Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 22 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Boken ger olika minnesregler. Här är en till = Vektorprodukt I många tillämpningar söker man en vektor, i rummet, som är vinkelrät mot två andra, givna vektorer. Vi ska därför här visa en metod som tar fram en sådan vektor. Definition 1. Vektorprodukt. u = (u 1,u 2,u 3 ) och v = (v 1,v 2,v 3 ) är vektorer i rummet. Vektorprodukten u v är en vektor definierad som u v = (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 1 ) Kan också skrivas som ett uttryck med determinanter ( ) u u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 Ett tredje och kanske ett enklare sätt att memorera vektorprodukten är genom determinanten u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 där e x = (1,0,0), e y = (0,1,0), e z = (0,0,1), koordinatsystemets tre basvektorer. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Exempel 1. Bestäm u v då u = (1,0,5) och v = (2, 1,1). Den första definitionen ger oss direkt lösningen w = u v = (0 1 5 ( 1),5 2 1 1,1 ( 1) 0 2) = (5,9, 1) Genom kontroll visar vi sedan att w u = 0 och w v = 0. (1,0,5) (5,9, 1) = 1 5+0 9+5 ( 1) = 0 (2, 1,1) (5,9, 1) = 2 5+( 1) 9+1 ( 1) = 0 Vi har alltså funnit en vektor w, som är vinkelrät mot både u och v. Inför kontrollskrivningar och tentamen måste du kunna den här formeln utantill. Bästa sättet att komma ihåg den är antagligen genom Sarrus regel. u 3 u 1 u 2 u 3 u 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 Med lite fantasi kan vi se sex diagonaler med tre element i varje. Produkten av elementen i en diagonal med negativt k-värde genererar en negativ term. Produkten av elementen i en diagonal med positivt k-värde en positiv term. u v = v 2 u 3 e x v 3 u 1 e y v 1 u 2 e z +v 3 u 2 e x +v 1 u 3 e y +v 2 u 1 e z u v = v 2 u 3 (1,0,0) v 3 u 1 (0,1,0) v 1 u 2 (0,0,1) +v 3 u 2 (1,0,0) +v 1 u 3 (0,1,0) +v 2 u 1 (0,0,1) u v = (v 2 u 3,0,0) (0,v 3 u 1,0) (0,0,v 1 u 2 )+(v 3 u 2,0,0)+(0,v 1 u 3,0)+(0,0,v 2 u 1 ) u v = (v 3 u 2 v 2 u 3,0,0)+(0,v 1 u 3 v 3 u 1,0)+(0,0,v 2 u 1 v 1 u 2 ) u v = (v 3 u 2 v 2 u 3,v 1 u 3 v 3 u 1,v 2 u 1 v 1 u 2 ) Geometrisk tolkning av vektorprodukten Vilket värde har v u? Det vill säga vilket längd har w = v u? Vi ska här ge vektorprodukten en geometrisk tolkning uttryckt i v, u och θ, vinkeln mellan vektorerna. Vi utgår från Lagrange s identitet och påstår att u v 2 = u 2 u 2 ( u v) 2 (1) Vi vet att u v = u v cos θ och skriver därför om (1) till u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2( 1 cos 2 θ ) = u 2 v 2 sin 2 θ Eftersom 0 θ π så är sinθ 0, vilket leder till Sats 1. Geometrisk tolkning av vektorprodukten u v = u v sinθ Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Arean av det parallellogram som spänns upp av två vektorer Mätetalet hos längden (normen) av vektorn v u är lika med arean hos det parallellogram som vektorerna spänner upp. Exempel 2. Bestäm arean av den triangel i vilken vektorerna v = (4,5,3) och u = (8,8,6) utgör två sidor. Arean hos det parallellogram som vektorerna spänner upp är dubbelt så stor som den area vi söker. Därför blir formeln: A = v u 2 v u = 8 3 6 5,6 4 8 3,8 5 8 4 = ( 6,0,8) Återstår att bestämma v u och därefter arean