x - Px U = R(A) = R(P)

8. Ortogonala projektioner Antag att a (6= ) och b r tv vektorer i R n. Vi skall bilda den ortogonala projektionen av b p det endimensionella underrummet L = spn fag. Enligt resonemanget i beviset av Schwarz olikhet r kb tak minimalt d t har v rdet t = a T b=kak. b p g. a t a Om vi s tter p = t a, r b p ortogonalt mot L s att b kan skrivas som en summa b = p + (b p), d r p L och b p L?. Vektorn () p = t a = at b kak a ; som vi ocks kan skriva () p = aat kak b ; r allts (den ortogonala) projektionen av b p L eller enklare projektionen av b p a. Vi vet redan att p och b p r ortogonala men detta kan ocks verieras direkt med hj lp av ():! p T (b p) = p T b p T p = (at b) a T b kak kak kak = : P grund av denna ortogonalitet g ller (jfr. Pytagoras teorem): kbk = b T b = (p + (b p)) T (p + (b p)) = p T p + p T (b p) + (b p) T (b p) = kpk + kb pk : Om a r en enhetsvektor v, antar () den enklare formen d r ' r vinkeln mellan b och a. p = (v T b)v = (kbk cos ')v ;

8 Bj rkfeltbjon Exempel 8.. F r att projicera b = ( 3 ) T p a = ( ) T, r knar vi f rst ut enhetsvektorn Projektionen blir d v = p = (v T b)v = p3 6 a kak = p 3 ( ) T : p3 ( ) T = ( ) T : I n sta avsnitt skall vi generalisera formel () till det fall att en vektor b projiceras p ett underrum med godtycklig dimension. F rst beh ver vi emellertid n gra f rberedande resultat: Sats 8.. F r en m=n-matrix A g ller: (i) A T A r en symmetrisk n=n-matris; (ii) A T A och A har samma rang : Bevis. (i) Matrisen A T A r en n=n-matris. Att den r symmetrisk f ljer ur (A T A) T = A T A T T = A T A : (ii) Vi visar f rst att A T A och A har samma nollrum: Enligt Sats 5.7 (ii) g ller att N (A T A) N (A). Den omv nda inklusionen f ljer ur x N (A T A) ) A T Ax = ) x T A T Ax = ) (Ax) T Ax = ) kaxk = ) Ax = ) x N (A) : Allts r N (A T A) = N (A). Enligt Sats 4.4 r nu r(a T A) = n dim N (A T A) = n dim N (A) = r(a) : } En f ljd av Sats 8. (ii) r: Korollarium 8... Om A r en m=n-matris med rangen n s r A T A inverterbar. Bevis. Eftersom A T A r en n=n-matris med rangen n, r A T A icke-singul r och d rmed inverterbar (Sats 3.9). } Exempel 8.. I matrisen @ 4 A 3 r kolonnerna linj rt oberoende. D rf r r den symmetriska matrisen A T 4 7 7 7 inverterbar (vilket ocks l tt verieras direkt).

Ortogonala projektionen 9 Inkonsistenta ekvationer och projektionsmatriser Antag att A r en m=n-matris och betrakta en ekvation Ax = b, d r b r en godtycklig kolonnvektor i R m. Om ekvationen r inkonsistent s har den naturligtvis ingen l sning men i detta fall kan man i st llet f rs ka best mma ett s dant x att Ax ligger s n ra h gerledet b som m jligt: Denition 8.. En vektor x, som g r talet kax bk s litet som m jligt, kallas en minstakvadratl sning till ekvationen Ax = b. b p = A x Ay R(A) g. Talet kax bk r ju kvadraten p avst ndet fr n b till en variabel vektor Ax i kolonnrummet R(A). D detta tal r s litet som m jligt, kommer Ax s ledes att vara den ortogonala projektionen p av b p R(A). Sats 8.. Minstakvadratl sningarna till ekvationen Ax = b r precis l sningarna till A T Ax = A T b : Om ( a a n ) och kolonnerna a i i A r linj rt oberoende, r A T A inverterbar, varf r minstakvadratl sningen till Ax = b i detta fall kan skrivas x = (A T A) A T b. Den ortogonala projektionen av b p R(A) blir allts p = Ax = A(A T A) A T b : Bevis. P grund av att R(A) = fay j y R n g f s f ljande kedja av ekvivalenta p st enden: kax bk r minimalt, Ax b? Ay f r varje y, (Ay) T (Ax b) = f r varje y, y T (A T Ax A T b) = f r varje y, A T Ax = A T b : Minstakvadratl sningarna till Ax = b f s allts genom att man l ser ekvationen A T Ax = A T b. Om a, : : :, a n r linj rt oberoende s r enligt Korollarium 8..

