Experimentell metodik

Experimentell metodik Storheter, mätetal och enheter En fysikalisk storhet är en egenskap som kan mätas eller beräknas. En storhet är produkten av mätetal och enhet. Exempel 1: Elektronens massa är m = 9,109 10 31 kg. m 31 = 9,109 10 kg Mätetal Storhetsbeteckning Enhetsbeteckning I vårt måttsystem (SI) finns 7 grundenheter. Se nedanstående tabell. De enheter som följer efter ett mätetal är ofta en kombination av flera grundenheter. En fysikalisk formel ger ett samband mellan storheter men samtidigt måste enheterna alltid vara lika i vänster och höger led (annars är formeln fel). Detta innebär att den kombination av grundenheter som finns i vänsterledet även måste förekomma i högerledet. Det är mest lämpligt att välja enheter som bygger på SI-systemets grundenheter. Tabell 1 SI systemets grundenheter. Ingen av de sju grundenheterna kan uttryckas med hjälp av någon eller några av de andra grundenheterna. Storhet SI-enhet Kortversion Längd 1 meter 1 m Massa 1 kilogram 1 kg Tid 1 sekund 1 s Elektrisk ström 1 ampere 1 A Temperatur 1 kelvin 1 K Ljusstyrka 1 candela 1 cd Substansmängd 1 mol 1 mol Ett av fysikens mest kända samband är formeln E = m c 2 där E är energin, m är massan och c är ljushastigheten i vakuum. I SI-systemet är enheten för högerledet 1 kg m 2 s 2. Enheten för vänsterledet är 1 J = 1 Nm = 1 kg m 2 s 2 precis som väntat. 1

Om dimensionslösa storheter Det är alltid av värde att göra en enhetskontroll när man är färdig med en beräkning. På så sätt upptäcker man lätt eventuella fel i de samband man använt. Dessutom minskar sannolikheten för feltolkning av prefix och tiopotenser. Fysikaliskt kan man också uttrycka detta som att vänster- och högerled ska ha samma dimension. Om vänsterledet i ett uttryck har dimensionen längd/tid ( = hastighet) så ska också högerledet ha det. Då båda leden uttrycks i SI-enheter medför en enhetskontroll att det står meter per sekund såväl till höger som till vänster om likhetstecknet. Det finns fysikaliska storheter som är dimensionslösa. Dessa uppträder när vi definierar en storhet som en kvot mellan två storheter med samma dimension. Låt oss ta ett exempel. Vinkeln θ definieras som kvoten mellan cirkelbågens längd s, och radien r enligt θ = s r Då både s och r har dimensionen längd innebär detta att enheten för vinkel är m/m dvs. 1. Men alla vet ju att vi kallar enheten för radianer. Vi sätter alltså ett namn efter mätetalet trots att det egentligen inte behövs, eftersom det inte representerar någon av fysikens grunddimensioner. Eftersom cirkelns omkrets är 2πr blir θ ett varv 2π r = = 2π r ett mått på hur stort ett varv är. Vi säger att ett varv motsvarar 2π radianer. Det finns fler dimensionslösa storheter som har en enhet. Titta t ex på uttrycket för ljudintensitetsnivå. L I = 10 log I 0 Här är I och I 0 två intensiteter (med SI-enheten 1 W/m 2 ). Kvoten blir förstås dimensionslös och enheten lika med 1. Det senare är, som vi strax ska se, nödvändigt för att vi ska kunna logaritmera. Högerledet (och därmed vänsterledet) är alltså dimensionslöst. Trots detta uttrycker vi ljudintensitetsnivåer i 1 decibel, en enhet som alltså bara ska betraktas som ett namn. 2

