Matematikkunskaperna 2001 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH

Matematikkunskaperna 2001 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH bearbetning av ett förkunskapstest av Lars Brandell Stockholm November 2001 1

FÖRETAL 3 SAMMANFATTNING 4 INLEDNING 5 Provet 5 De svarande 5 Grupperingar av testuppgifterna 6 Lösningsfrekvenser 7 PROVRESULTAT FÖR SAMTLIGA 7 Resultat år 2001 7 Jämförelse med tidigare år 8 LÖSNINGSFREKVENSER FÖR DE OLIKA CIVILINGENJÖRSPROGRAMMEN. 9 Stora skillnader mellan resultaten på de olika programmen 9 LÖSNINGSFREKVENSERNA FÖR MÄN OCH KVINNOR 16 GYMNASIEBETYGENS BETYDELSE 19 Sambandet mellan betygen på olika kurser i gymnasieskolan 19 Lösningsfrekvenser för teknologer med olika betyg 21 BILAGA 1. BESKRIVNING AV UPPGIFTERNA OCH PROVRESULTATEN 1997-2001 24 Vad innehåller provet? 24 Lösningsfrekvens 24 Kommentarer till de olika uppgifterna 24 2

Företal Denna rapport innehåller en bearbetning och sammanställning av resultaten på förkunskapsprovet år 2001 i matematik för nybörjarna på civilingenjörslinjerna vid Kungliga Tekniska Högskolan (KTH). Samma prov har tidigare givits åren 1997, 1998, 1999 och 2000. Analyser liknande denna har gjorts tidigare av proven 1998, 1999 och 2000. Provet 1998 blev föremål för en mera ingående analys i anslutning till Högskoleverkets utredning om förkunskaperna i matematik från gymnasieskolan. 1 Proven 1999 och 2000 har redovisats i särskilda rapporter 2. I denna rapport finns i huvudsak samma tabeller som i de tidigare rapporterna, så att de skall vara lätt att göra jämförelser. Samtliga data har bearbetats av Jonas Öberg som också producerat tabellmaterialet. Bearbetningen har skett med hjälp av SPSS-systemet. Stockholm i november 2001 Lars Brandell 1 Högskoleverkets utredning är publicerad under rubriken Räcker förkunskaperna i matematik? ( Högskoleverket 1999). Se också Brandell, L & Mood-Roman, C: Matematikkunskaperna hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH (Kungliga Tekniska Högskolan); bearbetning av ett förkunskapstest. Bedömningsgruppen för matematikkunskaper (Högskoleverket 1998). 2 Brandell, L: Matematikkunskaperna 1999 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH, (Stockholm 1999) och Brandell, L: Matematikkunskaperna 2000 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH, (Stockholm 2000) 3

Sammanfattning Provet är samma prov som använts för nybörjarna på civilingenjörslinjerna sedan hösten 1997. Det gjordes av de allra flesta av nybörjarna på civilingenjörslinjerna hösten år 2001. Bortfallet var cirka 16 procent. Totalresultatet år 2001 på provet var betydligt sämre än föregående fyra år. Lösningsfrekvenserna ligger på följande nivåer för de olika grupperingarna av uppgifterna: Grundkunskaper: 81% (föregående år 86%); Deriveringsmetoder: 54% (61); Matematisk allmänbildning: 53% (59); Kreativ talkunskap 31% (38) Läsförmåga (analys): 12% (16) och Okonventionella angreppssätt: 8% (10 ) Jämfört med resultaten år 1998, som är de hittills bästa, har lösningsfrekvenserna minskat inom det som vi kallat Grundkunskaper med 9 procentenheter (pe), Deriveringsmetoder (- 16 pe), Matematisk allmänbildning ( - 8 pe) Kreativ talkunskap (-11 pe), Läsförmåga (analys) (-11 pe) och Okonventionella angreppssätt(-4 pe).. Andelen som fått 4 poäng eller mindre av 14 möjliga har ökat från 7,4 % år 1998 till 19,4 % år 2001. Andelen som har 7 poäng eller mer har minskat från 67 procent år 1998 till 45 procent år 2001. I förhållande till år 2000 har resultatet bara förbättrats i ett program. Det är Materialteknik där lösningsfrekvensen ökat från 37 till 42 procent. För Industriell ekonomi är resultatet oförändrat i förhållande till förra året (55 procent). Den största minskningen har skett för Informationsteknik (från 56% till 44%), Farkostteknik ( från 51% till 41%) och Datateknik (D) ( från 61% till 53 procent). Kvinnor och män har som grupper samma resultat på testet. I tidigare årgångar låg männens resultat några procentenheter högre än kvinnornas. Cirka 75 procent av deltagarna i provet hade betyg på kurserna Matematik D och Matematik E från gymnasieskolan. (Övriga hade läst dessa kurser på annat håll, Komvux eller basåret). Av dessa hade 20 procent betyget G på såväl kurs D som kurs E ( Detta är en betydligt högre siffra än tidigare år ( 1999 var motsvarande andel 10 procent) Vidare hade år 2001 26 procent högsta betyg på både kurs D och kurs E (År 1999 gällde detta för 35 procent). Det är inom alla områden ett kraftigt samband mellan gymnasiebetygen i matematik (kurserna D och E) och resultaten på förkunskapstestet. Lösningsfrekvenserna 2001 är väsentligt lägre än de var år 1998 för teknologer med ett visst betyg i matematik. Resultatet år 2001 är också väsentligt sämre än år 1998 för teknologer med ett visst betyg på kurs E och som är 19 år (dvs kommer direkt från gymnasieskolan). 4

Inledning Provet Provet, som är identiskt med det som årligen getts sedan år 1997 (se bilaga 1) genomförs under en timme (60 minuter) i anslutning till det första undervisningstillfället på den repetitions och introduktionskurs i matematik som ges under de första två introduktionsveckorna för nybörjarna på civilingenjörslinjerna. Inga hjälpmedel (räknedosa, formelsamling) är tillåtna vid provet. I anslutning till provet får de skrivande också fylla i ett missivblad med uppgifter om tidigare matematikstudier, betyg etc. De svarande Över 1500 svar Sammanlagt 1503 prov rättades. (Motsvarande siffra för år 2000 var 1489, för år 1999 1376, för år 1998 1224 och för år 1997 1281). Bortfall Provet gjordes i slutet av augusti, under en period då fortfarande rekryteringen av reserver pågick. Det är därför inte möjligt att fastställa exakt hur många teknologer som borde ha deltagit i provet på de olika utbildningsprogrammen. Däremot finns exakta uppgifter på antalet nybörjare den 15 september. Med dessa som utgångspunkt kan man uppskatta bortfallet för de olika programmen (se tabellen nedan ) Tabell: Antalet svar och antalet nybörjare för de olika civilingenjörsprogrammen, Program Antal svar Antal nybörjare 15/9 "Bortfall" (procent) Materialteknik 38 44 13,6 Datateknik 171 196 12,8 Elektroteknik 157 179 12,3 Teknisk fysik 93 161 42,2 Industriell ekonomi 111 132 15,9 Kemiteknik 102 114 10,5 Lantmäteri 91 105 13,3 Maskinteknik 244 269 9,3 Farkostteknik 145 149 2,7 Väg- och vattenbyggnadsteknik 94 95 1,1 Bioteknik 59 68 13,2 Mediateknik 62 75 17,3 Informationsteknik 136 206 34,0 Alla 1503 1793 16,2 5