Bj rkfeltbjon n=n-matrisen A T A inverterbar. D r x = (A T A) A T b den enda minstakvadratl sningen. F r projektionen p = Ax av b f s d den formel som anges i satsen. } Anm rkning. Observera att o ndligt m nga vektorer x ibland kan ge upphov till samma minimala v rde p kax bk. Detta intr ar varje g ng ekvationen Ax = har icke-triviala l sninger, eftersom A T A och A har samma nollrum enligt Sats 8.. L t oss se vad som h nder om b R(A). D r kax bk minimalt, dvs. noll, precis d p = Ax = b. Minstakvadratl sningarna till Ax = b kommer allts i detta fall att vara precis l sningarna till Ax = b. Ett annat extremt fall har vi om b r ortogonal mot R(A). D r b ortogonal mot kolonnerna i A s att A T b =. Minstakvadratl sningarna best r d av alla x N (A T A) = N (A) och projektionen av b p R(A) blir p = Ax =, vilket man kunde v nta sig. Exempel 8.3. R kneschemat f r att best mma minstakvadratl sningarna till ekvationen Ax = b r (A T A j A T b). Detta r knar man enklast ut genom att bilda matrisprodukten A T (A j b). Om @ A och b = st ller vi allts upp A T (A j b) = @ = @ 5 3 6 j 4 3 3 6 j 7 6 6 j 4 A @ j 4 A j 3 j A!! @ 4 3 A ; vilker ger minstakvadratl sningarna x = @ 3= 3=6 A + t @ A (t R) : @ j 3= j 3=6 A ; j Antag nu att U r ett underrum av R n. Denition 8.. Den n=n-matris P, f r vilken P x f r varje x R n r (den ortogonala) projektionen av x p U, kallas projektionsmatrisen (f r ortogonal projektion) p U. Projektionsmatrisen P p U kan konstrueras p f ljande s tt: Om fa ; : : : ; a k g r en bas i U, kan man l ta A vara den matris som har a, : : :, a k som kolonner. D r ju U = R(A) och matrisen (3) P = A(A T A) A T r enligt Sats 8. den s kta projektionsmatrisen p U.

Ortogonala projektionen Anm rkning. Om matrisen A inneh ller bara en kolonn a s r A T a T a = kak en =-matris, dvs. en skal r. Dess invers r d rf r =kak och enligt (3) r aa T =kak projektionsmatrisen p R(A) = spn fag. Detta visar att () r ett specialfall av (3). Sats 8.3. (a) Antag att P r projektionsmatrisen p ett underrum U av R n. D har P egenskaperna (i) P = P ; (ii) P T = P : Omv nt g ller att om en matris P har egenskaperna (i) och (ii), s r P projektionsmatrisen p underrummet U = R(P ). (b) I P r projektionsmatrisen p U? = N (P ). Bevis. (a) Tag en bas i U och bilda en matris A som inneh ller basvektorerna som kolonner. D kan P skrivas som i (3). Allts r P = A(A T A) A T A(A T A) A T = A(A T A) A T = P ; eftersom A T A(A T A) = I. Vidare r enligt Sats 3. P T = (A(A T A) A T ) T = A T T ((A T A) ) T A T = A((A T A) T ) A T = A(A T A) A T = P ; s att b de (i) och (ii) g ller. Om vi omv nt antar att P har egenskaperna (i) och (ii) s g ller f r ett godtyckligt men xerat x att (P y; x P x) = (P y) T (x P x) = y T P T x y T P x = y T P x y T P x = f r varje y. Allts r x P x ortogonal mot R(P ), dvs. P x r projektionen av x p underrummet R(P ). U x - Px x Px U = R(A) = R(P) g. 3 (b) Vi har just visat att vektorn (I P )x = x P x r ortogonal mot U = R(A) = R(P ) f r varje x. Allts r (I P )x U?. Varje x kan allts skrivas som en summa x =