A = ( 6) 2 +0 2 +8 2 2 = 36+0+64 2 = 5 Svar : Triangeln har arean 5 Trippel skalärprodukt Vi har tre vektorer a, b och c. Uttrycket ( a b) c leder till ett tal som motsvarar volymen hos den parallellepiped som spänns upp av de tre vektorerna. Volymen av en parallellepiped är V = B h, där B är basarean och h höjden. Vi vet redan att a b ger oss en vektor där mätetalet för dess längd motsvarar mätetalet för den area som a och b spänner upp. Vi vet också att vektorn a b är vinkelrät mot basarean. Om vi nu projicerar c på a b till h och bestämmer den projektionens längd, så har vi höjden. Vi får h = c ( a b) a b och ur detta c ( a b) = h a b Exempel 3. Vi ska först försöka finna tre vektorer som är sinsemellan vinkelräta. Den första väljer vi helt på måfå a = (1,2,3). För att b ska vara vinkelrät mot a ska som vi vet a b = 0. Det blir inte så svårt att hitta en sådan vektor. b = (2, 1,0) fungerar bra, eftersom (1,2,3) (2, 1,0) = 2 2 + 0 = 0. För att så hitta en tredje vektor c som är vinkelrät mot båda dessa tar vi till vektorprodukten och skriver c = a b = 1 2 3 2 1 0 Vi kontrollerar att c är vinkelrät mot både a och c = 6 e y e z 4 e z +3 e x = (3,6, 5) (1,2,3) (3,6, 5) = 3+12 15 = 0 (2, 1,0) (3,6, 5) = 6 6+0 = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

Det stämmer! Om vi nu använder formeln ( a b) c för att bestämma volymen till den parallellepiped som de tre vektorerna spänner upp får vi (3,6, 5) (3,6, 5) = 70. Eftersom alla vinklar är räta i denna parallellepiped (vi har ett rätblock) kan vi bestämma volymen genom formeln V = l b h. Vi tar därför reda på längderna hos de tre vektorerna Volymen blir då V = 14 5 70 = 70 a = 1 2 +2 2 +3 2 = 14 b = 2 2 +( 1) 2 +0 2 = 5 c = 3 2 +6 2 +( 5) 2 = 70 Exempel 4. En av diagonalerna i en parallellogram har ändpunkterna i (1,0,2) och (3,1, 1), det ena av de två återstående hörnen är (2, 1,5) a) Bestäm det återstående hörnet b) Beräkna vinkeln mellan diagonalerna (3,1, 1)(2, 1,5) = ( 1, 2,6) (x,y,z)(1,0,2) = (1 x, y,2 z) Eftersom dessa två vektorer ska vara identiska måste x = 2, y = 2, z = 4. Svar: P = (2,2, 4) En vektor utefter den ena diagonalen d 1 = ( 2, 1,3) och en utefter den andra d 2 = (0, 3,9). Vinkeln θ får nu genom formeln: θ = arccos u v u v θ = arccos ( 2, 1,3) (0, 3,9) ( 2) 2 +( 1) 2 +3 2 0 2 +( 3) 2 +9 2 = θ = arccos 30 14 90 32.3 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Exempel 5. Bestäm vinkeln θ mellan diagonalen i en kub och diagonalen på en av dess sidor. Vektorn v = 1,1,1 har samma riktning som rymddiagonalen. Vektorn v = 0,1,1 har samma riktning som diagonalen på en sida. Vi bestämmer θ genom θ = arccos (1,1,1) (0,1,1) (1,1,1) (0,1,1) = arccos 2 3 2 35.3 Exempel 6. Bestäm avståndet från punkten ( 2,5) till linjen y = 3x+1. Vi kan använda formeln nedan då vi skriver linjens ekvation som ax+by+c = 0 och det är avståndet till punkten P 0 = (x 0,y 0 ) som ska bestämmas d = ax 0 +by 0 +c a 2 +b 2 y = 3x+1 skrivs om till 3x+y 1 = 0. P 0 = ( 2,5) d = ( 3) ( 2)+1 5+( 1) ( 3) 2 +1 2 = 10 10 = 10 Exempel 7. Är a b = b a? Vi kontrollerar genom att välja två vektorer på måfå. Skulle likheten ovan stämma för dessa val, kan vi då fortfarande inte säga något säkert, men om vi får en olikhet så vet vi med säkerhet att uttrycket i allmänhet inte gäller. Vi väljer a = (1,0,1) och b = (0,1,1) och beräknar först: a b = 1 0 1 0 1 1 = e z e y e x = ( 1, 1,1) och sedan a b = 0 1 1 1 0 1 = e x + e y e z = (1,1, 1) Vi kan konstatera att a b = b a inte alltid är sant. Däremot är det så att a b = b a Håkan Strömberg 5 KTH Syd