Allmänt om tabeller och diagram För diagramritning finns ett antal regler som skall uppfyllas. 1. För att underlätta inritning av punkterna i ett diagram och för att underlätta avläsning ur diagrammet, så skall diagramskalorna väljas så att 1 cm motsvarar 1 eller 2 eller 5 (eller tiopotenser av 1 eller 2 eller 5). Exempelvis kan 1 cm på diagramaxeln motsvara 1 V, 2 V eller 5 V. På diagramaxlar och i tabeller skiljer vi storheten och enheten med ett bråkstreck enligt följande exempel där storheten exemplifieras med spänning U: Diagramaxel: U/mV 6,0 7,0 Tabellhuvud: U/mV 6,0 7,0 U Detta kan inte missförstås, ty = 6,0 innebär att U = 6,0 mv. mv 2. Låt den linje eller den kurva du ritar uppfylla diagrammet på ett bra sätt genom att göra avbrott på diagramaxlarna. Origo behöver inte alltid finnas med. 3. Markera mätpunkterna med ett plustecken (+) eller med en ring (o) och rita, i förekommande fall, in felgränserna. 4. Anslut en rät linje eller en så jämn kurva som möjligt till mätpunkterna. Använd alltid linjal eller kurvmall. 5. Vid avläsning ur diagrammet skall du använda den inritade kurvan, eller räta linjen, som är en approximation av dina mätpunkter. Använd aldrig mätvärdena för vidare beräkningar eftersom det försämrar noggrannheten. För att testa olika hypoteser om funktionssamband är det lämpligt att vid diagramritning välja variabler på axlarna, så att det förväntade sambandet blir en rät linje. I detta avsnitt beskrivs några sådana metoder. Räta linjen Räta linjens ekvation är y = k x + m, där k och m är konstanter. Grafen (y avsatt mot x) blir en rät linje med riktningskoefficient k. För att bestämma k för en rät linje i ett diagram behövs två punkter på den räta linjen, (x 1 ; y 1 ) och (x 2 ; y 2 ), vilket ger k Δy y y = = Δx x x 2 1 2 1 3

Därefter fås m ur den räta linjens ekvation eller som linjens skärning med y- axeln. Observera att derivatan av den räta linjens ekvation blir riktningskoefficienten k. dy = d ( k x + m ) = k dx dx Om m = 0 så har vi y = k x och vi säger att y är proportionell mot x. Vi skriver detta som y ~ x. Omskrivning av funktionssamband Då ett samband mellan två variabler inte är linjärt kan man i vissa fall välja nya variabler på diagramaxlarna så att mätpunkterna ändå följer en rät linje. Om t.ex. y = 3 x 2 kan man välja att sätta av y som funktion av x 2. Man får då en rät linje vars riktningskoefficient är 3. Ofta räcker det inte att välja nya variabler utan funktionssambandet måste först skrivas om. Följande exempel avser att illustrera metoden. Exempel 2: Två fysikaliska storheter mäts och ger en uppsättning mätetal, z och r. Man vill testa hypotesen att z = a + b r m där a, b och m är konstanter och m är känd. I diagram bör man då sätta av z som funktion av r m dvs. z på y-axeln och r m på x-axeln. Om hypotesen är riktig hamnar mätpunkterna på en rät linje i diagrammet. Vidare kan konstanterna a och b bestämmas med hjälp av diagrammet. a är skärningen med y-axeln (värdet på z då r m är lika med noll) och b är linjens riktningskoefficient. Exempel 3: Två fysikaliska storheter mäts och ger en uppsättning mätetal, z och r. Man vill testa hypotesen att z a = + b r r där a och b är konstanter och r 0. Sambandet kan skrivas om som 2 z r = a + b r. I diagram bör man då sätta av z r som funktion av r 2 dvs. z r på y-axeln och r 2 på x-axeln. Om hypotesen är riktig ger detta en rät linje i diagrammet och konstanterna a och b fås enligt b ( z r) ( z r) = r 2 1 2 2 2 r1 4

och t ex gäller att a ( z r) 2 b r 2 2 =. där index 1 respektive 2 refererar till två punkter som har lästs av på den räta linjen i diagrammet. Omskrivning av z = a r b. Alla samband mellan två uppsättningar mätetal som kan skrivas på formen z = a r b, där a och b är konstanter, ger en rät linje i ett diagram där log z sätts av som funktion av log r. Logaritmering av sambandet ger log z = b log r + log a y = k x + m Jämför med räta linjens ekvation: Konstanten b fås som riktningskoefficienten enligt b = log z log r log z log r 2 1 2 1 Konstanten a bestäms genom att man väljer en punkt på den räta linjen (log r 1 ; log z 1 ). Eftersom b är känd så fås a ur log z 1 = b log r 1 + log a eller z1 = a r1 Det är viktigt att poängtera att z och r representerar mätetal. Vi kan alltså bara logaritmera något som är dimensionslöst, har enheten 1. Logaritmerade mätetal ska i en tabell redovisas med ett tabellhuvud enligt modellen log(storhet/enhet), t. ex. log(u/mv). På samma sätt markeras diagramaxlar då vi avsätter logaritmerade mätetal i ett diagram. Detta kan aldrig missförstås eftersom storhet/enhet = mätetal. Omskrivning av z = a e b r. Alla samband mellan två uppsättningar mätetal som kan skrivas på formen z = a e b r där a och b är konstanter, ger en rät linje i ett diagram där log z sätts av som funktion av r. (Basen e kan ersättas med vilken bas som helst). b Logaritmering av sambandet ger log z = ( b log e) r + log a y = k x + m Jämför med räta linjens ekvation: 5

