BERÄKNINGSPROGRAM FÖR TAKSTOLAR Jämförelse mellan förskjutningsmetoden och FEM

AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ BERÄKNINGSPROGRAM FÖR TAKSTOLAR Jämförelse mellan förskjutningsmetoden och FEM Joakim Mårtensson Juni 2012 Examensarbete/uppsats/15hp Konstruktion/modellering Byggnadsingenjörsprogrammet Examinator: Thomas Carlsson Handledare: Kjell Westberg

Förord Idag har datorn tagit en stor plats i människors liv och inte minst sagt konstruktörens. Det finns många programvaror för att underlätta och framför allt tidsförkorta beräkningar som förr var en omöjlighet, en ren fantasi. En problematik jag anser uppstått är att användare av dessa program inte längre behöver kunna de bakomliggande teorierna och därför förlorar förståelsen för dess begränsningar. Vill här tacka min handledare Kjell Westberg och examinator Thomas Carlsson för de mycket givande mötena med handledning och den tid de har lagt ner i att förverkliga detta examensarbete. Även stort tack till Byggteknik AB som har tillhandahållit dator och program för denna studie, stort tack! Utan barnvakter hade detta examensarbete troligen inte förverkligats och vill här även tack alla er som på ett eller annat sätt hjälpt till att barnvakta Olivia. Sist men inte minst vill jag tacka min fru Mia för det tålamod hon haft och det stöd hon gett mig under detta arbete. Från djupet av mitt hjärta, ett stort tack! Joakim Mårtensson 2

Sammanfattning Genom att modellera bärverk med förskjutningsmetoden och programmera beräkningsprogram för takstolar i MS Excel har här visats att man kan uppnå motsvarande resultat som vanligt använda program i byggbranschen, baserade på förskjutningsmetoden. Resultaten visar på skillnader mellan förskjutningsmetoden och FEM. Det har dock inte framkommit om skillnaderna beror på grundläggande teorier i modellerna eller olika materialvärden i indata. Abstract By learning how to model a structure by the direct stiffness method and programing a program for roof trusses in MS Excel have here by shown that you can achieve corresponding results as programs usually used in the building industry, based on the direct stiffness method. Results show differences between the direct stiffness method and FEM. It has not shown if the differences depends on fundamental theories in the models or disparities in material input. 3

Innehåll 1. INLEDNING 6 2. BERÄKNINGSMODELLEN 7 2.1. Övergripande beräkningssteg 9 2.2. Modelleringsprocessen med förskjutningsmetoden 10 3. INDATA 15 3.1. Geometrier 15 3.2. Laster 17 3.3. Materialegenskaper 20 4. RESULTAT AV BERÄKNINGAR 21 4.1. Befintlig takstol 21 4.2. Takstolsförslag 1 22 4.3. Takstolsförslag 2 23 4.4. Takstolsförslag 3 24 5. DISKUSSION 25 Skillnader i resultat? 25 6. SLUTSATS 26 7. REFERENSER 27 BILAGA A STYVHETSKOEFFICIENTER FÖR FRIHETSGRADER 28 BILAGA B - KOORDINATER FÖR GEOMETRIER 33 BILAGA C - FRAMRÄKNING AV LASTER 36 BILAGA D - RESULTAT FRÅN PROGRAM 40 BILAGA E RESULTAT AV TESTER PÅ VIRKE 54 4

Beteckningar som används är en blandning från de två böckerna [2, 7]. Dessa är grundläggande vid modelleringen. Beteckningar som används i beräkningsmodellen är följande; k i = element i;s lokala styvhetsmatris G i = element i;s transformeringsmatris G i t = element i;s transformeringsmatris transponat K i = element i;s globala styvhetsmatris H i = element i;s helhetsmatris H i t = element i;s helhetsmatris transponat S i = del av strukturens styvhetsmatris S = strukturens styvhetsmatris d = förskjutningar i strukturens koordinater v = förskjutningar i globala koordinater (oftast samma som ovan) u = förskjutningar i lokala koordinater q i = element i;s lokala kraftvektor Q i = element i;s globala kraftvektor F i = del av strukturens kraftvektor F = strukturens kraftvektor q ni = element i;s lokala nodlastvektor Q ni = element i;s globala nodlastvektor F ni = del av strukturens nodlastvektor F n = strukturens nodlastvektor q eni = element i;s lokala ekvivalenta nodlastvektor Q eni = element i;s globala ekvivalenta nodlastvektor F eni = del av strukturens ekvivalenta nodlastvektor F en = strukturens ekvivalenta nodlastvektor q ri = element i;s lokala reaktionsvektor Q ri = element i;s globala reaktionsvektor F ri = del av strukturens reaktionsvektor F r = strukturens reaktionsvektor 5

1. INLEDNING Är det möjligt att programmera ett eget beräkningsprogram i MS Excel för konstruktionsberäkningar av takstolar? Hur står sig denna beräkningsmodell i jämförelse med de i branschen vanligen använda beräkningsprogram? Vad blir skillnaden i resultat mellan de olika beräkningarna? Med utgångspunkt från en specifik takstolskonstruktion (som ger de begränsande geometrierna) programmeras ett eget beräkningsprogram i MS Excel. Beräkningsprogrammen baseras på förskjutningsmetoden och framräknade resultat jämförs mot två beräkningsprogram vanligt använda i branschen (baserade på såväl förskjutningsmetoden som FEM). Då syftet är att undersöka om det går att göra ett eget beräkningsprogram och inte särskilja bra och dåliga program i branschen namnges inte dessa program. Programmen namnges istället som Program 1 (baserad på förskjutningsmetoden) och Program 2 (baserad på FEM). Takstolskonstruktionen som modelleras finns i ett äldre kapell (1907) beläget i Bomhus, Gävle. Det finns planer på att bygga om takstolarna för att kunna använda utrymmet på vinden till att förvara saker, som ett förråd. En förundersökning av takstolarna görs och mått mäts upp mellan förbandens centrum, där noder/leder placerades i beräkningsmodellen. Även virkesdimensioner mäts upp och noteras. En av de befintliga takstolarna ritas sen upp samt tre förslag (se s.11-15). De nya förslagen belastas utöver de ursprungliga lasterna med en lagerlast. Beräkningsmodellen programmeras i MS Excel för den befintliga takstolen och de tre förslagen, det bästa förslaget väljs slutligen fram genom jämförelse av nodernas förskjutningar. Resultat från dessa fyra beräkningar i MS Excel jämförs sedan med de branschspecifika beräkningsprogrammen och resultaten utvärderas. Vid redovisning av resultaten (se s.21) avgränsas dessa till vissa förskjutningar. Redovisning av krafter och spänningar uteblir då fokus i arbetet ligger på förskjutningar som uppstår i takstolen. Ingen hänsyn har tagits till användarvänligheter av programmen då fokus ligger i framtagna resultat. Till ägaren av dessa takstolar bör vidare utredning utföras innan ombyggnad kan ske, då denna rapport inte innehåller en projektering. Målgruppen för detta examensarbete är konstruktörer och högskoleutbildade med förkunskaper i linjäralgebra och konstruktionsteknik. 6