Repetera gammalt stoff genom att lösa dessa uppgifter: Problem 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Svar 1. (x,y,z) = (1+t, 1+t,t) (x,y,z) = (3 4t, 1+2t,4+3t) (x,y,z) = (4+3t,3 5t, 1+6t) (x,y,z) = (11 2t,3 4t, 6+9t) Problem 2. Kan du ta reda på om några av dessa linjer skär varandra (har en gemensam punkt) L1 (x,y,z) = (2+t,t,2 t) L2 (x,y,z) = (4+t,2+t,t) L3 (x,y,z) = (3 t,2+t,2 t) Svar 2. L1 och L2 skär varandra i punkten (4,2,0) s = 0 och t = 2 Problem 3. Vi önskar lösa ekvationen 2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s x 3 4x 2 47x+210 = 0 Vi får reda på att en rot är x 1 = 7 och en annan är x 2 = 5. Vilken är den tredje roten? Svar 3. Det luktar polynomdivision. Visst kan vi dividera polynomet med (x + 7). Vi får då ett andragradspolynom och tar reda på dess nollställen (löser motsvarande andragradsekvation) och får två rötter där den ena redan är bekant. Något lite smartare är att expandera (x+7)(x 5) = x 2 5x+7x 35 = x 2 +2x 35 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

och dividera polynomet med detta uttryck så får vi fram roten direkt! Och vips vet vi att x 3 = 6 x 3 4x 2 47x +210 : x 2 +2x 35 = x 6 x 3 +2x 2 35x 6x 2 12x +210 6x 2 12x +210 Problem 4. Lös olikheten 3 x 2 < 4 x+3 0 Svar 4. Uttrycken innanför absolutbeloppen är = 0 då x = 3 respektive x = 2. Vi får då följande tabell Intervall Olikhet Lösning OK x < 3 3(x 2) < 4+(x+3) x > 1 4 tomt intervall 3 x < 2 3(x 2) < 4 (x+3) x > 5 2 tomt intervall x 2 3(x 2) < 4 (x+3) x < 7 4 tomt intervall Sätt in ett lämpligt värde på x, som ligger i aktuellt intervall (vänstra kolumnen), i samtliga absolutbelopp. Om resultatet då blir < 0 ändras tecknen framför absolutbeloppet. Ersätt absolutbeloppet med parenteser. Lös olikheten. Jämför resultatet (ett intervall) med det tillåtna intervallet. Under OK skrivs snittet av de två intervallen, som kan vara tomt. Eftersom alla tre intervallen här är tomma finns det helt enkelt inget x som uppfyller olikheten. Problem 5. Lös olikheten (x 2)(x+3)(x 1)(x+5) < 0 Svar 5. Återigen en tabell x < 5 x = 5 5 < x < 3 x = 3 3 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 x > 2 (x 2) 0 + (x + 3) 0 + + + + + (x 1) 0 + + + (x + 5) 0 + + + + + + + Allt + 0 0 + 0 0 + Starta med att ta reda på när vänstra ledet är = 0, vilket är enkelt här eftersom uttrycket är faktoriserat. Varje nollställe leder till ett bestämt x. Mellan nollställena råder intervall. Plocka ett x som överensstämmer med rubriken. Sätt in detta x-värde i faktorn till vänster. Notera om resultatet är +, eller 0. Beräkna till slut den nedersta raden genom att multiplicera tecknen i kolumnen. Skriv in +, eller 0. För att bilda svaret plockar vi ut alla intervall där resultatet visar ett, eftersom olikheten gäller < 0. Ur tabellen kan vi nu läsa svaret: 5 < x < 3 eller 1 < x < 2 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Problem 6. En linje L 1 går genom