Resursplanering - att använda ledtider som parameter vid bemanning av företag i drift

EXAMENSARBETE INOM TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP STOCKHOLM, SVERIGE 2016 Resursplanering - att använda ledtider som parameter vid bemanning av företag i drift SARA CEDELL REBECCA GRÜNBERGER KTH KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN SKOLAN FÖR TEKNIKVETENSKAP

Resursplanering - att använda ledtider som parameter vid bemanning av företag i drift SARA CEDELL REBECCA GRÜNBERGER Examensarbete inom teknik: Tillämpad matematik och industriell ekonomi (15 hp) Civilingenjörsutbildning i industriell ekonomi (300 hp) Kungliga Tekniska högskolan 2016 Handledare på KTH: Per Enqvist, Jonatan Freilich Examinator: Henrik Hult TRITA-MAT-K 2016:32 ISRN-KTH/MAT/K--16/32--SE Royal Institute of Technology SCI School of Engineering Sciences KTH SCI SE-100 44 Stockholm, Sweden URL: www.kth.se/sci

Resource planning - using lead times as a parameter for manning a producing company Abstract A case study in queueuing theory preformed at Joe & the Juice This study examines the relationship between the service intensity of production lines and customers waiting times. The work is designed to study work processes and contribute to a greater understanding of when, where and how unacceptable waiting times arise. Henceforth the thesis examines the concept of service and how the service is affected by a more efficient staffing. The work falls into a recommendation for future workforce planning. The thesis is designed as a case study conducted at Joe & the Juice, PK-Huset, Stockholm. Calculations and results are based on data points from the autumn of 2015, 31st of September to 29th of November, resulting in a model built on classical queueing theory. This model presupposes Poisson distributed arrivals and deterministic service intensities resulting in a queueing system based on M/D/c-queues. Modelling with desired waiting times optimal service intensities are calculated for each of the working stations. The qualitative part of the thesis is formed from a literature study, auscultations of operations and supplementary interviews which culminates in an analysis of how the company should work with service. The results show the staffing levels required to achieve the targeted customer waiting times. These levels are presented within a three-minute period, to make the results more applicable to the tools already used by Joe & the Juice. These service intensities should be combined with existing experience at Joe & the Juice to identify possible changes within resource planning. The results advert changes Joe & the Juice can implement to ensure the quality of service, where the concept of Mystery Shopping is introduced as a tool. The qualitative and quantitative analysis forms a recommendation which combines the two perspectives of resource planning. The recommendation presents insights drawn from the conclusion of the work. These insights may be helpful for Joe & the Juice in the future workforce planning. 1

Sammanfattning I detta kandidatexamensarbete undersöks sambandet mellan produktionslinjers serviceintensitet och kunders väntetider. Arbetet syftar således till att kartlägga arbetsprocesser och bidra till ökad insikt om när, var och hur oacceptabla väntetider uppstår. Vidare behandlar arbetet konceptet service och hur servicen påverkas av effektiviserad bemanning. Arbetet mynnar slutligen ut i en rekommendation vägledande för framtida bemanningsplanering. Arbetet är utformat som en fallstudie genomförd hos Joe & the Juice i PK-huset, Stockholm. Datapunkter är hämtade från hösten 2015, 31 augusti till 29 november, resulterande i en modell byggd på klassisk köteori. I modellen förutsätts poissonfördelade ankomster och deterministiska serviceintensiteter, varför kösystemen som undersöks modelleras som M/D/c-köer. Med utgångspunkt i önskade väntetider från Joe & the Juice beräknas optimal serviceintensitet för respektive arbetsstation. Till grund för den kvalitativa delen av arbetet ligger en litteraturstudie, askultation av verksamhet samt kompletterande intervjuer. Detta mynnar ut i en analys av hur företaget bör arbeta med service. Resultaten visar de bemanningsnivåer som krävs för att uppnå målbilden för kunders väntetider. Dessa nivåer presenteras i treminutersperioder, i linje med det verktyg Joe & the Juice idag använder vid bemanningsplanering. De fastställda serviceintensiteterna bör kombineras med befintlig erfarenhet hos Joe & the Juice för att identifiera förändringar i resursplaneringen. Resultaten pekar också på förändringar Joe & the Juice kan genomföra för att säkerställa god service i verksamheten, där konceptet Mystery Shopping introduceras som hjälpmedel. Den kvalitativa och kvantitativa analysen mynnar tillsammans ut i en rekommendation vilken kombinerar två perspektiv av resursplanering. I rekommendationen förmedlas insikter dragna från slutsatserna av arbetet som kan hjälpa Joe & the Juice i framtida bemanningsplanering. 2

Förord Detta kandidatexamensarbete, motsvarande 15 högskolepoäng, skrevs under vårterminen 2016 på Kungliga Tekniska Högskolan i Stockholm av Sara Cedell och Rebecca Grünberger. Arbetet är en del av civilingenjörsutbilningen inom Industriell Ekonomi med inriktning Tillämpad matematik. Ett stort tack riktas till Joe & the Juice för förtroendet att genomföra kandidatexamensarbetet hos dem. Både den data och den inblick i arbetssätt och processflöden de bistått med har varit ovärderlig för arbetets fortgång. Ett tack riktas även till Tobias Widén, Regional Manager, som fortlöpande svarat på frågor och tagit sig tid för intervjutillfällen. Vi vill tacka vår handledare Per Enqvist för kontinuerlig återkoppling och vägledning under arbetets gång. Per har visat engagemang genom att utmana oss i den matematiska problemformuleringen. Ett tack riktas till Marc Bygdeman för kommentarer kring struktur och akademisk höjd. Vi vill även tacka Margareta Olofsson på Språk och kommunikation för betydelsefulla kommentarer kring textens utformning. Därutöver vill vi tacka Institutionen för Industriell Ekonomi för vägledning i arbetets kvalitativa del. Stockholm, 24 maj 2016 Sara Cedell och Rebecca Grünberger 3

