Lokala undersökningar

Relevanta dokument
Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

n : R vara en reell funktion av n variabler och P 0 en punkt i funktionens definitionsområde D.

5 Lokala och globala extremvärden

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Optimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Sätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

Tentan , lösningar

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Optimering med bivillkor

Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kap Implicit givna funktioner

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1625 Envariabelanalys

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

Teori för flervariabelsanalys

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

SF1626 Flervariabelanalys

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

MATLAB Laboration problem med lokala extremvärden

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

0 annan metod måste tillämpas **************************************************************** vara en stationär punkt dvs f x

4 McLaurin- och Taylorpolynom

Tentamen: Lösningsförslag

Typuppgifter på TATA69

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Dagens ämnen. Entydighet hos Taylor- och Maclaurinpolynom

Funktionsstudier med derivata

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= 0 genom att införa de nya

MMA127 Differential och integralkalkyl II

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

Envariabelanalys 2, Föreläsning 4

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Matlab-uppgift 3 i Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Flervariabelanalys. Problemsamling. December Matematiska institutionen vid Linköpings universitet

Flervariabelanalys Antekningar till föreläsningar. V. G. Tkachev, Linköping University, Sweden address:

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

Kontrollskrivning 1A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

SF1625 Envariabelanalys

Analys av stationära punkter

2x ex dx. 0 = ln3 e

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

6 Derivata och grafer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Kap Dubbelintegraler.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Optimering med bivillkor

Kapitel Gränsvärden: inledande exempel. Example 2.1. Tänkpåattdubehöverskissautseendetfört.ex.funktionenf(x,y) = xy. kx 2 x 2 +k 2 x 2 = k

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

Transkript:

Kapitel 6 Lokala undersökningar 6.. Lokala extrempunkter: nödvändiga villkor Definition 6.. Låt f = f(x) vara en funktion med definitionsmängd D R n. f sägs att ha ett lokalt maximum i en punkt a D om det finns δ > 0 sådant att f(x) f(a) för alla x D och x a < δ. Punkten a kallas en lokal maximipumkt för f och funktionsvärde f(a) kallas ett lokalt maximivärde. Om dessutom f(x) < f(a) då x a talar vi om en sträng lokal maximipunkt och ett strängt lokalt maximivärde. På motsvarande sätt definieras n (sträng) lokal minimipunkt och ett (strängt) lokalt minimivärde. Lokala maximi- och minimipunkter kallas för lokala extrempunkter. Exempel 6.. Undersök följande funktioner kring (0, 0): a) f(x,y) = + x +y 2 y 4, b) g(x,y) = 2+(2x y) 2 xy. Lösning. a) Observera att f inte är differentierbar i origo (p.g.a. absolutbelopet). Vi kan studera hur f beter sig längs varje koordinataxel: f(x,0) = + x = f(0,0), för alla x f(0,y) = +y 2 ( y 2 ) = f(0,0) för y sådana att y <. Vi gissar att (0,0) är en minimipunkt. Det stämmer eftersom för alla punkter (x,y) nära origo gäller att f(x,y) f(0,0) = f(x,y) = x +y 2 ( y 2 ) > 0 för (x,y) (0,0) och max x, y } < d.v.s. (0, 0) är sträng lokal minimipunkt. b) Om vi undersöker den andra funktioner med samma metod så får vi 0 5 0 0.5 0 0.5 x y f(x,0) = 2+4x 2 > 2 = f(0,0), för alla x 0 f(0,y) = 2+y 2 > 2 = f(0,0) för alla y 0 däremot f(x,2x) = 2 2x 2 < 2 för alla x 0 Det betyder att (0, 0) är ingen extrempunkt (en saddelpunkt) 25

