funktionens och inversens kurva... 57 2.3.3 Funktioner och inverser från gymnasieskolan... 58 Sida 5

2.4 Grundläggande trigonometri... 63 2.4.1 Enhetscirkeln och trigonometriska funktionsvärden... 63 2.4.2 Restriktioner av trigonometriska funktioner... 67 2.4.3 Grundläggande identiteter inom trigonometrin... 69 2.5 Grundläggande trigonometriska ekvationer... 72 2.6 Arcusfunktioner en översikt... 76 2.6.1 Inverserna arcsinx, arccosx och arctanx... 76 2.6.2 Förenkling av uttryck med arcusfunktioner... 80 2.7 Övningsuppgifter... 83 3 Komplexa tal... 89 3.1 Rektangulär form, z = a + bi... 89 3.2 Grundläggande beräkningar med komplexa tal... 91 3.3 Mängder av komplexa tal... 93 3.4 Enkla ekvationer med komplexa rötter... 97 3.5 Polynomekvationer av högre grad... 99 3.6 Polär form ger ibland stora fördelar... 101 3.6.1 Polär form då z = 1... 101 3.6.2 Polär form då z = r... 102 3.7 De Moivres formel... 104 3.8 Ekvationer med komplexa koefficienter... 107 3.9 Övningsuppgifter... 111 4 Ytterligare uppgifter... 115 Sida 6

Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik 1 Elementär algebra 1.1 Elementär algebra mängdlära Matematikern Georg Cantor utvecklade mängdläran i slutet av 1800-talet. Cantors definition av en mängd var varje sammanfattning M av bestämda definitiva objekt (kallade element i M) till en helhet. Om α är ett element i M skriver man α M (alfa tillhör M). Russels förbättrade definitionen av en mängd (1910) och angav då att en mängd ej kan innehålla sig själv med denna utökning av definition undviker man det som kallas Russels paradox. 1.1.1 Begreppet delmängd Här följer en definition av begreppen delmängd och äkta delmängd: Om alla element tillhörande mängden A också är element tillhörande mängden B gäller att mängden A är en delmängd av mängden B, skrivet A B. Om det dessutom finns minst ett element tillhörande B men samtidigt inte tillhörande A säger man att A är en äkta delmängd av B, skrivet A B. Sida 7

1.1.2 Några standardtalmängder (sid 2 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Här följer några standardtalmängder: Mängden naturliga tal: N = {x x 0, 1, 2 } Ovanstående utläses exempelvis: Mängden N är en mängd enbart innehållande elementen (talen) x sådana att x tillhör den aritmetiska talföljden 0, 1, 2 Mängden heltal: Z = {x x 2, 1, 0, 1, 2 } Mängden rationella tal: Q = a Z och b Z och b 0 Mängden reella tal: R = alla tal med eller utan decimaler Mängden komplexa tal: C = {a + bi a R och b R och i = 1} Mängden irrationella tal alltså de reella tal som ej kan beskrivas med hjälp av bråk innehållande heltal kan anges med mängddifferensen R\ Q Komplexa tal innehåller alltså den äkta delmängden reella tal som innehåller den äkta delmängden rationella tal som innehåller den äkta delmängden heltal som innehåller den äkta delmängden naturliga tal eller enklare skrivet N Z Q R C 1.1.2.1 Exempeluppgift Bestäm vilket bråk som motsvarar det rationella talet 0,2141414 Lösning: Alla decimaltal med periodisk decimalutveckling är rationella tal och kan därmed skrivas på bråkform. Två rader med samma decimalutveckling skapas: x = 0,2141414 = 0,214 10x = 2, 14 1000x = 214, 14 Subtraktion av de sista raderna ger: 990x = 212 x = 212 990 = 106 445 Sida 8

1.1.3 Mängdoperationer Här följer några definitioner vilka förklaras med hjälp av Venn-diagram: Tomma mängden A definieras genom att A inte innehåller några element. Man skriver A = Unionen av mängderna A och B, med avseende på grundmängden Γ, skriven A B, definieras genom A B = {x x A eller x B} Snittet av mängderna A och B, med avseende på grundmängden Γ, skriven A B, definieras genom A B = {x x A och x B} Alltså gäller om tomma mängden att B = och B = B oavsett vilka element B innehåller Mängddifferensen av mängderna A och B, skriven A\B definieras genom A\B = {x x A och x B} Komplementet av mängden A, skrivet A eller A, definieras genom A = Γ\A. Om Γ är en grundmängd gäller att Γ = och = Γ Disjunkta mängder är åtskiljda från varandra. Exempelvis kan tal inte samtidigt tillhöra mängden rationella och irrationella. Dock behöver inte disjunkta mängder vara varandras komplement. Sida 9

Sida 10

1.2 Elementär algebra kombinatorik Kombinatorik är den teori som bland annat behandlar frågor av typen: Hur många danspar kan man bilda ur tio herrar och tio damer? Hur många bilnummer kan man bilda med tre siffror och tre bokstäver? Mest användning har säkert kombinatoriken fått inom sannolikhetsläran; den girige kortspelaren vill ju alltid maximera sannolikheten att vinna pengar Pascal och Fermat utvecklade de teorier vi går igenom och de kom till i samband med studier av just hasardspel! Numera används sannolikhetskalkyler av exempelvis försäkringsbolag, moderna fysiker och statistiker vilka studerar vårt samhälle. 1.2.1 Kombinationer och permutationer (sid 46 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Kombinationer kan liknas vid grupper alltså har ordningsföljden hos elementen ingen betydelse. Antalet kombinationer som kan bildas med k stycken element valda ur en mängd M innehållande n stycken element är: n k = n! k! (n k)! Man säger vanligtvis n över k stycken eller n välj k stycken oc n! = 1 2 3 n h Att jämföra kombinationer av personer och permutationer av personer är som att jämföra grupper av personer och köer av personer; personerna A B C och A C B räknas som två olika permutationer (köer) men räknas som en och samma kombination (grupp) av personer. Här följer att antal exempel på kombinationer: 1.2.1.1 Exempel Ur en kortlek kan = 2598960 olika pokerhänder fås på given. Ur fem personer kan 5 4 = 20 olika köer med två personer skapas. Ur fem personer kan =10 olika par skapas. Genom att kasta om bokstäverna i ordet MATTANT kan man bilda = 35 6 2 1 = 420 olika ord. Sida 11

1.2.2 Pascals triangel ger enkelt binomialkoefficienterna (sid 48 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Pascals triangel en genväg till binomialkoefficienterna: Förenklat får man: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 o s v n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 o s v Några förtydligande kommentarer: Om man skall välja en grupp med 0 personer ur en grupp innehållande 0 personer kan man göra det på exakt ett sätt; man tar ingen person. Alltså gäller att = 1 Om man skall välja en grupp med 1 person ur en grupp innehållande 2 personer kan man göra det på två sätt; man tar den ena eller den andra personen. Alltså gäller att = 2 Om man skall välja en grupp med 3 personer ur en grupp innehållande 4 personer kan man göra det på fyra sätt; man struntar i en av de 4 personerna. Alltså gäller att = 4 Sida 12