punkterna P 1 = ( 7, 5, 3) och P 2 = (5, 9, 9). En annan linje L 2 går genom punkterna P 3 = ( 1, 19,3) och P 4 = (5, 17, 3). Bestäm linjernas skärningspunkt. Svar 6. Plan: Bestäm de två linjernas ekvationer. Använd parametern t för den ena linjen och s för den andra. Sätt de två ekvationerna lika varandra som i uppgift 2 och lös ekvationssystemet. I Mathematica p1 = {-7, -5, -3}; p2 = {5, -9, -9}; p3 = {-1, -19, 3}; p4 = {5, -17, -3}; linje1[t_] := p1 + t(p1 - p2) linje2[t_] := p3 + t(p3 - p4) Solve[linje1[t] == linje2[s]] s->-3, t->-2 linje1[-2] (17,-13,-15) Problem 7. Bestäm a så att linjerna x = 5+t y = a 2t z = a 2t x = 2+s y = a+s z = s skär varandra och dessutom i vilken punkt det sker. Svar 7. Vi ställer upp följande ekvationssystem 5+t = 2+s a 2t a+s a 2t = s Ett system med 3 ekvationer och lika många obekanta. Vi skriver om sista ekvationen till s = 2t a och ersätter s med detta uttryck i första och andra ekvationen. Efter lite räknande får vi { a t = 3 a 4t = 0 Ur sista ekvationen ser vi att a = 4t. Detta insatt i första ekvationen ger t = 1. Då ser vi att a = 4. Går vi tillbaka till s = 2t a och sätter in det vi känner får vi s = 2 Resultatet blir då: För a = 4 får vi två linjer som skär varandra. Använder vi nu t = 1 i den första linjens ekvation får vi skärningspunkten (4, 2, 2). Samma resultat som vi fått om vi använt s = 2 i den andra linjens ekvation (förstås). Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Läxa 1. 5.35 a) 1 7 4 9 = 1 9 4 7 = 19 Läxa 2. 5.35 b) 1 4 3 2 4 1 = 1 ( 4) ( 6)+4 1 3+2 2 3 3 ( 4) 3 2 4 ( 6) 1 1 2 = 130 3 2 6 Läxa 3. 5.35 c) 2 1 3 4 2 9 = 2 2 ( 4)+4 3 3+1 ( 1) 9 1 2 3 ( 1) 4 ( 4) 2 3 9 = 65 1 3 4 Läxa 4. 5.35 d) 1 0 1 0 1 0 1 0 2 = 1 1 2+0 0 1+1 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 = 1 Läxa 5. 5.35 e) 1 1 0 1 1 1 = 1 1 ( 1)+1 1 0+( 1) 1 0 0 1 0 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 = 3 0 1 1 Läxa 6. 5.44 a) 2 λ 7 4 6 λ = (2 λ)(6 λ) 28 = 12 8λ+λ2 Determinanten = 0 då 12 8λ + λ 2 = 0. Andragradsekvationen har rötterna λ 1 = 2 och λ 2 = 6. Det vill säga om λ = 2 eller λ = 6 så innebär det att determinanten = 0 Läxa 7. 4.31 a) p = (1,1,1) och q = (0 1,2). Detta ger p q = (0 1,2) (1,1,1) 1 1 1 0 1 2 = 2 e x e z 2 e y + e x = (3, 2, 1) Läxa 8. 4.34 Vi har punkterna A = (1, 1,2), B = (9,0,8) och C = (5,0,5) a) AB = (9,0,8) (1, 1,2) = (8,1,6) och AC = (5,0,5) (1, 1,2) = (4,1,3) b) AB AC = n = 8 1 6 4 1 3 = 3 e x +4 e z = ( 3,0,4) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

c) Då vi kan bestämma n = 5, får vi en enhetsvektor genom ( n 3 n = 5,0, 4 ) 5 c) Arean av det parallellogram som spänns upp av de två vektorerna är AB AC. Häften av den arean utgör arean hos triangeln vi söker Läxa 9. 4.43 Vi har att beräkna: AB A = AC = 5 2 2 (2, 3,4) (1,3,1)) (3, 1,2) Först vektorprodukten 2 3 4 1 3 1 = 3 e x +4 e y +6 e z 12 e x +2 e y +3 e z = ( 9,6,9) Så skalärprodukten som till slut ska ge volymen Volymen är 15 enheter. Läxa 10. 4.44 Om (3, 1,2) ( 9,6,9) = 27 6+18 = 15 ((3,2, 1) (5, 7,3)) (11, 3,1) = 0 så måste det betyda att de tre vektorerna ligger i samma plan 3 2 1 5 7 3 = 6 e x 5 e y 21 e z 7 e x 9 e y 10 e z = ( 1, 14, 31) och så ( 1, 14, 31) (11, 3,1) = 11+42 31 = 0 Alltså ligger de tre vektorerna i samma plan. Volymen av den parallellepiped de spänner upp är 0. Vektorerna är linjärt beroende. Läxa 11. 