Innehållsförteckning 1 Inledning 7 1.1 Bakgrund............................................... 7 1.2 Problematisering........................................... 7 1.3 Frågeställning............................................. 8 1.4 Syfte och mål............................................. 8 1.5 Avgränsningar............................................ 8 2 Matematisk teori 10 2.1 Köteori................................................ 10 2.2 Stokastiska variabler......................................... 11 2.3 Markovegenskapen.......................................... 11 2.4 Beteckning av kösystem....................................... 11 2.5 Exponentialfördelning........................................ 12 2.6 Poissonfördelning och poissonprocess................................ 12 2.7 Deterministisk fördelning...................................... 13 2.8 M/D/c-system............................................ 14 2.8.1 c = 1............................................. 14 2.8.2 c > 1............................................. 14 2.8.3 Sannolikheter......................................... 15 3 Metod och modeller 17 3.1 Data.................................................. 17 3.1.1 Dataanalys.......................................... 17 3.1.2 Avgränsning i data...................................... 19 3.2 Tillvägagångssätt........................................... 20 3.2.1 Verksamheten idag...................................... 20 3.2.2 Antaganden.......................................... 21 3.2.3 Modellbeskrivning...................................... 23 3.2.4 Arbetets förfarande..................................... 23 3.2.5 Simulering........................................... 23 4 Resultat 25 4.1 Fastställd serviceintensitet...................................... 25 4.2 Modellvalidering........................................... 27 4.2.1 Simulering........................................... 27 4.2.2 Sannolikheter......................................... 28 4.3 Optimal bemanningsnivå enligt matematisk analys........................ 31 5 Diskussion 32 5.1 Tillförlitlighet............................................. 32 5.1.1 Simuleringens utfall..................................... 32 5.1.2 Sannolika kötider....................................... 32 5.1.3 Värden på ρ.......................................... 33 5.1.4 Kassan............................................ 33 5.1.5 Bortfall av kunder...................................... 33 5.1.6 Mängden data........................................ 33 5.1.7 Dataanalys.......................................... 34 5.2 Implementering............................................ 34 4

6 Service som konkurrensmedel 35 6.1 Metod................................................. 35 6.2 Teori.................................................. 35 6.2.1 Begreppet service....................................... 35 6.2.2 Intern marknadsföring.................................... 36 6.2.3 Servicekultur......................................... 37 6.2.4 Motiverade medarbetare................................... 38 6.2.5 Fish! Philosophy....................................... 38 6.2.6 Mystery shopping...................................... 39 6.2.7 Verksamheten idag...................................... 39 6.3 Diskussion............................................... 41 6.4 Diskussion av de matematiska resultaten ur ett serviceperspektiv................ 43 7 Slutsats och rekommendation 43 8 Referenser 45 9 Bilagor 47 9.1 Accepterade väntetider........................................ 47 9.2 Framräknade värden på ρ...................................... 49 9.3 Intervjufrågor............................................. 50 Tabeller 1 M/D/1, Sannolik väntetid...................................... 15 2 M/D/6, sannolikhet för respektive antal personer i systemet................... 16 3 Uppskattad tidsåtgång vid produktion, per produkt....................... 18 4 Produkter per timme för olika antal medarbetare......................... 19 5 Bemanningsgrad för respektive timme och dag.......................... 19 6 Serviceintensitet för kaffe...................................... 25 7 Serviceintensitet för juice...................................... 26 8 Serviceintensitet för smörgås.................................... 26 9 Kortare väntetider som resultat av simulering........................... 28 10 Längre väntetider som resultat av simulering........................... 28 11 Väntetid för kaffe, minuter...................................... 29 12 Väntetid för juice, minuter..................................... 29 13 Väntetid för smörgås, minuter.................................... 30 14 Optimal bemanningsnivå...................................... 31 15 Accepterad väntetid för kaffe i minuter, låg............................ 47 16 Accepterad väntetid för juice i minuter, låg............................ 47 17 Accepterad väntetid för smörgås i minuter, låg.......................... 47 18 Accepterad väntetid för kaffe i minuter, hög............................ 48 19 Accepterad väntetid för juice i minuter, hög............................ 48 20 Accepterad väntetid för smörgås i minuter, hög.......................... 48 21 Trafikintensitet, ρ........................................... 49 22 Trafikintensitet, ρ........................................... 49 23 Trafikintensitet, ρ........................................... 49 24 ρ.................................................... 50 5

Figurer 1 Ett kösystem............................................. 10 2 Exponentialfördelning........................................ 12 3 Poissonfördelning........................................... 13 4 Poissonprocess............................................ 13 5 Antalet ankomster per timme.................................... 17 6 Andelen produkter beställda för de olika produktkategorierna.................. 18 7 Kösystemet.............................................. 20 8 Kösystemet uppdelat i produktlinjer................................ 21 9 Smörgåsstationen........................................... 27 10 Organisationsschema......................................... 40 6

1 Inledning Detta avsnitt syftar till att ge en övergripande bild av Joe & the Juice samt några av de utmaningar organisationen står inför idag. Utifrån detta sammanställs en problemformulering som utgör utgångspunkt för arbetet. 1.1 Bakgrund Att äta sunt och motionera regelbundet har blivit trendigt, och efterfrågan av hälsosamma alternativ är större än på länge. Hälsotrendens utveckling genomsyrar en rad olika branscher och banar väg för nya affärsområden såväl som nischade aktörer att etablera sig på marknaden. (Ebsworth och Samuelsson, 2014) En av dessa aktörer är cafékedjan Joe & the Juice. Joe & the Juice grundades i Danmark 2002 och har därefter med riskkapitalistbolaget Valedos hjälp expanderat kraftigt. (NAXS, 2013) I dagsläget driver Joe & the Juice drygt 100 juicebarer runt om i världen, varav ett tiotal belägna i Stockholmsområdet. (Joe & the Juice, 2016) Konceptet är relativt enkelt med juicer, smoothies, kaffe och smörgåsar vilka alla produceras direkt mot beställning. Varje juicebar utgör en egen enhet där man med riktlinjer från regional nivå planerar bemanning, försäljning och arbete med service. En stor del av den information som uppstår i dagligdriften arkiveras, vilken sedan används för uppsättning av mål inom olika delar av verksamheten. (Widén, 2016) Kunder som anländer till juicebaren ställer sig i kö för att beställa, ett moment som redan idag är effektivt och utan längre väntan. Därefter försvinner kunden från den faktiska kön för att på valfri plats i lokalen invänta sin beställning. Varje produktkategori har en separat produktionsenhet, där beställningarna behandlas vartefter de inkommit. (Widén, 2016) Konceptet som Joe & the Juice tillämpar kan med andra ord liknas vid ett först-in-först-ut-system där den synliga kön övergår till en för kunden osynliga kö av produkter som väntar på att bli producerade. Detta system minskar traditionellt köande, men försvårar mätningar av kundernas reella väntetider. Idag saknar Joe & the Juice data på kundernas väntetider, vilket bidrar till att dessa väntetider inte påverkar planering av den dagliga driften. (Widén, 2016) Utöver ett produktutbud som ligger trendmässigt i framkant har Joe & the Juice långtgående ambitioner för servicenivån och vill ge varje kund en upplevelse. (Genders, 2016) Detta blir ett viktigt konkurrensmedel då det redan nu finns liknande kedjor på marknaden, och fler att vänta. (Widén, 2016) Med hänsyn till ovan nämnt inleds kandidatexamensarbetet i samråd med Joe & the Juice för att med hjälp av matematiska modeller undersöka kundernas väntetider. Begreppet intern marknadsföring introduceras och används för att analysera hur Joe & the Juice kan vidhålla sin konkurrenskraft. 1.2 Problematisering Bemanning är en utmaning för företag i drift då tidsmässigt utrymme för service och ekonomiskt begränsad resursplanering kan peka mot olika strategier. En hög servicenivå kan främjas av ett högre antal medarbetare, samtidigt som arbetskraft ofta utgör en betydande kostnadspost för företaget. Bemanning blir därmed förenad med en avvägning mellan två för företaget viktiga intressen. 7

