FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik. Inledning: En elastisk balk med varierande tvärsnitt och materialegenskaper vilar på N + 1 upplag så att N fack bildas. Facken numreras från 1 till N. Balken har konstant yttröghetsmoment och elasticitetsmodul inom varje fack. Längden av fack i är L i. Elasticitetsmodulen hos fack i är E i. Yttröghetsmomentet hos ett tvärsnitt av balken i fack i är I i. Nu belastas varje fack med en jämnt utbredd last q i. Lasten är definierad som positiv om den är riktad uppåt. Oftast är den dock riktad nedåt, varvid q i får negativt tecken. Ett exempel med N = 5 visas i Figur 1. q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 E 1, I 1 E 2, I 2 E 3, I 3 E 4, I 4 E 5, I 5 L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 Figur 1: Fritt upplagd balk med jämnt utbredda laster över 5 fack. Din uppgift är nu att skriva ett Matlabprogram som, enligt linjär balkböjningsteori, beräknar och plottar böjmoment och tvärkrafter längs balken. Du skall använda dig av stödvinkelmetoden som kortfattat repeteras nedan. q M A L, I, E M B Figur 2: Fritt upplagd balk med ett fack. Moment och utbredd last pålagda. sida 1 av 10

Stödvinkelmetoden: Betrakta en balk av längd L och med yttröghetsmoment I och elasticitetsmodul E och som är fritt upplagd i ändpunkterna, se Figur 2. Antag att balken belastas med en jämnt utbredd last q samt med ett moment M A i den vänstra änden och ett moment M B i den högra änden. Då kan stödvinklarna θ AB och θ BA samt reaktionerna R A och R B beräknas enligt θ AB = M AL 3EI M BL 6EI + ql3 24EI, (1) θ BA = M AL 6EI + M BL 3EI ql3 24EI, (2) R A = ql 2 (M A M B ), L (3) R B = ql 2 + (M A M B ) L (4) Se Figur 3 för definition av positiva riktningar hos reaktioner och stödvinklar. θ AB q M A L, I, E θ BA M B R A R B Figur 3: Den fritt upplagda balken i Figur 2. Upplagen är ersatta av reaktioner. Stödvinklar är utritade. Samtliga pilar har positiva riktingar. I stödvinkelmetoden börjar man med att frilägga (snitta) den ursprungliga balken vid dess upplag. Om balken har N fack så delas den alltså upp i N delar. Upplagen ersätts med okända stödreaktioner R A,i och R B,i och i snittytorna lägger man på okända stödmoment M A,i och M B,i, där i = 1, 2,..., N är ett index som talar om till vilken del storheterna hör. Stödmomenten och stödreaktionerna skall vara sådana att spänningstillståndet i varje balkdel förblir detsamma som före friläggningen. Figur 4 illustrerar två frilagda angränsande delar av en längre balk såsom den i Figur 1. Vi har nu alltså delat upp vår balk i N frilagda delar. Det som är känt är följande: L i, E i, I i och q i för i = 1, 2,..., N. Det vi till en början vill räkna ut är de 4N obekanta storheterna M A,i, M B,i, R A,i, och R B,i för i = 1, 2,..., N. Observera att dessa okända kvantiteter inte är oberoende. Om vi kan hitta M A,i, M B,i så kan vi räkna ut R A,i och R B,i från (3) och (4). Vidare är sida 2 av 10

M A,i M B,i M A,i+1 M B,i+1 θ AB,i q i θ AB,i+1 q i+1 RA,i L i, I i, E i θ BA,i RB,i RA,i+1 L i+1, I i+1, E i+1 θ BA,i+1 RB,i+1 Figur 4: Två angränsande delar av en balk som frilagts i dess upplag. stödmomenten inte oberoende. Vi har samt för ändpunkterna M B,i = M A,i+1 i = 1, 2,..., N 1, (5) M A,1 = 0, (6) M B,N = 0. (7) Det räcker alltså att bestämma de N 1 okända stödmomenten i (5) för att samtliga stödmoment och stödreaktioner skall vara bestämda. Vi betecknar de N 1 okända stödmoment M i så att M i = M B,i = M A,i+1 i = 1, 2,..., N 1. (8) Hur skall vi nu bestämma de N 1 okända stödmomenten M i? Jo, vi behöver N 1 ekvationer. Dessa ges i stödvinkelmetoden av θ BA,i = θ AB,i+1 i = 1, 2,..., N 1. (9) Dessa N 1 ekvationer säger helt enkelt att stödvinklarna på ömse sidor om ett frilagt snitt skall vara lika stora. Notera att stödvinklarna för de olika frilagda snitten ges av (1) och (2). Dessa ekvationer innehåller endast kända kvantiteter samt de okända stödmomenten M i från (8). Ekvation (9) är därför ett linjärt ekvationssystem med N 1 ekvationer för de N 1 obekanta M i. När de N 1 obekanta stödmomenten M i väl är beräknade med stödvinkelmetoden är det enkelt att få fram böjmomentet M och tvärkraften V vid ett snitt i en godtycklig punkt i den ursprungliga balken. Betrakta på nytt balken i Figur 3. Vi kan nu låta denna balk vara en frilagd del av den ursprungliga balken. Vi gör ett snitt i denna balkdel vid position x. Om origo ligger i den vänstra ändpunkten så beräknas M och V enligt M = M A + R A x + qx2 2, (10) sida 3 av 10

