SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön) Obs : Obs : Obs 3: Obs 4: Ansvarig: Uppgifterna är ordnade varken kurskronologiskt eller efter svårighetsgrad Behandla inte mer än en uppgift per blad Varje steg i lösningen skall motiveras Bristfällig motivering kan ge poängavdrag Förenkla svaren så långt som möjligt! Ange vad införda beteckningar, som inte är standard, står för Skriv namn och personnummer på varje inlämnat ark Fyll i antalet inlämnade ark på omslaget Tentamen består av 6 uppgifter, vilka sammanlagd ger 50 poäng Efter tentamens slut publiceras ett lösningsförslag på nätet Betygsgränser: För betyg A B C D E FX krävs 40 36 3 8 4 0 poäng (inkl bonus) FX innebär rätt att skriva en kompletteringsskrivning för betyg E Tid och plats för den meddelas senare vid behov Franz J ƒech ) Bestäm lösningen till x y + 7xy + 5y = 4x, x > 0 uppfyllande y() =, y () = 6 och där vi vet att y (x) = x är en lösning till den homogena ekvationen [8p]
) Bestäm den reella lösningen till nedanstående begynnelsevärdesproblem [4p] X (t) = A X(t) med A = ( ) och X(0) = Skissa också ett kvalitativt riktigt fasporträtt för systemet Porträttet skall innehålla banorna genom (-,0), (,0) och (,) samt en pil som visar åt vilket håll de genomlöps respektive, då t växer [p] Ange också karaktären av systemets enda kritiska punkt [p] 3) Det nns en konstant A så att f(t) = t πt + A, 0 t π, har cos-utvecklingen f(t) = 4 cos nt n n= a) Bestäm värdet på A, [4p] b) Ange värdet av med hjälp av a) n [4p] n= 4) Ett LTI-system har pulssvaret h(t) = δ(t) 3e 3t U(t) Bestäm utsignalen y(t) för < t < om insignalen är x(t) = U( t) U(t) är Heaviside funktionen För full poäng krävs en tydlig skiss av y(t) [7p] 5) Bestäm lösningen till begynnelsevärdesproblemet [0p] y + y + y = U(t π) + 3 δ(t π), y(0) =, y (0) = 0 6) Signalen x(t) har fouriertransformen X(f), med f i Hz, 0, f >3; X(f) =, f < ; (3 f ), < f < 3 a) Signalen samplas med f s = T = Hz Rita signalens fouriertransform Y (f) efter rekonstruktion med ett idealt LP-lter H rek (f) med bandbredden B = Hz och höjden T [4p]
b) Signalen samplas nu med f s = T = 3 Hz Rita signalens fouriertransform Y (f) efter rekonstruktion med ett idealt LP-lter med bandbredden B =, 5 Hz och höjden T [6p] Endast tydliga gurer godtas som svar Lycka till! Franz J
SF635, Signaler och system I LÖSNINGSFÖRSLAG till Tentamen 0 ) Lösning Vi börjar som vanligt med att skriva ODE'n på standardform Därefter ansätter vi y + 7 x y + 5 x y = 4 x, x > 0 () y (x) = u(x)y (x) = u(x)x () och kollar om vi får kanske den andra fundamentallösningen på köpet! Då slipper vi att först bestämma den andre lösningen y till den homogena DE och därefter ansätta y part = u y + u y osv 3 Med ansatsen ekv() fås: y = u x ux, y = u x u x u x +ux 3 Insättning och förkortning av vissa termer ger u + 5 x u = 4 (3) som har den integrerande faktorn p = x 5 som i sin tur ger sambandet ( u x 5) = 4x 5 = u x 5 = 4x6 6 och till sist, m h a ekv(), den allmänna lösningen y = y = x + C x + C 3 5 x + C = u = x + C x 4 + C 3 (4) 4 Detta samband indikerar att x 5 måste vara den andra fundamentallösningen till den homogena DE Återstår att visa att dessa lösningar inte är linjärt beroende av varandra, vilket vi gör m h a Wronski determinanten, x x 5 x 5x 6 = 4x 7 0, x 0, klart (6) 5 Sätter vi nu in villkoren y() =, y () = 6, i ekv(5) får vi C =, C 3 = och det slutgiltiga svaret y(x) = x x 5 + x, x > 0 (5) ) Lösning