Vid denna avvägning blir konsekvenserna av under- och överbemanning en viktig faktor. För Joe & the Juice innebär det att lyckas kvantifiera de kötider som kan uppstå vid olika bemanningsnivåer, samt att kunna mäta upplevd servicekvaliteten. Kandidatarbetet syftar till att belysa denna problematik och därmed utgöra ett beslutsunderlag för framtida resursplanering. 1.3 Frågeställning Arbetet bearbetar följande matematiska frågeställning: Hur många produkter måste produceras inom ett treminutersintervall för att Joe & the Juice ska kunna erbjuda önskade väntetider? Därutöver diskuteras de matematiska resultaten kvalitativt utifrån följande frågeställning: Hur kan Joe & the Juice säkerställa servicenivån i verksamheten och därmed använda service som konkurrensmedel även i framtiden? 1.4 Syfte och mål Detta kandidatexamensarbete syftar till att skapa förståelse kring hur bemanning, och därmed serviceintensitet, påverkar förväntade ledtider. Joe & the Juice arbetar idag aktivt med att optimera bemanningen avseende kostnader och service, men begränsat fokus läggs specifikt på kundernas väntetider. Mot bakgrund av detta är intentionen inte att förkorta ledtiderna, utan snarare att hjälpa Joe & the Juice att ta hänsyn till kötid som parameter vid resursplanering. Detta uppnås dels genom en kvantitativ analys av väntetiderna i kösystemets processer och dels genom en kvalitativ analys som väger in kundens serviceupplevelse. Målsättningen är en rekommendation som kan verka vägledande och därmed underlätta vid framtida resursplanering. 1.5 Avgränsningar Arbetet begränsas till en juicebar i centrala Stockholm, Joe & the Juice PK-Huset, från vilken all data är inhämtad. Juicebaren kan förvisso anses representativ då i stort sett alla övriga barer bygger på samma struktur. De försäljningssiffror som resultatet bygger på är dock barspecifika och det går således inte att tillämpa resultatet på andra enheter utan vidare anpassning. Samtliga datapunkter är inhämtade under en 13-veckorsperiod, 31 augusti till 29 november 2015, vilket medför att resterande tidsperioder lämnas utanför arbetet. Värt att tillägga är dock att resultatet bygger på beläggning, och att det därmed kan tillämpas i sin helhet för andra tidsperioder med liknande försäljningshistorik. Arbetet kommer genomgående att bortse från arbetspassindelning och därmed rådande arbetslagstiftning, varför löner, ansvarsområden och organisationsstruktur lämnas utanför arbetets avgränsning. För de moment 8

som undersöks bedöms samtliga anställda kunna ses som en homogen grupp. Huvudsyftet med projektet är att ge Joe & the Juice ett beslutsunderlag avseende beläggningsgrad, och den slutgiltiga avvägningen lämnas således åt bemanningsplanerare och beslutsfattare på företaget. 9

2 Matematisk teori I följande avsnitt redogörs för den matematiska teori beräkningarna bygger på. I avsnittet presenteras även viktiga villkor som föranlett modellvalet. 2.1 Köteori Inom matematiken faller köteori inom ramarna för tillämpad matematisk statistik och kallas då teorin för masservice. Syftet med denna gren är att analysera flöden och processer, och genom ett antal grundläggande antaganden modellera och simulera kösystem. Med hjälp av de verktyg som ryms inom köteori kan flertalet värden beräknas, bland annat förväntad kötid, genomsnittlig tid i system samt hur långa köer som uppstår. (Enger och Grandell, 2006) Inom ramen för köteori finns en mängd olika sätt att modellera kösystem. Genom kopplingar sinsemellan kan flera kösystem även bilda större system. Figur 1: Ett kösystem Grundidén för ett enkelt kösystem utan återkoppling kan beskrivas enligt följande: Kunder anländer till systemet med en viss ankomstintensitet, λ. Om samtliga servicestationer är upptagna bildas en kö. Antingen väljer kunden att ansluta sig till denna, eller också väljer kunden att lämna systemet. En kund anses vara i systemet från det att kunden anslutit sig till en kö till dess att kunden lämnat betjäningsstationen. 10

Kunder betjänas med en viss serviceintensitet, µ. Efter betjäning lämnar kunden systemet. Klassisk köteori bygger på att den totala serviceintensiteten är högre än ankomstintensiteten, av den givna anledningen att köerna annars skulle nå oändliga värden. Att det uppstår köer detta villkor till trots beror på att ankomsterna är stokastiska. Ett mått på systemets beläggning är trafikintensitet, ρ, och definieras som ρ = λ cµ. För att ett kösystem ska fungera krävs således att ρ < 1, med andra ord cµ > λ. (Enger och Grandell, 2006) 2.2 Stokastiska variabler En stokastisk variabel benämns som X(t) och beskriver utfallet av en händelse, där t beskriver tiden då händelsen inträffar. Att en variabel är stokastisk innebär att utfallet beror av slumpen och därmed att utfallet av variabeln blir känt först efter att försöket är utfört. Inom köteori blir stokastiska variabler användbara när en modell innefattar ett slumpmässigt moment. Ett givet exempel på detta är en ankomst, då det är svårt att förutspå när ankomsten kommer att ske. (Blom m.fl., 2005) 2.3 Markovegenskapen Markovegenskapen är den del inom köteori som beskriver en markovprocess och dess brist på minne. Nästa steg i en markovprocess bestäms enbart av var processen befinner sig i nuläget, oberoende av vad som hänt dessförinnan. Ett exempel på en markovprocess är en serie tärningskast. Sannolikheten för att erhålla en sexa är alltid 1/6, oberoende av tidigare tärningsslags utfall. Markovegenskapen är en förutsättning för många grundläggande antaganden inom köteori. Markovegenskapen beskrivs matematiskt som P (T > t + t T > t) = P (T > t), där P är sannolikheten, t tiden och t ett tidssteg. De två sistnämnda är alltid positiva tal. (Enger och Grandell, 2006) 2.4 Beteckning av kösystem Kendalls beteckningssystem låter kösystem beskrivas på formen A/B/c där A anger ankomstprocessens fördelning B anger betjäningsfördelningen c anger antalet betjäningsstationer Vidare används följande beteckningar för att beskriva ankomstprocessen samt betjäningsfördelningen. M: Exponentialfördelad markovprocess D: Deterministisk fördelning G: Generell fördelning 11