Bj rkfeltbjon P x+(i P )x, d r P x U och (I P )x U?, vilket ger att I P r projektionsmatrisen p underrummet U?. } Exempel 8.4. Om man skall r kna ut projektionsmatrisen p det plan U i R 3, som har ekvationen x + 3y + z = i R 3, kan man f rst best mma en bas fa ; a g i planet, s tta ( a a ) och sedan anv nda (3). Det r emellertid enklare att f rst best mma projektionsmatrisen P p det l gdimensionella U? = spn fag, d r a = ( 3 ) T r normalvektorn till U, och sedan r kna ut P = I P (se Sats 8.3). I detta fall inneh ller A bara kolonnen a. Enligt (3) r P = A(A T A) A T = aat kak = @ 3 A ( 3 ) = @ 3 3 9 3 A ; 3 och P = I P = @ A @ 3 3 9 3 3 @ 3 3 3 A : 3 Spektralframst llningen En viktig anv ndning av projektionsmatriser har vi i samband med egenv rden och egenvektorer: Sats 8.4. Antag att A r en symmetrisk n=n-matris. L t ; : : : ; p vara de olika egenv rdena f r A. L t vidare P i beteckna projektionsmatrisen p egenrummet V ( i ) (i = ; : : : ; p). D g ller den s.k. spektralframst llningen av A: P + P + + p P p : Bevis. Eftersom P i dim V ( i) = n och egenrummen V ( i ) r parvis ortogonala, kan varje x R n skrivas x = x + + x p ; d r x i = P i x V ( i ) (i = ; : : : ; p). Genom att multiplicera fr n v nster med A f s Ax = Ax + + Ax p = x + + p x p = P x + + p P p x = ( P + + p P p )x : Eftersom detta g ller f r varje x, s r P + + p P p. } L t oss se hur spektralframst llningen kan anv ndas i praktiken. Eftersom A r symmetrisk, r V ( i )? V ( k ) om i 6= k. F ljaktligen r P i P k = om i 6= k ;

Ortogonala projektionen 3 ty f r varje x R n r P k x V ( k ) N (P i ), varf r P i (P k x) = f r varje x. Om vi nu bildar potenser av A, t.ex. A:s kvadrat, f rsvinner alla korstermer: A = ( P + + p P p )( P + + p P p ) = P + + p P p = P + + p P p : Allm nt f s p samma s tt f r en godtycklig heltalsexponent m : (4) A m = m P + + m p P p : Om i 6= f r varje i s g ller denna formel ocks om exponenten r eller ett negativt heltal, f rutsatt att vi denierar A och A m genom A = I och A m = (A ) m : F r m = har vi ju f r varje x den uppdelning i en summa som vi har anv nt ovan, Ix = x = x + + x p = P x + + P p x : Ur f ljer att ( P + + p P p ) P + + p P p = P + + P p = I A = P + + p P p : D b gge leden i denna formel upph js till potensen m, ser vi att (4) g ller ocks f r negativa heltalsexponenter. Exempel 8.5. En kalkyl visar att matrisen har egenv rdena 3 och och att vektorn a = ( ) T respektive a = ( ) T bildar en bas i V (3) respektive V (). Projektionsmatriserna p dessa egenrum r allts P = a a T ka k = P = a a T ka k = ( ) = ( ) = och spektralframst llningen av A blir 3P + P. Heltalspotenser A n av A f s nu genom att att man upph jer egenv rdena till potensen n: A n = 3 n P + P = 3 n + = 3 n + 3 n 3 n 3 n + f r varje n Z. Notera att detta kan anv ndas t.ex. till att best mma gr nsv rdet av A n d n! : Eftersom gr nsv rden av matriser bildas elementvis, r lim n! An = = P :

4 Bj rkfeltbjon Ortogonala matriser och projektionsmatriser Vi har tidigare visat att om matrisen A har linj rt oberoende kolonner s r A T A kvadratisk, symmetrisk och inverterbar. L t oss nu g ra det str ngare antagandet att kolonnerna a, : : :, a p i A bildar ett ON-system (se denition 5.5). I detta fall blir matrisen A T A speciellt enkel: (5) A T @ at : a p A ( a : : : a p ) = @ at a : : : a T a p : : a T p a : : : a T p a p Ip : F r projektionsmatrisen P = A(A T A) A T p R(A) f r vi d rf r uttrycket (6) P = AA T : Eftersom vi f r minstakvadratl sningarna till Ax = b som l sningar till A T Ax = A T b, r nu x = A T b den entydiga minstakvadratl sningen. Formel (6) kan ocks skrivas med hj lp av beteckningarna f r kolonnerna i A: (7) P = AA T = ( a : : : a p ) @ at : a p a a T + + a pa T p : Eftersom varje a i r en enhetsvektor, dvs. ett ON-system best ende av en enda vektor, s r varje term a i a T i i summan projektionsmatrisen p spn fa i g enligt (6). Denition 8.3. En kvadratisk matris Q r ortogonal om kolonnerna i Q bildar ett ON-system. Ur (5) f ljer att en kvadratisk matris Q r ortogonal om och endast om Q T Q = I. Detta r i sin tur ekvivalent med att Q T r Q:s invers (Sats 4.7 (ii)). Vi har allts f ljande karakterisering av en ortogonal matris: Sats 8.5. En kvadratisk matris Q r ortogonal om och endast om Q existerar och Q = Q T. Enligt Sats 3. r (Q T ) = (Q ) T om Q existerar. Om Q r ortogonal, r d rf r (Q T ) = (Q T ) T, dvs. ocks Q T r en ortogonal matris: Korollarium 8.5.. Om matrisen Q r ortogonal, r ocks Q T ortogonal, dvs. ocks raderna i Q bildar ett ON-system. Ortogonala matriser har en geometrisk betydelse eller tolkning, som vi nu skall studera n rmare: Antag att Q r en ortogonal n=n-matris och l t x och y vara godtyckliga vektorer i R n. Mellan dessa har vi en viss vinkel u (om vektorerna r olika noll). D man multiplicerar fr n v nster med Q erh lls tv nya vektorer Qx och Qy, mellan vilka vi har en vinkel v. F r t.ex. Qx g ller kqxk = (Qx) T Qx = x T Q T Qx = x T x = kxk ;