(b log e) fås som riktningskoefficienten enligt b log e = log z r log z r 2 1 2 1 Konstanten a bestäms genom att man väljer en punkt på den räta linjen och läser av (r 1 ; log z 1 ). Eftersom b är känd så erhålls a ur 1 log z 1 = (b log e) r 1 + log a eller z = a 1 e br Anmärkning: Enklast blir logaritmeringen ovan om man väljer basen e, eftersom ln e = 1. Exempel 4: Två fysikaliska storheter mäts och ger en uppsättning mätetal z och r. Man vill testa hypotesen att z = a e b/ r där a och b är konstanter. Logaritmering ger 1 ln z = lna + b r I diagram bör man sätta av ln z som funktion av r 1. Riktningskoefficienten b fås som b = ln z ln z 1 1 r r 2 1 2 1 och konstanten a fås genom insättning i funktionssambandet z a =. 1 / 1 e b r Exempel 5: Sambandet mellan två fysikaliska storheter mäts och ger en uppsättning mätetal z och r. Resultatet blir r z 1,0 0,5 2,0 2,0 3,0 4,5 4,0 8,0 5,0 12,5 6,0 18,0 Bestäm sambandet mellan z och r. 6

Lösning: Att sambandet inte är linjärt syns direkt om z sätts av mot r. För att kunna dra slutsatser om sambandet måste vi få en rät linje i ett diagram och provar därför att logaritmera mätvärdena. Utöka tabellen med kolumner för ln r och ln z. r z ln r ln z 1,0 0,5 0,000-0,693 2,0 2,0 0,693 0,693 3,0 4,5 1,099 1,504 4,0 8,0 1,386 2,079 5,0 12,5 1,609 2,526 6,0 18,0 1,792 2,890 Avsätt ln z som funktion av ln r i ett diagram på vanligt mm-papper. Se figur 1. Figur 1 ln z avsatt mot ln r ger en rät linje, vilket visar att sambandet är z = a r b. Punkterna ligger på en rät linje vilket innebär att sambandet är av typen z = a r b där a och b är konstanter. Logaritmering ger ln z = b ln r + ln a. Jämför med y = k x + m. Avläsning på linjen ger oss två punkter t ex (1,80 ; 2,90) och (0,00 ; -0,69). Riktningskoefficienten b blir då b ln z ln z 2,90 ( 0,69) lnr lnr 1,80 0 2 1 = = = 2 1 1, 99 2 och a erhålls genom insättning ln a = ln z 2 b ln r 2 = 2,90 2 1,80 = 0,70 a = 0,50 Svar: Det sökta sambandet är z = 0,5 r 2. 7

Om diagramritning på dator I ovanstående exempel har vi förutsatt att diagrammen ritas för hand (på mm-papper). Om antalet mätvärden inte är alltför stort, är detta ofta enkelt och effektivt. Med hjälp av en räknare går det snabbt att plocka fram ekvationen för den räta linje som bäst ansluter till mätpunkterna. Detta blir oftast bättre än när ögat ska avgöra linjens lutning. Vill man använda datorn för att rita diagram, gäller det att vara uppmärksam på hur datorn hanterar skalor och mätvärden. Program som Matlab fungerar bra, eftersom du med några enkla kommandon själv styr hur inprickning av mätpunkter och eventuell anpassning av räta linjer ska se ut. Problemet med Matlab är att erhålla grafiskt tilltalande diagram (som också är formellt korrekta). Att rita diagram i Excel är vanskligt. Programmet är varken anpassat för naturvetenskapliga eller matematiska behov, och mycket kan därför bli helt fel. Enhetsanalys Enhetsanalys är i första hand ett nyttigt verktyg för att kontrollera samband. Enheterna i vänsterledet och högerledet i ett fysikaliskt samband måste alltid vara lika annars är sambandet fel. Det kan ofta vara en bra kontroll efter man gjort omskrivningar av ett fysikaliskt uttryck. Enhetsanalys kan också användas för att hitta samband mellan storheter. Då ser arbetsgången ut så här: 1. Välj ut de fysikaliska storheter som kan tänkas ingå i sambandet. 2. Gör en ansats om hur sambandet ser ut. 3. Gör en enhetsanalys med hjälp av SI-systemets grundenheter. 4. Gör mätningar. När man letar samband med hjälp av enhetsanalys måste man alltså först göra en ansats som man sen testar. Man vet inte på förhand om ansatsen är riktig eller inte. Det är därför inte ovanligt att man måste göra om stegen 1-4 flera gånger innan man till sist hittar sambandet. Produktansats Det allmänna uttrycket för en produkt där u beror av a, b och c är x y z u = k a b c där k är en dimensionslös konstant och x, y och z är obekanta som skall bestämmas så att vänsterledet och högerledet får samma enhet. 8

