PTG 015 Övning 4 1 Problem 1 En frys avger 10 W värme till ett rum vars temperatur är C. Frysens temperatur är 3 C. En isbricka som innehåller 0,5 kg flytande vatten vid 0 C placeras i frysen där den fryser helt på 18 minuter. Är frysningen irreversibel, reversibel eller omöjlig? För att bestämma detta bör man beräkna coefficient of performance (COP) för frysen och jämföra den med den bästa möjliga COP för en Carnot cykel under dessa förhållanden. Vi kan försumma energin som behövs för att kyla ner plastbrickan och endast beakta vattnet. Den latenta värmen för att frysa vatten är 333,7 kj/kg. Använd den specifika värmen för vatten vid 10 C. 1
Problem 1 Tillvägagångssätt: Beräkna mängden värme som vattnet måste avge för att frysa helt. Beräkna sedan kylningshastigheten och COP för frysen. Jämför COP med COP av en Carnot cykel. Ifall frysens COP är lägre än Carnots är processen möjlig, ifall de är lika är processen reversibel och ifall Carnots är lägre är processen omöjlig. Antagande: Plastbrickans massa är obetydlig. 3 Problem 1 Då vatten kyls från 0 till 0 avges en värmemängd enligt Q1 mcpt där den specifika värmekapaciteten vid konstant tryck fås ur Lerviks tabeller. Därmed kan vi räkna: Q kj 0,5 kg4,19 kgk 0 0 C 41,9 kj 1 4
Problem 1 Värmemängden som avges då vattnet fryser är: Q kj 0,5 kg 333,7 kg mhfrys Så den totala värmemängden är: 166,85 kj Q tot Q Q 1 41,9 kj 166,85 kj 08,77 kj 5 Problem 1 Då kylningen tar 18 min är värmeströmmen: Q Q t 08,770 kj 18 min 60 s/min tot 1 193,3 W Vi kan således beräkna COP för frysen enligt beskrivningen i kap 3 slide 109/10. 6 3
7 Problem 1 Då kylningen tar 18 min är värmeströmmen: Q L Q t tot 08,770 kj 193,3 W 18 min 60 s/min Vi kan således beräkna COP för frysen enligt beskrivningen i kap 3 slide 109/10. COP frys Q 1 Q Q 1 193,3 W 10 W 193,3 W 11,6 8 4
För Carnot gäller: Problem 1 COP Carnot Alltså gäller att 1 TH 1 T L 1 10,8 ( 73) K 1 ( 3 73) K COPfrys COP Carnot vilket betyder att processen är omöjlig. 9 Problem I en stor porös katalysatorplatta med tjockleken cm uppmättes en temperaturprofil i enlighet med figuren intill, som kan beskrivas med ekvationen: T 5 7 3 ( x) 31 000 x 10 x 1, 10 x där x är positionen räknad från ena sidan och T är temperaturen, i Kelvin. Materialets värmeledningskoefficient k = 40 W/(m K). Beräkna värmeströmmen Q (W/m ) från katalysatorn vid x = 0 m och x = 0,0 m. 10 5
Problem Vi har ekvationen som beskriver plattans 5 7 temperatur: T ( x) 31 000 x 10 x 1, 10 x Fouriers lag (slide 3 7/108, kap 5) beskriver värmeströmmen som: 3 11 1 6
Problem Vi har ekvationen som beskriver plattans 5 7 temperatur: T ( x) 31 000 x 10 x 1, 10 x Fouriers lag (slide 3 7/108, kap 5) beskriver värmeströmmen som: Q x k dt dx Derivering av T(x) ger: Svaren blir således: Q Q W m K W 40 m K dt dx 5 7 000 4 10 x 3,6 10 x 5 7 0 m 40 000 410 0 3,6 10 0 80 kw 5 7 K 0,0 m 000 410 0,0 3,6 10 0,0 m K m 176 kw m m 13 3 Problem 3 En termosflaska är fylld med 1 liter kaffe ( 1 kg, specifik värmekapacitet c p = 4, kj/(kg K)) vid T = 90 C. Trycket i flaskan är konstant 1 bar. Om den totala värmeöverföringskoefficienten (vid T = 0 C) är U = 0,80 W/(m K), hur lång tid tar det innan kaffet har svalnat till 80 C? Flaskans yta kan sägas vara totalt 0,07 m. Själva flaskans massa kan försummas. 14 7
Problem 3 Vi kan ställa upp en energibalans som beskriver hur förändringen i kaffets inre energi motsvarar den värme som överförs till omgivningen. 15 16 8
Problem 3 Vi kan ställa upp en energibalans som beskriver hur förändringen i kaffets inre energi motsvarar den värme som överförs till omgivningen. 17 Problem 3 ln ln 1 kg 400 0,80 J kgk ln W m K 0,07m 80 0 90 0 11561 s 18 9
