Modul: Problemlösning Del 1: Matematiska problem Känsla för problem Lovisa Sumpter När vi arbetar med matematik är det många faktorer som påverkar det vi gör. Det är inte bara våra kunskaper i ämnet som styr hur det går för oss. Även affektiva faktorer som känslor, motivation och uppfattningar influerar. Den här texten handlar om uppfattningar; både hur de påverkar oss och hur vi skapar dem. Pehkonen (2001) beskriver uppfattningar som en subjektiv kunskap som formas av de erfarenheter och kunskaper som en person har upplevt. Uppfattningar kan delas in i fyra delar (Schoenfeld, 1985). Den första delen innefattar uppfattningar om matematik som ämne. Den andra delen handlar om uppfattningar om sig själv som utövare av matematik. Den tredje delen består av uppfattningar hur matematikundervisning ska bedrivas och den sista omfattar uppfattningar om hur matematikinlärningen ska ske. Men det vi gör påverkar också hur vi känner, tycker och tror om undervisning. Alla dessa olika typer av uppfattningar påverkar sedan de beslut som vi tar i klassrummet. Pehkonen påpekar att elevers uppfattningar avspeglar de sätt som matematikundervisningen utövas på. Här betonas hur elevers uppfattningar om matematik formas och påverkas utifrån deras erfarenheter av matematikundervisning. Man kan beskriva det som en cyklisk process (se Figur 1). Agerande Affekt Figur 1: Påverkan som processer Forskning visar att det finns en nära koppling mellan atmosfären i ett klassrum och lärandeframgång samt emotionella och sociala erfarenheter. Hur man upplever, känner, tycker och tror påverkar alltså lärandet. Vad tycker elever om matematik och matematikundervisning? I Skolverkets rapport Lusten att lära kan vi läsa att i Sverige är elevers motivation för att göra matematik relativt stor i de första årskurserna för att bli som störst i åk 4 5. Därefter avtar intresset och motivationen med tiden. Forskning visar dock att denna vändpunkt kommer tidigare. I årskurs 2 är i princip alla elever positiva till matematik. Den oftast förekommande beskrivningen av matematikundervisning är att sitta ensam i sin bänk och räkna uppgifter ur sin bok. Eleverna anger positiva känslor och motivation till ämnet. http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (7)
Figur 2: Bild ritad av en elev i åk 2 (Blomqvist, Elamari, & Sumpter, 2011). Elevens skriver: jete glad ; göra matte uppgifter. Om man frågar elever i åk 5 ger de samma svar på vad matematikundervisning är, sitta ensam i sin bänk och räkna uppgifter ur en bok, men betydligt fler uttrycker negativa känslor med ingen eller lite motivation att arbeta i ämnet. I jämförelse med ämnet svenska var förändringen markant större där åk 5 eleverna behåller sin positiva inställning till ämnet. Figur 3: Bild ritad av en elev i åk 5 (Blomqvist, Elamari, & Sumpter, 2011). Elevens skriver: Jag försöker fokusera men ibland går det inte så bra för det är så tråkigt. Precis som med känslor uttrycks motivationen till ämnet mer negativt jämfört med eleverna i åk 2. Färre elever i åk 5 anger svar som innefattar en inre positiv motivation till ämnet. Ett ofta förekommande svar till frågan varför de gör matematik var jag gör matematik för att jag måste, medan eleverna i åk 2 svarade att de ville bli smarta eller att ämnet är viktigt. Även under en lektion kan man se förändringar i elevers uttryckta uppfattningar och känslor, från att först uttrycka lite glädje till att vara betydligt mer negativa (se Figur 4 och Figur 5). http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (7)
Figur 4: Bild ritad av en elev i åk 5 före matematiklektion (Dahlgren Johansson & Sumpter, 2010). Elevens svar: Oftast när vi har matte vill jag prata. Men ibland vill jag jobba. Figur 5: Bild ritad av samma elev som ovan efter matematiklektion (Dahlgren Johansson & Sumpter, 2010). Elevens svar: När vi har matte vill jag sova eller prata. Hur ska vi då göra för att bibehålla glädjen och motivationen som eleverna i åk 2 uttrycker? En lösning är att ändra arbetssätt, helt eller delvis. Elever som har fått arbeta med problemlösning och att skapa matematiska resonemang har en mer positiv inställning till matematik även flera år efter att studierna har avslutats och detta i jämförelse med elever som har fått en så kallad traditionell undervisning. Hur hänger problemlösning och affektiva området ihop? Låt oss titta på hur affekt kan påverka ens agerande. Pehkonen (2001) beskriver processen på följande vis: Samhälliga myter om matematik En viss elevs syn på matematik En elevs matematiska beteende Figur 6: Affekt som påverkan på beteende. http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (7)