Exempel 6 Man vill bestämma svängningstiden för en liten kula som är upphängd i ett snöre (en s k plan pendel). Se figuren. Om problemet skall lösas med hjälp av dimensionsanalys börjar vi med att göra ett antagande. Vi "gissar" att svängningstiden T beror på snörets längd r, kulans massa m och tyngdaccelerationen g. Vi gör sen en tabell med storheter, beteckningar och SI-enheter. Storhet Beteckning SI-enhet Svängningstid T 1 s Snörets längd r 1 m Kulans massa m 1 kg Tyngdaccelerationen g 1 m s 2 Som en första hypotes kan vi pröva med en produktansats. Det ger sambandet x y z T = k r m g där k är en dimensionslös konstant. Med hjälp av enheterna ger det 1 s = 1 m kg m s x y z -2z Eftersom tre enheter ingår och likheten skall gälla för var ger det upphov till tre ekvationer: s: kg: m: 1-2 s = s z 1= 2z 0 1 = kg = kg y 0 = y 0 m = m x m z 0 = x + z Ekvationssystemet har lösningen x = 0,5, y = 0 och z = 0,5. Lägg märke till att exponenten y blev noll på grund av att det bara fanns en storhet som innehöll dimensionen massa. Enhetsanalysen ger således uttrycket T = k r m g = k g 0,5 0 0,5 r Detta uttryck måste testas genom mätningar. Det bästa sättet att göra detta är att låta alla storheter variera och i ett diagram studera T för olika värden på r / g. Är hypotesen riktig ger diagrammet en rät linje som passerar origo. Den enhetslösa konstanten k bestäms då av den räta linjens rikt- 9

ningskoefficient. Bestämning av denna ger att k är 6,3. Teoretiskt kan man visa att k = 2 π. Exempel 7. Vätskan i en behållare skall tömmas ut genom ett smalt horisontellt rör. Se figuren. Sök ett uttryck för flödet (transporterad volym per tidsenhet) genom röret. Vi börjar med att skriva ner vilka storheter som vi tror påverkar flödet genom röret. Storhet Beteckning Enhet Flöde φ 1 m3 s 1 Tryckskillnad p 1 - p 2 1 kg m 1 s 2 Rörets längd a 1 m Rörets radie R 1 m Viskositet η 1 kg m 1 s 1 Vi försöker med en produktansats som får följande utseende ( ) φ = k p p a R η 1 2 x y z u där k är en dimensionslös konstant. Skrivet med hjälp av enheter ger det 1 m s = 1kg m s m m kg m s 3-1 x -x -2x y z u -u -u Eftersom det ingår tre enheter (kg, m och s) får vi tre ekvationer. s: 1 = 2x u kg: 0 = x+u m: 3 = x+y+z u Ekvationssystemet har lösningen x = 1 z = 3 y u = 1 Eftersom det ingick fyra obekanta och tre enheter går det inte att lösa ut alla obekanta. Nästa steg blir att göra en mätserie där exempelvis flödet φ mäts för olika värden på rörlängden a. En sådan mätserie visar att φ = konstant a 1,0 10

Således är y = 1 (och z = 4) och uttrycket kan skrivas ( p p ) φ = k p1 p2 a R = k R aη ( ) 1 1 4 1 1 2 4 η För att testa sambandet görs en mätserie där alla storheter varieras. I ett diagram ritas φ för olika värden på (p 1 p 2 ) a 1 R4 η 1. Eftersom vi får en rät linje i diagrammet verkar vårt antagande (produktansatsen) vara rätt. Ur diagrammet får vi att konstanten k blir ungefär 0,39. Med en teoretisk härledning kan man visa att k = π/8. 11

Övningsuppgifter 1.1 Med en experimentuppställning, bestående av en högtalare och en mikrofon, mättes ljudtrycket p för några olika avstånd r mellan högtalaren och mikrofonen. Följande mätserie erhölls r / m 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,70 1,00 1,50 p / Pa 0,200 0,105 0,070 0,048 0,042 0,028 0,019 0,013 Gör ett diagram på mm papper där ln (p/pa) avsätts som funktion av ln (r/m). Bestäm med hjälp av diagrammet funktionssambandet mellan p och r. 1.2 En mätning av den dynamiska viskositeten η för vatten vid olika temperaturer gav följande resultat t / C η / (10-3 Nsm -2 ) 10,0 1,31 20,0 1,002 30,0 0,798 40,0 0,653 50,0 0,547 60,0 0,467 Den dynamiska viskositeten är proportionell mot e B/T, där B är en konstant och T är temperaturen uttryckt i enheten 1 K. Rita ett lämpligt diagram så att konstanten B kan bestämmas. Bestäm därefter proportionalitetskonstanten. Ange båda med enheter. 1.3 Vilken funktion är ritad i diagrammet nedan? 12