2. BERÄKNINGSMODELLEN Med en beräkningsmodell simuleras ett verkligt fenomen med matematiska formuleringar. Hur nära denna modell behöver spegla verkligheten bestäms av beräkningsmodellens användare och de data som söks. Modeller brukar bygga på förenklingar och tydliga avgränsningar, vilket gör att resultaten blir en approximation av verkligheten. Detta vill här starkt klargöras. Avgränsningar görs också för att inte modellen skall bli mer avancerad än de angivna data som söks. All metodik och teori bakom denna beräkningsmodell baseras på [2, 7]. Lite historia Det är lätt att förvirra sig i utvecklingshistorien bakom beräkningsmodellen då den har flera namn beroende på vilken tid i utvecklingen den ligger. Dock kan denna förvirring klargöras genom bland annat [5]. Allt började i flygindustrin och hur man försökte lösa problem med dynamiska effekter på flygplansvingar, flutter. Det var på den tiden tidsödande och lätt att räkna fel på de använda aeroelastiska ekvationerna. Sökande efter ett lättare och snabbare sätt att lösa dessa ekvationer slutade i ett, för den tiden, nyutvecklat matematiskt språk, matriser och vektoralgebra. Utvecklandet av detta enkla och kompakta matematiska språk grundlades bland annat av Arthur Cayley (1821 1895), Oliver Heaviside (1850 1925) och Josiah Willard Gibbs (1839-1903) i mitten av 1800-talet [8, 10, 13]. Mycket av vidareutvecklingen av beräkningsmodellen är tack vare flygindustrin och deras dynamiska problem på flygplan. Ett stort steg i utvecklingen skedde 1959 då M. J. Turner föreslog i sin publikation [14] att användning av förskjutningsmetoden med datorer effektivt kan lösa de tidsödande beräkningarna. Denna implementering förklaras helt i hans efterkommande artikel [15]. Ett citat från [5, s.4] nedan, klargör en del om de vanligt använda termerna och möjliggör en svensk koppling till modellen. The terms Stiffness Method and Flexibility Method are more diffuse names for Displacement and Force Method, respectivily. Förskjutningsmetoden är alltså ett annat namn för styvhetsmetoden i engelsk litteratur och grunden till denna beräkningsmodell. Denna styvhetsmetod utvecklades in sin tur till matrismetoden, där man formulerade strukturers styvheter i matriser. Genom denna typ av matrisformuleringar kunde man senare implementera FEM. I denna beräkningsmodell simuleras alla förband som fasta. Det innebär att förbandens eftergivlighet i verkligheten inte ingår i beräkningsmodellen. Förbandet i nocken visas i Figur 1 nedan. Utöver de spikar och dymlingen som figuren visar, är virkesdelarna bitvis skarvade i varandra. Spikarna är dessutom helt genomslagna och bockade på baksidan, som ses i Figur 2. Även övriga förband har skarvats i varandra med dymling och genomgående spikar som bockats på baksidan, se Figur 3 och Figur 4. Detta är underlaget till att simulera förbanden som fasta istället för friktionsfria leder. Figur 1 Nockförband, framsida Figur 2 Nockförband, baksida 7

Figur 3 Övriga förband, framsida Figur 4 Övriga förband, baksida Beräkningsmodellen begränsas inte av proportionalitetsgränsen då de antagna belastningarna hålls inom det elastiska området (dvs. under proportionalitetsgränsen). Den tar inte heller hänsyn till stabilitet av takkonstruktionen (dvs. endast plant tillstånd) eller vart krafter från upplagen tar vägen (hur väggarna klara av de extra lasterna). Takstolens upplag är inte undersökta på grund av svåråtkomlighet, dessa simuleras som ett fast lager till vänster och ett rullager till höger (som en fritt upplagd balk). För att lösa ett statiskt obestämt bärverk som en takstol, kan antingen kraftmetoden (force/flexibility method) eller förskjutningsmetod (displacement/stiffness method) användas. Val av metod baseras sig på om krafter eller förskjutningar är övertaligt obekanta. I denna beräkningsmodell används uträknade laster enligt [3] och förskjutningar är här de övertaligt obekanta. Vid användning av kraftmetoden delas det statiskt obestämda bärverket in i flera statiskt bestämda delar genom att man inför hjälpbärverk. Vid detta sätt att analysera en struktur krävs en del kunskap av konstruktören för att införa dessa hjälpbärverk. Det systemet är svårt att implementera i ett beräkningsprogram och ett bättre alternativ är förskjutningsmetoden. Denna metod är bättre anpassad för programmering [9, s.469]. Därför väljs förskjutningsmetoden i detta arbete. Genom att se formuleringar av kraftmetoden och förskjutningsmetoden kan man se att de är varandras inverser. Då en struktur delas in i element som har konstanta värden för L, A, I, E ger detta så kallade styvhetstal för varje element i strukturen. Värden för dessa styvhetsal anger hur stor kraft som behövs för att ge en enhets förskjutning i en bestämd frihetsgrads riktning. Ett annat sätt att se hela stukturens uppbyggnad är genom ett system av fjädrar med olika styvheter. Dessa fjädrar ger bestämda lastvägar i systemet beroende på lastens intensitet och angreppspunkt. Grunden för beräkningsmodellen är att samla ihop alla dessa fjädrar i bärverket till en stor styvhetsmatris, S. Fjädrarna representeras av styvhetsmatriser för varje element. Med hjälp av bärverkets upplagsvillkor och de laster som belastar kan förskjutningar räknas ut, dessa lagras i en förskjutningsvektor, d. Genom att multiplicera strukturens styvhetsmatris, S, med den framräknade förskjutningsvektorn (Ekv.1) fås strukturens kraftvektor fram. (Ekv.1) Kraftvektorn i sig består av tre delar, nodlaster, ekvivalenta nodlaster och upplagsreaktioner/krafter. De är krafter strukturens element utsätts för. Man kan sätta in (Ekv.2) i (Ekv.1) och få (Ekv.3) nedan. (Ekv.2) (Ekv.3) Den befintliga takstolen samt de tre föreslagna takstolarna simuleras med denna beräkningsmodell. 8