E k : Erlangfördelning (Enger och Grandell, 2006) 2.5 Exponentialfördelning Exponentialfördelningen används vid behandling av markovprocesser då den innehar en glömskeegenskap. Exponentialfördelningen används för att beskriva tiden det tar innan en händelse inträffar och dess täthetsfunktion ser ut som följande: f(x) = µe µx, där 1 µ är fördelningens väntevärde. (Enger och Grandell, 2006) Utseendet av fördelningen presenteras grafiskt nedan. Figur 2: Exponentialfördelning 2.6 Poissonfördelning och poissonprocess Poissonfördelningens täthetsfunktion ser ut som följande: P (X = n) = e λ λ n n! och beskrivs grafiskt nedan. λ representerar fördelningens väntevärde. 12

Figur 3: Poissonfördelning En Poissonprocess är en process där händelser inträffar oberoende av varandra, och där tiden mellan dessa händelser är exponentialfördelad. Poissonprocessen blir mot bakgrund av dess glömskeegenskap en markovprocess, illustrerat nedan. (Enger och Grandell, 2006) Figur 4: Poissonprocess 2.7 Deterministisk fördelning Den deterministiska fördelningen är en enpunktsfördelning, det vill säga en variabel där utfallet är detsamma vid varje mättillfälle. En deterministisk betjäningsintensitet innebär att alla betjäningstider är lika långa, oavsett köns längd eller kundens ärende. Ett exempel på en deterministisk fördelning är en skidlift, där resan med liften tar lika lång tid, oavsett antal skidåkare eller hur snabbt de sedan åker utför. (Hillier och Lieberman, 2015) 13

2.8 M/D/c-system Ett M/D/c-system är ett system där ankomstprocessen beskrivs som en Poissonprocess, betjäningstidsfördelningen är deterministisk och det finns totalt c stycken betjäningsstationer. Nedan specificeras två olika specialfall. En förutsättning för att nedanstående ska kunna användas är att ρ = λ µ betjäningsintensiteten är högre än ankomstintensiteten. < 1, det vill säga att 2.8.1 c = 1 Ett M/D/1-system är ett specialfall av ett M/G/1-system, ett system där betjäningsintensiteten har en generell fördelning. Skillnaden blir att variansen av betjäningsfördelningen i ett M/D/1-system sätts till noll, σ 2 = 0, då den deterministiska betjäningsfördelningen är en enpunktsfördelning. För ett M/G/1-system som befinner sig i stationärt tillstånd används Pollaczek-Khintchine-formeln. (Hillier och Lieberman, 2015) Pollaczek-Khintchine-formeln L q = λ2 σ 2 +ρ 2 2(1 ρ) Formeln ovan används för att räkna ut antalet personer i en kö, L q, ett mått som sedan kan användas för att beräkna följande: L = ρ + L q W q = Lq λ W = W q + 1 µ L betecknar antalet personer i systemet, W betecknar total tid i systemet och W q betecknar total tid i kö. För en M/D/1-kö, där σ 2 = 0, reduceras formeln till L q = ρ2 2(1 ρ). (Hillier och Lieberman, 2015) 2.8.2 c > 1 När antalet betjäningsstationer är fler än en kan inte generaliseringen från föregående avsnitt användas. Beräkningarna blir i detta fall långt mer komplicerade och formler likt de ovan har ännu inte formulerats. (Hillier och Lieberman, 2015) Frederick S. Hillier och Oliver S. Yu har i sin bok Queueing Tables and Graphs sammanställt numeriska resultat för ett flertal varianter på köer, däribland M/D/c köer. I arbetet kommer dessa resultat att användas i de fall då c > 1. För vidare insikt hänvisas dock till deras bok. (Hillier och Yu, 1982) I boken redovisas endast resultat för 0.1 ρ 0.99, varför värden som hamnar utanför detta intervall approximeras till närmsta värde inom intervallet. 14

2.8.3 Sannolikheter Med formler från avsnitt 2.8.1 kan antal personer i systemet, tid i kö och total tid i systemet beräknas. Inom ramen för köteori finns även möjligheten att för varje mått beräkna sannolikheten att det uppgår till ett visst värde. Med andra ord kan sannolikheten för olika utfall bestämmas. I Tabell 1 nedan återges väntetider utifrån trafikintensitet och olika intervall för sannolikheten. Dessa värden finns samlade i tabellform i boken Queueing Tables and Graphs och utläses som: Vid trafikintensiteten ρ = 0.20 är sannolikheten 85 % att kunden behöver vänta 0.303 minuter eller mindre i ett M/D/1-system. T P (W t T ) = ρ 0.85 0.90 0.95 0.98 0.99 0.10 0.0 0.0 0.541 0.852 0.953 0.20 0.303 0.589 0.859 1.084 1.435 0.30 0.647 0.838 1.071 1.581 1.891 0.40 0.871 1.042 1.539 2.086 2.520 0.50 1.162 1.516 2.050 2.702 3.336 0.55 1.409 1.768 2.404 3.238 3.870 0.60 1.676 2.098 2.829 3.798 4.530 0.65 2.014 2.521 3.378 4.513 5.372 0.70 2.478 3.077 4.103 5.459 6.486 0.75 3.116 3.852 5.112 6.778 8.037 0.80 4.071 5.011 6.621 8.747 10.356 0.85 5.650 6.938 9.126 12.020 14.208 0.90 8.825 10.783 14.128 18.552 21.898 0.95 18.316 22.302 29.116 38.124 44.838 0.98 46.776 56.885 - - - Tabell 1: M/D/1, Sannolik väntetid Tabell 2 nedan anger på liknande sätt sannolikheten att ett visst antal personer, I, vistas i systemet samtidigt. Notera att den presenterar sannolikheter för ett M/D/6-system. Mittenspalten anger sannolikheten att antalet uppgår till exakt I, medan högerspalten anger sannolikheten att antalet uppgår till I eller färre. 15

I P (N = I) P (N I) 0 0.558810 0.548810 1 0.329288 0.878097 2 0.987869E 01 0.976884 3 0.197575E 01 0.996642 4 0.296366E 02 0.999605 5 0.355644E 03 0.999961 6 0.355650E 04 0.999997 7 0.304851E 05 1.000000 Tabell 2: M/D/6, sannolikhet för respektive antal personer i systemet (Hillier och Yu, 1982) 16