1.2.3 Binomialutveckling (sid 47 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Det är lätt att visa att (a + b) = a + 2ab + b och att (a + b) = a + 3ba + 3ab + b. Koefficienterna är i dessa fall enkla att finna men för utveckling av högre grad än ovan kan det vara ganska knivigt! Låt oss studera kallat Binomialteoremet ett kompakt uttryck för summan av termerna ur produkten (a + b) = (a + b)(a + b) (a + b) = n k a b = n 0 a b + n 1 a b + + n n a b 1.2.3.1 Exempeluppgift Utveckla (a + b) Lösning: Binomialteoremet ger: (a + b) = 4 k a b = 4 0 a b + 4 1 a b + 4 2 a b + 4 3 a b + 4 4 a b = 1a b + 4a b + 6a b + 4a b + 1a b = a + 4a b + 6a b + 4ab + b 1.2.3.2 Exempeluppgift Utveckla (x 2) Lösning: (x 2) = 4 k x ( 2) = 4 0 x ( 2) + 4 1 x ( 2) + + 4 4 x ( 2) = 1x ( 2) + 4x ( 2) + 6x ( 2) + 4x ( 2) + 1x ( 2) = x 8x + 24x 32x + 16 Sida 13

1.2.3.3 Exempeluppgift Utveckla (x y) Lösning: (x y) = 6 k x ( y) = 6 0 x ( y) + 6 1 x ( y) + + 6 6 x ( y) = x 6x y + 15x y 20x y + 15x y 6xy + y 1.2.3.4 Exempeluppgift Utveckla (a 3b) Lösning: (a 3b) = 4 k a ( 3b) = 4 0 a ( 3b) + 4 1 a ( 3b) + + 4 4 a ( 3b) = 1a ( 3b) + 4a ( 3b) + 6a ( 3b) + 4a ( 3b) + 1a ( 3b) = a 12a b + 54a b 108ab + 81b Sida 14

1.3 Elementär algebra polynom och delbarhet I detta avsnitt studerar vi polynomekvationer, deras rötter, unika faktorisering och delbarhet. Man noterar fördelen med att kunna faktorisera polynom och därigenom synliggöra polynomens nollställen. 1.3.1 Vad är ett polynom? (sid 28 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Ett polynom p(x) av grad n till en början polynomfunktioner från R till R kan skrivas på formen: p(x) = c x = c x + c x + + c x, k N, c R Detta medför exempelvis att: 3x 7 är ett polynom av grad n = 2, med koefficienterna c = 7, c = 0 och c = 3 23 är ett polynom av grad n = 0 samt koefficienten c = 23 7x inte är ett polynom ty exponenten är negativ 5x inte är ett polynom ty exponenten är ej ett naturligt tal Sida 15

1.3.2 Polynomdivision (sid 28 29 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Låt p(x) och g(x) vara två godtyckliga polynom sådana att p(x) har lägst samma grad som g(x), då finns alltid polynom q(x) och r(x) sådana att: p(x) = g(x) q(x) + r(x) Om g(x) dessutom är skiljt från nollpolynomet kan följande begrepp införas: p(x) ä = g(x) ä q(x) + r(x) Division med polynomet g(x) ger därmed: ä p(x) g(x) ä = q(x) + r(x) g(x) 1.3.2.1 Exempeluppgift Bestäm kvoten q(x) och resten r(x) till polynomen p(x) = x 3x + 2x 5x + 2 (= täljare) och g(x) = x 2x + 1 (= nämnare) med hjälp av lång polynomdivision. Lösning: x 1 x 3x + 2x 5x + 2 : x 2x + 1 (x 2x + x ) x + x 5x + 2 ( x + 2x x) x 4x + 2 ( x + 2x 1) 6x + 3 Sida 16

1.3.2.2 Exempeluppgift Bestäm kvoten q(x) och resten r(x) till polynomen p(x) = 2x 5x + 2x 6 (= täljare) och g(x) = x 3x (= nämnare) med hjälp av kort respektive lång polynomdivision. Lösning med kort polynomdivision: 2x 5x + 2x 6 x 3x = 2x 6x + x + 2x 6 x 3x = 2x 6x + x 3x + 5x 6 x 3x = 2x + 1 Lösning med lång polynomdivision: 2x + 1 2x 5x + 2x 6 : x 3x (2x 6x ) x + 2x 6 (x 3x) 5x 6 + 5x 6 x 3x Därmed gäller att: 2x 5x + 2x 6 x 3x = 2x + 1 + 5x 6 x 3x Sida 17

1.3.3 Begreppet delare till ett polynom (sid 29 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Polynomdivision av p(x) med hjälp av nollskiljda g(x) är särskilt intressant då resttermen r(x) = 0: p(x) = g(x) q(x) + r(x) Fallet då r(x) = 0 är ekvivalent med att g(x) är delare till p(x). Alltså kan i detta fall p(x) faktoriseras enligt p(x) = q(x) g(x). Man skriver q(x) p(x) vilket utläses q(x) är delare till p(x). Även g(x) blir i dessa fall delare till p(x). 1.3.3.1 Exempel x 1 har delarna (x + 1) och (x 1) ty x 1 = (x + 1)(x 1) 50x 200 har bara trivialdelare såsom (x 4), 1, 5, (5x 20) vilka ger en kvot som antingen är av grad noll eller av samma grad som det ursprungliga uttrycket 1.3.4 Primpolynom irreducibla polynom Ett primpolynom (irreducibelt polynom) har bara triviala delare alltså är bara delbara med polynom av grad noll (konstanter 0) och sig själva. Varje polynom kan delas upp i primpolynom och faktoriseringen är entydig (om man bortser från konstanterna). 1.3.4.1 Exempel x + 1 är ett primpolynom (irreducibelt polynom) x 1 kan faktoriseras i primpolynomen (x + 1)(x + 1)(x 1) Jämför med primtalet 23 som bara har de triviala delarna 1 och 23 (sig själv). Sida 18

1.3.5 Faktorsatsen (sid 29 30 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Låt f(z) vara ett polynom över C (= mängden komplexa tal). Då gäller att talet z = a är en rot till ekvationen f(z) = 0 (alltså z = a är nollställe till f(z)) om och endast om faktorn (z a) är delare till polynomet f(z): f(a) = 0 (z a) f(z) Då man löser polynomekvationer av högre grad kan man således då en rot har upptäckts eller gissats dividera bort rotens tillhörande faktor utan att erhålla en restterm. På så vis sänks ekvationens grad och man finner enklare ekvationens övriga lösningar. 1.3.5.1 Exempeluppgift Lös ekvationen x 2x 9x + 18 = 0 genom att först gissa och upptäcka roten x = 2. Lösning: Roten x = 2 är gissad och tillhörande faktor enligt faktorsatsen är (x 2). Polynomdivision med rotens tillhörande faktor (x 2) x 9 x 2x 9x + 18 x 2 (x 2x ) 9x + 18 ( 9x + 18) 0 ger kvoten x 9 och samtidigt resten 0: Vänsterledet kan alltså faktoriseras enligt (x 2)(x 9) = 0 som därefter faktoriseras ytterligare till den unika faktoriseringen (x 2)(x + 3)(x 3) = 0 De återstående rötterna x = ±3 framträder därmed. Sida 19