Som synes är det genomsnittliga bortfallet 16 procent. (År 2000 var motsvarande värde 8 procent). Speciellt stort är bortfallet på Teknisk fysik och IT-programmet, vilket gör resultaten för dessa två program osäkrare. Tre fjärdedelar var 21 eller yngre 75 procent av de svarande var 21 år eller yngre, vilket är lika stor andel som föregående år. 11 procent var 25 år eller äldre ( en minskning med två procentenheter). Något lägre andel kvinnor 73 % av de svarande var män och 26% kvinnor. Jämfört med både år 2000 och år 1999 innebär det en snedare fördelning. (År 2000 var proportionerna 71/29 och år 1999 69/31) 3. Bara 70 procent hade läst matematik något av de två senaste åren Två av fem (41%) skrivande hade fått sitt senaste betyg i matematik från innevarande år (2001). 31 procent läste senast matematik under förra året (2000). Det är i stort samma siffror som gällde nybörjarna år 2000. Motsvarande andelar vid 1999 års prov var 48 och 29 procent och vid 1998 års prov 44 resp 32 procent. Tre av fyra kom senast från gymnasieskolan Varje svarande fick ange vid vilken typ av utbildning de hade fått sitt senaste matematikbetyg. För 75 % av studenterna var detta ett betyg från svensk gymnasieskola. Elva procent angav Komvux och nio procent basåret. Fem procent angav annan utbildningsform. Fördelningen förra året var nästan densamma. Grupperingar av testuppgifterna Det aktuella provet innehåller sammanlagt 14 uppgifter. Några av dessa är kopplade till varandra (som a- och b-uppgifter på samma problem) 4. Liksom i tidigare års rapporter har de olika uppgifterna fördelats på sex olika grupper. Fyra uppgifter (nr 1 och 2 samt 4 a och 4b) är alla enkla uppgifter som finns med i grundskolans kurs (aritmetik, algebra och elementär geometri/trigonometri). Man kan säga att dessa uppgifter testar (matematiska) grundkunskaper. Uppgifterna 3 och 8a är elementära övningar på vad man skulle kunna kalla deriveringsmetoder. Det är metoder som lärs ut i gymnasieskolan. Uppgifterna 6 och 9 handlar båda om heltal och deras egenskaper och räkneregler. De bygger i stort på matematikkunskaper som lärs ut i grundskolan, men är av en typ som egentligen inte övas där. De kräver en viss matematisk kreativitet av den skrivande för att lösas. Vi använder här beteckningen kreativ talkunskap. Uppgifterna 8b och 10 och i viss mån även 4c testar förmågan att läsa, förstå och tillämpa matematisk text i första hand inom analysområdet: läsförmåga (analys). 3 År 1998 å andra sidan var motsvarande kvot 72/28. 4 I bilaga 1 finns en genomgång av samtliga uppgifter och en analys av hur de kan lösas och en diskussion av vilka kunskaper och färdigheter som de mäter. 6

Uppgifterna 5 och 11 testar vad man skulle kunna kalla matematisk allmänbildning. Uppgift 7 slutligen förutsätter en förmåga att lösa uppgifter med vad som för dessa studenter skulle kunna kallas okonventionella angreppssätt. Lösningsfrekvenser Varje uppgift eller deluppgift bedömdes med 1, 0,5 eller 0 poäng. Sammanlagt kan man få 14 poäng på provet. Vid analysen i det följande av resultaten för de olika uppgifterna i provet används här begreppet lösningsfrekvens. För en grupp teknologer definieras för var och en av de olika uppgifterna i testet lösningsfrekvensen som andelen (i procent) utdelade poäng av antalet möjliga. Provresultat för samtliga Resultat år 2001 Lösningsfrekvenserna år 2001 på de olika uppgifterna för hela teknologgruppen redovisas i tabell 1. Vi har samma mönster som tidigare år: De standardiserade räkneuppgifterna klarar man bäst - allra bäst sådant som finns med redan i grundskolans kurs. På uppgifter som kräver vad man skulle vilja kalla självständigt matematiskt tänkande och matematisk förståelse är lösningsfrekvenserna lägre. Tabell 1. Nybörjartest i matematik vid KTH 1997-2001. Lösningsfrekvenser för testuppgifter inom olika områden. Uppgifter Lösningsfrekvens (%) 2001 Lösningsfrekvens (%) 2000 Lösningsfrekvens (%) 1999 Lösningsfrekvens (%) 1998 Lösningsfrekvens (%) 1997 Grundkunskaper 1 79,3 84,2 87,6 90 89 2 82,6 87,1 88,0 91 89 4a 81,0 85,0 88,0 89 88 4b 82,1 89,1 90,6 91 90 medelvärde 81,2 86,3 88,5 90,3 89,0 Deriveringsmetoder 3 60,9 67,8 71,1 74 72 8a 46,8 54,1 59,4 65 54 medelvärde 53,9 61,0 65,2 69,5 63,0 Matematisk allmänbildning 5 73,1 73,2 78,1 76 76 11 32,2 45,2 46,9 46 42 medelvärde 52,7 59,2 62,5 61,0 59,0 Kreativ talkunskap 6 36,0 42,2 45,6 49 45 9 25,8 33,4 37,9 35 36 medelvärde 30,9 37,8 41,7 42,0 40,5 Läsförmåga (analys) 4c 8,0 10,4 13,4 19 15 8b 17,2 20,8 22,7 27 25 10 10,0 16,2 19,8 23 18 medelvärde 11,7 15,8 18,6 23,0 19,3 Okonventionella angreppssätt 7 8,4 9,1 10,0 11 10,0 medelvärde 8,4 9,1 10,0 11,0 10,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 46,0 51,3 54,1 56,3 53,5 7

Jämförelse med tidigare år Sämsta resultatet på fem år Som jämförelse finns i tabell 1 också resultaten från de fyra tidigare tillfällen som testet har använts. Man kan konstatera att resultaten år 2001 är de lägsta under de femår som provet har givits. Sedan år 1998, som är den årgång som hittills haft det bästa resultatet har den sammantagna lösningsfrekvensen minskat med 10 procentenheter. Dubbelt så stor årlig minskning som tidigare år En sammanfattning av förändringarna i lösningsfrekvenserna på de sex grupperna sedan år 1997 ges i tabell 2. Resultatet av provet var något bättre år 1998 än år 1997. Men sedan 1998 har resultaten försämrats, först till år 1999, då man i stort sett var tillbaka på 1997 års nivå. Resultaten år 2000 innebar en ytterligare minskning till det dittills lägsta värdet. Nu sker ytterligare en minskning som dessutom är dubbelt så stor som förra årets. Tabell 2: Nybörjartest i matematik vid KTH 1997.-2001. Den årliga genomsnittliga förändringen av lösningsfrekvensen inom olika områden Genomsnittlig förändring (procentenheter) 2001-2000 2000-1999 1999-1998 1998-1997 Grundkunskaper -5,1-2,2-1,7 1,3 Deriveringsmetoder -7,1-4,2-4,3 6,5 Matematisk allmänbildning -6,5-3,3 1,5 2,5 Kreativ talkunskap -6,9-3,9-0,3 1,5 Läsförmåga (analys) -4,0-2,9-4,4 3,7 Okonventionella angreppssätt -0,8-0,9-1,0 1,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens -5,3-2,8-2,2 2,8 Inom det som vi kallat grundkunskaper, d v s enkla tillämpningar av grundskolans matematikkurs har lösningsfrekvensen sedan 1998 minskat med nio procentenheter. Den största minskningen (11 procentenheter) har inträffat på uppgiften 1, som är en mycket enkel övning i reduktion av dubbelbråk (se också bilaga 1). Sedan år 1998 har också lösningsfrekvensen för det som här kallas Deriveringsme-todik och som hör till gymnasieskolans kurser minskat kraftigt ( 16 procentenheter). Inom det område som vi kallat matematisk allmänbildning är minskningen i förhållande till 1998 relativt liten på uppgiften 5 (3 procentenheter). Här bör man rekommendera en viss försiktighet i tolkningen, eftersom uppgiften går ut på att motivera ett visst standardförfarande vid ekvationslösning, en typ av uppgifter där vi av erfarenhet vet att det är svårt att få oförändrad bedömningsnivå mellan olika rättare. På uppgift 11 däremot (som handlar om ett bevis av Pythagoras sats) har lösningsfrekvensen minskat kraftigt mellan år 2000 och år 2001, efter att ha varit i stort sett oförändrad sedan 1998. 8