2.1. Övergripande beräkningssteg Elementens lokala styvheter i dess frihetsgrader formuleras till en styvhetsmatris Transformationsmatriser mellan lokala och globala koordinater formuleras för elementen (Steg.1) Elementens lokala styvhetsmatriser räknas om till globala Helhetsmatriser formuleras för att expandera de globala styvhetsmatriserna (Steg.2) De globala styvhetsmatriserna expanderas till delar av strukturmatrisen (Steg.3) Alla strukturmatrisdelar summeras i en styvhetsmatris för hela strukturen Lokala nodlastvektorer formuleras för varje element (Steg.4) (Steg.5) Lokala nodlaster transformeras till globala nodlastvektorer Globala nodlastvektorer expanderas till delar av strukturens nodlastvektor (Steg.6) Strukturens nodlastvektorsdelar summeras till strukturens nodlastvektor Låsning av frihetsgrader för simulering av upplag Reducering av strukturens styvhetsmatris med avseende på upplagsvillkor Invertering av strukturens reducerade styvhetsmatris (Steg.7) Framräkning av strukturens förskjutningar (Steg.8) Multiplicering av den ursprungliga strukturens styvhetsmatris med förskjutningsvektorn och subtrahera nodlasterna så fås strukturens reaktionsvektor (Steg.9) (Steg.10) (Steg.11) Framräknade globala förskjutningar tranformeras till lokala Framräknade lokala förskjutningar ger lokala elementkrafter Lokala elementkraftvektorer transformeras till globala (Steg.12) Alla globala elementkraftvektorer summeras till strukturens kraftvektor (Steg.13) Strukturens reaktionsvektor räknas fram Genom att jämföra den tidigare framräknade reaktionsvektorn (Steg.8) med den senare (Steg.13) kan kontroll av kraftresultaten för elementen (i lokala koordinater) göras. Slutligen bör kontrolleras att jämvikt stämmer,, och 9

2.2. Modelleringsprocessen med förskjutningsmetoden 1. Uppdelning av bärverket i element samt införande av noder (leder) och numrering av dessa. Noderna får frihetsgrader som representerar hur bärverket kan agera. Figur 5 Befintlig takstol med element och nod nummer Effektivisering av beräkningen kan göras genom att välja en bra numreringsordning. [11]. Då beräkningsmodellen endast räknar i två dimensioner knyts varje nod till X och Y koordinater, för beräkningsmodellernas koordinater se BILAGA B. Varje element knyts an till intilliggande noder. 2. Elementstyvhetsmatriser (k) i lokala koordinater formuleras för varje element. Styvheter som elementen har beror på den kraft som krävs för att flytta noden en enhet en frihetsgrads riktning. Det finns flera olika typer av element som används vid en modellering. Här används ett stång- och balkelement att modellera med. Dessa två grundelement kombineras till ett nytt element som utöver stångkrafter (normalkrafter) även kan ta upp tvärkrafter och moment. Det nya balkelementet har sex frihetsgrader [2, s.100], tre frihetsgrader per nod och en styvhetskoefficient för varje frihetsgrads riktning (x, y och z). Styvhetskoefficienterna samlas i en styvhetsmatris. Denna matris blir 6x6 (lika stor som antalet frihetsgrader). En redovisning hur dessa styvhetskoefficienter räknats fram finns i BILAGA A. Styvhetskoefficienterna sätts in i elementets styvhetsmatris enligt (Ekv.4) nedan. K lokal = (Ekv.4) [ ] 10

De framräknade styvhetskoefficienterna sätts in i styvhetsmatrisen och bildar matrisen nedan. K lokal = (Ekv.5) [ ] Varje rad representerar den kraft som uppstår i den givna frihetsgraden då elementet förskjuts i radens olika frihetsgrader. Exempelvis är rad 1 i styvhetsmatrisen den kraften som uppstår i den första frihetsgraden (horisontala rörelserna i första noden). Här påverkar endast första och fjärde kolumnen denna förskjutning då övriga kolumner är nollor i raden. I detta exempel är det en normalkraft som uppstår då den första och den fjärde frihetsgraden förskjuts. Förskjutningar i övriga frihetsgrader som är 0 bidrar inte till någon normalkraft i den första frihetsgraden. I styvhetsmatrisen är rad 1 och 4 snarlika, även kolumn 1 och 4. Dessa representerar stångdelen i elementet. Rad 2,3,5 och 6 samt kolumn 2,3,5 och 6 representerar i balkdelen i elementet. Dessa påverkar inte varandra, då det räknas med små förskjutningar [2, s.100]. Varje kolumn representerar den kraft som behövs för att flytta kolumnens frihetsgrad en enhet [7, s.86]. 3. Transformeringsmatriser för varje element skapas med hjälp av riktningskoefficienter, hur dessa räknas fram kan ses nedan (Ekv.6), (Ekv.7). (Ekv.6) (Ekv.7) X b är x-koordinat i början och X e är i slutet av elementet, Y b är y-koordinat i början och Y e är i slutet. L är längden på elementet. Vid beräkning med vektorer behövs inte cos och sin inverteras, då beräkningarna sker med skalärprodukter [2, s.57][7, s.78][12, s.127]. Riktningskoefficienterna samlas i transformationsmatrisen i given ordning (Ekv.8). För mer information om hur transformationsmatriserna fungerar se [2, s.57]. G = (Ekv.8) [ ] 4. Transformering av lokala styvhetsmatriser (k) till globala styvhetsmatriser (K) (Steg.1). 11

5. Helhetsmatriser (H i ) skapas för varje element, dessa anger vart i strukturen de placeras. I exemplet nedan placeras elementet mellan nod 2, frihetsgrad (rad) 4,5,6 och nod 4, frihetsgrad 10,11 och 12. (Ekv.9) [ ] 6. De globala styvhetsmatriserna expanderas till delar (S i ) (Steg.2) av den hela strukturmatrisen (S). X = [ ] [ ] (Ekv.10) [ ] 7. Alla delar (S i ) av den hela strukturmatrisen summeras till en hel strukturmatris (S) (Steg.3). 8. Formulering av lokala lastvektorer (q i ). I [2] finns 3 olika typer av vektorer för laster. Nodlastvektorn (F n ), är alla laster som appliceras precis i en nod, som punktlast eller punktmoment. De utbredda laster som ett element utsätts för räknas om till krafter som påverkar noderna, de summeras i den ekvivalenta nodlastvektorn (F en ). Reaktions/upplagsvektor (F r ) är som det låter, vektorn som lagrar reaktioner som uppstår i strukturen. 12