1.3.6 Algebrans fundamentalsats och summan av multipliciteten hos rötterna (sid 30 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Algebrans fundamentalsats säger att: a) Varje polynomekvation p(x) = 0 av grad 1 har minst en komplex rot (en komplex rot kan vara rent reell) Dessutom gäller att: b) Summan av multipliciteterna hos rötterna = polynomekvationens grad Exempelvis en femtegradsekvation kan därmed ha en dubbelrot och en trippelrot. Ovanstående kan sammanfattas i att: c) Varje polynomekvation över C (= mängden komplexa tal) av grad n 1 har exakt n stycken rötter i C om varje rot räknas med sin multiplicitet 1.3.6.1 Exempeluppgift Bestäm antalet reella rötter hos ekvationen x 2x + 9x 18 = 0 Lösning: Enligt graden hos polynomet har ekvationen tre komplexa rötter. Roten x = 2 gissas och tillhörande faktor, enligt faktorsatsen, är därmed (x 2). Polynomdivision med rotens tillhörande faktor (x 2) ger ytterligare faktor: x + 9 x 2x + 9x 18 x 2 (x 2x ) 9x 18 (9x 18) 0 Ekvationen kan alltså faktoriseras enligt (x 2)(x + 9) = 0 och faktorn x + 9 är ett primpolynom som saknar reella nollställen. Alltså är de återstående två rötterna (utöver den reella roten x = 2) icke reella och har därmed imaginärdel. Bestämning av dessa rötter tas upp i ett senare avsnitt. Sida 20

1.4 Enkla ekvationer med reella rötter (sid 22 25 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Här följer ett stort antal ekvationer med stegrande svårighetsgrad: 1.4.1.1 Exempeluppgift Lös ekvationen x 9 = 0 Lösning: x 9 = 0 x = 9 x = ±3 Två reella rötter Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger (x 3)(x + 3) = x 9 vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet Svar: x = 3 eller x = 3 1.4.1.2 Exempeluppgift Lös ekvationen x 6x + 5 = 0 Lösning: x 6x + 5 = 0 (x 3) 4 = 0 x = 3 ± 2 Två reella rötter Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger (x 5)(x 1) = x 6x + 5 vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet Svar: x = 5 eller x = 1 Sida 21

1.4.1.3 Exempeluppgift Lös ekvationen x + 13x + 36 = 0 Lösning: x 13x + 36 = 0 x + 36 = 0 x 13 2 169 4 + 144 4 = 0 x 13 2 = 25 4 x 13 2 = ± 5 2 x = 13 2 ± 5 2 x = 9 eller x = 4 x = ±3 eller x = ±2 Fyra reella rötter Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger (x 3)(x + 3)(x 2)(x + 2) = (x 9)(x 4) = x 13x + 36 vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet Svar: x = 3, x = 3, x = 2 eller x = 2 Sida 22

1.4.1.4 Exempeluppgift Lös ekvationen x + 5x 36 = 0 Lösning: x + 5x 36 = 0 x + 36 = 0 x + 5 2 x + 5 2 25 4 144 4 = 0 = 169 4 x + 5 2 = ± 13 2 x = 5 2 ± 13 2 x = 4 eller x = 9 (saknar reella rötter) x = ±2 Två reella rötter och två ickereella rötter Kontroll med hjälp av den unika faktoriseringen av ekvationen ger (x 2)(x + 2)(x + 9) = (x 4)(x + 9) = x + 5x 36 vilket motsvarar det ursprungliga vänsterledet Svar: x = 2 eller x = 2 Sida 23

1.4.1.5 Exempeluppgift Lös ekvationen 5 x = x + 1 Lösning: En rotekvation alltså ingen polynomekvation förrän efter kvadrering 5 x = x + 1 (5 x) = x + 1 x 10x + 25 = x + 1 x 11x + 24 = 0 x 11 2 121 4 + 96 4 = 0 x 11 2 = 25 4 x 11 2 = ± 5 2 x = 11 2 ± 5 2 x = 8 x = 3 (duger ej) (duger) Man noterar att kvadreringen av höger- och vänsterled ger upphov till en skenrot som måste strykas; x = 8 ger nämligen inte likhet mellan leden. Svar: x = 3 Sida 24

1.4.1.6 Exempeluppgift Lös ekvationen + 1 + x + 1 = 0 Lösning: Ännu en rotekvation som leder till en polynomekvation vars rötter måste kontrolleras + 1 + x + 1 = 0 + 1 = x + 1 + 1 = x + 1 x 9 + 2x 3 + 1 = x + 1 x + 6x + 9 = 9x + 9 x 3x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 x = 3 (duger ej) (duger ej) Man noterar att kvadreringen av höger- och vänsterled ger upphov till två skenrötter vilka måste strykas; x = 0 och x = 3 ger nämligen inte likhet mellan leden. Svar: Reella rötter saknas Sida 25

Sida 26

1.5 Ekvationssystem Ekvationssystem är uppsättningar av ekvationer vilka alla skall beaktas alltså en form av matematisk artighet gentemot flera uttryck samtidigt. Ibland finner man lösningar som uppfyller alla ekvationer men ibland finns inga lösningar och eventuellt söker man då lösningsförslag som ger minst totala fel enligt exempelvis minsta kvadratmetoden. Detta kan exempelvis göras med hjälp av miniräknare eller med hjälp av program såsom Excel till exempel vid rätlinjig regression under fysiklaborationer inom kursen Fysik A. Inom denna kurs behandlas bara entydiga lösningar och fall du lösning saknas övriga fall tas upp inom kursen Linjär Algebra. 1.5.1 Linjära ekvationssystem (sid 18 19 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) 1.5.1.1 Exempeluppgift x y = 1 Lös ekvationssystemet: 2x + 4y = 2 Ett ekvationssystem med två ekvationer av typen ovan med två obekanta variabler kan tolkas som två räta linjer i ett tvådimensionellt rum. Man kommer antingen att finna en skärningspunkt mellan linjerna (en entydig lösning), ingen gemensam punkt hos linjerna eller så är de samma linje och har alla punkter gemensamma. Lösning 1 Lösning med additionsmetoden sker genom att man eliminerar en variabel ur en av ekvationerna: x y = 1 2x + 4y = 2 ~ 2x 2y = 2 2x + 4y = 2 ~ 2x 2y = 2 2y = 4 2x 2y = 2 ~ y = 2 ~ 2x 4 = 2 y = 2 ~ 2x = 6 y = 2 ~ x = 3 y = 2 Svar: x = 3 y = 2 Sida 27

Lösning 2 Ett annat sätt att lösa detta ekvationssystem är att skriva de räta linjernas ekvationer på så kallad k-form och dra nytta av att linjerna k-värden och m-värden framträder: x y = 1 2x + 4y = 2 y = x + 1 ~ 4y = 2x + 2 y = x 1 ~ y = + y y = x 1 y = + x Linjerna y = x 1 (k = 1 och m = 1) och y = + (k = och m = ) ritas eventuellt och skärningspunkten läses av grafiskt om närmevärden duger. Lösningens exakta värden fås exempelvis genom att ekvationerna nu sätts lika med varandra: y = x 1 y = 1 2 x + 1 2 Svar: x = 3 y = 2 y = x 1 ~ x 1 = 1 2 x + 1 2 y = x 1 ~ 1 2 x = 3 2 ~ x = 3 y = 2 Sida 28