3 Metod och modeller Utgångspunkten för detta kapitel är den mängd data som delgetts av Joe & the Juice. Därefter beskrivs hur verksamheten ser ut idag, vilket grundar sig på auskultation och samtal med ansvariga i juicebaren. Slutligen berörs arbetsmetoder och förfarande som ligger till grund för framtagna resultat. 3.1 Data Detta arbete behandlar data från Joe & the Juice och deras juicebar i PK-huset, Stockholm. Data som tillhandahållits är insamlad varje verksam dag. Utifrån denna valdes en 13-veckors period, 31 augusti till 29 november 2015, för att få en sammanhängande tidsperiod med datum utan större avvikelser. Rådata i sin helhet utlämnas av konkurrensmässiga skäl. Erhållen data innefattar följande: Antalet anställda på plats, per dag och timvis. Det totala antalet produkter sålda, per dag och timvis. Snittet för antalet sålda produkter, per timme. Snittet för antalet anställda på plats, per timme. Vägledande siffror för hur många produkter ett visst antal anställda kan producera under en timme. Den tid en produkt beräknas ta att producera för en medarbetare. 3.1.1 Dataanalys Inför arbetets början studerades data för att finna eventuella mönster och försäljningspikar. Målet var att hitta de dagar som hade jämförbar försäljning och öppettider. Mot bakgrund av detta togs beslutet att dela upp varje vecka i tre delperioder; vardagar, lördagar och söndagar. Rådata användes sedan för att beräkna genomsnitt för respektive delperiod. Bilderna nedan anger antalet produkter som i snitt säljs varje timme för respektive delperiod. Tabellernas utseende skiljer sig på grund av varierande öppettider och varje stapel representerar en timmes försäljning. Staplarnas är normerade på begäran av Joe & the Juice. (a) Normerade ankomster, vardagar (b) Normerade ankomster, lördagar (c) Normerade ankomster, söndagar Figur 5: Antalet ankomster per timme I grafen nedan presenteras hur stor andel av försäljningen som representeras av varje produktkategori, timme för timme. Blått representerar kaffe, orange står för juice och grå motsvarar andelen smörgåsar. 17

Figur 6: Andelen produkter beställda för de olika produktkategorierna Vid bemanningsplanering arbetar Joe & the Juice idag med treminutersintervall som ett mått på hur effektiv produktionen är. Tabell 3 anger den målbild som idag finns kring produktionstider, presenterat som hur många produkter en medarbetare ska kunna producera under en treminutersperiod. (Widén, 2016) Antal Minuter Kaffe 3 3 Juice 5 3 Macka 5 3 Tabell 3: Uppskattad tidsåtgång vid produktion, per produkt I Tabell 4 anges de riktlinjer som Joe & the Juice idag tillämpar vid bemanning avseende beläggningsgrad. Riktlinjerna baseras endast på de produktionstider angivna i Tabell 3, och bortser helt från eventuella kötider. 18

Antal Min antal Max antal medarbetare produkter produkter 1 15 30 2 31 70 3 71 110 4 111 150 5 151 190 6 191 230 7 231 270 8 271 310 9 311 350 10 351 390 11 391 430 Tabell 4: Produkter per timme för olika antal medarbetare Slutligen anges en genomsnittlig bemanningsgrad för undersökt period i Tabell 5. Vardag Lördag Söndag 10:00-11:00 1.42 1.88-11:00-12:00 2.22 2.04-12:00-13:00 3.87 3.38 3.00 13:00-14:00 3.04 5.00 3.88 14:00-15:00 2.65 5.00 3.65 15:00-16:00 2.03 4.42 3.46 16:00-17:00 1.99 3.68 2.62 17:00-18:00 1.67 2.77-18:00-19:00 1.06 - - 19:00-20:00 1.02 - - Tabell 5: Bemanningsgrad för respektive timme och dag 3.1.2 Avgränsning i data Den data som tillhandahållits är otillräcklig för att beräkna kunders totala tid i systemet, då uppgifter om serviceintensitet i kassan saknas. Bakgrundsbeskrivningen är dock tydlig med att det är momentet när kunderna väntar på sina produkter, efter beställningsmomentet, som är centralt. Beställningsmomentet hamnar, mot bakgrund av detta, utanför de matematiska beräkningarna. Vidare saknas information om större kostnader såsom lokalhyror. Dessa kostnader bedöms dock varken påverkas av eller kunna påverka arbetets utfall. Utanför tillhandahållen data ligger även lönebild för enskilda anställda, då det är upp till företaget att avgöra vilka anställda som behöver vara på plats. 19

3.2 Tillvägagångssätt Följande avsnitt bygger på den teoretiska ramen samt insamlad data. Initialt beskrivs verksamheten som den ser ut idag, därefter presenteras antaganden och den modell som arbetet mynnat ut i. 3.2.1 Verksamheten idag Juicebaren kan kartläggas som ett flöde av kunder som anländer och gör beställningar efter preferenser och tycke. Ankomsterna och därmed beläggningsgraden varierar under dagen, men indelat i kortare perioder kan ankomstintensiteten beräknas till ett genomsnittligt värde. I enlighet med tillhandahållen data anges dessa timvis. Samtliga kunder som anländer till systemet ställer sig, om det finns kunder som inte har blivit betjänade, sist i kön till kassan. I tur och ordning meddelar kunderna vilka produkter de önskar samt betalar för dem. I arbetet refereras hela detta moment till som beställning. Kassan har korta servicetider, vilket medför att kötiderna till denna station är förhållandevis korta. Dröjsmålet för kunderna är väntan på produkterna, vilket även är den del av systemet som arbetet undersöker. Efter beställning får kunden på valfri plats i lokalen vänta tills samtliga produkter i beställningen producerats och kan levereras. I Figur 7 nedan syns en första modell av flödet genom kösystemet. Notera dock att det är kundens beställning, och inte kunden själv, som fortsätter inom kösystemet. Figur 7: Kösystemet Det som bilden ovan bortser från är att kunder beställer produkter ur flera produktkategorier samtidigt. I detta fall ställer sig kunden i kö till flera produktionsstationer simultant. När hela beställningen är färdigställd meddelas kunden. Väntetiden från beställning blir således densamma som ledtid för den produkt som vid tillfället tar längst tid. 20

I modellen nedan visas respektive produktionslinje tydligare, en modell som bygger på att kundens beställning redan delats upp på respektive produktkategori. Den station som avviker är produktionen för smörgåsar då den är uppdelad på två stationer. Innan brödet fylls enligt kundens beställning grillas det i ungefär en minut. Detta moment upptar försumbart av medarbetarnas tid, men är en faktor som påverkar kundens väntetid. Som bilden visar kan totalt sex smörgåsar grillas samtidigt. Figur 8: Kösystemet uppdelat i produktlinjer 3.2.2 Antaganden I detta avsnitt presenteras de antaganden som är nödvändiga för implementering av modellen. Det är i första hand dessa antaganden som ligger till grund för diskussionsdelen, där överensstämmelse med verkligheten undersöks. Beställningar som enskilda produkter Ett centralt antagande för modellansatsen är att produkterna inom varje beställning modelleras som enskilda, oberoende, produktankomster. Antagandet grundar sig på det faktum att en produkt produceras på samma sätt oberoende av i vilken kombination den beställts. Kundens beställning tar aldrig längre tid att producera än den ledtid som för tillfället är längst. Detta då produktionen sker simultant. Ankomster som en poissonprocess Ett grundläggande antagande är att produkterna anländer oberoende av varandra. Följande punkter ligger till grund för detta: Att en kund beställer två produkter ur samma produktkategori är ovanligt. (Widén, 2016) Då produkterna i beställningen går in i separata kösystem blir förväntad väntetid på en produkt densamma oavsett när under timmen den beställts. Detta bygger på att systemet undersöks vid stationärt tillstånd. 21