Laster som belastar noder måste teckenbestämmas för att eliminera fel. Vanligtvis är böjmoment positiva då de drar i underkant och trycks i överkant, det sättet att tänka fungerar inte på elementen. Om det tankesättet appliceras blir det fel på momenten i noderna. Här används samma teckenregler som [7] där värden är positiva då de är i positiva riktningen i koordinatsystemet och negativa i andra riktningen. Dessa teckenregler gäller även för förskjutningar. När det gäller rotationer (moment) är de moturs positiva och de medurs negativa. Detta gäller även vinkeln (radianer) som ett element vrids runt en nod. Jag har i modellen räknat ut lasterna som fix end forces, fastlåsta, som är de krafter/reaktioner som vill hålla tillbaka strukturen mot de laster som belastar. Genom att sen byta tecken på denna lastvektor så får man de ekvivalenta nodlasterna som belastar noderna. Lasterna som varje element belastas med räknas om till nodlaster och ställs upp i den lokala nodlastvektorn q ni. Då de flesta element är fast inspända i sina omgivande noder räknas lasterna som en balk fast inspänd i båda ändar. (ekvivalent nodlastvektor) [ ] 9. Transformering av lokala lastvektorer (q) till globala lastvektorer (Q) (Steg.4). 10. Alla globala lastvektorerna expanderas till delar av strukturens nodlastvektor (F ni ) (Steg.5). 11. Genom (Steg.6) summeras nodlastvektorerna till en strukturlastvektor (F n ) 12. Formulering av deformationsbegränsningar (upplagsvillkor) I denna beräkningsmodell låser man frihetsgraden i x- och y-led för det vänstra upplaget (fast lager) och bara y-led för det högre upplaget (rullager). 13. Beräkningen går ut på att lösa d = S F, då de flesta krafter är kända och endast vissa förskjutningar (upplagsvillkoren) måste styvhetsmatrisen inverteras och multiplicera med kraftvektorn. I detta läge går det ej att invertera strukturens styvhetsmatris då determinanten är 0. För att kunna lösa det problemet måste strukturmatrisen (S red ) och kraftvektorn (F red ) reduceras. Detta görs med avseende på upplagsvillkoren. Reduceringen innebär att alla de kolumner som skall multipliceras med 0 (upplagsvillkoret) kan strykas då deras värden blir 0. Lika så stryks hela raden för upplagsvillkoret då hela radens summa skall bli 0. En matris är ju egentligen ett beräkningssystem med ett antal ekvationer och en ekvation med bara nollor ger ingen information. 14. Nu inverteras den reducerade strukturmatrisen (S red -1 ) 15. Framräkning av deformationer genom matrismultiplicering av den reducerade och inverterade strukturmatrisen med den reducerade strukturlastvektorn (Steg.7) 13

16. Deformationerna belastar den ursprungliga strukturmatrisen (Steg.8) och reaktionsvektorn (F r ) fås genom att subtrahera kraftvektorn med nodlastvektorn (F n ). 17. Globala deformationer kan beräknas om till lokala deformationer (Steg.9). 18. Genom matrismultiplicering av de lokala styvhetsmatriserna med de lokala förskjutningarna fås de lokala kraftvektorerna fram för varje element (Steg.10). Dessa värden används vid en dimensionering av elementen. 19. De lokala kraftvektorerna transformeras till globala kraftvektorer (Steg.11). Denna del behöver egentligen inte göras då värden från de globala kraftvektorerna inte brukar användas [7] vid en dimensionering. För att kontrollera att beräkningarna av de lokala krafterna stämmer utförs denna del. Detta steg kan göras på två olika sätt, de resulterar i samma svar, för alternativ 2 se punkt 23. 20. Summering av alla globala kraftvektorerna (Steg.12) till en strukturkraftvektor. 21. Då strukturkraftvektorn subtraheras med strukturens nodlastvektor fås strukturens reaktionsvektor (igen). 22. Kontroll av beräkningen kan göras genom att verifiera att den framräknade reaktionsvektorn under punkt 16 är lika som den under punkt 21. Alternativ 2 till punkt 19,20 och 21 är att den lokala kraftvektorn subtraheras med den lokala nodlastvektorn och får den lokala reaktionsvektorn. Sen transformeras reaktionsvektorn från lokala till globala koordinater och summeras, detta ska ge samma resultat. 14

3. INDATA 3.1. Geometrier Då Program 2 räknar i 3 dimensioner har noderna i elementen 6 frihetsgrader och inte 3 som i övriga beräkningar. Detta gör att tre rörelsefriheter måste låsas i upplagen för att undvika problem i beräkningen. Listor på koordinater för alla noder och elementnummer för varje förslag återfinns i BILAGA B. För att se figurer med nod- och elementnummer se s.20-23. Figur 6 Geometri av Befintlig takstol 15

Figur 7 Geometri av Förslag 1 Figur 8 Geometri av Förslag 2 Figur 9 Geometri av Förslag 3 16

3.2. Laster Konstruktionsberäkningar utförs med brott- eller bruksgränslaster. Här används brottgränslaster, dessa räknas fram enligt [3] med nationella val gjorda enligt [1]. Takstolarna har fyra olika typer av laster, egentyngder, snö-, vind- samt nyttiglast (lagerlast). Dessa har alla olika reduceringsfaktorer (ψ 0 och ψ 2 ). Lasterna kan appliceras på olika nivåer, antingen i globala koordinater eller lokala. Om lasterna appliceras lokalt (L) eller globalt (G) redovisas i nedanstående tabeller. För att se hur laster räknats fram se BILAGA C. MS Excel Lastvärdena här är dimensionerande och framräknade med snö som huvudlast då detta gav de högsta lasterna i de olika lastkombinationerna. Laster räknas ut (se BILAGA C) och belastar var och en av elementen enligt Tabell 1 och Figur 10 nedan. Tabell 1 Dimensionerande laster för MS Excel N/m L1, Överram (vinkelrät, snö, vind & egentyngd inkl. takstol) (L) 3871 L2, Överram (parallellt, snö) (L) 2116 L3, G, ingående virkesdelar (L) 60 L4, Underram (sidor, egentyngder inkl takstol) (L) 1759 L5, Underram (mitten utan lagerlast, egentyngder inkl takstol) (L) 1779 L6, Lagergolv (sidor, egentyngder och lagerlast) (L) 3838 L7, Underram (mitten, egentyngder och lagerlast) (L) 5537 Figur 10 Laster med littera för MS Excel 17

Program 1 Här läggs de karakteristiska lasterna (Kar.) ut. Även egentyngder för de ingående virkesdelarna. Sen anges formler (Ekv.11) för valda lastkombinationer och de dimensionerande lasterna räknas ut av programmet. Egentyngder och vindlaster appliceras som lokala laster, medan snö och lagerlast appliceras som globala. Snölasten är här indelad i två komponenter en lokal och en global, då det här programmet inte gör det automatiskt. Vid beräkningar av förskjutningar då lastfallen delas upp, ändelse (2) i resultaten, används de dimensionerande lastvärdena (Dim.) i Tabell 2. Använd lastkombination; STR-B, 6.10b [γ d ((1,2 G kj,sup ) + (1,5 Q snö ) + (1,5 0,3 Q vind ) + (1,5 1,0 Q lagerlast ))] (Ekv.11) Tabell 2 Karakteristiska och dimensionerande laster för Program 1 Kar. (N/m) Dim. (N/m) L1, Överram (egentyngder inkl. takstol) (L) 480 576 L2, G, ingående virkesdelar (L) 50 60 L3, Underram (sidor, egentyngder inkl. takstol) (L) 1466 1759 L4, Underram (mitten, egentyngder inkl. takstol) (L) 1481 1777 L5, Lagergolv (sidor, egentyngder inkl. takstol) (L) 197 236,4 L6, Underram (mitten, egentyngder inkl. takstol) (L) 1613 1936 L7, Snölast (G) 2400 3600 L8, Vindlast (L) 852 383 L9, Lagerlast (G) 2400 3600 Figur 11 Laster med littera för Program 1 18