4.45 Vi har vektorerna a = (3,2, 1), b = (1, 1,3), a = (2, 3,λ) och vill bestämma λ så att de tre vektorerna ligger i samma plan. Vi ska alltså lösa ekvationen ((3,2, 1) (1, 1,3)) (2, 3,λ) = 0 Först vektorprodukten 3 2 1 1 1 3 = 6 e x e y 3 e z e x 9 e y 2 e z = (5, 10, 5) Så löser vi ekvationen (5, 10, 5) (2, 3,λ) = 0 10+30 5λ = 0 λ = 8 Då λ = 8 ligger de tre vektorerna i samma plan. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

Läxa 12. 4.46 Den här gången har vi fyra punkter P 1 (2,1,0), P 2 (2, 2, 2), P 3 (7, 3, 1) och P 4 (13,3,5). Med hjälp av dem kan man bilda sex olika vektorer. Väljer vi ut tre av dessa så att varje punkt finns med i åtminstone en vektor, kan vi sedan ta reda på om dessa vektorer ligger i samma plan. Vi får till exempel: a = (2,1,0) (2, 2, 2) = (0,3,2) b = (13,3,5) (2, 2, 2) = (11,5,7) c = (13,3,5) (7, 3, 1) = (6,6,6) Som i tidigare uppgifter ska vi nu bestämma (mata b) c och börjar med 0 3 2 11 5 7 = 21 e x +22 e y 10 e x 33 e z = (11,22, 33) och så (6,6,6) (11,22, 33) = 66+132 198 = 0 Läxa 13. 4.47 a) Först bestämmer vi en vektor a som är vinkelrät mot både p = (1,4,1) och q = (2,1, 1) a = 1 4 1 2 1 1 = 4 e x +2 e y + e z e x + e y 8 e z = ( 5,3, 7) ^a = a a = ( ( 5,3, 7) 5 ( 5) 2 +3 2 +( 7) =, 2 83 3 83, ) 7 83 Läxa 14. 4.47 b) Först bestämmer vi en vektor a som är vinkelrät mot både p = (1,4,1) och r = (1, 3,2) a = 1 4 1 1 3 2 = 8 e x + e y 3 e z +3 e x 2 e y 4 e z = (11, 1, 7) Sedan bestämmer vi en vektor b som är vinkelrät mot både p = (1,4,1) och q = (2,1, 1) b = 1 4 1 2 1 1 = 4 e x +2 e y + e z e x + e y 8 e z = ( 5,3, 7) I tredje steget bestämmer v a b c = a b = 11 1 7 5 3 7 = 7x e x+35 e y +33 e z +21 e x +77 e y 5 e z = (28,112,28) = 28(1,4,1) Nu ska vi ha tag i en av alla de oändligt många vektorer som ligger i samma plan som a och b och som har x-koordinaten = 0. 28(0,y,z) (1,4,1) = 28(0+4y+z) = 0 En möjlighet är y = 1 och z = 4. Alltså har vi d = (0,1, 4). Nu ska vi beräkna enhetsvektorn i samma riktning: ^d = ) d d = (0,1, 4) (0, 0 2 +1 2 +( 4) = 1 4, 2 17 17 Håkan Strömberg 11 KTH Syd

1 Om du får två vektorprodukter, kan du då gissa den tredje? a) (1,0,0) (1,1,1) = (0, 1,1) b) (0,1,0) (1,1,1) = (1,0, 1) c) (0,0,1) (1,1,1) =? 2 Bestäm (1,1,1) (2,2,2) 3 Bestäm (1,0,0) (0,1,0) Vi vet redan att en vektor i Mathematica definieras genom v={1,3,4}. Om man placerar ett antal, till exempel tre vektorer i en överordnad lista får man till exempel m={{1,3,0},{4,-2,1},{3,2,1}} Detta kan uttryckas som en lista av listor, här en lista av tre listor. Vi kan även betrakta m som en matris 1 3 0 4 2 1 3 2 1 Vi kommer i senare föreläsningar att studera matriser och tillhörande räknelagar, men inför matris här för att kunna definiera vektorprodukt. m={{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3}}; Här har vi definierat en matris där varje rad bestå av en vektor. Genom att skriva Det[m] bestämmer vi tillhörande determinant. Vi får resultatet -x3 y2 z1 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 - x1 y3 z2 - x2 y1 z3 + x1 y2 z3 som konfirmerar definitionen av determinant. Om vi har två vektorer v={x1,y1,z1} och u={x2,y2,z2} Så kan vi med hjälp av Mathematica bestämma vektorprodukten v u genom Cross[v,u]={-y2 z1 + y1 z2, x2 z1 - x1 z2, -x2 y1 + x1 y2} Problem 8. Låt u = (3,2, 1), v = (0,2, 3) och w = (2,6,7). Beräkna a) v w b) u ( v w) c) ( u v) w d) ( u v) ( v w) e) u ( v 2 w) f) ( u v) 2 w Håkan Strömberg 12 KTH Syd