Det finns inga särskilda kombinationer som säljs i högre frekvens. (Widén, 2016) Vad en kund beställer ur en produktkategori är med andra ord oberoende av om kunden även beställer produkter ur andra kategorier. Köerna modelleras separat enligt Figur 8. Vilken produkt en kund beställer beror på personliga premisser. Modellen bortser från eventuell påverkan av sociala faktorer, som att sällskap gör liknande beställningar. Eftersom kunderna inte har insikt i väntetiden för respektive produktkategori då denna kö är osynlig påverkar det inte kundens val. Utöver detta krävs ett antagande om att tiden mellan ankomsterna är exponentialfördelade. Detta är ett allmänt vedertaget antagande vid ankomstprocesser till kioskverksamheter och dylikt. (Enger och Grandell, 2006) Således kan det även appliceras för att beskriva ankomsterna till en juicebar. Det innebär att man delvis bortser från eventuella tendenser som att kunderna kommer i grupper. Exponentialfördelningen innehar en glömskeegenskap, vilken inte kan anses förenlig med stora sällskap som anländer samtidigt. Deterministiska servicemoment Vid upplärning av nyanställda arbetar Joe & the Juice i stor utsträckning med produktionstiderna för respektive artikel. Arbetsmomenten är standardiserade och begränsade till antalet för varje produkt. Mot bakgrund av detta har Joe & the Juice insikt i hur många produkter som kan levereras vid olika nivåer av bemanning. Dessa skiljer sig försumbart inom respektive produktkategori, och ska även variera ytterst lite mellan olika anställda. (Widén, 2016) Serviceintensiteten på respektive produktstation kan därför antas vara deterministisk. Det som blir ett viktigt antagande för servicemomenten bygger snarare på mänskliga faktorer, att tempot till viss del förändras vid olika beläggningsgrad. Under arbetet med modellen förutsätts att samtlig personal alltid arbetar i det tempo tillfället kräver. Att en medarbetare håller lägre arbetstempo till fördel för bättre service när beläggningen är låg anses inte vara ett problem. Mot bakgrund av detta innefattar modellen deterministiska servicemoment. Kunder som ansluter sig till systemet lämnar inte i förtid Då modellberäkningarna bygger på reella försäljningssiffror saknas information om kunder som lämnar juicebaren utan att genomföra en beställning. Modellen bortser från dessa då de inte påverkar de undersökta produktionslinjerna. Mot bakgrund av detta är det endast de kunder som genomför en beställning, och därmed betalning, för att sedan inte invänta leverans som skulle kunna påverka modellen. Eftersom produkterna i det fallet skulle produceras ändå, kommer kötid för övriga kunder påverkas och de kunder som lämnar i förtid påverkar således inte modellen. En modell som inte exploderar I de matematiska modeller som arbetet bygger på förutsätts ρ < 1. Mot bakgrund av detta modelleras serviceintensiteten för att uppfylla en trafikintensitet mindre än ett innan önskemål om förväntade väntetider beaktas. 22

3.2.3 Modellbeskrivning Med de antaganden som behandlas i föregående stycke kan kösystemet modelleras enligt följande: Produkter anländer, en åt gången. Även de kunder som beställer flera produkter återger modellen som enskilda produkter med oberoende ankomster. Produkten ansluter sig till kön för aktuell produktlinje. Produkten väntar i kön på att produceras. Produkten tillverkas och levereras till kund. Modellen innebär att produkter lämnas ut kontinuerligt, oavsett om kunder beställer flera produkter. Väntetiden för en kund blir då ledtid för den produkt som för tillfället tar längst tid att producera. Detta överensstämmmer med verkligheten. 3.2.4 Arbetets förfarande 1. Sammanställa ankomstintensiteter för respektive tidsperiod. Dessa ankomstintensiteter representeras av λ och är härledda från given data. För att modellen ska bli verklighetstrogen krävs separata beräkningar för respektive timme, samt med hänsyn till om det är vardag, lördag eller söndag. 2. Sammanställa andelen produkter från varje produktkategori för respektive timme. Detta motsvarar sannolikheten att en viss produkt beställs. Andelarna återges per timme. 3. Sammanställa de intervall inom vilka väntetiderna för varje produkt bör falla, detta både med hänsyn till dag och tid. Dessa bygger på önskemål från Joe & the Juice och återfinns som bilagor i avsnitt 9.1. Önskemålen utgörs av två värden, ett övre och ett undre. 4. Med hjälp av Pollaczek-Khintchine-formeln från avsnitt 2.8 beräknas de betjäningsintensiteter som krävs för att uppnå önskade väntetider. 5. Kötiden, L q, från avsnitt 2.8 är ett mått på förväntad kötid. Framtagna värden undersöks på två sätt: (a) Resultaten jämförs med en simulering som ska vara en iscensättning av verkligheten. (b) Sannolikheten att önskade kötider uppnås beräknas med hjälp av Tabell 1 och Tabell 2. 3.2.5 Simulering Det finns exempel där köteori använts för att beräkna genomsnittliga kötider med flera variabler. (Hillier och Lieberman, 2015) Den auskultation som skett har till viss del kunnat styrka de matematiska resultat som framkommit, däribland genomsnittliga produktionstider och den tid en kund stannar i systemet. Det finns en faktor som kan vara svår att väga in - ett rent slumpmässigt beteende som system med människor inblandade tenderar att ha. Företag som producerar mot order, och därmed ofta har längre ledtider, kan uppleva oönskat långa köer vid tillfällig beläggningsökning. Vidare använder Joe & the Juice 23

uteslutande antal produkter sålda per timme som mått på beläggningsgrad vilket styr bemanningen. För att dessa siffror ska vara rättvisande förutsätts gäster anlända någorlunda jämnt under den aktuella timmen. Den matematiska analysen har därför kompletterats med en simulering för att återskapa samtliga flöden. Simuleringen har sedan använts för resonemang kring de matematiska modellernas riktighet. Simuleringen bygger på de serviceintensiteter som den matematiska analysen resulterat i, och iscensätter därmed de bemanningsnivåer som beräknats analytiskt. Simuleringen stegar fram sekundvis enligt följande algoritm: En slumpad poissonfördelad vektor anger huruvida det under en sekund anländer en kund eller inte. Om en kund anländer genereras en beställning baserad på sannolikheterna för respektive produktkategori. Produkten går till den specifika stationen, vid kö för att vänta annars för att produceras. Kötiden minskar för varje separat produktionslinje förutsatt att den inte är tom på produkter. Algoritmen ger väntetider av varierat slag. Mot bakgrund av detta körs simuleringen flera gånger, där 1000 gånger visade sig vara tillräckligt. Simuleringens styrka ligger i att hänsyn tas till de helt slumpmässiga ankomsterna och deras påverkan på kötiden, där ankomstprocessen är en renodlad Poissonprocess. Genomsnittet av många körningar utgör ett komplement till den matematiska analysen. 24