På de två uppgifter som handlar om kreativ talkunskap testas kunskaper på områden som inte direkt tas upp i gymnasieskolans kursplaner. Här har lösningsfrekvensen sedan 1998 minskat kraftigt (13 procentenheter) på uppgift 6, där man förväntas använda enkla potensregler för att avgöra storleksordningen mellan tre tal. På uppgiften 9 som löses genom ett man generaliserar en given figur, och översätter den i siffror är minskningen jämfört med föregående år 9 procentenheter efter att tidigare varit relativt stabilt. Lösningsfrekvensen för de tre analysuppgifter som är kopplade till det som vi kallat läsförmåga (analys) har halverats från 23 procent år 1998 till 12 procent år 2001. Det är tre uppgifter som testar kunskaper om och förmågan att tillämpa resultat kopplade till teorien för gymnasiets kurs i matematisk analys. I den sista gruppen okonventionella angreppssätt, som bara utgörs av en uppgift har lösningsfrekvensen minskat från 11 procent 1998 till 8 procent år 2001. Lösningsfrekvenser för de olika civilingenjörsprogrammen. Stora skillnader mellan resultaten på de olika programmen Teknisk fysik redovisar det bästa resultatet Sammanlagt finns det 13 olika program vid KTH som leder fram till civilingenjörsexamen. I Tabell 3 ges lösningsfrekvenserna för de olika uppgifterna fördelade på de olika programmen. I tabellen är programmen ordnade efter fallande genomsnittlig lösningsfrekvens. På årets test har programmet Teknisk fysik (F), liksom tidigare, det högsta genomsnittliga resultatet med en lösningsfrekvens på 64 procent Tre program ligger kring 55 procent (Bioteknik, Mediateknik och Industriell ekonomi). På två program Datateknik och Elektroteknik (E), ligger lösningsfrekvensen mellan 49 och 53 procent. Resultaten för fyra program (Kemiteknik (K), Informationsteknik, Materialteknik (B) och Farkostteknik( T )), ligger i intervallet 41 44 procent. I Maskinteknik (M) är lösningsfrekvensen 38 procent. De lägsta resultaten redovisas för Lantmäteri (L) och Väg och vattenbyggnadsteknik (V) (33 35 procent). Kraftigt försämrat resultat på Data- IT- och Farkostprogrammet. Tabellerna 4, 5 och 6 innehåller samma uppgifter som tabell 3 för nybörjarteknologerna de tre föregående åren. Det är bara ett program som redovisar ett bättre resultat år 2001 än år 2000. Det är Materialteknik ( B), där den genomsnittliga lösningsfrekvensen har ökat med 5,7 procentenheter. B har därmed lämnat sista platsen i resultatordningen och ligger i år på nionde plats bland 13 program. De nya teknologerna på Industriell ekonomi-programmet har som grupp ett oförändrat resultat jämfört med förra året. Den kraftigaste minskningen jämfört med år 2000 redovisas för D (-12 procentenheter), T (-10 ) och IT-programmet (-8). Även för L, M, K och V är minskningen förhållandevis kraftig (5 7 procentenheter). För övriga program (E, Bioteknik, F och Mediateknik) är minskningen mer måttlig - mellan en och fyra procentenheter. 9

I ett längre perspektiv (sedan år 1997) är det bara två program som har hållit ställningarna. Det är Industriell ekonomi (I) och Materialteknik (B). För alla andra program (som fanns 1997) har lösningsfrekvensen minskat med mellan 6 och 17 procentenheter.. 10

Tabell 3:Nybörjartest i matematik vid KTH år 2001. Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen Teknisk fysik Bioteknik Industriell ekonomi Mediateknik Datateknik Elektroteknik Kemiteknik Informationsteknik Materialteknik Farkostteknik Maskinteknik Lantmäteri Väg- och vattenbyggnadsteknik Samtliga civilingengörsprogram Grundkunskaper 1 94,6 86,4 89,6 87,1 86,3 76,8 77,0 77,6 84,2 81,0 73,2 69,2 60,1 79,3 2 90,9 93,2 91,9 82,3 90,4 85,0 79,9 87,5 76,3 79,3 76,8 70,9 68,1 82,6 4a 94,1 93,2 90,5 87,1 90,9 86,9 76,5 76,8 63,2 75,5 72,3 74,2 72,9 81,0 4b 90,9 90,7 87,8 87,9 86,3 84,4 73,0 86,8 73,7 83,8 78,3 69,8 71,8 82,1 Medelvärde 92,6 90,9 90,0 86,1 88,5 83,3 76,6 82,2 74,3 79,9 75,2 71,0 68,2 81,2 Deriveringsmetoder 3 83,3 61,9 69,8 67,7 72,2 67,5 56,4 59,2 51,3 57,2 52,5 48,4 43,1 60,9 8a 80,1 64,4 49,6 50,8 55,0 50,0 44,6 51,5 51,3 40,7 35,5 28,0 28,2 46,8 Medelvärde 81,7 63,1 59,7 59,3 63,6 58,8 50,5 55,3 51,3 49,0 44,0 38,2 35,6 53,9 Matematisk allmänbildning 5 89,8 94,1 91,0 79,8 76,9 74,5 73,0 66,2 77,6 75,5 60,7 60,4 58,0 73,1 11 50,5 49,2 61,3 58,9 41,8 29,3 26,5 30,9 29,0 25,2 21,1 11,0 8,5 32,2 Medelvärde 70,2 71,6 76,1 69,4 59,4 51,9 49,8 48,5 53,3 50,3 40,9 35,7 33,2 52,7 Kreativ talkunskap 6 53,8 54,2 42,3 67,7 43,3 52,6 27,0 29,0 29,0 23,1 22,1 29,7 21,8 36,0 9 37,6 35,6 33,8 33,9 28,7 28,3 39,2 17,7 35,5 12,8 18,9 15,9 25,0 25,8 Medelvärde 45,7 44,9 38,1 50,8 36,0 40,4 33,1 23,3 32,2 17,9 20,5 22,8 23,4 30,9 Läsförmåga (analys) 4c 28,0 7,6 12,6 10,5 9,4 9,6 6,4 11,4 1,3 2,4 3,7 2,2 1,6 8,0 8b 44,1 24,6 27,9 26,6 27,5 18,2 13,2 14,0 13,2 9,7 8,8 4,4 2,7 17,2 10 25,3 18,6 15,3 14,5 12,9 13,4 16,7 4,8 0,0 6,9 4,5 1,1 1,1 10,0 Medelvärde 32,4 17,0 18,6 17,2 16,6 13,7 12,1 10,1 4,8 6,3 5,7 2,6 1,8 11,7 Okonventionella angreppssätt 7 25,8 8,5 7,2 14,5 14,9 9,2 11,3 4,0 5,3 4,5 2,9 2,2 5,3 8,4 Medelvärde 25,8 8,5 7,2 14,5 14,9 9,2 11,3 4,0 5,3 4,5 2,9 2,2 5,3 8,4 Genomsnittlig lösningsfrekvens 63,5 55,9 55,1 55,0 52,6 49,0 44,3 44,1 42,2 41,3 37,9 34,8 33,4 46,0 Tidigare genomsnittlig 2000 65,2 58,2 55,0 56,1 60,9 52,6 50,5 56,4 36,5 51,1 44,7 41,9 38,4 51,3 lösningsfrekvens 1999 73,4 62,2 58,9 51,8 58,0 59,6 51,8 41,9 53,0 48,1 45,5 43,7 54,1 1998 70,1 65,5 65,4 59,1 56,9 46,9 57,1 51,0 45,5 46,0 56,3 1997 69,3 54,3 60,7 57,1 54,3 42,1 55,7 46,4 46,4 50,0 53,5 11