1.5.1.2 Exempeluppgift Lös ekvationssystemet: x + 2y + z = 9 2x + y + 3z = 12 3x y + 2z = 9 Ett ekvationssystem av denna typ med tre ekvationer och tre obekanta variabler kan tolkas som tre olika plan i ett tredimensionellt rum. Man kommer antingen att finna en skärningspunkt mellan tre plan (en entydig lösning), en skärningslinje mellan de tre planen eller ingen gemensam punkt hos de tre planen. Lösning För att underlätta skrivs ekvationssystemet på matrisform x + 2y + z = 9 2x + y + 3z = 12 3x y + 2z = 9 1 2 1 9 1 2 1 9 ~ 2 1 312 ~ 0 5 5 30 3 1 2 9 0 7 1 18 1 2 1 9 ~ 0 1 1 6 ~ 0 7 1 18 1 2 1 9 0 1 1 6 0 0 6 24 1 2 1 9 1 2 1 9 ~ 0 1 16 ~ 0 1 02 0 0 1 4 0 0 1 4 1 0 1 5 1 0 0 1 x = 1 ~ 0 1 02 ~ 0 1 02 ~ y = 2 0 0 1 4 0 0 1 4 z = 4 Som synes gav Gauss-eliminationen en entydig lösning och därmed existerar en och endast en gemensam skärningspunkt. Svar: x = 1 y = 2 z = 4 Sida 29

1.5.2 Ytterligare ekvationssystem 1.5.2.1 Exempeluppgift y = x + 3 Lös ekvationssystemet: y = x 10x + 21 Ekvationssystemet innehållande ett rätlinjigt samband och en andragradsfunktion. Duger en ungefärlig lösning kan den räta linjen och andragradskurvan ritas därefter avläses skärningspunkterna grafiskt. Exakt lösning fås enligt nedan: Lösning y = x + 3 y = x 10x + 21 ~ y = x + 3 x + 3 = x 10x + 21 y = x + 3 ~ 0 = x 9x + 18 ~ y = x + 3 (x 6)(x 3) = 0 Som synes finns de två möjliga x-värden med tillhörande y-värden alltså två skärningspunkter mellan linjen och kurvan: Svar: x = 6 y = 3 eller x = 3 y = 0 1.5.2.2 Exempeluppgift Lös ekvationssystemet: y = x y = x 2 Lösning y = x y = x 2 y = x ~ x = x 2 = y x x = x 4x + 4 = ~ y x x 5x + 4 = 0 y = ~ x (x 1)(x 4) = 0 ~ x = 1 y = 1 eller x = 4 y = 2 Svar: x = 4 y = 2 Som synes gav kvadreringen av den nedre ekvationen ett extra lösningsförslag som visade sig inte duga vid insättningen i det ursprungliga uttrycket. Sida 30

1.6 Rationella uttryck En rationell funktion r(x) är sådan att r(x) = () då p(x) och q(x) är polynom skiljda från () nollpolynomet. 1.6.1 Partialbråksuppdelning (sid 256 260 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Vid partialbråksuppdelning delas en rationell funktion upp i enklare rationella funktioner. Detta är ett hjälpmedel som främst kommer till användning vid bestämning av primitiva funktioner. 1.6.1.1 Exempeluppgift Dela upp det rationella uttrycket i partialbråk. Lösning: 5x + 3 x x = 5x + 3 x(x 1) Lämplig ansats med nämnarens faktorer: = A x + B x 1 A(x 1) = x(x 1) + Bx x(x 1) = A = 3 B = 8 Ax A + Bx x(x 1) (A + B)x A = x(x 1) Svar: = + Sida 31

1.6.1.2 Exempeluppgift Dela upp uttrycket i partialbråk. Lösning: 5x + 3 x x = 5x + 3 x (x 1) Lämplig ansats med nämnarens faktorer, en grad lägre i täljaren: = Ax + B x + C x 1 Förkortning ger detta uttryck som många väljer att ansätta direkt: = A x + B x + C x 1 = Ax(x 1) B(x 1) x + (x 1) x (x 1) + (A + C) x + ( A + B) x B = x (x 1) Cx x (x 1) A + C = 0 A + B = 5 B = 3 A = 8 B = 3 C = 8 Svar: = + Sida 32

1.6.1.3 Exempeluppgift Polynomdividera och dela upp resttermen i partialbråk. Lösning: 2x + 19x + 35 x + 5x + 6 = 2x + 10x + 12 9x + 23 x + + 5x + 6 x + 5x + 6 9x + 23 = 2 + x + 5x + 6 Lämplig ansats med nämnarens faktorer, en grad lägre i täljaren: 9x + 23 (x + 3)(x + 2) = = A x + 3 + B x + 2 A(x + 2) B(x + 3) + (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) (A + B) x + (2A + 3B) = (x + 2)(x + 3) A + B = 9 2A + 3B = 23 2A 2B = 18 2A + 3B = 23 A = 4 B = 5 Svar: = 2 + + Sida 33

Sida 34

1.7 Ekvationer, olikheter och absolutbelopp (sid 32 41 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Här följer ett antal uppgifter av varierande slag vilka kräver bra struktur under lösningens gång 1.7.1.1 Exempeluppgift Lös denna ekvation hämtad från Matematik C: Lösning: = 7 x + 3 2 x 2 = 5 5x 1, x 3, 2, 1 5 Båda leden multipliceras med samtliga nämnare: (x + 3)(x 2)(5x 1) 7 x + 3 2 x 2 = (x + 3)(x 2)(5x 1) 5 5x 1 7(x 2)(5x 1) 2(x + 3)(5x 1) = 5(x + 3)(x 2) 20x 110x + 50 = 0 x 11 2 x + 5 2 = 0 x 11 11 x 4 4 x 11 4 = 81 16 x 11 4 = ± 81 16 x = 11 4 ± 9 4 121 16 + 40 16 Båda rötterna visar sig vara OK och ingen skenrot uppkom trots kvadreringen av ekvationen i rad 2. Detta inses genom kontroll med villkoret x 3, 2, och = 0 därefter insättning av rötterna i den ursprungliga ekvationen. Svar: x = 5 eller x = Sida 35

1.7.1.2 Exempeluppgift Lös olikheten x 7x + 6 > 0 Lösning: Genom att gissa roten x = 1 och genomföra polynomdivision med tillhörande faktor (x 1) får man en återstående andragradsfaktor x + x 6 som sedan kan faktoriseras till (x + 3)(x 2). Därmed kan olikheten skrivas med faktorer enligt: (x 1)(x + 3)(x 2) > 0 Teckenstudium av de tre faktorerna: -3 1 2 x (x 1): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + (x + 3): - - - - - - - - - - 0 + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + (x 2): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + (x 1)(x 3)(x + 2): - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + Svar: x L = ] 3, 1[ ]2, [ Sida 36