4 Resultat Detta avsnitt redogör för de serviceintensiteter som krävs för att nå uppsatt mål för väntetiderna. Avsnittet behandlar även sannolikheten för olika utfall av väntetid. 4.1 Fastställd serviceintensitet Mot bakgrund av den målbild som Joe & the Juice har kring väntetider, vilken återfinns i bilaga 10.1, beräknas serviceintensiteter. Notera att Joe & the Juice gett ett intervall inom vilken tidsram en kund ska få sin produkt från beställning. Detta intervall visar sig nedan i form av fyra kolumner per tidsperiod, två för den undre gränsen och två för den övre. För att genomsnittet av tiden kunderna behöver vänta på sin produkt ska falla inom önskat intervall behöver serviceintensiteten ligga mellan de värden som återges i tabellen. Resultatet presenteras i form av betjäningsintensiteten µ, det vill säga det antal ur produktkategorin som behöver kunna produceras under en timme, samt antal, vilket motsvarar det antal som behöver kunna produceras under tre minuter. Det är således siffran under antal som Joe & the Juice kan använda sig av vid bemanningsplaneringen. Vardag Lördag Söndag Undre Övre Undre Övre Undre Övre µ antal µ antal µ antal µ antal µ antal µ antal 10:00-11:00 31 1.55 61 3.05 31 1.55 61 3.05 - - - - 11:00-12:00 31 1.55 61 3.05 31 1.55 61 3.05 - - - - 12:00-13:00 31 1.55 61 3.05 31 1.55 61 3.05 31 1.55 61 3.05 13:00-14:00 31 1.55 61 3.05 32 1.60 62 3.10 31 1.55 61 3.05 14:00-15:00 31 1.55 61 3.05 32 1.60 62 3.10 32 1.60 61 3.05 15:00-16:00 31 1.55 61 3.05 33 1.65 62 3.10 32 1.60 61 3.05 16:00-17:00 31 1.55 61 3.05 32 1.60 61 3.05 31 1.55 61 3.05 17:00-18:00 31 1.55 61 3.05 31 1.55 61 3.05 - - - - 18:00-19:00 31 1.55 61 3.05 - - - - - - - - 19:00-20:00 31 1.55 61 3.05 - - - - - - - - Tabell 6: Serviceintensitet för kaffe Som redovisat är kraven på tillverkningstid för kaffe snarlik oavsett tid på dagen eller dag på veckan. Med en serviceintensitet enligt tabellen faller förväntad väntetid för kaffe inom det intervall som Joe & the Juice definierat. 25

Vardag Lördag Söndag Undre Övre Undre Övre Undre Övre µ antal µ antal µ antal µ antal µ antal µ antal 10:00-11:00 23 1.15 42 2.10 23 1.15 42 2.10 - - - - 11:00-12:00 32 1.60 49 2.45 30 1.50 47 2.35 - - - - 12:00-13:00 51 2.55 55 2.75 46 2.30 53 2.65 30 1.50 40 2.00 13:00-14:00 33 1.65 43 2.15 63 3.15 68 3.40 43 2.15 51 2.55 14:00-15:00 28 1.40 40 2.00 67 3.35 72 3.60 45 2.25 53 2.65 15:00-16:00 28 1.40 40 2.00 62 3.10 67 3.35 42 2.10 51 2.55 16:00-17:00 29 1.45 41 2.05 52 2.60 60 3.00 33 1.65 44 2.20 17:00-18:00 31 1.55 49 2.45 35 1.75 52 2.60 - - - - 18:00-19:00 25 1.25 44 2.20 - - - - - - - - 19:00-20:00 22 1.10 42 2.10 - - - - - - - - Tabell 7: Serviceintensitet för juice Tabell 7 redovisar de serviceintensiteter som ger accepterade förväntade väntetider för juicestationen. Tydligt blir att det finns betydligt större variationer än i motsvarade tabell för kaffe. Vardag Lördag Söndag Undre Övre Undre Övre Udre Övre µ antal µ antal µ antal µ antal µ antal µ antal 10:00-11:00 21 1.05 61 3.05 21 1.05 61 3.05 - - - - 11:00-12:00 31 1.55 67 3.35 29 1.45 66 3.30 - - - - 12:00-13:00 54 2.70 62 3.10 47 2.35 56 2.80 35 1.75 59 2.95 13:00-14:00 29 1.45 48 2.40 56 2.80 63 3.15 38 1.90 54 2.70 14:00-15:00 25 1.25 63 3.15 46 2.30 58 2.90 34 1.70 67 3.35 15:00-16:00 23 1.15 62 3.10 33 1.65 66 3.30 26 1.30 63 3.15 16:00-17:00 22 1.10 61 3.05 25 1.25 63 3.15 22 1.10 62 3.10 17:00-18:00 22 1.10 62 3.10 23 1.15 62 3.10 - - - - 18:00-19:00 32 1.60 56 2.80 - - - - - - - - 19:00-20:00 32 1.60 56 2.80 - - - - - - - - Tabell 8: Serviceintensitet för smörgås Tabell 8 visar motsvarande siffror för smörgåsstationen. Vad som däremot måste tas i beaktning är att siffrorna endast gäller den andra delen av smörgåsstationen, M/D/1-kön, som presenteras i Figur 9 nedan. 26