V q M A R A M x M V R B M B Figur 5: Balken i Figur 3 snittad vid position x. V = R A qx. (11) Se Figur 5 för definition av positiva riktningar. Ytterligare två termer som förkommer i dessa sammanhang är upplagskraft och maximalt fälmoment. Om upplagen numreras från 0 till N så är upplagskraften vid upplag i summan av R B,i och R A,i+1 för i = 1, 2,..., N 1. Upplagskraften vid det första upplaget är R A,1. Upplagskraften vid det sista upplaget är R B,N. Det maximala fältmomentet i fack i definieras som det till beloppet största extremvärdet hos böjmomentet i fack i. Extremvärden som sammanfaller med stödmomenten räknas inte. I uppgiften nedan kan du anta att böjmomentet som mest har tre extrempunkter i varje fack. Två av dessa sammanfaller alltid med stödmomenten. Det tredje, om det finns, är därför det maximala fältmomentet. Om endast stödmomenten är extremvärden för böjmomentet i ett visst fack finns därför inget maximalt fältmoment i detta fack. Uppgift: Skriv nu ett Matlabprogram som med hjälp av stödvinkelmetoden för en balk med N fack liknande den i Figur 1 gör följande: Beräknar och tabellerar stödmoment för varje frilagt fack. Beräknar och tabellerar stödreaktioner för varje frilagt fack. Beräknar och tabellerar upplagskrafter i varje upplag. Beräknar och tabellerar maximalt fältmoment i varje fack (om sådant finns). Beräknar och skriver ut värden och lägen för det största och det minsta böjmomentet i balken. Plottar böjmomentet längs balken. sida 4 av 10

Plottar tvärkraften längs balken. Nedan följer tips på tillvägagångssätt i tolv steg. Allmänt gäller att du skall använda egendefinierade underfunktioner så mycket det går. Huvudprogrammet, exklusive kommentarer, bör inte vara längre än c:a 35 rader. Då blir det lättare att läsa. Steg 1: Teoretisk förarbete. Numerera upplagen från 0 till N och facken från 1 till N. De N 1 okända stödmomenten M i för i = 1, 2,..., N 1 har redan introducerats i (8). Från (6,7) följer att vi kan sätta M 0 = 0 och M N = 0. Skriv nu om ekvation (9) med hjälp av (1,2,8) på formen 0.5f i M i 1 + (f i + f i+1 )M i + 0.5f i+1 M i+1 = g i + g i+1, i = 1, 2,..., N 1, M 0 = 0, M N = 0, (12) där f i och g i är uttryck som beror på L i, E i, I i, och q i. Titta på Figur 4 och använd de index som förekommer där. Vad blir f i och g i? Observera att ekvationssystemet (12) är tridiagonalt. Steg 2: Inläsning av data. Nu kan du börja programmera. Det är ganska mycket data som skall läsas in. Skapa därför en underfunktion myinit som innehåller alla data. Inled med raden function [L,E,I,q,nfack,npl]=myinit Låt nfack vara antalet fack i balken. (nfack är ett bättre, mer deskriptivt, variabelnamn än bara N.) Låt L, E, I, och q vara kolonnvektorer med nfack komponenter som beskriver de olika fackens egenskaper. Låt npl vara ett heltal som talar om hur många punkter per fack som skall användas vid plottandet av tvärkrafter och böjmoment. Steg 3: Kontroll av data. Det är lätt hänt att det blir fel i indatafilen. Skapa därför en underfunktion mycheck som kontrollerar de data som finns i myinit. Inled med raden function mycheck(l,e,i,q,nfack) Låt denna funktion kontrollera att data inte är orimliga eller helt fel. Kontrollera, till exempel, att du verkligen har nfack komponenter i L, E, I, och q, och att alla längder är positiva. Hitta på fler saker att kontrollera. Steg 4: Sätt upp och lös ekvationssystemet. Skapa två vektorer f och g som innehåller komponenterna f i och g i, i = 1, 2,..., N. De analytiska uttrycken för f i och g i har du fått fram i Steg 1, ovan. Sätt upp det tridiagonala ekvationssystemet (12) med kommandot diag. Kalla systemmatrisen A och sida 5 av 10