Tabell 4:Nybörjartest i matematik vid KTH år 2000. Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen Utbildningsprogram Teknisk fysik Datateknik Bioteknik Informationsteknik Mediateknik Industriell ekonomi Elektroteknik Farkostteknik Kemiteknik Maskinteknik Lantmäteri Väg- och vattenbyggnadsteknik Materialteknik Samtliga civilingengörsprogram Uppgift Grundkunskaper 1 92,7 95,6 88,6 81,1 92,1 84,4 89,9 83,5 82,3 80,3 75,5 76,1 72,8 84,2 2 90,2 94,4 96,2 92,5 90,4 87,7 90,3 92,0 88,4 81,7 77,3 76,5 78,1 87,1 4a 91,5 89,7 89,4 90,2 83,3 86,3 86,0 85,3 90,5 81,7 79,1 76,9 68,4 85,0 4b 96,3 95,2 87,9 94,5 89,5 89,6 94,2 91,1 89,7 88,3 71,4 85,9 71,9 89,1 Medelvärde 92,7 93,7 90,5 89,6 88,8 87,0 90,1 88,0 87,7 83,0 75,8 78,9 72,8 86,3 Deriveringsmetoder 3 82,1 76,6 70,5 75,6 73,7 72,2 72,4 69,6 63,4 62,8 55,5 55,1 44,7 67,8 8a 74,8 67,5 52,3 58,3 50,0 57,5 57,1 52,7 54,3 49,3 43,2 40,2 33,3 54,1 Medelvärde 78,5 72,1 61,4 67,0 61,9 64,9 64,8 61,2 58,9 56,1 49,4 47,7 39,0 61,0 Matematisk 5 87,8 80,6 83,3 81,5 71,1 83,0 79,2 71,0 76,3 66,7 63,6 49,6 51,8 73,2 allmänbildning 11 67,5 62,3 63,6 52,4 61,4 48,6 47,4 50,0 41,8 29,1 30,0 25,6 21,9 45,2 Medelvärde 77,7 71,5 73,5 67,0 66,3 65,8 63,3 60,5 59,1 47,9 46,8 37,6 36,9 59,2 Kreativ talkunskap 6 57,7 58,3 45,5 50,0 51,8 40,1 44,8 39,7 37,9 31,7 39,5 26,1 31,6 42,2 9 42,3 38,1 49,2 41,3 44,7 50,0 23,1 29,9 34,5 30,0 25,0 15,8 22,8 33,4 Medelvärde 50,0 48,2 47,4 45,7 48,3 45,1 34,0 34,8 36,2 30,9 32,3 21,0 27,2 37,8 Läsförmåga (analys) 4c 24,0 15,1 18,2 14,6 12,3 10,8 10,4 10,3 6,0 4,1 10,0 1,7 0,9 10,4 Okonventionella 8b 43,5 34,9 31,1 24,4 19,3 27,8 22,7 20,1 16,4 11,2 8,6 4,3 7,0 20,8 10 37,8 28,2 23,5 21,7 36,8 23,6 10,4 13,4 14,7 5,5 3,6 2,6 4,4 16,2 Medelvärde 35,1 26,1 24,3 20,2 22,8 20,7 14,5 14,6 12,4 6,9 7,4 2,8 4,1 15,8 angreppssätt 7 24,0 16,7 14,4 11,8 8,8 7,6 8,8 7,1 10,8 3,2 4,6 0,9 1,8 9,1 Genomsnittlig Medelvärde 24,0 16,7 14,4 11,8 8,8 7,6 8,8 7,1 10,8 3,2 4,6 0,9 1,8 9,1 lösningsfrekvens 65,2 60,9 58,2 56,4 56,1 55,0 52,6 51,1 50,5 44,7 41,9 38,4 36,5 51,3 Tidigare genomsnittlig lösningsfrekvens 1999 73,4 58,0 62,2 51,8 58,9 59,6 53,0 51,8 48,1 45,5 43,7 41,9 54,1 1998 70,1 65,4 65,5 59,1 57,1 56,9 51,0 45,5 46,0 46,9 56,3 1997 69,3 60,7 54,3 57,1 55,7 54,3 46,4 46,4 50,0 42,1 53,5 12

Tabell 5:Nybörjartest i matematik vid KTH 1999. Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen. Utbildningsprogram Teknisk fysik Bioteknik Elektroteknik Industriell ekonomi Datateknik Farkostteknik Kemiteknik Mediateknik Maskinteknik Lantmäteri Väg och vattenbyggnadstek nik Materialteknik Samtliga civilingengörsprogr am Uppgift Grundkunskaper 1. 96,7 94,6 90,8 97,7 93,0 80,4 87,6 78,6 86,3 74,7 78,2 82,7 87,6 2. 96,3 92,9 93,2 92,1 91,5 89,7 88,5 85,7 81,7 79,1 79,7 82,2 88,0 4a. 99,1 96,4 92,4 96,3 91,1 83,9 90,3 75,0 82,4 85,4 77,2 80,8 88,0 4b. 97,2 91,1 92,6 91,6 92,6 92,9 87,6 92,9 89,8 83,5 85,1 88,0 90,6 Medelvärde 97,3 93,8 92,3 94,4 92,0 86,7 88,5 83,0 85,1 80,7 80,1 83,4 88,5 Deriveringsmetoder 3. 87,4 85,7 80,7 74,3 78,5 61,2 82,3 66,1 67,1 49,4 60,9 49,0 71,1 8a. 88,3 57,1 65,2 71,5 60,4 55,4 57,1 53,6 50,7 48,1 51,0 45,2 59,4 Medelvärde 87,9 71,4 73,0 72,9 69,4 58,3 69,7 59,8 58,9 48,7 55,9 47,1 65,2 Matematisk allmänbildning 5. 90,2 87,5 85,2 78,0 80,4 85,7 70,8 76,8 74,6 81,0 64,4 61,1 78,1 11. 76,6 67,9 55,9 53,3 58,1 46,4 40,7 51,8 35,4 26,6 35,1 23,6 46,9 Medelvärde 83,4 77,7 70,6 65,7 69,3 66,1 55,8 64,3 55,0 53,8 49,8 42,3 62,5 Kreativ talkunskap 6. 74,3 57,1 52,7 43,0 53,7 41,1 40,7 53,6 39,8 32,9 36,6 26,0 45,6 9. 60,7 33,9 42,4 45,3 29,5 42,0 35,4 28,6 37,8 44,9 21,8 19,7 37,9 Medelvärde 67,5 45,5 47,5 44,2 41,4 41,5 38,1 41,1 38,8 38,9 29,2 22,8 41,7 Läsförmåga (analys) 4c. 35,5 37,5 18,9 11,2 15,2 11,6 9,3 7,1 5,4 12,0 4,5 4,8 13,4 8b. 51,4 32,1 29,7 32,2 25,6 20,5 16,8 17,9 12,4 13,9 6,9 13,5 22,7 10. 50,9 25,0 20,3 27,6 27,0 21,9 10,6 37,5 10,2 8,9 6,9 10,1 19,8 Medelvärde 46,0 31,5 23,0 23,7 22,6 18,0 12,2 20,8 9,3 11,6 6,1 9,5 18,6 Okonventionella angreppssätt 7. 32,2 12,5 13,7 10,3 16,7 9,4 7,1 0,0 2,9 3,8 3,5 0,5 10,0 Medelvärde 32,2 12,5 13,7 10,3 16,7 9,4 7,1 0,0 2,9 3,8 3,5 0,5 10,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 73,4 62,2 59,6 58,9 58,0 53,0 51,8 51,8 48,1 45,4 43,7 41,9 54,1 Tidigare genomsnittlig lösningsfrekvens 1998 70,1 59,1 65,5 65,4 57,1 56,9 51,0 45,5 46,0 46,9 56,3 1997 69,3 57,1 54,3 60,7 55,7 54,3 46,4 46,4 50,0 42,1 53,5 13

Tabell 6: :Nybörjartest i matematik vid KTH 1998. Lösningsfrekvensen på de olika uppgifterna fördelad på de olika civilingenjörsprogrammen. Teknisk fysik Industriell ekonomi Datateknik Elektroteknik Farkostteknik Kemiteknik Maskinteknik Materialteknik Väg och vattenbyggnadsteknik Lantmäteri Samtliga civilingenjörsprogram Uppgift Grundkunskaper 1. 97 98 92 93 91 93 87 85 82 80 90 2. 98 96 95 90 92 96 89 90 79 89 91 4a 98 94 95 92 90 90 87 85 79 82 89 4b 97 94 93 90 92 94 90 89 82 87 91 Medelvärde 97,5 95,5 93,8 91,3 91,3 93,3 88,3 87,3 80,5 84,5 90,3 Deriveringsmetoder 3. 91 82 85 72 75 77 68 68 63 60 74 8a 81 80 74 70 63 74 63 45 49 48 65 Medelvärde 86,0 81,0 79,5 71,0 69,0 75,5 65,5 56,5 56,0 54,0 69,5 Matematisk allmänbildning 5 78 84 86 79 84 75 72 73 64 64 76 11 74 60 60 56 50 45 35 29 27 28 46 Medelvärde 76,0 72,0 73,0 67,5 67,0 60,0 53,5 51,0 45,5 46,0 61,2 Kreativ talkunskap 6 67 68 65 54 43 49 43 27 38 33 49 9 58 41 39 33 44 21 32 26 34 28 35 Medelvärde 62,5 54,5 52,0 43,5 43,5 35,0 37,5 26,5 36,0 30,5 42,1 Läsförmåga (analys) 4c 34 29 31 26 19 16 11 9 11 12 19 8b 56 38 43 31 26 31 16 12 11 16 27 10 30 36 40 30 20 24 14 15 20 4 23 Medelvärde 40,0 34,3 38,0 29,0 21,7 23,7 13,7 12,0 14,0 10,7 23,2 Okonventionella angreppssätt 7 22 17 18 12 10 11 7 4 5 6 11 Medelvärde 22 17 18 12 10 11 7 4 5 6 10,8 Genomsnittlig lösningsfrekvens 1998 70,1 65,5 65,4 59,1 57,1 56,9 51,0 46,9 46,0 45,5 56,3 Genomsnittlig lösningsfrekvens 1997 69,3 54,3 60,7 57,1 55,7 54,3 46,4 42,1 50,0 46,4 53,5 14