1.7.1.3 Exempeluppgift Lös olikheten: Lösning: 2x 8 x + 2 x 5 x + 1, x { 2, 1} Noll i högerledet är att föredra: 2x 8 x + 2 x 5 x + 1 0 Liknämnighet och därefter gemensamt bråk skapas: (2x 8)(x + 1) (x 5)(x + 2) (x + 2)(x + 1) (x + 1)(x + 2) 0 (2x 8)(x + 1) (x 5)(x + 2) (x + 2)(x + 1) x 3x + 2 (x + 2)(x + 1) 0 0 Nollställen ses enklast i uttryck på faktoriserad form: (x 2)(x 1) (x + 2)(x + 1) 0 Teckenstudium av de tre faktorerna: -2-1 1 2 x (x 2): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + (x 1): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + (x + 2): - - - - - - - - - - 0 + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x + 1): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ()() ()() : + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + + Svar: x L = ] 2, 1[ [1, 2] Sida 37

1.7.1.4 Exempeluppgift Lös olikheten: > Lösning: x x 1 > x 2 x 3, x {1, 3} Noll i högerledet är att föredra: x x 1 x 2 x 3 > 0 Liknämnighet och därefter gemensamt bråk skapas: x(x 3) (x 2)(x 1) (x 1)(x 3) (x 3)(x 1) > 0 x(x 3) (x 2)(x 1) (x 3)(x 1) 2 (x 3)(x 1) > 0 > 0 Teckenstudium av de tre faktorerna: 1 3 x 2: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (x 3): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + (x 1): - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + ()() : - - - - - - - - - - + + + + + + - - - - - - - - - - - Svar: x L = ]1, 3[ Sida 38

1.7.1.5 Exempeluppgift Lös ekvationen x 1 + 2 x + 1 = 3 Lösning: Begreppet absolutbelopp kan beskrivas som ett tals avstånd till origo. Således förändras ej positiva tal och uttryck av absolutbelopp däremot negativa tal och uttryck (genom teckenbyte). Alltså kan man ersätta absolutbelopp med ett minustecken före uttrycket om innandömet är negativt. Vi kontrollerar för vilka x-värden absolutbeloppen genererar ett teckenbyte och för vilka x-värden absolutbeloppsparenteserna fungerar som vanliga parenteser: -1 1 x x ], 1] x 1 + 2 x + 1 = 3 (x 1) 2(x + 1) = 3 3x 1 = 3 x = 4 3 Duger ty x = ], 1] x [ 1, 1] x 1 + 2 x + 1 = 3 (x 1) + 2(x + 1) = 3 x + 3 = 3 x = 0 Duger ty x = 0 [ 1, 1] x [1, [ x 1 + 2 x + 1 = 3 (x 1) + 2(x + 1) = 3 3x + 1 = 3 x = 2 3 Duger ej ty x = [1, [ Svar: x = eller x = 0 Sida 39

1.7.1.6 Exempeluppgift Lös olikheten x + 1 2 x 2 Lösning: Vi kontrollerar för vilka x-värden absolutbeloppen genererar ett teckenbyte och för vilka x-värden absolutbeloppsparenteserna fungerar som vanliga parenteser: -1 2 x x + 1 2 x 2 x ], 1] (x + 1) 2(x 2) x 5 Inom angivet intervall gäller x L = ], 1] ], 5] x L = ], 1] x + 1 2 x 2 x [ 1, 2] x + 1 2(x 2) 3x 3 x 1 Inom angivet intervall gäller x L = [ 1, 2] ], 1] x L = ] 1, 1] x + 1 2 x 2 x [2, [ x + 1 2(x 2) x 5 x 5 Inom angivet intervall gäller x L = [2, [ [5, [ x L = [5, [ Svar: x L = L L L = ], 1] [5, [ Sida 40

1.7.1.7 Exempeluppgift Lös olikheten 2 Lösning: Olikheter med x i nämnaren lockar ofta en nybörjare till otillåtna drag som i o f s är tillåtna vid lösning av ekvationer (med likhet). Det är exempelvis inte tillåtet att höja graden i båda leden alltså att multiplicera båda leden med en faktor innehållande x; svaret blir då inkorrekt ifall x < 0. Felaktig metod: Lösning: 2 8 x 2x 8 x 4 Denna felaktiga metod strider mot tidigare regel för just olikheter och ger det felaktiga (ofullständiga) svaret x [4, [ istället för x ], 0] [4, [ 2 8 x 2x x 8 x 2x x 8 x 0 2(x 4) 0 x Teckenstudium av de tre faktorerna: 0 4 x 2: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x 4): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + x: - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + () : + + + + + + + - - - - - - - - - 0 + + + + + + + Svar: x L = ], 0[ [4, [ Sida 41

1.7.1.8 Exempeluppgift Lös olikheten x 3x < Lösning: Felaktig metod: x 3x < 5x x + 1 (x 3x)(x + 1) < 5x Lösning: x 3x < 5x x + 1 (x 3x)(x + 1) x + 1 < 5x x + 1 (x 3x)(x + 1) 5x x + 1 x + 1 < 0 x 2x 3x 5x x + 1 x 2x 8x x + 1 x(x 4)(x + 2) x + 1 < 0 < 0 < 0 Teckenstudium av de tre faktorerna: -2-1 0 4 x x: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + (x 4): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + (x + 2): - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (x + 1): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ()() : + + + + + + + + 0- - - - - - - - + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + Svar: x L = ] 2, 1[ ]0, 4[ Sida 42

1.7.1.9 Exempeluppgift Lös olikheten x Lösning: x > 3x + 2 x x x 3x + 2 x x x 3x + 2 x x 3x 2 x 0 0 (x 2)(x + 2x + 1) 0 x (x 2)(x + 1) 0 x Teckenstudium av de tre faktorerna: -1 0 2 x (x 2): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + (x + 1) : + + + + + + + + 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + ()() + + + + + + + + 0 + + + + + + + - - - - - - - - 0 + + + + + + Svar: x L = ], 0[ [2, [ Sida 43

Sida 44

1.8 Övningsuppgifter 1. Vilket bråk har decimalutvecklingen 0, 1? Svar: 2. Vilket bråk har decimalutvecklingen 0,12? 3. Vilket bråk har decimalutvecklingen 0,112? 4. Vilket bråk har decimalutvecklingen 0, 12? Svar: Svar: Svar: 5. Förklara följande begrepp och sätt dem i ett sammanhang: a) Delmängd b) Äkta delmängd: c) Mängden naturliga tal d) Mängden heltal e) Mängden rationella tal f) Mängden reella tal g) Mängden komplexa tal h) Mängden irrationella i) Snittet j) Komplement k) Disjunkta mängder 6. Förklara följande begrepp och sätt dem i ett sammanhang: a) Kombinationer b) Permutationer c) Binomialkoefficienterna d) Pascals triangel 7. Visa två metoder att ta fram binomialkoefficienten. Sida 45

8. Vilken koefficient har femtegradstermen i (x 2)? 9. Utveckla (x + 2) med hjälp av binomialteoremet. Svar: 448 ty ( 2) x = 56 ( 8)x = 448x Svar: x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x + 128 10. Vilken koefficient har sjundegradstermen, i polynomet som uppstår då binomet (x 2) upphöjs till grad tio? Svara på så enkel form som möjligt. 11. Förklara följande begrepp och sätt dem i ett sammanhang: a) Polynom b) Delare c) Primpolynom d) Irreducibla polynom e) Faktorsatsen f) Algebrans fundamentalsats g) Multipliciteten hos rötterna till en polynomekvation Svar: 960 12. Lös ekvationen 13. Lös ekvationen 14. Lös ekvationssystemet x 14x +63x 106x + 56 = 0 x 4x 25x + 88x 60 = 0 Svar: x = 1, x = 2, x = 4 eller x = 7 Svar: x = 5, x = 1, x = 2 eller x = 6 y = 2x + 2 y = x 1 x = 1 Svar: y = 0 eller x = 3 y = 8 Sida 46