1.4 Vilken funktion är ritad i diagrammet nedan? 1.5 Vilken funktion är ritad i diagrammet nedan? 1.6 Vilken funktion är ritad i diagrammet nedan? 1.7 Vid en laboration mättes spänningen över en kondensator, som laddades ur genom ett motstånd. Följande mätserie registrerades för kondensatorns spänning som funktion av tiden. 13

t / ms U / V 5,00 35,1 11,0 14,4 16,0 11,2 23,0 4,53 34,0 1,52 42,0 0,742 49,0 0,368 54,0 0,185 60,0 0,116 Gör ansatsen U = A e t B Skriv om sambandet ovan, så att du förväntar dig en rät linje i ett lämpligt diagram. Rita detta diagram och bestäm, med hjälp av den räta linjen, konstanterna A och B med enheter. 1.8 Vid en laboration, där laminär strömning studerades, lät man rör med olika diameter transportera vätska. Flödet (φ) mättes som funktion av diametern varvid följande mätserie registrerades. d / (10-3 m) φ / (10-4 m 3 s -1 ) 1,05 0,160 1,35 0,700 1,95 1,70 2,15 2,56 2,40 6,25 3,20 13,0 3,70 41,0 4,60 70,0 5,50 118 b Gör ansatsen φ = a d Skriv om sambandet ovan, så att du förväntar dig en rät linje i ett lämpligt diagram. Rita detta diagram och bestäm, med hjälp av den räta linjen, konstanterna a och b. Glöm inte eventuella enheter. 1.9 En cirkulär mattglasskiva med diametern 10 cm är infattad i ena väggen på en låda som innehåller en lampa. Då lampan är tänd blir luminansen L på glasskivans utsida 20 10 3 Cd/m 2. Skivan kan antas vara en perfekt diffus 14

strålare. Under dessa förutsättningar kan man visa att belysningen E i en punkt på skivans mittpunktsnormal på avståndet r från skivan blir E a = L π b r + 2 där a och b är konstanter. E och L har samma SI- enhet, Cd/m 2 (enheten för E innehåller även en rymdvinkel, men den är dimensionslös). Cd står för candela (grundenhet i SI-systemet). En mätning av belysningen E som funktion av avståndet r gav följande resultat r/(10-3 m) 0 20 50 100 130 150 170 180 200 E /(10 3 lux) 62,8 54,1 31,4 12,5 8,10 6,28 5,00 4,50 3,70 Rita ett lämpligt diagram, så att du får en rät linje, och bestäm konstanterna a och b med enheter. Ange vad du har på diagramaxlarna (glöm inte enheterna). 2.1 Om en kropp skjuts upp från jordytan med en hastighet som är större än en viss hastighet v 0, kommer kroppen att lämna jorden och inte återvända. Denna s.k. flykthastighet kan förväntas bero av gravitationskonstanten G (= 6,67 10 11 Nm 2 kg 2 ), jordens radie R och jordens massa M. Gör produktansats och bestäm sambandet mellan flykthastigheten, gravitationskonstanten, jordradien och jordens massa. 2.2 En vikt är upphängd i en fjäder. Då vikten sätts i svängning vertikalt, får den perioden T som förväntas bero på viktens massa m, fjäderkonstanten k (enhet 1 N/m) och tyngdaccelerationen g. Gör en produktansats och lös den så långt det går. Ge exempel på mätningar som behövs för att få fram det slutgiltiga sambandet. 2.3 En blank rund stav med radien R placeras så att den ena kortsidan är i god termisk kontakt med en metallplatta med temperaturen T 1. Den andra kortsidan är i god termisk kontakt med en metallplatta med temperaturen T 2 (<T 1 ). Den omgivande luften har temperaturen T 0. Låt stavens längdriktning sammanfalla med en (tänkt) x axel. Sätt x = 0 m vid metallplattan med temperaturen T 1. Temperaturen i staven för koordinaten x betecknas med T. Det gäller att T T = A e + C e 0 Bx / R Bx / R där A, B och C är konstanter. Bestäm enheterna på konstanterna. 15