Problem 3 Det tar ca 3 h 0 min för kaffet att svalna från 90 C till 80 C. 19 Problem 4 En plan murad vägg åtskiljer en eldstad, där temperaturen är 600 C, från ett lagerytrumme med temperaturen 30 C. Väggen består av två materialskikt: först 7 cm eldfast tegelmurning med värmeledningskoefficienten λ 1 = 0,85 W/(m K) och sedan 13 cm vanlig tegelvägg med λ = 0,4 W/(m K). Värmeöverföringskoefficienten kan på eldstadssidan antas vara h 1 = 95 W/(m K) och på lagersidan h = 30 W/(m K). Värmestrålningen kan försummas. λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 0 10
Problem 4 a. Beräkna vilken värmeströmtäthet Q (W/m ) under fortfarighet ( steady state ) kommer att passera genom väggen och rita en graf som visar temperaturfördelningen i väggen. λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 1 Problem 4 λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm Vi räknar ut den totala värmeöverföringskoefficienten för väggen. 11
3 Problem 4 λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 1 1 λ λ 1 7 cm 13 cm 1 0,07 m 0,13 m 95 W/m K 0,85 W/mK 0,4 W/mK 1 30 W/m K 0,4357 m K/W,95 W/m K 4 1
Problem 4 λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C " 7 cm 13 cm,95 W/m K 600 30 1308 W/m Med hjälp av detta värde kan vi räkna ut temperaturerna vid de olika gränsytorna. 5 Problem 4 λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm T 1 T 3 T 4 T 5 T " " λ 586, 478,5 " λ 73,6 6 13
Problem 4 λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm T 1 T 3 T 4 T 5 T Kontrollerar ännu att värdena stämmer även över den sista gränsen " 30 7 Problem 4 λ 1 λ h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 600 586 478 74 30 8 14
Problem 4 λ 1 λ λ 3 h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 5cm b. För att ytterliga minska värmeförlusten genom väggen tänker man på lagersidan lägga en isolering bestående av cellplastskivor med tjockleken 5 cm och λ 3 = 0,038 W/(m K), och smälttemperaturen 300 C. Beräkna den nya temperaturfördelningen i väggen då denna åtgärd har utförts. 9 Problem 4 λ 1 λ λ 3 h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 5cm 1 1 λ λ λ 1 1,75 m K/W 0,5709 W/m K " 35,4 W/m 30 15
Problem 4 λ 1 λ λ 3 h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 5cm T 1 T 3 T 4 T 5 T 6 T " " λ " λ 596,6 569,8 469,1 Plasten kommer att smälta 31 Problem 4 λ 1 λ λ 3 h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 5cm Kollar ändå vidare: T 1 T 3 T 4 T 5 T 6 T " λ " 40,9 30 3 16
Problem 4 λ 1 λ λ 3 h 1 h 600 C 30 C 7 cm 13 cm 5cm 600 596 570 470 41 30 33 Problem 5 En het kvävgasström (ṁ = 1,0 kg/s) med temperaturen T 0 = 500 C måste kylas ner och skickas därför genom ett långt rör med inre diametern D = 0,1 m och den konstanta väggtemperaturen T w = 00 C. En mätning utförs med ett termoelement vid L =,0 m efter inloppet, vilket ger mätvärdet T tc = 460 C. Målet med mätningen är att beräkna genomsnittliga värmeöverföringskoefficienten <h w > mellan gasen och väggen (i medeltal över längden L). a) Kolla ifall gasflödet är turbulent eller laminärt och beräkna värdet för genomsnittliga värmeöverföringskoefficienten <h w > (W/(m K)) baserat på termoelementets värde. Data för kvävgasen: Värmeledningen λ = 0,05 W/(m K), specifika värmen c p = 1000,0 J/(kg K), dynamiska viskositeten η =,0 10 5 Pa s, Prandtls tal Pr = 0,73. 34 17
35 Problem 5 Vi har alltså: Densiteten: Då volymströmmen inte är känd kan vi beräkna den enligt: V v A m d v 4 vd Re m V Insättning och användning av cirkelns area ger oss: v 4m d 36 18
Problem 5 Reynolds tal blir då 4md Re d 4m d 41 kg s 0,1m,0 10 3 63660 410 5 Pa s Strömmen är alltså turbulent. 37 38 19
39 Problem 5 Nu 0,03Re 0,8 D Pr n Nu 0,0363660 0,8 0,73 0,3 90 Ur uttrycket för Nusselts tal kan vi lösa ut h: h Nu 90 0,05 W m K d 0,1m 30 W m K 40 0
Problem 5 b) Temperaturvärdet från termoelementet T tc misstänks skilja från gasens temperatur T g p.g.a. värmestrålning från termoelementet till rörets väggar. Anta att termoelementet är sfäriskt med en diameter d tc = 1,0 mm och emissiviteten ε = 0,5, beräkna kvävgasens riktiga temperatur ( C) och det riktiga värdet för värmeöverföringskoefficienten <h w > (W/(m K)) 41 4 1