Poängfördelningen varierar mellan de olika programmen Det är alltså stora variationer mellan genomsnittsresultaten i de olika programmen. Men det finns också stora variationer i resultat för teknologerna inom ett och samma program. I tabell 7 redovisas fördelningen i fyra olika grupper efter testresultatet för de olika programmen. Tabell 7. Matematiktest KTH hösten 2001. Procentuell fördelning av provresultaten för de olika programmen. (Programmen ordnade efter andelen av teknologerna som har 10 poäng eller mer.) Andelar (procent) med resultat i intervallet: 4 och 10 och under 4,5-6,5 7-9,5 över Summa Teknisk fysik 2,2 11,8 52,7 33,3 100 Industriell ekonomi 5,4 27,0 46,8 20,7 100 Bioteknik 3,4 27,1 50,8 18,6 100 Mediateknik 4,8 30,6 48,4 16,1 100 Datateknik 8,2 32,7 44,4 14,6 100 Elektroteknik 14,6 29,3 46,5 9,6 100 Kemiteknik 19,6 36,3 36,3 7,8 100 Materialteknik 18,4 44,7 31,6 5,3 100 Informationsteknik 16,9 46,3 31,6 5,1 100 Farkostteknik 25,5 41,4 29,0 4,1 100 Maskinteknik 34,4 38,5 24,2 2,9 100 Lantmäteri 35,2 44,0 20,9 0,0 100 Väg- och vatten 41,5 42,6 16,0 0,0 100 Samtliga teknologer 2001 19,4 35,2 35,7 9,6 100 Samtliga teknologer 2000 11,9 31,3 40,5 16,3 100 Samtliga teknologer 1999 10,4 25,4 43,5 20,7 100 Samtliga teknologer 1998 7,4 25,3 43,7 23,6 100 Som synes har andelen teknologer som klarat högst fyra av de fjorton uppgifterna, ökat varje år sedan 1998. År 2001 hörde nästan var femte ny teknolog till denna grupp mot ungefär var tionde år 1999 och 2000 (och ännu färre år 1998). Även om provet görs under något pressade förhållanden och direkt efter sommaren måste 4 poäng eller därunder anses vara ett lågt resultat. För att få fyra poäng räcker det t ex att klara de fyra uppgifter som här redovisas under rubriken Grundkunskaper. Även om testet inte med säkerhet kan säga något om den enskilde teknologen (alla kan ha en dålig dag), kan man nog konstatera att prognosen för dem som fått högst fyra poäng inte är speciellt god inför de kommande matematikstudierna. I detta perspektiv är det också anmärkningsvärt att på tre av programmen (L, M och V) haren tredjedel eller mer av de skrivande max fyra poäng på provet. De teknologer som klarat minst 7 rätt på provet ha löst åtminstone en uppgift utöver det som kan ses som standarduppgifter från grundskola och gymnasium. Utan att det finns konkreta belägg kan man anta att de teknologer som kommer att klara de kommande matematikkurserna i utbildningen utan problem, till större delen finns bland dem som fått minst sju poäng på förkunskapstestet. 15

Därför är det allvarligt att andelen som har minst sju poäng på provet har minskat kraftigt - från 67 procent år 1998 till 45 procent innevarande år. Andelen som har sju poäng eller mer varierar också kraftigt mellan de olika programmen. Fyra program ligger här på 60 procent eller mer (med F i topp på 86 procent). För sex program ligger andelen som fått 7 poäng eller mer mellan 30 och 60 procent av samtliga, medan för tre av programmen är motsvarande andel under 30 procent (tabell 7). Stora förändringar sedan förra året Tabell 8. Matematiktest KTH: Ändringar mellan 2000 och 2001 för de olika programmen Andelen (procent) med resultat 4 och under 7 och över år 2001 år 2000 Förändring år 2001 år 2000 Förändring Teknisk fysik 2,2 1,6 0,6 86,0 83,7 2,3 Industriell ekonomi 5,4 10,4-5,0 67,5 66,1 1,4 Bioteknik 3,4 7,6-4,2 69,4 71,2-1,8 Mediateknik 4,8 14-9,2 64,5 68,5-4,0 Datateknik 8,2 4 4,2 59,0 79,4-20,4 Elektroteknik 14,6 8,4 6,2 56,1 63,0-6,9 Kemiteknik 19,6 9,5 10,1 44,1 59,5-15,4 Materialteknik 18,4 33,3-14,9 36,9 21,0 15,9 Informationsteknik 16,9 4,7 12,2 36,7 68,5-31,8 Farkostteknik 25,5 7,1 18,4 33,1 59,8-26,7 Maskinteknik 34,4 14,7 19,7 27,1 38,9-11,8 Lantmäteri 35,2 23,6 11,6 20,9 38,1-17,2 Väg- och vatten 41,5 26,5 15,0 16,0 24,0-8,0 Samtliga teknologer 19,4 11,9 7,5 45,3 56,8-11,5 I tabell 8 redovisas för varje program förändringen mellan år 2000 och år 2001 av andelen av de nya teknologerna som fått högst 4 poäng och av andelen som fått sju poäng eller mer. Programmen kan här delas upp fyra grupper: Program där andelen som fått högst 4 har minskat och andelen som fått 7 eller mer har ökat. Det gäller framförallt Materialteknik, där förändringarna i båda fallen är stora, och även, i viss mån, Industriell ekonomi. Program med små förändringar ( Teknisk fysik och Bioteknik) Program där andelen av studenterna som finns i båda grupperna minskar. Det är program där resultatspridningen minskar (Mediateknik). Program där andelen med låga resultat ökar samtidigt som andelen med goda resultat minskar. Detta gäller för åtta av programmen. Den mest negativa utvecklingen mätt med dessa mått har skett på programmen för Farkostteknik och Informationsteknik. Lösningsfrekvenserna för män och kvinnor I tabell 9 redovisas fördelningen av lösningsfrekvenserna för män resp kvinnor. Här är det viktigt att framhålla att resultaten inte kan användas för att dra slutsatser om matematikkunskaperna hos kvinnor resp män mera generellt. De uppgifter som redovisas gäller de män och de kvinnor som sökt och kommit in på de olika civilingenjörsprogrammen vid KTH. 16

Tabell 9. Nybörjartest KTH 2001. Lösningsfrekvensen (procent) för de i olika uppgifterna fördelade på män och kvinnor. Män Kvinnor Samtliga N=1062 N=388 N=1503 Uppgift Grundkunskaper 1. 78,2 82,6 79,3 2. 82,1 83,8 82,6 4a. 80,6 82,6 81,0 4b. 82,1 81,4 82,1 Medelvärde 80,8 82,6 81,2 Deriveringsmetoder 3. 62,4 59,5 60,9 8a. 46,4 47,4 46,8 Medelvärde 54,4 53,5 53,9 Matematisk allmänbildning 5. 73,3 71,7 73,1 11. 32,5 30,8 32,2 Medelvärde 52,9 51,2 52,7 Kreativ talkunskap 6. 34,7 38,1 36,0 9. 24,6 28,9 25,8 Medelvärde 29,6 33,5 30,9 Läsförmåga (analys) 4c. 7,9 8,1 8,0 8b. 18,0 15,3 17,2 10. 10,5 8,9 10,0 Medelvärde 12,1 10,8 11,7 Okonventionella angreppssätt 7. 9,0 6,3 8,3 Medelvärde 9,0 6,3 8,3 Genomsnittlig lösningsfrekvens 45,9 46,1 46,0 Anm: 53 svarande har ej uppgivit kön Man kan konstatera att skillnaderna mellan kvinnors och mäns resultat är små när det gäller det som vi kallat grundkunskaper, deriveringsmetoder, matematisk allmänbildning och läsförmåga(analys. ) För området kreativ talkunskap är kvinnornas resultat bättre än männens. Det motsatta gäller för området okonventionella angreppsätt. Samma lösningsfrekvens för män och kvinnor Som framgår av tabell 9 har män och kvinnor praktiskt taget samma lösningsfrekvens. Detta är en skillnad jämfört med situationen tidigare år. I tabell 10 sammanfattas de årliga lösningsfrekvenserna för män och kvinnor för perioden 1998 2001. 17