2.4 Vågutbredningshastigheten v för longitudinella vågor i en fjäder bestäms av fjäderkonstanten k (1 N/m), fjäderns längd l och linjära densiteten ρ l (1 kg/m). Bestäm utbredningshastigheten som funktion av fjäderkonstanten, fjäderns längd och den linjära densiteten. 2.5 För ett platinamotstånd med temperaturberoende resistans R t mättes resistansen med en Wheatstonebrygga innehållande de fasta precisionsmotstånden R 1 och R 2 och en variabel motståndsdekad R (som kan avläsas med önskad noggrannhet). Utifrån mätvärdet R beräknades R t enligt: R t = R R 2 / R 1 Man gjorde en mätserie med R 1 = 49,3 Ω och R 2 = 50,8 Ω och erhöll resultaten i nedanstående tabell. t / C R / Ω 0,0 101,1 9,8 105,1 19,6 109,0 32,1 114,1 46,7 120,1 50,1 121,5 63,9 127,1 71,2 130,1 79,9 133,7 94,6 139,8 100,2 142,1 Gör ansatsen R t = R 0 (1 + A t) och bestäm R 0 och A med enheter. Observera att temperaturen skall anges i enheten C (och skall alltså inte räknas om till enheten K). 2.6 En teknolog, som nyss lärt sig att göra produktansats, försöker komma fram till Plancks strålningslag genom att ansätta I(λ) = k h x c y λ z T u där symbolerna från vänster räknat står för spektral exitans (enheten 1 W/m 3 ), dimensionslös konstant, Plancks konstant (h = 6,626 10 34 Js), ljushastighet, våglängd och temperatur (med enheten 1 Kelvin). a Genomför en dimensionsanalys utifrån produktansatsen och bestäm x, y, z och u. b Resultatet enligt a stämmer bara delvis med Plancks strålningslag. 16

Vilken är skillnaden? Varför klarade inte produktansatsen att ge ett helt tillfredsställande resultat? Plancks strålningslag skrivs på följande sätt: 2 2π hc 1 I( λ) = λ e 5 hc /( λkt ) 1 2.7 Vätska strömmar i ett rör. Om flödet φ är laminärt (strömningen sker utan virvelbildning) så kan vi förvänta oss att flödet beror på tryckskillnaden mellan rörets båda ändar Δp, rörets längd L, rörets radie R och vätskans viskositet η. a Bestäm, så långt det går, med hjälp av dimensionsanalys ett analytiskt uttryck för flödet som funktion av tryckskillnaden, rörlängden, rörradien och viskositeten. b I diagrammet nedan finns en mätserie redovisad. Bestäm det som dimensionsanalysen inte gav svar på i a uppgiften, med hjälp av detta diagram. Svara med ett fullständigt uttryck för flödet, uttryckt i de övriga variablerna. Data för mätserien: η = 1,00 10-3 Ns/m 2 Δp = 2,00 10 3 N/m 2 R = 1,00 10-3 m 2.8 Ljusvågor med olika frekvens sprids olika mycket i atmosfären (annars skulle det spridda solljuset göra himlen vitfärgad). Det blå ljuset sprids tydligen mest, eftersom den färgen dominerar himmelsljuset. För att bestämma spridningens våglängdsberoende kan man anta att det spridda ljusets amplitud E s beror på det inkommande ljusets amplitud E 0, avståndet r till spridningspunkten, spridningsmolekylernas volym 4πR 3 /3, ljushastigheten c och 17

våglängden λ. Man kan då göra en produktansats: E0 3 x y Es = k R c λ r där konstanten k är dimensionslös. Bestäm exponenterna x och y genom en dimensionsanalys. 2.9 I botten av en fluid (gas eller vätska) skapas ett tryck på grund av fluidens tyngd. Gör produktansats och bestäm hur detta tryck, p, beror av fluidens densitet, ρ, tyngdaccelerationen, g och fluidens höjd, h. En mätning med vatten (densitet 1000 kg/m 3 ) ger trycket 1,00 10 5 Pa då höjden är 10,2 m och tyngdaccelerationen är 9,81 m/s 2. Svar till övningsuppgifter 1.1 p = a r 1,0 ; a = 0,020 Pa m 1.2 η= A e B/T A = 1,35 10 6 Nsm 2 B = 1,94 10 3 K 1.3 y = 10 4,5 1 1.4 y = 0,6 x 2,0 1.5 y = 5,0 e 3,0/x eller y = 5,0 10 1,3/x beroende på vilken bas du har valt. 1.6 y = 0,2 e 3,0/x 1.7 A = 52,0 V B = 9,75 ms 1.8 a = 1,55 10 7 m 1 s 1 b = 4 1.9 r 2 som funktion av 1/E a = 2,5 10 3 m 2 b = 2,5 10 3 m 2 G M 2.1 v0 = k R 2.2 Ansätt sambandet T = konst m x ky gz. Detta medför att x = 0,5 och y = 0,5 och z = 0. Variera massan och mät perioden. x Pricka T som funktion av m k i ett diagram och bestäm riktningskoefficienten, vilken blir lika med konstanten i sambandet ovan. 2.3 Enheten för A och C är 1 K och enheten för B är 1m 0,5. 2.4 v = c k l där c är en ρ1 dimensionslös konstant. 2.5 R 0 = 104 Ω och A = 4,09 10 3 ( C) 1 2.6 2 hc a I( λ) = k 5 λ b Plancks strålningslag innehåller en exponentialfunktion som inte kom med på grund av att den är dimensionslös. 2.7 a φ = k Δp L3 z Rz η 1 Δp 4 b φ = 0,39 R L η 2.8 x = 0 och y = 2 2.9 p = 1ρgh 18