Problem 5 kg 4md 41 0,001 m tc ReD s 6366, 410 5 d (0,1 m),0 10 Pa s Termoelementet antas vara sfäriskt: Nu 1/ 4 0,5 /3 0,4 0,4 Re 0,06Re Pr 48, 3 D D då korrektionsfaktorn i slutet av uttrycket antas vara 1. surf 3 h tc Nu L 48,3 0,05 W m K 0,001 m 108 W m K 43 44
T g h tc Problem 5 Energibalans runt termoelementet: 0,5 5,6710 8 4 4 T T T T T g g W/m K 460 73 K tc 4 Ttc T h 4 tc 4 w tc T tc w 4 460 K 73 K 00 K 73 K 108 W/m K 4 T g 739 K 466 C 45 Problem 6 Ett cylindriskt ångrör med diametern D = 70 mm, utan isoleringsmaterial, går genom ett rum där luftens (T ) och väggarnas (T surr ) temperatur är 5 C. Rörets temperatur på utsidan är T s = 00 C och emissiviteten för värmestrålningen är ε = 0,8. Värmeöverföringskoefficienten för konvektiv värmeöverföring med omgivningen är h = 15 W/m K. Se figuren intill. Beräkna: a. Intensiteten för inkommande och utgående värmestrålningen G och E, i W/m. b. Den totala värmeströmmen som röret avger per längdenhet, i W/m. 46 3
Problem 6 Antaganden: Stationärt tillstånd; värmestrålningen mellan röret och rummet sker mellan en liten och en mycket större area; emissiviteten är lika med absorptionen. Lösning: Intensiteterna för inkommande och utgående värmestrålning kan räknas enligt: G T E T 4 sur 4 s W m K W m K 4 98 K 358 8 0,8 5,67 10 4 4 473 K 70 8 0,8 5,67 10 4 W m W m 47 Problem 6 Värmeförlusterna från röret sker genom konvektion till luften i rummet och genom strålning till rummets väggar: q q conv q rad q q L W 15 0,07m m K 4 4 T T DL T T q hdl s Värmeförlusterna per längdenhet fås då med: 00 C 5 C W m K 8 0,8 0,07 m 5,67 10 4 W W 577 41 998 m m W m s sur 4 4 4 473 98 K 48 4
Problem 7 En lågtrycksström av vattenånga ṁ S = 0, kg/s från en kristallisator som fungerar vid 50 C och 140 mbar = 14 kpa måste kondenseras i en s.k. shell and tube kondensor, m.h.a. vatten från den närliggande ån. Om somrarna kan åns vatten vara C, medan temperaturen vid vilken vattnet återlämnas från kondensorn till ån inte får överskrida 7 C. a. Vilket flöde skall flöda i rören och vilket genom skalet och varför? Är horisontell eller vertikal layout att föredra och varför? b. Vad måste kondensorns kondensoreffekt vara (i kw) och hur mycket kylvatten (T in = C) behövs för detta? c. Estimera ett värde för den totala värmeöverföringskoefficienten U (se Tabell 5.5 i kursmaterialet (text) eller del 5.4, sista powerpointsliden) (i W/m K) och beräkna värmeöverföringsarean A (m ). 49 Problem 7 a) a. Vilket flöde skall flöda i rören och vilket genom skalet och varför? Är horisontell eller vertikal layout att föredra och varför? Vatten från ån > genom rören Kondensering på rören ger högre värmeöverföringskoefficient Horisontell layout ger mer uniform värmeöverföring 50 5
Problem 7 b) b. Vad måste kondensorns kondensoreffekt vara (i kw) och hur mycket kylvatten (T in = C) behövs för detta? 51 h 40kJ kg h 550kJ 1 kg 5 6
Problem 7 b) b. Vad måste kondensorns kondensoreffekt vara (i kw) och hur mycket kylvatten (T in = C) behövs för detta? Kondensoreffekten 0, kg s 550 kj kg 40 kj kg 46 kw bör vara lika med den värme vattnet tar emot, vilket ger 4, kj kgk 46 kw 7 kg s 53 Problem 7 c) c. Estimera ett värde för den totala värmeöverföringskoefficienten U (se Tabell 5.5 i kursmaterialet (text) eller del 5.4, sista powerpointsliden) (i W/m K) och beräkna värmeöverföringsarean A (m ). 54 7
55 Problem 7 c) c. Estimera ett värde för den totala värmeöverföringskoefficienten U (se Tabell 5.5 i kursmaterialet (text) eller del 5.4, sista powerpointsliden) (i W/m K) och beräkna värmeöverföringsarean A (m ). Låt oss anta att U 1000 W/m K. Arean kan bestämmas ur 56 8
Problem 7 c) Den kondenserade ångan förblir vid 50 C, vilket ger 50 50 7 5,4 50 ln 50 7 46 kw 1 kw m K 5,4 18,17 m 18 m 57 9