Mekanik FK2002m Föreläsning 2 Vektorer 2013-09-02 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2
Introduktion Förra gången pratade vi om rörelse i en dimension. När vi går till flera dimensioner behöver vi någon formalism för att hålla reda på de olika riktningarna. Vi introducerar vektorer. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 2
En vektor har både en storlek och en riktning. Vektorer och skalärer En vektor betecknas med en pil ovanför symbolen, t.ex. v. Längden av en vektor skrivs v eller v. Hastighet och acceleration är exempel på vektorer. En skalär är något som har en storlek men ingen riktning. Massa och temperatur är exempel på skalärer. En vektor definieras helt av sin längd och riktning. De tre vektorerna bredvid är alla samma vektor. SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 2
Multiplikation av tal/skalär med vektor Vid multiplikation av ett positivt tal (ej 1) med en vektor ändras vektorns längd men inte dess riktning. Vid multiplikation av ett negativt tal med en vektor, ändras både vektorns storlek och riktning. a a 3a -a SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 2
Summan av två vektorer a och b kan illustreras såhär: Vektoraddition a + b = a+b b Vi adderar b+ a istället för a+ b: a a b + a = b+a b Resultatet blir samma vektor. a+ b = b+ a Kommutativa lagen SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 2
Vektoraddition b a a a+b a+b a + (b+c) b+c a + (b+c) b+c c a + (b+c) c a+( b+ c) = ( a+ b)+ c Associativa lagen SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 2
Vektorsubtraktion Ett par olika sätt att illustrera differensen av två verktorer. a b = a+( b): a -b + = a -b a b = b+( a b) = a: a-b a-b a b b - = a SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 2
Vektorns riktning och längd y v φ x SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 2
Vektorns komponenter sinθ = cosθ = tanθ = motstȧende katet hypotenusa närliggande katet hypotenusa motstȧende katet närliggande katet y v v_y = v sin φ φ v_x = v cos φ x SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 2
Problem 2 A displacement vector r is the xy plane is 12 m long and directed at an angle θ = 30 in Fig. 3-26. Determine (a) the x component and (b) the y component of the vector. SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 2
Problem 6 In Fig. 3-27, a heavy piece of machinery is raised by sliding it a distance d = 10.5 m along a plank oriented at an angle 20.0 to the horizontal. How far is it moved (a) vertically and (b) horizontally? SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 2
Enhetsvektorer Inför vektorer parallella med koordinataxlarna. Ge dem längden ett. Kallas enhetsvektorer. Enhetsvektorerna î och ĵ är riktade längs x- respektive y-axeln. Alla enhetsvektorer har längden 1, dvs î = ĵ = 1 y ĵ î x SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 2
Vektorns komponenter - enhetsvektorer Betrakta vektorn a med längden a och riktningen φ i ett xy-koordinatsystem. Vi delar upp a i två komponenter: - a x = acosφ - a y = asinφ Längden av a är a = a 2 x +a 2 y a = a x î+a y ĵ a = a x î+a y ĵ = φ = arctan(a y /a x ) a 2 x +a 2 y SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 2
Problem 11 (a) In unit-vector notation, what is the sum a+ b if a = (4.0 m)î+(3.0 m)ĵ and b = ( 13.0 m)î+(7.0 m)ĵ? What are the (b) magnitude and (c) direction of a+ b? SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 2
Problem 15 The two vectors a and b in Fig. 3-28 have equal magnitudes of 10.0 m and the angles θ 1 = 30 and θ 2 = 105. Find the (a) x and (b) y components of their vector sum r, (c) the magnitude of r and (d) the angle r makes with the positive direction of the x axis. SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 2
Problem 30 Here are two vectors: a = (4.0 m)î (3.0 m)ĵ and b = (6.0 m)î+(8.0 m)ĵ What are (a) the magnitude and (b) the angle (relative to î) of a? What are (c) the magnitude and (d) the angle of b? What are (e) the magnitude and (f) the angle of a+ b; (g) the magnitude and (h) the angle of b a; and (i) the magnitude and (j) the angle of a b? (k) What is the angle between the directions of b a and a b? SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 2