Några övningsuppgifter i grundläggande ellära 1. En elektron accelereras likformigt från vila mot en stor, homogent (positivt) laddad, platta. Elektronen startar från vila, 2,0 cm från plattan och har hastigheten 1,0 10 7 m/s då den kolliderar med plattan. a Beräkna elektronens acceleration. b Hur stor är den elektriska kraft som verkar på elektronen? c Hur lång tid tar det för elektronen att färdas de två centimetrarna? 2. En proton ökar likformigt sin hastighet från 3,0 10 5 m/s till 1,0 10 6 m/s då den accelererar i ett homogent elektriskt fält. a Beräkna den elektriska fältstyrkan om hastighetsändringen sker på sträckan 8,5 cm. b Beräkna ändringen i protonens potentiella energi. Uttryck svaret i enheten 1 ev (elektronvolt). 3. Elektroner accelereras från vila av en spänning på 200 V. När elektronerna sedan kommer in i ett homogent magnetfält avböjs de i en cirkulär bana med radien 4,0 cm. Bestäm den magnetiska flödestätheten. 4. Norrsken, eller rättare sagt polarsken, uppstår då elektroner och protoner som rör sig i jordens magnetfält kolliderar med atmosfärens molekyler och får dessa att lysa. a Vilken radie får den cirkulära bana en proton med hastigheten 7,2 10 4 m/s rör sig i, då den kommer in i det jordmagnetiska fältet. Fältstyrkan där är ca 50 μt. b Vilken radie får en elektron med hastigheten 1,0 10 6 m/s? 5. Beräkna den magnetiska flödestätheten 2,0 cm från en lång, rak ledare i luft, genom vilken strömmen 7,8 A flyter. Jämför med det jordmagnetiska fältet. 6. Ett uppladdningsbart batteri är märkt 1800 mah. a Hur stor laddning innehåller batteriet? Uttryck svaret i enheten 1 C. b Om det töms under ett dygn, hur stor är då medelströmmen under dygnet? 19

7. Laddningen genom en ledare varierar med tiden enligt Bt qt () = A (1 e ) där A = 7,3 As och B = 0,48 s 1. a Hur varierar strömmen genom ledaren med tiden? b Beräkna strömmen genom ledaren vid tiderna t = 0 s, 1,0 s respektive 5,0 s. 8. En kommersiell kortvågssändare av samma typ som finns i Hörby, har en uteffekt på 500 kw. Anta att denna effekt fördelar sig isotropt, dvs. jämnt över en sfär. Uppskatta hur nära antennen du kan gå utan att du överskrider referensvärdet för det elektromagnetiska fältet som är 2000 mw/m 2. 9. Bestäm potentialen V p i punkten P i Figur 1. 10. Beräkna i Figur 2 a potentialen V p i punkten P b effektutvecklingen i 2 Ω motståndet c strömmen I till jord. 20 V 4 Ω I 40 Ω 12 V 20 Ω 10 V 2 Ω P 1 A 2 A 10 Ω 6 V Figur 2. Figur 1. U 1 P 11. a Beräkna U 1 i Figur 3 då U = 30 V, R 1 = 50 Ω och R 1 R 2 R 2 = 150 Ω. b Bestäm kvoten R 1 /R 2 så att U 1 blir 0,8U. Figur 3. U 2 U 12. Bestäm U 2 i Figur 4 då U = 24 V. 15Ω R 2R 3R 13. Bestäm I 1 och I 2 ur Figur 5. I 2 I 1 3A 5Ω 20Ω U Figur 4. 14. a Beräkna I 1 ur Figur 6. b Bestäm kvoten I 1 /I 2 om R 1 /R 2 = 3. 15. Bestäm I 1 och I 2 ur Figur 7. Figur 5. 5V I 2 30Ω 10Ω I 1 Figur 7. 1kΩ 3A I 1 I 2 10Ω 20Ω 2kΩ Figur 6. 16. Beräkna spänningen U i Figur 8. 12V 3kΩ 4kΩ U Figur 8. 20