Program 2 Även här appliceras de karakteristiska lasterna men egentyngderna för de ingående virkesdelarna sköter programmet automatiskt genom dead loads. En annan skillnad är att snölasten inte delas in i två komponenter som för program 1. I program 2 anges formler (Ekv.12) för lastkombinationer som programmet själv räknar ut. Egentyngder och vindlasten appliceras som lokala laster, snö och lagerlast som globala. Använd lastkombination; STR-B, 6.10b [γ d ((1,2 G kj,sup ) + (1,5 Q snö ) + (1,5 0,3 Q vind ) + (1,5 1,0 Q lagerlast ))] (Ekv.12) Tabell 3 Karakteristiska laster för Program 2 N/m L1, Överram (egentyngder exkl. takstol) (L) 415 L2, Underram (sidor & mitten, egentyngder exkl. takstol) (L) 1416 L3, Lagergolv (sidor, egentyngder) (L) 132 L4, Underram (mitten, egentyngder) (L) 1548 L5, Snölast (G) 2400 L6, Vindlast (L) 852 L7, Lagerlast (G) 2400 Figur 12 Laster med littera för Program 2 19

3.3. Materialegenskaper Tester på virke från byggnaden med de befintliga takstolarna visar höga värden (se BILAGA E). För att kunna jämföra beräkningsmodellen i MS Excel med branschspecifika beräkningsprogram väljs dock C40 som ett representativt värde i beräkningarna. Detta för att undvika att göra ändringar i programmens materialdatabaser. I beräkningsmodellen tas materialvärden nedan från tabell i [6] och räknas fram enligt ekvationer från [4] (Ekv.13) och (Ekv.14). Vid beräkningar av deformationer kan styvhetsvärden för brottgränstillstånd (bärförmågeberäkningar) eller bruksgränstillstånd (deformationsberäkningar) användas. Här används styvhetsvärden för brottgränstillstånd. Karakteristisk styvhet för bärförmågeberäkningar; Karakteristisk styvhet för deformationsberäkningar; γ M = 1,3 (konstruktionsvirke) k def = 0,8 (klimatklass 2) 9 400 Mpa 14 000 Mpa Vid framräkning av elasticitetsmodulen E mean,fin framkommer det inte i [9, 2.3.2.2, (2.10)] om det är tänkt att deformationerna beräknas på hela lastkombinationen eller om kombinationen måste delas in och räknas per lastfall. Därför beräknas båda. Resultat från deformationer räknade per lastfall anges med ändelse -(2). MS Excel och Program 1, I dessa program anges värdet på elasticitetsmodulen till 7777 Mpa, genom att dividera den karakteristiska styvheten för deformationsberäkningar med 1,8 (Ekv.13) [9, (2.7)] Program 2, Den dimensionerande styvheten (E-modulen), beräknas enligt ekvation (Ekv.14). (Ekv.14) [9, (2.10)] enligt [11, Tabell A1.1] Materialvärden vid uträkning av deformationer per lastfall, ändelse -(2). Permanenta laster Snö laster Vind laster Lager laster = 5 222 Mpa = 8 103 Mpa = 9 400 Mpa = 8 537 Mpa 20

4. RESULTAT AV BERÄKNINGAR Resultaten av beräkningarna redovisas i figurer och tabeller nedan. Då tolkning av [9] inte klargör vilka materialvärden som bör användas redovisas resultat för båda fallen. Fall med ändelse -(2) är då deformationerna för varje enskilt lastfall summeras, övriga är för lastkombinationen. Deformationerna beräknas i brottgräns enligt [4]. Tester i program 2 (FEM) visar på att då strukturens element delas in i 4 delar fås samma resultat som vid 1 element. Dessa resultat redovisas dock inte här. Negativt värde innebär att förskjutningen sker i negativ riktning av det globala koordinatsystemet (dvs neråt i y-riktning eller vänster x-riktning). Positiva värden är då uppåt (y) eller höger (x). 4.1. Befintlig takstol Figur 13 Befintlig takstol med element och nodnummer Tabell 4 Reaktioner för befintlig takstol Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 35,916 35,903 Program 1 35,919 35,907 MS Excel (2) 35,916 35,903 Program 1 (2) 35,922 35,910 Program 2 36,086 36,098 Tabell 5 Förskjutningar för befintlig takstol Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -52,0-52,0-60,0-60,0-56,1 Nod 7 (mm, y-led) -30,3-30,3-34,5-34,5-35,6 Nod 14 (mm, y-led) -36,0-36,0-41,1-41,1-42,9 Nod 17 (mm, x-led) 35,9 35,9 41,0 41,0 36,2 21

4.2. Takstolsförslag 1 Figur 14 Takstolsförslag 1 med element och nodnummer Tabell 6 Reaktioner för takstolsförslag 1 Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 48,188 48,188 Program 1 48,192 48,192 MS Excel (2) 48,188 48,188 Program 1 (2) 48,192 48,192 Program 2 48,275 48,274 Tabell 7 Förskjutningar för takstolsförslag 1 Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -702,6-702,8-755,9-755,8-742,0 Nod 5 (mm, y-led) -325,7-325,9-350,1-350,1-402,5 Nod 7 (mm, y-led) -702,6-702,8-755,9-755,8-742,4 Nod 10 (mm, x-led) 470,0 470,1 505,4 505,3 470,9 22

4.3. Takstolsförslag 2 Figur 15 Takstolsförslag 2 med element och nodnummer Tabell 8 Reaktioner för takstolsförslag 2 Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 48,289 48,289 Program 1 48,319 48,318 MS Excel (2) 48,289 48,289 Program 1 (2) 48,318 48,318 Program 2 48,387 48,349 Tabell 9 Förskjutningar för takstolsförslag 2 Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -76,9-76,9-82,2-82,3-92,4 Nod 7 (mm, y-led) -46,4-46,5-49,5-49,6-61,2 Nod 10 (mm, y-led) -76,9-76,9-82,2-82,3-92,4 Nod 13 (mm, x-led) -62,3 62,3 66,5 66,6 68,5 23