högerledet b. Beräkna och skriv ut cond(a). Blir konditionstalet stort är detta en varningssignal. Lös nu ekvationssystemet med backslashoperatorn. Kalla lösningen till (12) för z. Denna lösningsvektor z skall ha nfack-1 komponenter som motsvarar stödmomenten M i i upplagen i = 1, 2,..., N 1. Steg 5: Skapa vektorer med stödmoment. Skapa kolonnvektorerna MA och MB ur z och med hjälp av (6,7,8). Vektorerna MA och MB skall ha nfack komponenter och innehålla stödmomenten för samtliga fack. Steg 6: Beräkna stödreaktionerna. Skapa kolonnvektorerna RA och RB ur MA och MB med hjälp av (3) och (4) och Matlabs punktnotation. Vektorerna RA och RB skall ha nfack komponenter och innehålla stödreaktionerna för samtliga fack. Steg 7: Beräkna böjmoment längs balken. Gör en for-loop som går över varje frilagt fack. Gör sedan följande för varje fack: Lägg ut npl punkter med hjälp av linspace. Punkternas lägen skall mätas från fackets vänstra ändpunkt. Den första punkten skall ligga i fackets vänstra ändpunkt. Den sista punkten skall ligga i fackets högra ändpunkt. Beräkna böjmomenten i de npl punkterna med hjälp av (10). Kalla vektorn med böjmomenten i aktuellt fack för Mloc. Spara böjmomenten Mloc i en längre vektor Mbeam som, när for-loopen är avklarad, innehåller böjmomenten i samtliga punkter du lagt ut. Se upp så att vissa punkter (de frilagda fackens ändpunkter) inte kommer med två gånger. Antalet komponenter i Mbeam kommer till slut att vara nfack (npl- 1)+1. Steg 8: Beräkna max fältmoment längs balken. Utöka for-loopen i Steg 7 så att den också, för varje fack, beräknar det maximala fältmomentet om sådant förekommer. Gör så här: skriv en egendefinierad underfunktion myextreme som har vektorn med böjmomenten, Mloc, och antalet punkter, npl, som inparametrar och maximalt fältmoment som utparameter. Låt underfunktionen myextreme jämföra böjmomentet i varje inre punkt i aktuellt fack med böjmomentet i två angränsande punkter och sedan dra lämplig slutsats. Observera att det räcker att söka efter maximalt fältmoment i de punkter du lagt ut. Om maximalt fältmoment saknas i ett fack kan du sätta värdet på utparametern till noll. På detta sätt, och om du väljer npl någorlunda stort, får du en hygglig uppskattning av det maximala fältmomentet. Det verkliga extremvärdet ligger troligen i någon annan punkt. Anropa underfunktionen myextreme inuti for-loopen i Steg 7 så snart Mloc är beräknad. Spara information om de maximala fältmomenten i en vektor Mextreme av längd nfack. I vektorn Mextreme lägger du värdena på de maximala fältmomenten i varje fack (eller noll om maximalt fältmoment saknas). sida 6 av 10

Steg 9: Beräkna tvärkraft längs balken. Gör en ny for-loop som går över varje frilagt fack. Lägg på nytt ut npl punkter ekvidistant i varje fack. Beräkna tvärkraften i dessa punkter med hjälp av (11). Spara tvärkrafterna i en vektor Vbeam som, när for-loopen är avklarad, innehåller tvärkrafterna i nfack (npl-1)+1 olika punkter utmed hela balken. Steg 10: Beräkna positioner längs balken. Positionerna, för vilka böjmoment och tvärkrafter beräknats i Steg 7 och Steg 9, måste också sparas för plottningen senare. Gör detta med hjälp av en separat for-loop. Observera att positionerna för punkterna i facken i Steg 7 och Steg 9 mättes från fackens vänstra ändpunkter. De positioner som behövs för plottningen skall mätas från balkens vänstra ändpunkt. Kalla positionsvektorn för xbeam. Den skall innehålla nfack (npl-1)+1 olika punkter. 0.12 Bending moment diagram 0.1 0.08 0.06 bending moment 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 position Figur 6: Böjmomentdiagram för en balk med fem fack och ett visst lastfall. Maximalt fältmoment förekommer endast i fack 1, 2, och 4. Steg 11: Plotta resultat. Skriv en underfunktion myplot som plottar böjmoment och tvärkrafter längs balken. Se Figur 6 och Figur 7 för exempel på hur plottarna kan se ut. Kommandot axis ij kan vara användbart för att få axlarna på det sätt som du lärt dig i kursen i byggnadsmekanik. Steg 12: Tabulera resultat. Skriv en underfunktion mytable som tabulerar upplagskrafter i upplagen 0 till N, vänster och höger stödmoment för de frilagda facken 1 till N, vänster och höger stödreaktioner för de frilagda facsida 7 av 10