15. Lös ekvationssystemet y = x 2 + 2 y = x + 4 Svar: x = 0 = 4 eller x y = 2 y = 0 16. Lös ekvationssystemet y = x 2 y = x + 4 Svar: x = 5 y = 3 17. Lös ekvationssystemet x + y + z = 16 x y + z = 6 2x y z = 14 Svar: x = 10, y = 5 och z = 1 18. Lös ekvationssystemet x + 2y z = 19 3x y + z = 26 2x + y + 2z = 27 Svar: x = 10, y = 5 och z = 1 19. Hur kan man tolka (grafiskt) ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta och vilka tre lösningsalternativ finns? 20. Hur kan man tolka (grafiskt) ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta och vilka huvudsakliga lösningsalternativ finns? 21. Dela upp i partialbråk 9x + 23 x + 5x + 6 Svar: + Sida 47

22. Dela upp i partialbråk 23. Dela upp i partialbråk 24. Dela upp i partialbråk 25. Dela upp i partialbråk 9x 24 x 6x + 8 5x + 4x 10 (x + 1) (x 2) 5x + 23x + 25x + 33 (x + 1)(x + 3) 6x + 2x 18 (x + 4)(x 3)(x 1) Svar: Svar: Svar: + + + () + + () Svar: + + 26. Faktorisera nämnaren och dela upp i partialbråk 24 x 4x Svar: + + 27. Skriv om uttrycket genom att inledningsvis genomföra en polynomdivision och därefter partialbråksuppdela resten från divisionen: 28. Lös ekvationen 2x 14x + 31x 23 x 7x + 12 3x + 6 x 4 = 7 x 2 Svar: 2x + + Svar: Saknar lösning Sida 48

29. Lös ekvationen 3x 9 x 9 = 7 x + 3 Svar: Saknar lösning 30. Lös ekvationen 2 2x 6 = x + 2 + 2 Svar: x = eller x = 31. Lös ekvationen 2 3 x 3 2x 8 = 0 Svar: x = eller x = 32. Lös ekvationen 4 x 2 3 5 x = 5 Svar: x = 12 eller x = 4 33. Lös ekvationen x x 2 3 = 0 Svar: x = 3 34. Lös ekvationen 2 x + 1 + 4 2x = 6 Svar: x = 1 eller x = 2 35. Lös olikheten (x + 2)(x 3) (x + 1)(x 1) > 0 Svar: x L = ], 2[ ] 1, 1[ ]3, [ 36. Lös olikheten (x + 4)(x 4) (x 3)(x + 1) 0 Svar: x L = [ 4, 1[ ]3, 4] 37. Lös olikheten x 4x 25x + 88x 60 > 0 Svar: x L = ], 5[ ]1, 2[ ]6, [ 38. Lös olikheten x + 4x x 16x 12 0 Svar: x L = [ 3, 2] [ 1, 2] Sida 49

39. Lös olikheten x 9x + 26x 24 > 0 Svar: x L = ]2, 3[ ]4, [ 40. Lös olikheten x 3x + 2 x + 3x + 2 0 Svar: x L = ] 2, 1[ [1, 2] 41. Lös olikheten x + 1 3 x 1 Svar: x L = ], 2] ]1, 2] 42. Lös olikheten x + x 8x 12 0 Svar: x = 2 eller x [3, [ 43. Lös olikheten x x 6 x + 2x + 1 0 Svar: x L = ], 2] [3, [ 44. Lös olikheten x 14x +63x 106x + 56 > 0 Svar: x L = ], 1[ ]2, 4[ ]7, [ 45. Lös olikheten x 8x + 12x + 32x 64 > 0 Svar: x L = ], 2[ ]2, 4[ ]4, [ 46. Lös olikheten 3 x 1 < x + 2 Svar: x L =, 47. Lös olikheten x 3x 5x x + 1 Svar: x L = [ 2, 1[ [0, 4] Sida 50

48. Lös olikheten 49. Lös olikheten x < x x 2 2 x 3 x + 2 Svar: x L = ]1, 2[ ]2, 3[ Svar: x L =, 3 [3, 8] =, 8 Sida 51

Sida 52

Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik 2 Funktionslära 2.1 Inledning (sid 63 72 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) En reell funktion f(x) är en regel som till varje tillåtet värde x ingående i funktionens definitionsmängd D skapar ett tillhörande funktionsvärde y. Alltså y = f(x). Mängden av alla tänkbara funktionsvärden kallas värdemängden V Regeln f(x) D x y V Funktioner såsom f(x) = x är definierade för alla reella tal och i dessa fall gäller att definitionsmängden D = R. Man kan också skriva D = {x R} vilket utläses definitionsmängden för funktionen f är en mängd innehållande element x sådana att x tillhör mängden av alla reella tal. Funktioner såsom f(x) = x är däremot bara definierade för reella tal x 0. Man skriver då D = {x R; x 0} vilket utläses definitionsmängden för funktionen f är en mängd innehållande element x sådana att x tillhör mängden av alla reella tal större än eller lika med noll. Ibland görs inskränkningar i den ordinarie definitionsmängden, t ex då man för omvändbara funktioner önskar definiera den inversa funktionen (baklängesfunktionen). I senare avsnitt kommer vi att studera funktionen f(x) = sin x som är definierad för alla reella tal men man inskränker sig då till en definitionsmängd D = x R; x för att inom detta intervall kunna definiera den inversa funktionen f (x) = arcsin x. Sida 53

2.2 Sammansatta funktioner (sid 68 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Av två funktioner f och g kan man bilda en sammansatt funktion f g sådan att f g(x) = fg(x) för alla x D och y = g(x) D. f g(x) g(x) f(y) x y z D V = D V 2.2.1.1 Exempeluppgift Låt f(x) = x + 4 och g(x) = x 2. Bestäm de sammansatta funktionerna y = f g(x) och y = g f(x). Lösning: f(x) = x + 4 g(x) = x 2 y = f g(x) = fg(x) y = x 2 + 4 = x + 2, D = {x R; x 2} f(x) = x + 4 g(x) = x 2 y = g f(x) = gf(x) y = (x + 4) 2 = x + 2, D = R Sida 54

2.3 Funktioner och till hörande inverser (sid 72 77 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Under gymnasieskolans Matematik A E kommer man i kontakt med ett flertal elementära funktioner och vanligen har de invers åtminstone inom en del av sin definitionsmängd. 2.3.1 Injektiva funktioner har invers (sid 72 74 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) En funktion är omvändbar (har invers) om och endast om varje värde y inom funktionens värdemängd V enbart härstammar från enbart ett värde x inom funktionens definitionsmängd D. För en funktion f med tillhörande invers f gäller att D = V och V = D. Regeln f D = V x Regeln f y V = D Därmed är funktionen f(x) = x inte injektiv inom hela sin definitionsmängd; exempelvis värdet y = 9 kan uppstå både genom f(3) = 3 och genom f( 3) = ( 3). Regeln f(x) = x x y D x V Däremot är f(x) = x injektiv inom intervallen x 0 respektive x 0 och inverserna f (x) = x respektive f (x) = x existerar för respektive intervall. Sida 55