4.4. Takstolsförslag 3 Figur 16 Takstolsförslag 3 element och nodnummer Tabell 10 Reaktioner för takstolsförslag 3 Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 48,374 48,374 Program 1 48,379 48,379 MS Excel (2) 48,374 48,374 Program 1 (2) 48,379 48,379 Program 2 48,574 48,587 Tabell 11 Förskjutningar för takstolsförslag 3 Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -35,4-35,4-37,7-37,7-39,2 Nod 9 (mm, y-led) -33,1-33,1-35,2-35,2-37,4 Nod 12 (mm, y-led) -35,4-35,4-37,7-37,7-39,8 Nod 16 (mm, x-led) 34,0 34,0 36,2 36,2 34,2 24

5. DISKUSSION Skillnader i resultat? Hur stora skillnaderna blev mellan de olika beräkningarna beror mycket på mellan vilka beräkningar och vilka takstolar man jämför. Resultaten visar klart och tydligt försumbara skillnaderna mellan beräkningsprogrammet i MS Excel och program 1. De större skillnaderna är således mellan dessa två och program 2. Detta kanske kan förklaras med att program 2 baseras på FEM och de övriga baseras på samma beräkningsmodell, förskjutningsmetoden. Här vill dock tilläggas att FEM utvecklades från förskjutningsmetoden. Skillnaderna mellan förskjutningsmetoden och FEM är så kallade veka och starka formuleringar av styvheten [11, s.64] där FEM använder sig av en vek formulering där man approximerat en andra ordningens differentialekvation till en första ordningen. Denna approximation kan möjligen ge förklaring till skillnaderna mellan beräkningsmodellerna. Skillnaderna i resultaten kan möjligtvis förklaras i hur man tolkar [4] och vilket ψ 2 värde man använder sig av vid framräkning av E mean,fin. Då man anger det slutliga värdet på elasticitetsmodulen i MS Excel och program 1 kan det förklara den försumbara skillnaden mellan resultaten. Program 2 är anpassad efter eurokoderna [3,4], här väljs material och klimatklass. Den slutliga elasticitetsmodulen beräknas enligt (Ekv.14), denna ekvation är samma som anges i programtillverkarens Theory book. Men vilket ψ 2 -värde programmet använder sig av i slutändan specificeras inte utan hänvisas vidare till gällande eurokoder. Vart man kan ange denna reduceringsfaktor har vet jag inte. Vad den slutliga elasticitetsmodulen blir vet jag således inte, vilket även kan vara en bidragande förklaring till skillnaderna i resultaten. Styvhetsvärden som förskjutningsmetoden byggs upp av kommer från elementegenskaper som L, A, I och E. I alla beräkningar är L, A, och I konstanta, det som varierar mellan beräkningsprogrammen är E (elasticitetsmodulen). Därför blir reduceringsfaktorn ψ 2 en avgörande parameter då storleken av elasticitetsmodulen bestäms av denna reduceringsfaktor. Då beräkningarna sker med olika elasticitetsmodul blir det snabbt stora skillnader, detta speciellt när man jämför millimetervärden som här. Framräknade värden från beräkningsprogrammet i MS Excel får man ut direkt i en tabell med specifika värdena för varje nod, se BILAGA D, figur 21-24. Detta även för program 1, se BILAGA D, figur 26-29, här listas förskjutningar anknutna till specifika noderna. I program 2 får man klicka ut värdena från godtyckliga punkter, värden från givna punkter har tagits ut med stor noggrannhet. Detta genom att förstora figuren blir felmarginalen så pass liten att detta inte gör någon betydande skillnad för resultatet. Det kan hända att det finns listor för specifikt valda punkter att ta ut data ifrån, jag har ännu inte hittat denna funktion. Bortsett från förslag 2 kan man se att nockens nod sjunker ner mer och högra stödets nod flyttar sig mindre då man jämför resultat från program 2 med de övriga. Förslag 1 är drömlösningen, den har tagits med för att visa att det kan vara svårt att få till de bästa lösningarna, dess förskjutningar uppstår troligen inte i verkligheten då takstolen går till brott innan så stora förskjutningar uppstår. Materialet har då gått över sin proportionalitetsgräns. Av de förslag som tagits fram så är det mindre förskjutningar i förslag 3. Den har även mindre förskjutningar än den ursprungliga takstolen vilket indikerar att den är styvast. Om något av förslagen skall väljas anser jag att förslag 3 är det bästa alternativet. Slutliga frågan man ställer sig är om de redovisade skillnaderna kan anses vara inom felmarginalen? Täcks de av använda säkerhetsfaktorer? Vidare studier kanske kan visa? 25

6. SLUTSATS Från inledningen; Är det möjligt att programmera ett eget beräkningsprogram i MS Excel för konstruktionsberäkningar av takstolar? Hur står sig denna beräkningsmodell i jämförelse med de i branschen vanligen använda beräkningsprogram? Vad blir skillnaden i resultat mellan de olika beräkningarna? Ja, det har visat sig möjligt att programmera ett eget beräkningsprogram avseende takstolar i MS Excel om man har tillräckliga teoretiska kunskaper (speciellt matematiska). Den står sig väldigt bra i jämförelse med beräkningsprogram baserade på förskjutningsmetoden men skiljer sig mot program baserade på FEM. Skillnaden mellan MS Excel och program 1, som är baserad på förskjutningsmetoden, blev nästan försumbar. Skillnaden mot program 2, som är baserad på FEM är inte försumbar och bör undersökas vidare. Slutord Vill här knyta an till förordet i början av examensarbetet och poängtera vikten av grundläggande kunskaper i teorierna som beräkningsprogrammen baseras på. Detta för att underlätta modelleringen då man stöter på problem. Visst kan man köra en bil utan att vara mekaniker men är man ute i fält långt från närmaste mack och bilen stannat kan det vara bra att ha grunder i mekanik för att kunna felsöka. Det jag vill komma till är att man inte ska tro att man kan hoppa flera kunskapsled och mena på att man tagit fullt ansvar för beräkningarna utförda av programmet. 26