Figur 9: Smörgåsstationen Resultatet i Tabell 8 visar med andra ord intensiteten för den andra delen av smörgåsstationen. Notera att summan av väntetiden i M/D/6-systemet och M/D/1-systemet då hamnar inom de värden som Joe & the Juice önskat. Tabellen ovan presenterar endast serviceintensiteten för den andra stationen, då det är den del av produktionslinjen som går att påverka. 4.2 Modellvalidering För att kunna fastställa huruvida modellen återger en korrekt bild av verkligheten undersöks modellen med två metoder. Först presenteras resultaten från simuleringen. Vidare kompletteras detta med sannolikheter för olika utfall. 4.2.1 Simulering Resultatet av simuleringen består av de genomsnittliga väntetider som uppstår när serviceintensiteter från det matematiska resultatet används. Ambitionen är att undersöka i vilken utsträckning väntetiderna faller nära den målsättning som Joe & the Juice har. I Tabell 9 återges de väntetider som uppstår när den högre serviceintensiteten från Tabell 6-8 används, det vill säga den undre gränsen för väntetiderna. Tabell 10 presenterar istället de väntetider som uppstår till följd av de undre gränserna för serviceintensiteten, med andra ord en övre gräns för väntetiderna. De grönmarkerade siffrorna innebär att den simulerade väntetiden överensstämmer med den tillåtna väntetiden och är maximalt en halv minut längre än målbilden. Rött innebär en genomsnittlig väntetid som är mer än en halv minut längre än uppsatta mål. Denna gräns representerar den felmarginal som Joe & the Juice valt att acceptera. 27

Vardag Lördag Söndag Kaffe Juice Smörgås Kaffe Juice Smörgås Kaffe Juice Smörgås 10:00-11:00 1.01 1.58 2.01 1.01 1.56 2.01 - - - 11:00-12:00 1.03 1.72 2.09 1.01 1.76 2.09 - - - 12:00-13:00 1.08 3.88 3.75 1.06 3.00 3.85 1.03 2.71 2.36 13:00-14:00 1.05 2.46 2.85 1.14 3.57 4.10 1.08 2.72 2.98 14:00-15:00 1.03 2.36 2.09 1.15 3.30 3.25 1.08 2.75 2.18 15:00-16:00 1.04 2.27 2.05 1.13 3.39 2.23 1.08 2.46 2.13 16:00-17:00 1.03 2.16 2.06 1.10 2.50 2.12 1.04 2.35 2.06 17:00-18:00 1.01 1.61 2.05 1.01 1.60 2.07 - - - 18:00-19:00 1.00 1.60 1.51 - - - - - - 19:00-20:00 0.99 1.54 1.50 - - - - - - Tabell 9: Kortare väntetider som resultat av simulering Vardag Lördag Söndag Kaffe Juice Smörgås Kaffe Juice Smörgås Kaffe Juice Smörgås 10:00-11:00 2.04 3.11 4.10 2.04 3.12 4.10 - - - 11:00-12:00 2.09 4.22 4.88 2.09 3.89 4.64 - - - 12:00-13:00 2.34 5.47 6.22 2.28 5.04 6.76 2.14 5.46 4.92 13:00-14:00 2.25 5.42 6.83 2.88 5.07 6.47 2.45 5.20 6.72 14:00-15:00 2.16 5.11 4.87 2.85 4.69 6.86 2.34 5.01 5.56 15:00-16:00 2.12 4.85 4.48 2.68 4.79 5.90 2.26 4.76 5.18 16:00-17:00 2.11 4.46 4.43 2.40 4.31 5.57 2.15 4.77 4.49 17:00-18:00 2.06 3.48 4.667 2.09 3.48 4.71 - - - 18:00-19:00 2.00 3.36 3.16 - - - - - - 19:00-20:00 1.95 3.17 3.03 - - - - - - Tabell 10: Längre väntetider som resultat av simulering Simuleringen visar att även om bemanningen planeras direkt efter de förväntade väntetider som matematisk analys tillhandahåller finns risken att de slumpmässiga ankomsterna bidrar till kö och oönskat långa väntetider. Risken för detta ökar med en mindre resursbuffert, det vill säga vid lägre bemanning. Detta visar tabellerna ovan, där i synnerhet söndagar men även den lägre nivån för bemanning resulterar i fler tidpunkter då väntetiden överstiger accepterade nivåer. Vid dessa tillfällen får de slumpmässiga ankomsterna större påverkan på den genomsnittliga väntetiden. 4.2.2 Sannolikheter Genom att använda de sannolikheter som presenteras i avsnitt 2.8.3 ges ett mått på i vilken utsträckning bemanningen leder till väntetider inom önskat intervall. Tabell 11-13 nedan utgår ifrån de trafikintensiteter, ρ, som modellen genererat och presenterar den maximala väntetid som till 90 % erhålls. Gränsen valdes mot 28

bakgrund av den tidsmässiga felmarginal Joe & the Juice accepterar. Vidare motsvarar Lång den längre väntetid som uppstår av den lägre bemanningsgränsen, och Kort motsvarande för den övre bemanningsgränsen. De värden som färgats gröna faller inom ramen för önskade väntetider. De rödmarkerade tidpunkterna innebär att sannolikheten att väntetiden ligger utanför den uppsatta målbilden är större än 10%. Ur tabellerna kan det utläsas att modellen har högre precision för timmar med lägre beläggning, medan den under försäljningspikar rekommenderar en lägre bemanning än den eventuellt bör. Vardag Lördag Söndag Lång Kort Lång Kort Lång Kort 10:00-11:00 2 1 2 1 - - 11:00-12:00 2 1 2 1 - - 12:00-13:00 2 1 2 1 2 1 13:00-14:00 2 1 2 1 2 1 14:00-15:00 2 1 2 1 2 1 15:00-16:00 2 1 2 1 2 1 16:00-17:00 2 1 2 1 2 1 17:00-18:00 2 1 2 1 - - 18:00-19:00 2 1 - - - - 19:00-20:00 2 1 - - - - Tabell 11: Väntetid för kaffe, minuter Vardag Lördag Söndag Lång Kort Lång Kort Lång Kort 10:00-11:00 3 1.5 3 1.5 - - 11:00-12:00 3 1.5 3 1.5 - - 12:00-13:00 5 2.5 4 2 4 2 13:00-14:00 4 2 5 2.5 4 2 14:00-15:00 4 2 5 2.5 4 2 15:00-16:00 4 2 5 2.5 4 2 16:00-17:00 4 2 4 2 4 2 17:00-18:00 3 1.5 3 1.5 - - 18:00-19:00 3 1.5 - - - - 19:00-20:00 3 1.5 - - - - Tabell 12: Väntetid för juice, minuter 29

Vardag Lördag Söndag Lång Kort Lång Kort Lång Kort 10:00-11:00 4 2 4 2 - - 11:00-12:00 4 2 4 2 - - 12:00-13:00 6 3 6 3 4 2 13:00-14:00 5 2.5 6 3 5 2.5 14:00-15:00 4 2 5 2.5 4 2 15:00-16:00 4 2 5 2 4 2 16:00-17:00 4 2 4 2 4 2 17:00-18:00 4 2 4 2 - - 18:00-19:00 3 1.5 - - - - 19:00-20:00 3 1.5 - - - - Tabell 13: Väntetid för smörgås, minuter 30