Svar 8. u = {3, 2, -1}; v = {0, 2, -3}; w = {2, 6, 7}; Cross[v, w] Cross[u, Cross[v, w]] Cross[Cross[u, v], w] Cross[Cross[u, v], Cross[v, w]] Cross[u, v - 2 w] Cross[u, v] - 2 w Problem 9. a) Finn en vektor som är ortogonal till både u = ( 6, 4, 2) och v = (3, 1, 5). b) Finn en vektor som är ortogonal till både u = ( 2, 1, 5) och v = (3, 0, 3). Svar 9. a) Clear[ex,ey,ez] m = {{ex,ey,ez},{-6,4,2},{3,1,5}}; d = Det[m]; ex = {1,0,0}; ey = {0,1,0}; ez = {0,0,1}; d u v = (18,36, 18) b) Clear[ex,ey,ez] m = {{ex,ey,ez},{-2,1,5},{3,0,-3}}; d = Det[m]; ex = {1,0,0}; ey = {0,1,0}; ez = {0,0,1}; d u v = ( 3,9, 3) Problem 10. Finn arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna u = ( 6,4,2) och v = (3,1,5). Svar 10. u ={-6,4,2}; v ={3,1,5}; Norm[Cross[u,v]] Arean blir 18 6 Håkan Strömberg 13 KTH Syd

Problem 11. Bestäm arean till triangeln med hörn i punkterna P = (2,6, 1), Q = (1,1,1) och R = (4,6,2) Svar 11. p = {2, 6, -1}; q = {1, 1, 1}; r = {4, 6, 2}; pq = q - p; pr = r - p; Arean blir Norm[Cross[pq, pr]]/2 187 2 Problem 12. Varför kan man inte skriva u v w Svar 12. Det är inte avgjort vilken operation som ska utföras först. Problem 13. Vad kan man säga om u u Svar 13. Att resultatet från Cross[p, p] är {0, 0, 0}. Problem 14. Vilket värde har u ( u v) för godtyckliga vektorer u och v? Förklara varför. Svar 14. Lika användbar som skalärprodukten är i många vektorproblem, lika användbar är vektorprodukten (eller kryssprodukten, som den också kallas). Vi löser problemet genom att definiera u och v och låter därefter programmet beräkna u ( u v) v={v1,v2,v3}; u={u1,u2,u3}; u.cross[u,v]//simplify Att resultatet blir 0 inser man på följande sätt: u v ger en vektor, w, som är vinkelrät mot både u och v och därför är u w = 0 Problem 15. Undersök om vektorprodukten är kommutativ. Det vill säga, är u v = v u? Sammanfatta din underökning med en räkneregel! Svar 15. Om k = 1 i ekvationen nedan är vektorprodukten kommutativ. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; Solve[Cross[u,v]==k*Cross[v,u],k] Nu blev k = 1, vilket betyder att u v = v u Problem 16. Undersök om vektorprodukten är associativ. Det vill säga, är ( u v) w = u ( v w) Svar 16. Om ( u v) w ( u v) w = 0 betyder det att det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs vektorprodukten är associativ. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; w={w1,w2,w3}; Cross[u,Cross[v,w]]-Cross[Cross[u,v],w]//Simplify Håkan Strömberg 14 KTH Syd