7. REFERENSER [1] BFS 2011:10 EKS 8 [2] Dahlblom, O., Olsson, K.G., Strukturmekanik, Upplaga 1:1, Studentlitteratur AB, Lund, ISBN 978-91-44-06894-7, (2010) [3] Eurokod 1, Laster på bärverk, SS-EN 1991-1-1, SIS (Swedish standard), (1990) [4] Eurokod 5, Dimensionering av träkonstruktioner, SS-EN 1995-1-1:2004, SIS (Swedish standard), (2004) [5] Felippa, C. A., A historical outline of matrix structural analysis: a play in three acts, Computer & Structures, Volume 79 issue 14, pp 1313-1324, (Jun 2001) [6] Isaksson, T., Mårtensson A., Thelandersson, S., Byggnadskonstruktion Regel och formelsamling, Upplaga 2:1, Stundetlitteratur AB, Lund, ISBN 978-91-44-07030-8, (2010) [7] Kassimali, A., Matrix Analysis of Structures, Second edition, Cengage Learning, ISBN 1-111-42620-1, (2012) [8] MacDuffee, C.C., The theory of Matrices, Springer, Berlin (1933); Chelsea Pub. Co., New York (1946) [9] Megson, T. H. G., Structural and Stress Analysis, Second edition, Elsevier Ltd, ISBN 978-0-7506-6221-5 (2005) [10] Muir, T., and Metzler, W. J., A Treatise on the Theory of Determinants, Longmans, Green & Co., London and New York (1933). [11] Ottosen, N., Petersson, H., Introduction to the Finite Element Method, First edition, Person Education Limited, ISBN 978-0-13-473777-2, (1992) [12] Rodhe, S., Sollervall, H., Matematik för ingenjörer, femte upplagan, KUB, Uppsala, ISBN 91 89104-01-3, (2003) [13] Turnbull, H. W., The theory of Determinants, Matrices and invariants, Blackie & Sons Ltd., London (1929) [14] Turner, M. J., Martin, H. C., and Weikel, R. C., Further development and applications of the stiffness method, AGARD Structures and Materials panel, Paris, France, July 1962, in AGARDDograph 72; Matrix Methods of Structural Analysis, ed. By Fraeijs de Veubeke, B. M., Pergamon Press, Oxford, pp 203-266, (1964). [15] Turner, M. J., The direct stiffness method of structural analysis, Structural and Materials Panel Paper, AGARD Meeting, Asschen, Germany (1959) ALLMÄNA REFERENSER [16] Handboken Bygg Allmänna grunder, Liber Förlag, Stockholm, (1983) [17] Wale, H., Jakobsson, A., Bärverk av trä, Liber Tryck, Stockholm, (1974) [18] Isaksson, T., Mårtensson A., Thelandersson, S., Byggnadskonstruktion, Upplaga 2:1, Stundetlitteratur AB, ISBN 978-91-44-07032-2, Lund,(2010) [19] Langesten, B., Byggkonstruktion 1, Tredje upplagan, Liber AB, ISBN 978-91-47-00810-0, (1995) [20] Langesten, B., Byggkonstruktion 2, Andra upplagan, Liber AB, ISBN 978-91-47-00811-7, (1995) INTERNET REFERENSER [publikation] http://www.colorado.edu/engineering/cas/felippa.d/felippahome.d/publications.d/report.cu-cas-00-13.pdf (2012-06-07) 27

BILAGA A STYVHETSKOEFFICIENTER FÖR FRIHETSGRADER Förskjutning/frihetsgrad 1, u 1 Här börjar vi med Hook s lag och andra väl kända begrepp; (A1) (A2) Lägger vi ihop dessa blir de; (A3) (A4) Då vi förskjuter frihetsgrad 1 med en kraft, skapad av en enhets förskjutning (A5) (A6) För att jämvikten ska vara intakt bör k41 vara; Koefficienterna k 21, k 31, k 51 och k 61 påverkar/påverkas inte av förskjutningen i denna frihetsgrad, därför är dessa 0. (A7) Förskjutning/frihetsgrad 2, u 2 Här börjar vi med Elastiska linjens differential ekvation; (A8) (A9) 28

(A10) ( ) (A11) Randvillkor 1 x = 0 θ = 0 Randvillkor 2 x = 0 y = 1 ( ) (A12) Genom det första villkoret blir C 1 = 0 och genom det andra blir C 2 = 1, det gör att ekvationerna blir; ( ) (A13) Randvillkor 3 x = L θ = 0 Randvillkor 4 x = L y = 0 Genom användning av villkor 3 insatt i (A13) blir; ( ) (A14) ( ) (A15) Tillslut använder vi oss av det sista villkoret och får; (A16) ( ) (A17) Genom att sätta in (A16) i (A18) blir styvhetskoefficienterna; (A18) (A19) (A20) Nu för att få de andra koefficienterna använder man sig av vilkoret av statisk jämvikt, detta ger; (A21) k 12 och k 42 är 0 då dessa inte påverkar/påverkas av denna förskjutning. (A22) 29

Förskjutning/frihetsgrad 3, u 3 Här gör vi precis som när vi tog fram styvhetskoefficienterna för förskjutning/frihetsgrad 2, fast här får C 1 och C 2 andra värden; (A23) (A24) (A25) ( ) (A26) Randvillkor 1 x = 0 θ = 1 Randvillkor 2 x = 0 y = 0 ( ) (A27) Genom det första villkoret blir C 1 = 1 och genom det andra blir C 2 = 0, det gör att ekvationerna blir; ( ) (A28) Randvillkor 3 x = L θ = 0 Randvillkor 4 x = L y = 0 Genom användning av villkor 3 insatt i (A28) blir; ( ) (A29) ( ) (A30) Tillslut använder vi oss av det sista villkoret och får; (A31) ( ) (A32) Genom att sätta in (A31) i (A33) blir styvhetskoefficienterna; (A33) 30

(A34) (A35) Nu för att få de andra koefficienterna använder man sig av vilkoret av statisk jämvikt, detta ger; (A36) k 13 och k 43 är 0 då dessa inte påverkar/påverkas av denna förskjutning. (A37) Förskjutning/frihetsgrad 4, u 4 Här blir det precis som vid förskjutning/frihetsgrad 1 fast med omvänd poläritet. (A38) (A39) (A40) (A41) (A42) (A43) 31

Förskjutning/frihetsgrad 5, u 5 Här blir det precis som vid förskjutning/frihetsgrad 2 fast med omvänd poläritet. (A44) (A45) (A46) (A47) (A48) (A49) Förskjutning/frihetsgrad 6, u 6 Här blir det precis som vid förskjutning/frihetsgrad 3 fast med omvänd poläritet. (A50) (A51) (A52) (A53) (A54) (A55) 32

BILAGA B - KOORDINATER FÖR GEOMETRIER Figur 17 Koordinater för noder och element, befintlig takstol 33

Figur 18 Koordinater för noder och element, takstolsförslag 1 Figur 19 Koordinater för noder och element, takstolsförslag 2 34