17. a Bestäm I 1 och spänningen över 400 Ω-motståndet i Figur 9 då R = 100 Ω. R I 1 20V I 2 b Bestäm R så att I 2 blir noll. 16V 200Ω 400Ω 18. Spänningen över det högra motståndet i Figur 10 mäts med en voltmeter som har resistansen R. a Beräkna spänningen då voltmetern inte är inkopplad. b Beräkna spänningen som mäts om R = 100 kω, 1,0 MΩ respektive 10 MΩ. V 10kΩ 10kΩ Figur 9. 20V Figur 10. 19. a Beräkna R i Figur 11 utan att ta hänsyn till instrumentens resistans då voltmetern visar 18,3 V och amperemetern 0,261 A. b Beräkna R med hänsyn tagen till instrumentens resistans. c Föreslå en alternativ koppling. R Figur 11. R A =2Ω A V R V =10MΩ 20. Bestäm frekvensen f och amplituden A för spänningen i Figur 12 om oscilloskopet är inställt på 0,5 V/div och 2,0 ms/div. 21. Bestäm vid vilken frekvens en kondensator med kapacitansen C = 1,5 μf och en spole med induktansen L = 10 mh har samma reaktans X. Figur 12. 22. En spole har reaktansen X L = 120 Ω vid 2,0 khz. Beräkna dess reaktans vid 50 Hz. 23. Spänningen över en kondensator med kapacitansen C = 0,10 μf varierar med tiden enligt ut () = uˆ sinωtdär u ˆ = 100 V och ω = 400 π s strömmen genom kondensatorn. -1. Bestäm amplituden på 24. Beräkna impedansen och fasförskjutningen mellan spänning och ström vid frekvensen 50 Hz för komponenterna i Figur 13, 14 och 15 på nästa sida. Rita visardiagram. 21

0,12H 30Ω 50μF 20Ω 40μF 30Ω 0,1H Figur 13. Figur 14. Figur 15. 25. a Rita ett visardiagram över komponenterna i Figur 16 med strömmen som referens och bestäm U. b Använd diagrammet för att bestämma fasförskjutningen mellan ström och spänning. c Bestäm kretsens impedans Z. U 2,0μF 40Ω i = 0,3 A, f = 1,0 khz Figur 16. 26. Beräkna fasspänningen i ett 10 kv trefassystem. (Spänningen mellan två faser, huvudspänningen, är alltså 10 kv.) 27. En belastning med strängresistansen 100 Ω är ansluten till ett 400 V trefassystem. Beräkna linjeströmmen och effekten vid Y-koppling. 28. En spis som kopplas till 400 V trefas drar effekten 4,0 kw. I varje fas sitter en säkring. Räcker det att ha 6 A säkringar? Svar 1. a 2,5 10 15 m/s 2 b 2,3 10 15 N c 4,0 ns 2. a 56 kv/m b 4,7 kev 3. 1,2 mt 4. a 15 m b 0,11 m 5. 78 μt dvs. ca 50% större än den jordmagnetiska flödestätheten. 6. a 6,5 kc b I medel = 75 ma dq() t Bt 7. a it () = = A B e dt där A B = 3,5 A b i(0) = 3,5 A, i(1) = 2,2 A, i (5) = 0,32 A 8. ca 70 m (66,5 m) 9. V p = 2 V 10. a V p = -14 V b P = 2 W c) I = -1 A (strömmen går från jord) 11. a U 1 = 7,5 V b R 1 /R 2 = 4 12. U 2 = 8,0 V 13. I 1 = 4 A och I 2 = 1 A 22

14. a I 1 = 2 A b I 1 /I 2 = 1/3 15. I 1 = 0,23 A och I 2 = 0,14 A 16. U = 5,3 V 17. a I 1 = 0,12 A och U 400 = 3,4 V b R = 160 Ω 18. a U = 10 V b 9,52 V, 9,95 V och 10,0 V 19. a R = 70,1 Ω b R = 68,1 Ω c Inre voltmeterkoppling: 20. A = 2,1 V och f = 80 Hz 21. f = 1,3 khz 22. X L = 3Ω 23. i ˆ = 13 ma 24. X L Z ϕ R Z = 48 Ω ϕ = 51 X C R ϕ Z Z = 67 Ω ϕ = -73 X L R V R V =10MΩ R ϕ Z R A =2Ω A Z = 57 Ω ϕ = -58 25. U C U R ϕ U I U R = 12 V U C = 24 V U = 27 V Z = 89 Ω ϕ = -63 X C -X L X C 26. U = 5,8 kv 27. I l = 2,3 A och P tot = 1,6 kw 28. Ja, strömmen blir 5,8 A dvs mindre än 6 A. 23