Ett tillräckligt villkor för existensen av en invers är att funktionen är strängt monoton alltså strängt växande eller strängt avtagande på hela sin definitionsmängd. Några exempel: Strängt monoton Strängt monoton Styckevis strängt monoton Strängt växande Strängt avtagande Varken strängt växande eller strängt avtagande Injektiv Injektiv Ej injektiv Invers existerar Invers existerar Invers saknas En injektiv funktion som varken är strängt växande eller strängt avtagande ja det finns faktiskt sådana skulle kunna ha en kurva med utseende enligt nedan. Som alla injektiva funktioner så har den för varje y-värde finns enbart ett tillhörande x-värde och följaktligen har den invers. Sida 56

2.3.2 Funktionens och inversens kurva (sid 75 76 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Tidigare har nämnts att funktionen f(x) har invers om och endast om den är injektiv d.v.s. för varje värde y = f(x) får det enbart finnas ett tillhörande x-värde. Den inversa funktionens kurva är en spegelbild av den ordinarie funktionens kurva detta utifrån linjen y = x. Detta medför att eventuella skärningspunkter mellan funktionens kurva och linjen y = x också är skärningspunkter med den inversa funktionens kurva. f (x) y = x y f(x) x Funktionens värdemängd innehåller samma värden som den inversa funktionens definitionsmängd (se ovan) samt tvärtom. Sida 57

2.3.3 Funktioner och inverser från gymnasieskolan 2.3.3.1 Exempel Under gymnasieskolans kurser Matematik C och D stöter man på tiologaritmen lg x. Funktionen y = lg x presenteras som den inversa funktionen till y = 10 och på miniräknaren finns dessa funktioner på samma knapp men vanligtvis trycker man INV före knapptryckningen för att få inversen till den andra. Miniräknarens lg-knapp kallas av många för tio upphöjt i vad -knappen. Vi drar oss till minnes minnes några av egenskaperna hos y = f(x) = 10 : Funktionen är strängt växande Definitionsmängden är mängden av alla reella tal: D = ], [ Värdemängden är mängden av alla reella tal större än noll: V = ]0, [ Därmed ger symmetrin mellan funktionens kurva och den inversa funktionens kurva utifrån linjen y = x i figuren nedan följande egenskaper hos hos y = f (x) = lg x: Funktionen är strängt växande Definitionsmängden är mängden av alla tal större än noll: D = ]0, [ Värdemängden är mängden av alla reella tal: V = ], [ Skiss av funktionkurva och tillhörande invers kurva: y y = 10 y = x y = lg x x Sida 58

Vardagligt kan man säga att y = f(x) = 10 sväljer alla rella tal men enbart spottar ut reella tal större än noll; en tiopotens blir alltid större än noll, oavsett exponentens storlek och tecken. Det omvända gäller för y = f (x) = lg x, alltså att den enbart sväljer reella tal större än noll men spottar ut alla reella tal; tiologaritmen besvarar frågan tio upphöjt i vad blir talet och svaret (tiopotensens exponent) kan anta alla värden På grund av detta gäller f f(x) = ff (x) = x i detta exempel endast för vissa x- värden. Om man exempelvis testar med x = 1 får man med hjälp av exponentialfunktionen värdet 10 och åter värdet 1 med hjälp av tiologaritmen; lg(10 ) = lg 10 = 1. Gör man tvärtom får man värdet 0 med hjälp av tiologaritmen och åter värdet 1 med hjälp av exponentialfunktionen; 10 = 10 = 1. Detta förfarande fungerar dock ej för tal mindre än eller lika med 0 eftersom att tiologaritmen ej kan ( svälja ) dessa tal (ej definierad för negativa tal) och samtidigt kan inte exponentialfunktionen returnera ( spotta ut ) negativa tal. 2.3.3.2 Exempel Under gymnasieskolans kurs Matematik D stöter man på den naturliga logaritmen ln x. Funktionen y = ln x presenteras som den inversa funktionen till y = e (basen e är det irrationella talet 2.71828 ) och på miniräknaren finns dessa funktioner på samma knapp men vanligtvis trycker man INV före knapptryckningen för att få inversen till den andra. Vi drar oss till minnes minnes några av egenskaperna hos y = f(x) = e : Funktionen är strängt växande Definitionsmängden är mängden av alla reella tal: D = ], [ Värdemängden är mängden av alla reella tal större än noll: V = ]0, [ Därmed ger symmetrin mellan funktionens kurva och den inversa funktionens kurva utifrån linjen y = x i figuren nedan följande egenskaper hos hos y = f (x) = ln x: Funktionen är strängt växande Definitionsmängden är mängden av alla tal större än noll: D = ]0, [ Värdemängden är mängden av alla reella tal: V = ], [ Sida 59

Skiss av funktionskurva och den tillhörande inversens kurva: y y = e y = x y = ln x x Vardagligt kan man säga att y = f(x) = e sväljer alla rella tal men enbart spottar ut reella tal större än noll; en potens med basen e blir alltid större än noll, oavsett exponentens tecken och värde. Det omvända gäller för y = f (x) = ln x, alltså att den enbart sväljer reella tal större än noll men spottar ut alla reella tal; naturliga logaritmen besvarar frågan 2.71828 upphöjt i vad blir talet och svaret (potensens exponent) kan anta alla värden På grund av detta gäller f f(x) = ff (x) = x i detta exempel endast för vissa x- värden. Om man exempelvis testar med x = 1 får man med hjälp av exponentialfunktionen värdet e och åter värdet 1 med hjälp av naturliga logaritmen; ln(e ) = ln e = 1. Gör man tvärtom får man värdet 0 med hjälp av naturliga logaritmen och åter värdet 1 med hjälp av eponentialfunktionen; 10 = 10 = 1. Detta förfarande fungerar dock ej för tal mindre än eller lika med 0 eftersom att naturliga logaritmen ej kan ( svälja ) dessa tal (ej definierad för negativa tal) och samtidigt kan inte exponentialfunktionen returnera ( spotta ut ) negativa tal. Sida 60

2.3.3.3 Exempel Under kurserna Matematik A och B, på gymnasieskolans NV- och TE-program, stöter man på funktionen y = x (kubiken) samt dess invers y = x = x (tredje roten). På vissa miniräknare finns dessa funktioner på samma knapp och vanligtvis trycker man INV före knapptryckningen för att få inversen till den andra. Vi drar oss till minnes några av egenskaperna hos y = f(x) = x : Funktionen är strängt växande Definitionsmängden är mängden av alla reella tal: D = ], [ Värdemängden är mängden av alla reella tal: V = ], [ Därmed ger symmetrin mellan funktionens kurva och den inversa funktionens kurva utifrån linjen y = x i figuren nedan följande egenskaper hos y = f (x) = x = x : Funktionen är strängt växande Definitionsmängden är mängden av alla reella tal: D = ], [ Värdemängden är mängden av alla reella tal: V = ], [ Skiss av funktionskurva och tillhörande invers kurva: y y = x y = x y = x = x x Tack vare detta gäller att f f(x) = ff (x) = x för alla x-värden. Om man exempelvis testar med x = 8 får man med hjälp av kubiken -512 och åter -8 med hjälp av kubikroten; ( 8) = 512 = 8. Gör man tvärtom får man -2 med hjälp av kubikroten och åter -8 med hjälp av kubiken; 8 = ( 2) = 8. Sida 61