Tabell 10: Lösningsfrekvensen för män och kvinnor för de olika problemgrupperna åren 1998 2001. 2001 2000 1999 1998 Män Kvinnor Män Kvinnor Män Kvinnor Män Kvinnor N=1062 N=388 N=1022 N=423 N=927 N=415 N=869 N=332 Grundkunskaper 80,8 82,6 86,5 87,0 88,9 88,2 90,1 91,2 Deriveringsmetoder 54,4 53,5 62,8 56,7 65,2 65,6 69,9 68,8 Matematisk allmänbildning 52,9 51,2 60,7 55,7 65,2 56,0 62,9 56,7 Kreativ talkunskap 29,6 33,5 37,9 37,6 42,2 41,0 42,7 41,6 Läsförmåga (analys) 12,1 10,8 16,9 13,0 20,1 15,6 24,9 19,7 Okonventionella angreppssätt 9,0 6,3 10,8 4,6 12,6 4,7 13,5 4,5 Genomsnittlig lösningsfrekvens 45,9 46,1 52,2 49,4 55,1 52,1 57,1 54,5 Både för kvinnor och män är resultaten sämre 2001 än föregående år (2000). Det gäller både den genomsnittliga lösningsfrekvensen och de olika delområdena. Ett undantag från det senare finns: Det är området okonventionella angreppssätt där kvinnornas resultat år 2001 är högre än något tidigare år. Det viktigaste resultatet är dock att minskningen i lösningsfrekvens i samtliga fall är mindre för kvinnorna än för männen. Detta leder till att den genomsnittliga lösningsfrekvensen år 2001var i stort sett densamma för män och kvinnor. Tidigare år har männens resultat legat några procentenheter högre än kvinnornas. I smmanhanget kan också konstateras att antalet nybörjare på civilingenjörsutbildningarna ökade från 1626 år 2000 till 1793 år 2001 (eller med 10 procent) 5. Antalet kvinnor var i huvudsak oförändrat (469 år 2000 och 476 år 2001). Det ökade antalet nybörjare består därför i stort sett av män. Det är möjligt att detta kan vara en förklaring till att resultaten för männen försämrats mer än för kvinnorna. Lösningsfrekvenserna för kvinnor och män i de olika programmen ges i tabell 11. I de flesta programmen är skillnaden mellan lösningsfrekvensen för kvinnornaoch för männen.liten. Det gäller på Bioteknik,D, Mediateknik, I, E, T, M, L och V. På Informationsteknik och på F har männen (som grupp) bättre resultat än kvinnorna. På B och M däremot har kvinnorna högre testresultat än männen. 5 (Källa data från KTH centralt. 18

Tabell 11 : Nybörjartest KTH 2001. Olika program. Genomsnittliga lösningsfrekvenser för män respektive kvinnor. (Programmen ordnade efter fallande lösningsfrekvenser). Utbildningsprogram Män N Kvinnor N Samtliga N Teknisk fysik 64,5 64 61,8 23 63,8 87 Datateknik 52,6 142 52,0 23 52,6 165 Bioteknik 56,0 15 55,8 41 55,9 56 Informationsteknik 44,9 108 41,9 22 44,4 130 Mediateknik 56,4 33 55,0 25 55,8 58 Industriell ekonomi 55,9 80 54,4 26 55,6 106 Elektroteknik 48,5 128 50,2 23 48,8 151 Farkostteknik 41,0 127 42,9 16 41,2 143 Kemiteknik 46,0 36 43,2 61 44,3 97 Maskinteknik 37,4 194 40,5 48 38,0 242 Lantmäteri 35,3 40 33,6 46 34,4 86 Väg- och vattenbyggnadsteknik 33,4 70 34,4 22 33,6 92 Materialteknik 40,9 25 45,8 12 42,5 37 Total 45,9 1062 46,1 388 46,0 1450 Anm: 53 svarande har ej uppgivit kön. Gymnasiebetygens betydelse Sambandet mellan betygen på olika kurser i gymnasieskolan Det är naturligt att jämföra resultaten på KTH-testet med betygen från gymnasieskolan. Idag får man betyg i matematik på fem olika kurser om man går i NV-programmet. De kurser som bara förekommer på NV-programmet är Matematik D och Matematik E. (De kan också läsas valfritt på andra program). Det visar sig att överensstämmelsen mellan betygen på dessa två kurser är stor. Tre fjärdedelar av alla som skrev förkunskapsprovet hade betyg från gymnasieskolan både på kurs D och på kurs E. Av dessa var det i sin tur knappt tre fjärdedelar som hade samma betyg på de två kurserna (tabell 12). 19

Tabell 12: Nybörjartest i matematik vid KTH 2001. Studenter som gått nya gymnasieskolan. Samband mellan betygen på kurserna D och E. Betyg från nya gymnasiet, kurs E Betyg från nya gymnasiet, kurs D G VG MVG totalt G 221 37 1 259 VG 122 281 65 468 MVG 7 98 290 395 totalt 350 416 356 1122 Procentuell fördelning Betyg från nya gymnasiet, kurs E Betyg från nya gymnasiet, kurs D G VG MVG totalt G 19,7 3,3 0,1 23,1 VG 10,9 25,0 5,8 41,7 MVG 0,6 8,7 25,8 35,1 totalt 31,2 37 31,7 100,0 År 1999 hade drygt 60 procent av alla deltagare i förkunskapsprovet betyg från den nya gymnasieskolan (se tabell 13). Mellan år 1999 och år 2001 har andelen nybörjare med betyget G på både kurs D och kurs E mer än fördubblats (från 9,5 procent till 19,7 procent) Samtidigt hade andelen som hade MVG på båda kurserna minskat från 35 procent till 26 procent. Tabell 13: Nybörjartest i matematik vid KTH 1999. Studenter som gått nya gymnasieskolan. Samband mellan betygen på kurserna D och E. Kurs E, betyg Kurs D, betyg G VG MVG Totalt G 80 43 1 124 VG 67 221 61 349 MVG 7 75 293 375 Totalt 154 339 355 848 procentuell fördelning Kurs E, betyg Kurs D, betyg G VG MVG Totalt G 9,4 5,1 0,1 14,6 VG 7,9 26,1 7,2 41,2 MVG 0,8 8,8 34,6 44,2 18,2 40,0 41,9 100,0 Den genomsnittliga betygsnivån har alltså blivit lägre under de senaste två åren. Man kan misstänka att detta kan vara en av orsakerna till att testresultaten blivit sämre. Därför undersöker vi i nästa avsnitt om testresultaten hänger ihop med betygsnivån. 20