26 6. Lokala undersökningar En viktig observation: det räcker inte med att gå längs enstaka kurvor för att bevisa existens av lokala max/min, däremot det kan räcka fär att MOTbevisa. Sats 9. Om funktionen f(x) har lokalt extremvärde i en inre punkt a i definitionsmängden och om f är partiellt derivarbar i a så är f x i (a) = 0 för alla i. Med andra ord, a är en extrempunkt f(a) = 0. Bevis. Låt n = 2 och låt (a,b) vara ett lokalt extrempunkt, säg ett lokalt maximum. Betrakta funktionen av en variabel g : x f(x,b). Så gäller det att g(x) har ett lokalt maximum i a, alltså g (a) = 0. Således f x(a,b) = g (a) = 0. Alltså f x(a,b) = f y(a,b) = 0. Definition 6.2. En punkt x D f i vilken gradient f(x) = 0 kallas en stationär punkt. a är en extrempunkt a är en stationär punkt. Exempel 6.2. Låt f(x,y) = 2 3 x3 x 2 2y 2 +4xy. De stationära punkterna fås ur f x = 2x 2 2x+4y = 0 f y = 4y +4x = 0 2x(x+) = 0 x = y (0,0) eller (, ) De stationära punkterna är således (0, 0) eller (, ). 6.2. Taylors formel Om f(x,y) är differentierbar i (a,b) så gäller det att f(a+h,b+k) = f(a,b)+f x(a,b)h+f y(a,b)k + h 2 +k 2 ω(h,k) = f(a) h+ h ω(h) med lim ω(h) = 0, h (0,0) Sats 0. Låt f(x,y) C 3 (D) i den öppna mängden D R 2 och att a = (a,b) D. Då är f(a+h) = f(a)+ f(a) h+ 2 ht Hessf(a)h+O( h 3 ), där f Hessf(a) = xx(a) f xy(a) f xy(a) f yy (a) Alternativt, gäller det en Taylorsutveckling av f kring a: är Hessianen av f i a f(a+h) = f(a)+ f x(a)h+f y(a)k }} approximationen av :a ordningen xx(a)h 2 +2f xy(a)hk +f yy(a)k 2 ) +(h 2 +k 2 ) 3 2B(h,k), }}}} approximationen av andra ordningen=q a(h) restterm + 2 (f där B(h,k) är en begränsad funktion i en omgivning av origo.

6.2. Taylors formel 27 Bevis. Idé: betrakta funktionen F(t) = f(a+th,b+tk) av en variabel t, 0 t så att F C 3 och således Maclaurins formel ger för t = : F(t) = F(0)+F (0) + F (0) 2! där θ ]0,[. Vi får F(0) = f(a,b) och och med hjälp av kedjeregeln: 2 + F (θ) 3! 3 F (0) = f x(a,b)h+f y(a,b)k F (0) = f xx(a,b)h 2 +2f xy(a,b)hk +f yy(a,b)k 2 F (θ) = summa av termer 3! i!(3 i)! f x i y 3 i h i k 3 i som kan uppsakatas med B (h 2 +k 2 ) 3/2 Exempel 6.2 (forts.) Vi utvecklar f = 2 3 x3 x 2 2y 2 +4xy kring (0,0). Partiella derivatorna i origo: f x = 2x 2 2x+4y f x(0,0) = 0 f y = 4x 4y f y(0,0) = 0 f xx = 4x 2 f xx(0,0) = 2 f xy = 4 f xy(0,0) = 4 f yy = 4 f yy(0,0) = 4, alltså 2 4 Hessf(a) = 4 4 Q (0,0) (h) = 2h 2 +8hk 4y 2 Således f(h,k) = 2h 2 +8hk 4y 2 +O( h }} 3 ) 2 Qa(h) Exempel 6.3. Använd kända Maclaurinutvecklingar från envariabelanalysen för att bestämma Maclaurinutvecklingar av ordning 2 med rest i ordoform till f(x,y) = sin(x+y)ln(+x y). Tips: använd polära koordinater för att uppskatta restermer. T.ex. (x+y) 3 = ρ 3 (cosθ +sinθ) 3 = O(ρ 3 ), }} begränsad sin(x+y) = x+y +O((x+y) 3 ) = x+y +O(ρ 3 ), ln(+x y) = (x y)+ 2 (x y)2 +O((x y) 3 ) = x y + 2 x2 xy + 2 y2 +O(ρ 3 ) f(x,y) = (x+y +O(ρ 3 )) (x y + 2 x2 xy + 2 y2 +O(ρ 3 )) = x 2 y 2 +O(ρ 3 ). Observera att alla tredje ordningens stermer sådana som x 3,x 2 y etc har formen O(ρ 3 ). T.ex. x 2 y = ρ 3 cos } 2 θsinθ} = O(ρ 3 ) begränsad