i) Egenvärden fås m h a sambanden: det (A λi) = λ λ = λ + λ + 5 4 = 0 (7) som ger egenvärdena λ, = ± i som i sin tur via (A λ I)v = 0 ger ii) egenvektorern v, v = v och i slutändan till X (t) = X (t) : ( ( + i) ) ( ) v ( + i) v = iv + v = 0, = v = = 0 (8) ( ) iii) Allt detta resulterar i fundamentallösningen X (t) = e λ t v m a o ( ) ( ) X (t) = e t +it = e t (cos t + i sin t) (0) i i ( ) ( ) = e t cos t + i e t sin t () sin t cos t i (9) iv) Härmed får vi nu den allmänna lösningen i matrisform ( ) ( ) X(t) = a e t cos t + b e t sin t sin t cos t v) Sist bestämmer vi lösningen genom (,): Med t = 0 insatt i ekv() fås sambanden ( ) ( ) a = b () (3) ( cos t + sin t ) och vi får slutsvaret X(t) = e t sin t + cos t Figuren nedan ger vid handen att origo representerar en stabil spiralpunkt
OBS: Det går naturligtvis utmärkt att lösa problemet m h a L transformen 3) Lösning a) Man observerar att b n = 0, n, a 0 = 0, d v s om f(t) utvidgas π periodiskt t skall f vara jämn och a 0 skall vara 0, m a o a 0 0 = = π π 0 π 0 f(t)dt = 0 = t πt + A dt = = 8π3 3 4π3 + A π ger svaret: A = π 3 b) f är uppenbart kontinuerlig t, då sätter vi t = 0 och får π 3 = f(0) = n= 4 n cos n0 = 4 (4) n n= leder till n= = π och svaret blir: n 4 3 n= n = π 6 4) Lösning Vi använder faltning och börjar med y(t) = ( δ(t) 3e 3t) U( t) = U( t) 3e 3t U( t) Så, allt vi behöver göra är att beräkna y (t) = 3e 3t U( t) 3
3 3 U( (t τ)) τ = t 0 3e 3τ τ 0 τ = t 3e 3τ U( (t τ)) τ Vi har alltså fall, se gur ovan: t < 0 och t > 0 Härmed får vi y (t) = 3e 3t U( t) (5) = 3e 3τ dτ =, t < 0 (6) 0 = 3e 3τ dτ = e 3t, t > 0 (7) t = U( t) + e 3t U(t) (8) y(t) = U( t) y (t) = U( t) U( t) e 3t U(t) (9) som ger svaret y(t) = e 3t U(t) Det går naturligtvis också att använda Fourier-transformen om vi observerar att h(t) = δ(t) 3e 3t U(t) vilket innebär att vi studerar Vi har x(t) = U( t) Y (ω) = H(ω)X(ω) = F H(ω) = 3 3 + iω F X(ω) = iω (0) + π δ(ω) () Y (ω) = H(ω)X(ω) F y(t) () = ( 3 iω 3 + iω 3 + iω iω = = 3 + iω Inverstransformering, tabellslagning, ger självklart samma svar ) ( ) iω + π δ(ω) = (3) + π δ(ω) 3π δ(ω) 3 + iω = (4) (5) y(t) = e 3t U(t) 4
5) Lösning L -transformen av den givna ODE leder till s Y (s) sy(0) y (0) + sy (s) y(0) + Y (s) = e sπ s Insättning av begynnelsevärden ger + 3 e sπ (6) (s + s + )Y (s) s = e sπ s + 3 e sπ (7) Alltså e sπ Y (s) = s((s + ) + ) + 3 e sπ (s + ) + + s + (s + ) + och nu ger BETA, resp FS(rosa) (8) s + s + s + s((s + ) + ) e T s F (s) L sin t, L e t sin t (9) (s + ) + (s + ) + L e t (cos t + sin t) (30) (s + ) + [ e t (cos t + sin t) ], rosa FS, s(534) (3) L cos t + sin t, L L f(t T )U(t T ) = { f(t T ), t > T 0; 0, t < T (3) Insättning av dessa samband i ekv(8) resulterar i svaret y = U(t π) [ e (t π) (cos(t π) + sin(t π)) ] + 3 U(t π)e (t π) sin(t π) + e t (cos t + sin t)u(t) = U(t π) [ + e (t π) (cos t + sin t) ] + 3 U(t π)e (t π) sin t + e t (cos t + sin t)u(t) 6) Lösning Grafen för transformen ges av följande gur X(f) 3 0 3 a) Den samplade signalens F-transform ges av f X s (f) = T n= X(f nf s ), (33) 5
där T = 0, 5 s och som efter H rek (f) = T rect ( f ) leder till utsignalen Y (f) = rect ( f ) n= X(f nf s ) (34) som representeras av den skuggade ytan i guren nedan: 5 3 0 3 5 f Y (f) n = n = b) Man gör här på samma sätt som i a) utom att H rek (f) = T rect ( f 3 ) Även här representeras Y (f) av den skuggade ytan i nedanstående gur: 6 4 3 5 0 5 3 4 6 f Y (f) n = n = 6