Som vi kan se i Figur 6 påverkas agerandet av individens syn på matematik, men detta är i sin tur format av det sociala sammanhanget. Vi måste lyfta blicken från individen och titta på helheten för att förstå olika uppfattningar och vad de kan ha för konsekvenser. Vanliga uppfattningar i problemlösning Det finns en hel del kunskap om vad det finns för uppfattningar och hur dessa samverkar. Schoenfeld (1985) fann att följande stabila uppfattningar ( beliefs ) ofta hade direkta konsekvenser i lösning av problemuppgifter: Formell matematik har lite eller inget att göra med problemlösning. Konsekvens: Om ett problem kräver att man ska tänka på ett nytt sätt kommer formell matematik inte vara inblandad. Matematiska problemuppgifter löses inom 10 minuter, om de kan lösas överhuvudtaget. Konsekvens: Om en student inte har löst en uppgift inom 10 minuter så ger de upp. Bara genier är kapabla till att finna eller skapa matematik. Konsekvenser: (1) Det är synd om du som student/elev glömmer bort något eftersom du inte är kapabel att skapa något själv; (2) Studenter/elever accepterar procedurer rakt av och försöker inte förstå varför procedurerna fungerar. Sådan kunskap kommer från ovan. Man kan tänka sig att det finns andra eller alternativa konsekvenser. En variant som har observerats i pilotstudier är att yngre elever (åk 2 till åk 6) ger upp sin lösning redan efter fem minuter. De uppvisar en kortare uthållighet vilket inte är ett orimligt beteende eftersom de flesta uppgifter i svenska läroböcker för den här åldersgruppen kan lösas inom ett par minuter. Man kan också fråga andra aktörer om uppfattningar av den här typen. Hos lärare är vanliga svar att det är duktiga elever som klarar av problemlösning och att problemlösning består av att göra en kluring som en rolig aktivitet. Matematik lär man sig genom att upprepa http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (7)
procedurer i en bok. Thompson (1989) har studerat lärares uppfattningar om problemlösning och fann följande återkommande teman: Det är svaret eller lösningen som räknas i matematiken; när man väl kommit fram till ett svar är problemet löst. Man måste få fram sitt svar på det rätta sättet. Ett svar på en matematisk fråga utgörs vanligtvis av ett tal. Varje kontext (problemformulering) är förknippad med en unik procedur för att komma fram till ett svar. Nyckeln till framgångsrik problemlösning är att man vet och kommer ihåg vad som ska göras. Liknande uppfattningar kan vi även se hos elever (Frank, 1988): Matematik är räkning Matematiska problem bör lösas snabbt i bara några få steg Målet för matematikstudiet är att få det rätta svaret. Den matematikstuderandes roll är att skaffa sig matematisk kunskap och att kunna visa att man mottagit kunskapen Matematiklärarens roll är att överföra eller förmedla matematisk kunskap och att förvissa sig om att eleverna lärt sig denna kunskap. Sammantaget ger dessa uppfattningar en ganska snäv bild vad matematik är och hur matematikundervisning ska gå till. Här finns information om vad lärare och elever förväntar sig av matematikundervisningen. Ett annat sätt att beskriva detta fenomen är att använda begreppet normer. Normer kan definieras som föreställningar och värderingar. Normer skapas och förändras kontinuerligt och i klassrummet sker det i samverkan mellan lärare och elev. Vissa normer blir mer dominerande än andra och kan ha större påverkan, exempelvis vad som anses vara en lösning till en uppgift. Uppfattningar och normer av den här typen ingår inom det som ibland kallas för det didaktiska kontraktet. Det didaktiska kontraktet kan enkelt beskrivas som förväntningar om undervisningens innehåll och utförande som lärare och elever har kommit överens om. Vad man anser, tror, tycker och känner kan fungera som ett hinder när man vill göra förändringar i undervisningen för då bryter man kontraktet som, mer eller mindre dolt, finns etablerat. Som lärare är det viktigt att ha detta i åtanke när man exempelvis vill introducera ett nytt arbetssätt eller en ny typ av bedömningsform. Eventuella negativa reaktioner kan bero på att man utmanar sina egna eller andras uppfattningar eller ändrar på normer och/ eller didaktiska kontrakt som man tidigare har kommit överens om. http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (7)