2.3.3.4 Exempel Under kursen Matematik B stöter man på rätlinjiga samband såsom y = 4x + 2 med k- värdet (lutningen) 4 och m-värdet (skärningen med y-axeln) 2. Genom att skifta variabler och lösa ut y får man unktionens invers: x = 4y + 2 4y = x + 2 x + 2 4 = y y = x 4 + 1 2 Skiss av funktionens räta linje och tillhörande invers räta linje: y y = 4x + 2 y = x y = x 4 + 1 2 x För de båda funktionerna (den ordinarie och dess invers) gäller i detta fall: Funktionerna är strängt avtagande Definitionsmängderna är mängden av alla reella tal: D = ], [ Värdemängderna är mängden av alla reella tal: V = ], [ Sida 62

2.4 Grundläggande trigonometri (sid 91 99 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Under Matematik A stöter man för första gången på trigonometri och man nöjer sig då med att göra beräkningar med rätvinkliga trianglar. De trigonometriska funktionerna länkar då samman vinlars storlek och förhållanden mellan sidors längd. Med trigonometriska funktioner menas inledningsvis y = sin x, y = cos x och y = tan x. Direkt ställer man sig frågan om dessa funktioner har invers för samtliga x-värden men så är inte fallet; endast inom begränsade intervall har dessa funktioner invers ty funktionerna är bara styckevis injektiva. 2.4.1 Enhetscirkeln och trigonometriska funktionsvärden Från Matematik A minns man följande samband för rätvinkliga trianglar: sin α = cos α = tan α = c a α b En så kallad enhetscirkel se Matematik D har radien c = 1. En inskriven rätvinklig triangel kommer till stor nytta då man söker exakta trigonometriska funktionsvärden. Sida 63

I enhetscirkeln kan man läsa av trigonometriska funktionsvärden detta tack vare att den rätvinkliga triangeln, inskriven i enhetscirkeln, alltid har hypotenusan c = 1. Ur sambanden från Matematik A får man kateternas längd enligt: sin α = c = 1 a = sin α cos α = c = 1 b = cos α c = 1 α b = cos α a = sin α Pythagoras sats ger: α a = sin α b = cos α c = 1 0 0 1 1 π 6 = 30 1 2 3 2 0.87 1 π 4 = 45 1 2 0.71 1 2 0.71 1 π 3 = 60 3 2 0.87 1 2 1 π 2 = 90 1 0 1 Sida 64

2.4.1.1 Exempeluppgift Bestäm sin och cos på exakt form med hjälp av enhetscirkeln. Lösning: En rätvinklig triangel med vinkeln skrivs in i enhetscirkeln och speglas i höjdled. Därmed har en liksidig triangel skapats; vinklarna är alla i den stora triangeln. c = 1 b a Eftersom att hypotenusan c = 1 bör även den lodräta sidan 2a = 1 och a =. Sidan b fås nu med hjälp av Pythagoras sats: a + b = c c = 1 a = 1 2 1 2 + b = 1 b = ±1 1 2 = ± 3 4 = ± 3 2 I första kvadranten av enhetscirkeln är b 0 och därmed gäller a = och b =. I enhetscirkeln gäller dessutom att a = sin α och att b = cos α och uppgiften är därmed löst: Svar: sin = och cos = (exakt form) Sida 65

2.4.1.2 Exempeluppgift Bestäm sin och cos på exakt form. Lösning: En rätvinklig triangel med vinkeln skrivs in i enhetscirkeln och speglas i hypotenusan. Därmed har en kvadrat skapats. c = 1 a b Eftersom att hypotenusan c = 1 och kateterna är lika långa (a = b) fås nu kateternas längd med hjälp av Pythagoras sats: a + b = c c = 1 b = a a + a = 1 2a = 1 a = ± 1 2 = ± 1 2 I första kvadranten av enhetscirkeln är a 0 och b 0 och därmed gäller a = b =. I enhetscirkeln gäller dessutom a = sin α och b = cos α. Uppgiften är därmed löst: Svar: sin = cos = (exakt form) Sida 66

2.4.2 Restriktioner av trigonometriska funktioner (sid 75 76 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Från Matematik D minns man att de trigonometriska funktionerna är periodiska deras kurvorna har en profil som upprepar sig inom hela definitionsmängden och inversa funktioner till dessa definieras bara inom begränsade intervall nära origo. För detta krävs utvalda avsnitt av funktionerna inom vilka funktionerna är injektiva s.k. restriktioner. Funktionen y = sin x är injektiv inom det slutna intervallet x, y 1 y = sin x π 2 π 2 x Funktionen y = cos x är injektiv inom det slutna intervallet x [0, π] y y = cos x π x -1 Sida 67

Funktionen y = tan x är injektiv inom det öppna intervallet x, y y = tan x x Sida 68

2.4.3 Grundläggande identiteter inom trigonometrin (sid 95 101 i läroboken Analys en variabel, Forsling och Neymark) Här följer ett litet urval av grundläggande trigonometriska identiteter vilka är bra att känna till ytterligare identiteter tas upp i läroboken: Grundläggande: (1) cos α = sin α + Detta samband inses genom följande figur: sin α + π 2 α + π 2 α cos α För cos α 0 gäller att: (2) tan α = I enhetscirkeln gäller att c = 1 och sambandet inses genom: För sin α 0 gäller att: (3) cot α = = tan x = a a b = c sin a = b cos a c I enhetscirkeln gäller att c = 1 och inses genom: cot x = = = Sida 69

Perioder: Symmetri: För n Z gäller att: (4) sin α = sin(α + n2π) Detta samband inses tack vare att kateten a för en rätvinklig triangel inskriven i enhetscirkeln antar samma längd då visaren i enhetscirkeln roterat n varv. För n Z gäller att: (5) cos α = cos(α + n2π) Detta samband inses tack vare att kateten b för en rätvinklig triangel inskriven i enhetscirkeln antar samma längd då visaren i enhetscirkeln roterat n varv. För n Z gäller att: (6) tan α = tan(α + nπ) Detta samband inses tack vare att kateternas längd skiftar mellan a och b respektive a och b då visaren i enhetscirkeln roterar nπ (alltså n st. halvvarv) i enhetscirkeln. Förhållandet mellan dem blir dock alltid detsamma: tan α = a b = a = tan(α + π) b Nedanstående identiteter inses genom symmetriska resonemang m h a enhetscirkeln: (7) sin( α) = sin α (8) sin α = sin(π α) (9) cos( α) = cos α (10) tan( α) = tan α (11) sin α = cos α (12) cos α = sin α Trigonometriska Ettan: (11) sin α + cos α = 1 Fås genom Pythagoras sats på triangel inskriven i enhetscirkeln. Sida 70