28 6. Lokala undersökningar 6.3. Lokala extrempunkter: tillräckliga villkor Antag att (a,b) är en stationär punkt, d.v.s. f x(a,b) = f y(a,b) = 0 första ordningens termer i Taylorsutveckling kring en stationär punkt försvinner: f(a+h,b+k) f(a,b) = 2 Q (a,b)(h,k)+(h 2 +k 2 ) 3 2B(h,k) 2 (f xx(a,b)h 2 +2f xy(a,b)hk +f yy(a,b)k 2 ) Sats. Låt f vara av klass C 3 och (a,b) en stationär punkt till f. Så gäller det fyra följande alternativ: () Q(h,k) är positivt definit, d.v.s. Q(h,k) > 0 för alla (h,k) (0,0) ett strängt lokalt minimum i (a,b). (2) Q(h,k) är negativt definit, d.v.s. Q(h,k) < 0 för alla (h,k) (0,0) ett strängt lokalt maximum i (a,b). (3) Q(h,k) är indefinit, d.v.s. Q(h,k) > 0 antar såväl positive som negativa värden. Då är (a,b) ingen extrempunkt. Man talar i stället om en sadelpunkt i (a,b). (4) Q(h,k) är positivt (eller negativt) semidefinit, d.v.s. Q(h,k) 0 (resp. Q(h,k) 0) och Q(h,k) = 0 för något (h,k) (0,0). I detta undantagsfall kan man inte använda Q för att dra slutsatser om karaktären av den stationära punkten (a, b). För n 3 gäller motsvarande alternativen. Exempel 6.2 (forts.) Vi undersöker f = 2 3 x3 x 2 2y 2 +4xy (0,0). Vi har sett att Q (0,0) (h,k) = 2h 2 +8hk 4y 2 = 2(h 2k) 2 +4k 2, alltsåärq (0,0) (h,k)enindefinit quadratisk form.alternativtkanq (0,0) (h,k)undersökasm.h.a.spektralteorin: 2 λ 4 det = 0 λ 2 λ = 3 7 < 0 +6λ 8 4 4 λ λ = 3+ 7 > 0 Exempel 6.4. Bestäm alla lokala maximi- och minimipunkter för f(x,y,z) = 6xy +6xz +3y 2 3z 2 x 3 Lösning. För att hitta stationära punkter sätter vi gradienten av f till noll: f x = 3x 2 +6y +6z = 0 y = x f y = 6x 6y = 0 z = x f z = 6x 6z = 0 x 2 = 4x Alltså har vi tvåstationära punkter: A = (0,0,0) och B = (4,4,4). Andraderivatorna är f xx = 6x, f yy = f zz = 6, f yz = 0 och f xy = f xz = 6 vilket ger de kvadratiska formerna 6 Q A(h,k,l) = k 2 l 2 +2hk +2hl = (k 2 2hk +l 2 2hl) = ((k h) 2 h 2 +l 2 +2hl) = (k h) 2 (l h) 2 +2h 2 (indefinit ty positiv för (h,k,l) = (,,) och negativ för (h,k,l) = (0,,0), så origo är en sadelpunkt), och 6 Q B(h,k,l) = 4h 2 k 2 l 2 +2hk +2hl = ((k h) 2 +3h 2 +l 2 2hl) = ((k h) 2 +(l h) 2 +2h 2 ) = (k h) 2 (l h) 2 2h 2

6.3. Lokala extrempunkter: tillräckliga villkor 29 (negativt definit, så f(4,4,4) = 28 är ett lokalt maximum). Se även Hans Lundmark diskussion på TATA69 här: http://courses.mai.liu.se/gu/tata69/m/204/tata69-exempel-med-mera-ht204.pdf