0.6 Shear force diagram 0.4 0.2 shear force 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 position Figur 7: Tvärkraftsdiagram för en balk och ett lastfall. ken 1 till N, maximalt fältmoment för de frilagda fack där detta förekommer, samt position och värde för största och minsta böjmoment längs hela balken. Steg 13: Kontroll. Kanske har du en liten bok som heter Byggnadskonstruktion: Tabell och formelsamling. Längst bak i denna bok finns tabeller över de kvantiteter du ombetts beräkna för fem olika enkla belastningsfall. Dessa tabeller är troligen från år 1965, även om de omarbetats typografiskt på senare tid. Jämför dina värden med tabellens. Stämmer de? Om dina värden skiljer sig mycket från tabellens har du gjort fel. Om de bara skiljer sig lite kan tabellen mycket väl vara felaktig. Hur många misstänkta fel hittar du i tabellen? Ett av tabellens lastfall kan beskrivas med underfunktionen myinit, se Steg 2, som function [L,E,I,q,nfack,npl]=myinit nfack=5; npl=1000; L=[ 1 1 1 1 1] ; E=[ 1 1 1 1 1] ; I=[ 1 1 1 1 1] ; q=[-1-1 0-1 0] ; Böjmomenten och tvärkrafterna som uppkommer i detta lastfall visas i Figur 6 och Figur 7. Testa detta lastfall. sida 8 av 10

α 3 L 3 α 4 L 4 α 1 L 1 P 1 α 2 L 2 P 2 P 3 P 4 α 5 L 5 P 5 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 E 1, I 1 E 2, I 2 E 3, I 3 E 4, I 4 E 5, I 5 L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 Figur 8: Fritt upplagd balk med jämnt utbredda laster och punktlaster över 5 fack. Överkurs: Punktlaster. Antag nu att vi är intresserade av att beräkna böjmoment och tvärkrafter i en balk som vilar på flera upplag och som lastas med både jämnt utbredda laster q i och punklaster P i. Det visar sig vara ganska enkelt att modifiera det program du redan skrivit så att det även klarar dylika lastfall. Den geometri och de laster du skall utgå ifrån beskrivs i Figur 8. Punktlasten P i på fack i angriper i en punkt som befinner sig på avståndet α i L i från fackets vänstra ändpunkt. Koefficienterna α i är tal mellan 0 och 1. Det du behöver göra är i korta drag följande: Modifiera funktionerna myinit och mycheck så att de även läser in och kontrollerar vektorerna P och alpha. Modifiera ekvationerna (1,2,3,4,10,11) så att de inkluderar en punktlast P. Uttryck för stödvinklar och reaktioner hos en fritt upplagd balk med punktlast bör du enkelt kunna hitta i någon tabell. Addera sedan dessa uttryck till de ni redan har för utbredd last och moment. Uttryck för böjmoment och tvärkrafter kan du härleda själv. Hitta ett nytt ekvationssystem i stil med (12). Det visar sig att om man gör rätt så blir det nya ekvationssystemet mycket likt det gamla. Endast högerledet ändrar sig något. Modifiera programraderna som beräknar stödreaktioner, böjmoment, och tvärkrafter. Som kontroll kan du använda lastfallet på nästa sida sida 9 av 10

1200 Bending moment diagram 1000 800 600 bending moment [Nm] 400 200 0 200 400 600 800 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 position [m] Figur 9: Böjmomentdiagram för balken och lastfallet som beskrivs i överkursuppgiften. function [L,E,I,q,P,alpha,nfack,npl]=myinit nfack=5; npl=1000; L=[ 1.2 2.5 3.6 0.8 2.6 ] ; E=[ 2.1e11 0.7e11 0.1e11 1.25e11 2.5e9 ] ; I=[ 1.338e-6 19.55e-6 74.36e-6 1.338e-5 6.156e-5] ; q=[-1e3-2e3 0-3e3-2.3e2 ] ; P=[-1e3 0-2e3 0 0 ] ; alpha=[0.5 0.5 0.4444444 0.5 0.5 ] ; Böjmomentdiagrammet bör likna det i Figur 9. sida 10 av 10