Lösningsfrekvenser för teknologer med olika betyg Tabell 14 ger sambandet mellan gymnasiebetygen på kurserna D resp E och resultaten på förkunskapstestet. Som synes är resultaten kraftigt kopplade till betygen. Det gäller både betygen på kurs E och på kurs D. Siffrorna är ungefär desamma för båda betygsslagen. Studenter med betyget G ( på kurs D eller kurs E) löser i genomsnitt en tredjedel av uppgifterna eller och får knappt fem poäng. Den som har MVG löser i genomsnitt 57 procent av uppgifterna, vilket motsvarar åtta poäng på testet. Tabell 14. Nybörjartest i matematik vid KTH 2001. Lösningsfrekvensen (procent) för studenter från nya gymnasieskolan i relation till betygen på kurserna E och D 2001 års studenter betyg kurs E 2001års studenter betyg kursd n=316 n=388 n=341 n=1045 n=231 n=444 n=371 n=1046 Uppgift G VG MVG Alla G VG MVG Alla Grundkunskaper 1. 62,3 77,8 90,0 77,1 62,6 74,4 89,5 77,2 2. 70,4 86,7 90,8 83,1 69,5 84,7 89,8 83,1 4a 69,6 82,9 91,2 81,6 71,0 79,8 90,3 81,6 4b 72,5 85,1 89,9 82,8 72,1 83,0 89,4 82,8 Medelvärde 68,7 83,1 90,5 81,2 68,8 80,5 89,7 81,2 Deriveringsmetoder 3. 44,0 61,5 77,3 61,3 42,0 59,5 75,5 61,3 8a 25,3 43,9 62,8 44,5 22,9 42,7 59,8 44,4 Medelvärde 34,7 52,7 70,0 52,9 32,5 51,1 67,7 52,8 Matematisk allmänbildning 5 56,7 75,6 83,1 72,3 55,8 70,6 84,8 72,4 11 11,4 33,5 56,7 34,4 12,1 31,5 51,9 34,5 Medelvärde 34,0 54,6 69,9 53,4 34,0 51,1 68,3 53,4 Kreativ talkunskap 6 24,7 37,5 46,5 36,6 26,6 30,5 49,9 36,5 9 19,0 23,7 37,2 26,7 20,1 23,1 35,3 26,8 Medelvärde 21,8 30,6 41,9 31,6 23,4 26,8 42,6 31,6 Läsförmåga (analys) 4c 1,4 5,0 14,4 7,0 2,6 4,2 13,1 7,0 8b 5,7 15,5 30,8 17,5 6,9 12,1 30,9 17,6 10 2,7 7,6 17,7 9,4 2,4 6,0 17,9 9,4 Medelvärde 3,3 9,4 21,0 11,3 4,0 7,4 20,6 11,3 Okonventionella angreppssätt 7 3,3 5,4 15,5 8,1 4,8 4,3 15,0 8,2 Medelvärde 3,3 5,4 15,5 8,1 4,8 4,3 15,0 8,2 Genomsnittlig lösningsfrekvens 33,5 45,8 57,4 45,9 33,7 43,3 56,6 45,9 Endast studenter vars senaste matematikbetyg är från gymnasieskolan medtagna Sämre resultat i år än tidigare vid fixt betyg En förklaring till det försämrade resultatet är alltså att årets nybörjare har lägre genomsnittlig betygsnivån i matematik från gymnasiet än tidigare. Men det är inte säkert att relationen mellan gymnasiebetygen och provresultaten är desamma från år till år. Relationen mellan betyget på kurs E och testresultatet för åren 1998, 2000 och 2001 ges i tabell 15. 21

Tabell 15: Lösningsfrekvenser för olika betygsnivåer. Jämförelse mellan teknologerna åren 1998, 2000 och 2001. betyg på kurs E i gymnasieskolan 2001 2000 1998 G VG MVG G VG MVG G VG MVG N=316 N=388 N=341 N=251 N=401 N=445 N=92 N=262 N=300 Grundkunskaper 68,7 83,1 90,5 76,2 85,0 93,9 82,0 90,3 95,8 Deriveringsmetoder 34,7 52,7 70,0 40,2 56,2 76,7 52,0 69,5 85,0 Matematisk allmänbildning 34,0 54,6 69,9 42,1 54,9 76,5 41,5 62,5 76,0 Kreativ talkunskap 21,8 30,6 41,9 26,5 33,8 53,4 35,0 39,5 57,5 Läsförmåga (analys) 3,3 9,4 21,0 5,8 9,2 30,3 12,0 18,0 39,7 Okonventionella angreppssätt 3,3 5,4 15,5 4,8 5,2 19,4 8,0 7,0 21,0 Genomsnittlig lösningsfrekvens 33,5 45,8 57,4 38,9 47,3 64,2 44,9 54,6 68,6 Både i jämförelse med år 1998 och med förra året är testresultaten sämre i år vid fixt betyg på kurs E. Testresultaten har försämrats inom varje problemområde och varje betygsnivå. Det kan finna fler förklaringar till detta. En kan vara att vi haft en betygsinflation. Kraven för de olika betygen har minskats med åren. Men förklaringen kan också sökas i att populationerna har varit olika. Alla vet att man glömmer kunskaper som inte övas. Det gäller också kunskaper i matematik. Det skulle kunna vara så att vi år 2001 har en större andel än tidigare bland de skrivande från nya gymnasieskolan som läste sina matematikkurser för länge sedan. Men en kontroll visar inga större skillnader i detta avseende mellan nybörjarna år 2001 och år 2000. Återstår frågan om en eventuell betygsinflation. I tabell 16 görs för varje betygsnivå på kurs E en jämförelse mellan resultaten för de studenter som var 19 år vid provtillfället 6. Det är i princip de som kom direkt från gymnasieskolan till KTH. I tabellen jämförs lösningsfrekvenserna för årgångarna 1998, 2000 och 2001. Tabell 16: Nybörjare 19 år, KTH åren 1998, 2000 och 2001. Lösningsfrekvensen i relation till gymnasiebetyget på kurs E i matematik. Betyg på kurs E år G VG MVG n=35 n=116 n=149 1998 48,1 56,8 67,0 n=77 n=118 n=196 2000 39,1 47,8 66,6 n=110 n=138 n=137 2001 35,8 49,5 61,4 Även om lösningsfrekvensen ökat något mellan år 2000 och år 2001 för dem som har betyget VG på kurs E, så är huvudresultatet att prestationerna för de olika betygsgrupperna har minskat - i synnerhet i jämförelse med år 1998. Om detta beror på en direkt betygsinflation eller på omorganisationer i årskurserna i gymnasiet (så att t ex studenterna år 2001 har läst matematiken tidigare än årgång 1998, går inte att avgöra). 6 Med ålder menar vi den ålder som vederbörande har vid det aktuell årets slut. 22

En annan förklaring skulle kunna vara att gymnasisterna har lärt sig att bättre optimera sina studier. Allt fler lär sig precis så mycket matematik som behövs för ett visst betyg. Överinlärning blir mer sällsynt. Detta är ett för den enskilde rationellt handlande, eftersom det är viktigast för att komma in är att medelvärdet på samtliga kurser i slutbetyget är så högt som möjligt. Då skall man inte ägna mer tid åt en kurs än nödvändigt för att få det betyg man siktar mot. 23

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten 1997-2001 I det följande redovisas lydelsen på de olika uppgifter som ingår i testet och resultatet för de fyra år som testet hittills har använts. Härigenom kan man göra jämförelser mellan olika årgångarna teknologer. Syftet är att även i framtiden använda samma test för att kunna följa utvecklingen av nybörjarnas matematikkunskaper. Mot denna bakgrund är det viktigt att information om uppgifterna i provet bevaras inom den grupp som tar del av denna rapport och att den inte sprids till elever i gymnasieskolan. För att inte förstöra möjligheten att göra jämförelser mellan olika årgångar KTHteknologer är det också viktigt att test-uppgifterna inte används i prov eller övningar för elever i gymnasieskolan eller andra skolor (motsv) som utbildar studerande som skall läsa vid universitet eller högskola. Vad innehåller provet? Det bör framhållas att det givna provet inte svarar mot de förkunskaper som behövs för att kunna följa studierna i civilingenjörsprogrammen. Inte heller gör provet något anspråk att täcka det matematikstoff som de nyblivna teknologerna har träffat på under sina tidigare studier i grundskola och gymnasieskola. Istället kan man se provet mera som ett test inför studierna i matematik, som på något sätt visar i vilken riktning man kommer att gå i den kommande undervisningen. Klart är i alla fall att provet testar kunskaper och färdigheter som man på KTH anser vara viktiga för de fortsatta studierna. Lösningsfrekvens Det aktuella provet innehåller sammanlagt 14 uppgifter. Några av dessa är kopplade till varandra (som a och b uppgifter på samma problem). Varje uppgift eller deluppgift bedöms med 1, 0,5 eller 0 poäng. Sammanlagt kan man få 14 poäng på provet. Vid analysen i det följande av resultaten för de olika uppgifterna i provet används här begreppet lösningsfrekvens. d v s andelen utdelade poäng av antalet möjliga. Kommentarer till de olika uppgifterna Uppgift 1: Förenkla ac ( b ) c ( a ) till högst ett bråkstreck i svaret. 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 79,3 84,2 87,6 90 89 Kommentar: Dubbelbråk är en klassiker som ofta skapar problem även för studenter på högskolenivå. Denna uppgift är dock av den allra enklaste typen. Den löses lämpligen genom att 24