3-dimensionella vektorer Vi inför en tredje enhetsvektor ˆk som pekar i z-riktningen i ett xyz-koordinatsystem. Vektorn a i tre dimensioner ges av a = a x î+a y ĵ +a zˆk. Har längden a = a 2 x +a 2 y +a 2 z På samma sätt som för tvådimensionella vektorer blir summan: a+ b = a x î+a y ĵ+a zˆk+bx î+b y ĵ+b zˆk = (ax +b x )î+(a y +b y )ĵ+(a z +b z )ˆk SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 2
Skalärprodukt Skalärprodukten av vektorerna a och b definieras som: a b = abcosφ där φ är vinkeln mellan vektorerna a och b. Med enhetsvektornotation beräknas skalärprodukten enligt: a b = (a x î+a y ĵ +a zˆk) (bx î+b y ĵ +b zˆk) = a x b x î î+a y b y ĵ ĵ +a z b z ˆk ˆk = a x b x +a y b y +a z b z SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 2
Skalärprodukt a b > 0 a b < 0 a b = 0 SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 2
Skalärprodukt Skalärprodukten är oberoende av ordningsföljden av vektorerna, dvs a b = b a För skalärprodukten av enhetsvektorerna gäller följande: î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 î ĵ = ĵ ˆk = î ˆk = 0 Skalärprodukten är distributiv: â(ˆb+ĉ) = â ˆb+â ĉ SARA STRANDBERG P. 20 FÖRELÄSNING 2
Problem 39 Vector A has a magnitude of 6.00 units, vector B has a magnitude of 7.00 units, and A B has a value of 14.0. What is the angle between the directions of A and B? SARA STRANDBERG P. 21 FÖRELÄSNING 2
Problem 63 Here are three vectors in meters: d 1 = 3.0î+3.0ĵ +2.0ˆk d 2 = 2.0î 4.0ĵ +2.0ˆk d 3 = 2.0î+3.0ĵ +1.0ˆk What results from (a) d 1 ( d 2 + d 3 ), (b) d 1 ( d 2 d 3 ), and (c) d 1 ( d 2 + d 3 )? SARA STRANDBERG P. 22 FÖRELÄSNING 2
Vektorprodukt (kryssprodukt) a b b φ a Vektorprodukten av vektorerna a och b definieras som: a b = absinφ n där n är enhetsvektorn längs normalen vinkelrät mot planet som a och b spänner upp. SARA STRANDBERG P. 23 FÖRELÄSNING 2
Vektorprodukt (kryssprodukt) SARA STRANDBERG P. 24 FÖRELÄSNING 2
Vektorprodukt (kryssprodukt) Vektorprodukten är icke-kommutativ: a b = b a Vektorprodukten är distributiv: a ( b+ c) = a b+ a c SARA STRANDBERG P. 25 FÖRELÄSNING 2
Vektorprodukt (kryssprodukt) Vektorprodukt av enhetsvektorer: î î = 0 ĵ ĵ = 0 ˆk ˆk = 0 î ĵ = ˆk ĵ ˆk = î ˆk î = ĵ ĵ î = ˆk ˆk ĵ = î î ˆk = ĵ Med enhetsvektornotation beräknas vektorprodukten enligt: a b = (a x î+a y ĵ +a zˆk) (bx î+b y ĵ +b zˆk) = a x b x î î+a x b y î ĵ +a x b z î ˆk +a y b x ĵ î+a y b y ĵ ĵ +a y b z ĵ ˆk + a z b xˆk î+az b yˆk ĵ +az b zˆk ˆk = a x b yˆk +ax b z ( ĵ)+a y b x ( ˆk)+a y b z î+a z b x ĵ +a z b y ( î) = (a y b z a z b y )î+(a z b x a x b z )ĵ +(a x b y a y b x )ˆk SARA STRANDBERG P. 26 FÖRELÄSNING 2
Vektorprodukt (kryssprodukt) Kan även räkna ut vektorprodukten med hjälp av en matrisdeterminant: a b = î ĵ ˆk a x a y a z b x b y b z a b = î ĵ ˆk a x a y a z b x b y b z = îa y b z +ĵa z b x +ˆka x b y b x a yˆk by a z î b z a x ĵ = (a y b z a z b y )î+(a z b x a x b z )ĵ +(a x b y a y b x )ˆk SARA STRANDBERG P. 27 FÖRELÄSNING 2
Problem 63 Here are three vectors in meters: d 1 = 3.0î+3.0ĵ +2.0ˆk d 2 = 2.0î 4.0ĵ +2.0ˆk d 3 = 2.0î+3.0ĵ +1.0ˆk What results from (a) d 1 ( d 2 + d 3 ), (b) d 1 ( d 2 d 3 ), and (c) d 1 ( d 2 + d 3 )? SARA STRANDBERG P. 28 FÖRELÄSNING 2
Sammanfattning En vektor definieras av sin storlek och riktning. Vektorer kan adderas och subtraheras grafiskt. Men även komponentvis. Vektorer kan enges med hjälp av enhetsvektorerna î (x-ed), ĵ (y-led) och ˆk (z-led). Skalärprodukten av två vektorer är ett tal (skalär). Skalärprodukten är projektionen av den ena vektor i riktningen av den andra vektorn. Vektorprodukten av två vektorer är en vektor. Ländgen på den resulterande vektorn ges av arean på det parallellogram som de två vektorerna spänner upp. Riktningen på den resulterande vektorn är vinkelrät mot planet som de två vektorerna spänner upp, och ges av högerregeln. SARA STRANDBERG P. 29 FÖRELÄSNING 2