Figur 20 Koordinater för noder och element, takstolsförslag 3 35

BILAGA C - FRAMRÄKNING AV LASTER KARAKTERISTISKA LASTER Egentyngder Då det befintliga taket är av korrugerad plåt kommer egentyngden av taket att räknas som lätt (0,4 kn/m 2 ), dock vill här påpekas att det tidigare var av tegel, dvs ett tungt tak (0,6 kn/m 2 ). Lastbredd för takstolen är 1,2 m. De karateristiska egentyngderna för 50x175 och 75x175 sätts till 50 och 65. Deras dimensionerande egentyngder sätts i sin tur till 60 respektive 80. Tabell 12 Laster för yttertaket Material γ (kn/m 3 ) Tvärsnittsarea (mm 2 ) N/m Korrugerad plåt 17,0 2 x 1200 = 2400 41 Bärläkt 5,0 23 x 36 = 828 4 Ströläkt 5,0 23 x 36 = 828 4 Papp - - - Råspont 5,0 22 x 1200 = 26400 132 Yttertak exkl. takstol 181 Alternativ 0,4 kn/m 2 480 N/m (inkl. takstol) 400 N/m (exkl. takstol) Tabell 13 Laster för innertaket Material γ (kn/m 3 ) Tvärsnittsarea (mm 2 ) N/m Gips 8,0 13 x 1200 = 15600 125 Glespanel (95x28), c300 5,0 (95 x 28) / 0,3 = 8667 43 145x45, c600 5,0 (145 x 45) / 0,6 = 10875 54 Masonit 5,0 2 x 1200 = 2400 12 Råspont 5,0 22 x 1200 =26400 132 Papp - - - Sågspån 5,0 175x1200 = 210 000 1050 Innertak exkl. takstol 1416 Vid beräkningar med lagerlaster bör även egenvikten för lagergolvet inkluderas, detta görs genom att lägga på 132 N/m. Snölast Byggnaden är belägen i Gävle, Fastighetsbeteckning Högsta 36:1. ψ 0 = 0,7 ψ 1 = 0,4 ψ 2 = 0,2 Taklutning 36 (α) μ i, formfaktor av tak μ 1, 0,8(60-α)/30 = 0,64 (C1) 36

(anmärkt är att vid snörasskydd bör detta värde ej understiga 0,8, snörasskydd finnes) C e, exponeringsfaktor, exponeringsfaktorn delas in i tre kategorier, vindutsatt, normal och skyddad. Jag bedömer att byggnaden hör till kategori normal, vilket gör att värdet för exponeringsfaktorn blir 1,0. C t, termisk koefficient, denna sätts till 1,0 då energiförluster genom taket anses vara normala. s k, Karakteristisk snölast 2,5 kn/m 2 S = 0,8 x 1,0 x 1,0 x 2,5 = 2,0 x 1,2 = 2,4 kn/m Vindlast Referensvindhastigheten för Gävle är 23 m/s. ψ 0 = 0,3 ψ 1 = 0,2 ψ 2 = 0,0 q p (z e ), karakteristisk värde för hastighetstryck, 0,47 kn/m 2 z e, referenshöjd för formfaktor, 8 m. Terrängtyp, byggnadens placering och dess omgivning gör att den kan bedömmas ligga i Terrängtyp 3. c pe, formfaktor, Vind mot gavel; -1,4 (sug) Vind mot långsida; -1,5 (sug) +0,7 (tryck) +0,7 (tryck) och -0,5 (sug) = (0,7 + 0,5) = ±1,2 (tryck och sug) (C2) Vind mot gavel; Vind mot långsida; W = 0,71 x 1,2 = 0,852 kn/m 0,47 x 1,4 = 0,66 kn/ m 2 (sug) 0,47 x 1,5 = 0,71 kn/ m 2 (sug) 0,47 x 0,7 = 0,33 kn/ m 2 (tryck) 0,47 x 1,5 = 0,71 kn/m 2 (tryck och sug) Nyttiglast Nyttiglaster kommer av de belastade hanbjälkarna av förråds/lagervikt. Denna uppskattad i nuläget till att bli 2,0 kn/m 2. ψ 0 = 1,0 ψ 1 = 0,9 ψ 2 = 0,8 37

DIMENSIONERANDE LASTER Lastkombinationer STR-B, 6.10b [γ d ((1,2 G kj,sup ) + (1,5 Q k,1 ) + (1,5 ψ 0 Q k,i ))] (C3) Säkerhetsklass 1 Tabell 14 Reduceringsfaktorer för olika lastfall Huvudlaster ψ 0 Snö 0,7 Vind 0,3 Lagerlast 1,0 Vid uträkning (se Excelblad) blev snölasten som huvudlast avgörande för alla takstolar i alla kombinationer enligt STR-B, 6.10b. Detta innebär att vid en helhetsanalys (med Excel) så reduceras lagerlasten och vindlasten med respektive lastreduceringsfaktorer. För att kontrollera att de olika programmen och beräkningsmodellen i MS Excel lastas med lika mycket laster kontrolleras upplagsreaktionerna för alla beräkningar. Dimensionerande värden till Excel programmeringen Tabell 15 Dimensionerande lastvärden för MS Excel Egentyngder N/m Yttertak (inkl. takstol) 480 x 1,2 = 576 50x175 (drag och tryck stänger) 50 x 1,2 = 60 75x175 65 x 1,2 = 80 Lagergolv (22mm spångolv) 132 x 1,2 = 158 Innertak (exkl. takstol) 1416 x 1,2 = 1699 Övrigt Snö (verikalt) 2400 x 1,5 = 3600 Snölast (vinkelrät takstol)(l) 2400 x 1,5 x cos 36 = 2912 Snölast (paralell takstol)(l) 2400 x 1,5 x sin 36 = 2116 Vind (vinkelrät mot takstol) 852 x 1,5 x 0,3 = 383 Vind (parallell mot takstol) - - Nyttiglast av lagervikt (vertikal) 2,4 x 1,5 x 1,0 = 3600 38

Tabell 16 Dimensionerande lastkombinationer för MS Excel Del Egentyngder Snö Vind Lagerlast Totalt (N/m) Överram (vinkelrät) 576 2912 383 3871 Överram (parallellt) 2116 2116 Underram (sidor) 1699+ 60 1759 Underram (mitten, med lagerlast) 1699 + 80 +158 3600 5537 Underram (mitten, utan lagerlast) 1699 + 80 1779 Lagergolv (sidor) 158 + 80 3600 3838 Egentyngder stänger 60 60 39

BILAGA D - RESULTAT FRÅN PROGRAM Excel program Figur 21 Resultat MS Excel, befintlig takstol 40

Figur 22 Resultat MS Excel, takstolsförslag 1 41

Figur 25 Resultat från uppdelning av lasttyper, MS Excel, alla takstolar 44

Program 1 Figur 26 Resultat Program 1, befintlig takstol 45

Figur 27 Resultat Program 1, takstolsförslag 1 46

Figur 30 Resultat från uppdelning av lasttyper, Program 1, alla takstolar 49

Program 2 Figur 31 Resultat program 2, reaktioner, befintlig takstol Figur 32 Resultat program 2, förskjutningar, befintlig takstol 50

Figur 33 Resultat program 2, reaktioner, takstolsförslag 1 Figur 34 Resultat program 2, förskjutningar, takstolsförslag 1 51

BILAGA E RESULTAT AV TESTER PÅ VIRKE Figur 39 Resultat summering av 3 tester 54

Figur 40 Resultat av 3 tester (kn/mm) 55

Figur 41 Resultat av 3 tester (MPa/mm) 56