man multiplicerar täljare och nämnare i det stora bråket med ab. Därefter förkortas de små bråken var för sig. Slutligen förkortas (divideras täljare och nämnare) med c : ac ( b ) ( ) c a ac ab b = ab c a 2 a bc b a c = = = abc bc a a b 2 2 Ett annat sätt att lösa uppgiften är att man erinrar sig att division med ett bråk är det samma som multiplikation med bråkets invers: Uppgift nr 2: Bestäm x ur ekvationen ac ( b ) c ( a ) ac a a c = = = b c bc x x + = 1 2 3 a b 2 2 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 82,6 87,1 88,0 91 89 Kommentar: Uppgiften är av grundskolekaraktär. Den kan lösas genom att båda leden i ekvationen multipliceras med 6: x x 6x 6x + = 1 + = 6 3x + 2x = 6 5x = 6 x = 2 3 2 3 Man kan också bryta ut x vilket leder till uppgiften att addera 1 2 och 1 3 : Uppgift nr 3 Derivera x x 1 1 5 + = 1 x 1 x 1 x 2 3 2 + 3 = = = 6 99 ( x + 1)( x + 2) 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 60,9 67,8 71,1 74 72 6 5 6 5 Kommentar: Uppgiften förutsätter att den svarande kan derivera ett polynom (vilket vanligen hör till kurs C i gymnasieskolan). Innan man kan derivera måste man multiplicera ihop de två binomen: ( )( ) ( ) 99 100 99 99 98 D x + 1 x + 2 = D x + x + 2x + 2 = 100x + 99x + 2 25

Man kan också derivera de två faktorerna som de står med hjälp av deriveringsregeln för en produkt (kurs D från gymnasieskolan). Detta upplevs nog av de skrivande som mer avancerat : ( + )( + ) = ( + )( + ) + ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) D x 1 x 2 D x 1 x 2 x 1 D x 2 x 2 x 1 99x 99 99 99 99 98 99 99 98 99 98 = x + 2 + 99x + 99x = 100x + 99x + 2 För att kunna lösa uppgiften på det enklaste sättet måste man dels identifiera och kunna skriva uttrycket som ett polynom dels kunna derivera ett sådant. Sannolikt är det den första delen som man har missat på. Det kräver en förtrogenhet med (och kanske också förståelse för) matematiska uttryck, medan den andra delen av uppgiften (att derivera ett polynom) är en mer mekanisk kunskap. Uppgift 4: I figuren ser du en rätvinklig triangel med sidolängderna a, b och c och vinkeln x. x c b a a. Uttryck sin x och cos x i a, b och c. b. Uttryck c i a och b. 4c. Uttryck sin 2x i enbart a och b. 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) a) 81,0 85,0 88,0 89 88 b) 82,1 89,1 90,6 91 90 c) 8,0 10,4 13,4 19 15 Kommentar: Uppgifterna a och b hör hemma i kurs A i gymnasieskolan (sannolikt krävs det bara grundskolekunskaper för att lösa dem). Lösningsfrekvenserna är också bland de allra högsta på hela materialet. Uppgift a) frågar efter det samband som är mest fundamentalt om man vill använda sinus och cosinusfunktionerna i geometrin. (Ibland används dessa samband som definitionen av de trigonometriska funktionerna): a b sin x = ; cos x = c c Svaret i uppgift b) följer direkt ur Pythagoras sats: 2 2 c = a + b I uppgiften c) krävs dels att man kommer ihåg formeln för sinus för dubbla vinkeln, dels att man använder resultatet i uppgift a) för att ersätta sin x och cos x och resultatet i uppgift b) för att eliminera c : a b ab 2ab sin2x = 2sin x cos x = 2 c = c = c a + b 2 2 2 26

Uppgift 5: Då man löser ekvationer så säger man ibland att man flyttar över och byter tecken. (Ex x + 4 = 3 ger x = 3 4 ). Förklara varför man kan göra så. 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 73,1 73,2 78,1 76 76 Kommentar: Uppgiften förväntar sig att den svarande känner till (eller har förstått ) att sanningsvärdet för en likhet (i detta fall en ekvation) inte förändras om man subtraherar (eller adderar) båda leden med samma uttryck. ( Eller: ett sätt att lösa en ekvation är att minska båda leden med samma uttryck ). Egentligen borde det också krävas att den svarande kan göra ett formellt bevis för överflyttningssatsen för en godtycklig ekvation innehållande x : ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) f x g x h x f x g x g x h x g x f x h x g x Sannolikt har det vid rättningen inte krävts en generell behandling enligt ovanstående för att få full poäng på uppgiften. Uppgift 6: 75 200 100 Ordna följande tal i växande storleksordning: 10, 2, 8. 3 10 3 (Ledning: 2 = 8, 2 10. ) 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 36,0 42,2 45,6 49 45 Kommentar: Uppgiften kräver dels att den svarande i enkla fall kan hantera potensräkneregeln: ( a ) = a b c bc dels att han/hon kan organisera behandlingen av de tre uttrycken och använda ledningarna till att göra om det första och det tredje talet till potenser av 2: ( ) ( ) ( ) ; ( ) 10 = 10 2 = 2 8 = 2 = 2 75 3 25 10 25 250 100 3 100 300 Detta medför att 200 75 100 2 < 10 < 8 27

Uppgift 7: Har ekvationen x = cos x någon lösning? I så fall hur många? Svar och motivering: 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) 8,4 9,1 10,0 11 10 Kommentar: Detta är den uppgift som hade lägst lösningsfrekvens av samtliga. Uppgiften är tänkt att lösas grafiskt. Man söker antalet skärningspunkter mellan kurvorna y = x och y = cos x. Det är möjligt att studenterna i gymnasieskolan någon gång har sett en liknande uppgift, men det vanliga har nog varit att man studerat antalet skärningspunkter mellan en kurva och x-axeln. För att lösa uppgiften krävs därför antingen vad man skulle kunna kalla matematisk allmänbildning eller att man kan översätta formler till kurvor och dessutom har ett visst mått av kreativt tänkande. Uppgift 8: ( ) = ( ) Kedjeregeln för derivering säger att om h( x) f g( x) ( ) ( ) ( ) (Ex: om h( x) = e x 2 kan vi välja f ( x) = så är h x g x f g x. = e x och g( x) = x 2 ) 8a: Vad är derivatan av e x2? 8b: Finn funktioner f ( x) och g( x) så att sin 2 x f g( x) ( ) =. 2001 2000 1999 1998 1997 Lösningsfrekvens (%) a) 46,8 54,1 59,4 65 54 b) 17,2 20,8 22,7 27 25 Kommentar: Kedjeregeln introduceras i kurs D i gymnasieskolan. I formuleringen av uppgiften anger man också formeln för kedjeregeln och ger också i ledningen precisa uppgifter om hur man skall välja funktionerna f och g för att formeln skall kunna användas i uppgift 8 a. Det är möjligt att denna ledning har varit svår att förstå och att många av dem som löst uppgift 8 a snarare gått på tidigare inlärda ( mekaniska ) deriveringsregler (med inre derivata o.s.v.): 2 2 x x De = e 2x Ett argument för en sådan slutsats är att betydligt färre än de som löste uppgift 8a klarade av uppgift 8b, där man skulle visa att man förstått den givna formeln genom att sätta: ( ) ( ) f x = x 2 ; g x = sin x En förklaring till att inte så många har klarat uppgiften 8b kan vara att man skriver f ( x) med f y och ( ) g x så att är det möjligt att flera hade kunnat lösa uppgiften. Erfarenheterna visar att även efter högskolestudier i matematik har många studenter svårigheter att hantera uppgifter av den typ som ges i 8 b. x som variabel. Om man istället hade skrivit: Finn funktioner ( ) 28