Eftersom resultatet ( u 2 v 2 w 1 u 3 v 3 w 1 +u 1 v 2 w 2 +u 1 v 3 w 3, u 2 v 1 w 1 u 1 v 1 w 2 u 3 v 3 w 2 +u 2 v 3 w 3, u 3 v 1 w 1 +u 3 v 2 w 2 u 1 v 1 w 3 u 2 v 2 w 3 ) inte blir 0 för de flesta vektorer u, v och w, så är vektorprodukten inte associativ. Därför kan man aldrig skriva u v w, eftersom ordningen för operationerna inte är bestämd! Problem 17. Beräkna u ( v w), då u = (x,0,0), u = (0,y,0) och u = (0,0,z). Vilken geometrisk tolkning kan man ge resultatet? Svar 17. De tre vektorerna u, v och w är parvis ortogonala. De spänner upp ett rätblock med sidorna x, y och z. u={x,0,0}; v={0,y,0}; w={0,0,z}; u.cross[v,w] u ( v w) = xyz, lika med rätblockets volym. Om detta är en tillfällighet återkommer vi till. Problem 18. Sök x så att b ( a b) = b a där a = (3x, 2x, 1) och b = ( 1, x,2) Svar 18. Problemet leder till en andragradsekvation med två lösningar a={3x,-2x,-1}; b={-1,-x,2}; Solve[b.Cross[a,b]==b.a,x] Rötterna är x = 1/2 och x = 2. Problem 19. Förenkla uttrycket u 2 v 2 u v 2 Svar 19. Vi definierar vektorerna u och v och beräknar uttrycket på komponentnivå, så får vi se om vi känner igen oss! norm[u_] := Sqrt[u[[1]]^2 + u[[2]]^2 + u[[3]]^2] u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; Simplify[norm[u]^2*norm[v]^2-norm[Cross[u,v]]^2] (u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 ) 2 = ( u v) 2 Det vana ögat kan översätta vänstra ledet nedan till kvadraten på skalärprodukten av vektorerna u och v. Allt sammantaget kallas Lagrange s identitet u 2 v 2 u v 2 = ( u v) 2 Problem 20. Tre vektorer u = (u 1,u 2,u 3 ), v = (v 1,v 2,v 3 ) och w = (w 1,w 2,w 3 ) är givna. Hur många olika resultat kan man erhålla genom att placera alla tre i uttrycket ( )? Håkan Strömberg 15 KTH Syd

Svar 20. För tre givna vektorer u, v och w kan vi bilda sex olika kombinationer av uttrycket ( ). Eftersom vi redan vet att vektorprodukten inte är kommutativ blir vi heller inte överraskade av resultatet. Om u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; w={w1,w2,w3}; u.cross[v,w]//simplify u.cross[w,v]//simplify v.cross[u,w]//simplify v.cross[w,u]//simplify w.cross[u,v]//simplify w.cross[v,u]//simplify så kan vi sammanfatta med V = u 3 v 2 w 1 u 2 v 3 w 1 u 3 v 1 w 2 +u 1 v 3 w 2 +u 2 v 1 w 3 u 1 v 2 w 3 Det finns alltså två olika möjliga resultat u ( w v) = v ( u w) = w ( v u) = V u ( v w) = v ( w u) = w ( u v) = V Svar till: Asfaltering Figur 1: Kartan över vägarna kallas inom matematiken en graf. Ett vägnät där man kan ta sig från vilken stad som helst till vilken annan som helst (ett sådant vi vill bygga med asfalterade vägar), kallas för ett uppspännande träd. När ett sådant träd ska minimeras använder man sig av följande algoritm Håkan Strömberg 16 KTH Syd

1 Sök upp det kortaste avståndet mellan två städer som har en väg mellan sig. 2 Asfaltera denna väg 3 Sök upp den kortaste avståndet från en stad som inte är ansluten till en stad som har en asfalterad förbindelse 4 Om alla städer är anslutna är problemet löst. Återstår att summera den totala längden av asfalterade vägar. Annars gå till punkt [2]. Totalt blir det 60+50+70+100+50+50+60+80 = 520 Dagens problem: Katterna I huset finns många katter. 7 av dem äter inte fisk 6 av dem äter inte köttfärs 5 av dem äter inte kyckling 4 av dem äter varken fisk eller köttfärs 3 av dem äter varken fisk eller kyckling 2 av dem äter varken köttfärs eller kyckling 1 av dem äter varken fisk, köttfärs eller kyckling Ingen av dem äter allt Hur många katter finns det i huset? 1 ( 1,1,0) 2 De två parallella vektorerna spänner inte upp något parallellogram, alltså är svaret 0. 3 De två vektorerna är ortogonala, båda med längden 1. Vi får vektorn (0,0,1) Håkan Strömberg 17 KTH Syd