Genus och affekt Uppfattningar och genus är starkt knutet till varandra. Ett uttryckssätt av denna koppling är det vi kallar för könsstereotypiska fördomar, det vill säga uppfattningar som är tillskrivna ett visst kön. Leder (2007) konstaterar att i matematik är detta särskilt påtagligt och forskning har sedan 1970-talet utforskat uppfattningar samt beteenden och prestationer i matematik. Exempel på uppfattningar om sig själv som utövare av matematik är att flickor som lyckas inom matematik hänvisar ofta till tur. När det går dåligt beror det däremot på bristande förmåga. Pojkar däremot hänvisar goda resultat inom matematik till deras förmåga och dåliga resultat till brist på arbete och engagemang. Trots att man känner till vilken stor roll dessa könsstereotypiska fördomar spelar och att det inte handlar om en biologisk skillnad utan en social struktur vet vi fortfarande relativt lite om själva skapandet av genus med avseende på matematik. Hur blir pojkar och flickor olika i matematik? Internationell forskning visar att det finns skillnader mellan flickors och pojkars strategival när de löser uppgifter i matematik. Dessa skillnader utvecklades över tid; det fanns inga skillnader mellan könen i första klass (när barnen var 5 år) vad det gäller valda strategier, men tre år senare tenderade flickorna att välja den strategi som lärarna hade visat dem medan pojkarna visade ett mer abstrakt och kreativt matematiskt tänkande. Skillnader av den här typen är ett resultat av det sociala samspelet. Det vi gör (som lärare, förälder eller annan aktör) påverkar eleverna och detta även på lång sikt. Svensk forskning indikerar att förskolelärare interagerar olika med pojkar och flickor i matematik (Sumpter, 2012). Flickor förväntades att göra mer för att deras lösning skulle räknas som färdig och pojkarnas resonemang lyftes oftare fram i det gemensamma talutrymmet. Dock behövs mer kunskap om detta komplexa område. Vi vet att slutresultat är att både pojkar och flickor på högstadiet och gymnasiet upplever matematik som ett manligt område. Referenser Blomqvist, A., Elamari, U., & Sumpter, L. (2012). Grade 2 and Grade 5 students conceptions about mathematics and mathematics education. I Proceedings of NORMA 11: The sixth Nordic conference on mathematics education (s.187-196). Reykjavik. Dahlgren Johansson, A & Sumpter, L. (2010). Children s conceptions about mathematics and mathematics education. I K. Kislenko (red.) Current State of Research on Mathematical Beliefs XVI (s. 77-88). Tallinn: OÜ Vali Press. Frank, M. (1988). Problem solving and mathematical beliefs. Arithmetic Teacher, 35 (5), 32-34. Leder, G. (2007). Affect and mathematics learning. I J. Maasz & W. Schloeglmann (red.), New Mathematics Education Research and Practice (s..203-208). Rotterdam: Sense Publishers. http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (7)
Pehkonen, E (2001). Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i matematikundervisningen I Grevholm, B. (red.), Matematikdidaktik Ett nordiskt perspektiv (s. 230-256). Lund: Studentlitteratur Schoenfeld, A.H. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando, FL: Academic Press. Skolverket (2003). Lusten att lära. Stockholm: Liber. Sumpter, L. (2012). Pre-school mathematics a gendered activity? Konferensartikel presenterad på ICME (12 th International Congress on Mathematical Education). Thompson, A.G. (1989). Learning to teach mathematical problem solving: changes in teachers conceptions and beliefs. I R.I. Charles & E. A. Silver (red.) The Teaching and Assessing of Mathematical Problem Solving (s. 232-243). Reston (Va): Lawrence Erlbaum & NCTM. http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (7)