Ortogonala projektionen 5 eftersom Q T Q = I. Efter kvadratrotsutdragning f s kqxk = kxk : Motsvarande formel g ller f r vilken vektor som helst, t.ex. f r x y, s att kqx Qyk = kq(x y)k = kx yk : Denna formel s ger att avst nd bevaras vid multiplikation fr n v nster med Q. Qy u y x v Qx g. 4 Om avst nd bevaras s bevaras ocks vinklar: En triangel f ryttas ju i R n (se g. 4) och d bevaras triangelns vinklar. Men man kan ocks direkt visa att u = v med hj lp av att Q T Q = I: cos v = (Qx)T Qy kqxk kqyk = x T Q T Qy kxk kyk = x T y kxk kyk = cos u : Sats 8.6. D vektorer i R n multipliceras fr n v nster med en ortogonal n=n-matris bevaras b de avst nd och vinklar. Exempel 8.6. Som ett exempel p en ortogonal matris betraktar vi cos sin Q = ; sin cos dvs. den matris som roterar xy-planet en vinkel moturs (se exempel 5.8). De tv kolonnerna r ortogonala mot varandra och r enhetsvektorer (ty cos + sin = ). Allts r Q en ortogonal matris. Vi s ger att Q r en rotationsmatris. Rotationsmatriser i R 3 stadkommer p motsvarande s tt en rotation med en viss vinkel kring en given rotationsaxel. Dessa matriser r ocks ortogonala men kan vara betydligt mera komplicerade. Andra exempel p ortogonala matriser har vi i speglingsmatriserna. L t V vara ett underrum i R n och l t P vara projektionsmatrisen p V. F r varje vektor x i R n r vektorn Sx = x + (P x x) = P x x = (P I)x

6 Bj rkfeltbjon O Px g. 5 x Px - x Px - x Sx V speglingen av x i V. Den matris som stadkommer denna spegling, dvs. (8) S = P I kallas speglingsmatrisen i V. Uttryckt med hj lp av projektionsmatrisen P = I P p V? har S formen (9) S = I P : Eftersom P T = P = P, r S T = (P I) T = P T I = P I = S ; S = (P I) = 4P 4P + I = I : F ljaktligen r S T S = S = I, dvs. S = S T. Allts r S en ortogonal matris. Exempel 8.7. F r att r kna ut speglingsmatrisen i planet V i R 3 med ekvationen x y + 3z = r det enklare att anv nda formel (9) n formel (8) p grund av att V? har l gre dimension n V. Planet V har normalvektorn a = ( 3 ) T. S ledes r S = I P = I aat kak = @ A 4 @ 3 A ( 3 ) = 7 @ 3 6 6 3 A : 6 3 Anm rkning. Man kan visa att varje ortogonal n=n-matris r en produkt av h gst n stycken speglingsmatriser i hyperplan i R n, dvs. i underrum med dimensionen n. Vidare kan man visa att en produkt av tv s dana speglingsmatriser r en rotationsmatris kring en axel med dimensionen n. T.ex. de ortogonala 3=3-matriserna kan d rf r indelas i (i) speglingsmatriser i ett plan, (ii) rotationsmatriser och (iii) rotationsspeglingar. En rotationsspegling r en produkt av en rotationsmatris och en speglingsmatris f r spegling i ett plan. Observera att varje permutationsmatris r en ortogonal matris: En enkel permutationsmatris r ju en speglingsmatris i ett hyperplan.

Ortogonala projektionen 7 GramSchmidt-proceduren Antag att ett antal linj rt oberoende vektorer a, : : :, a p r givna. V r uppgift r att konstruera ortonormala vektorer q, : : :, q p (dvs. att ortonormera), s dana att spn fq ; : : : ; q p g = spn fa ; : : : ; a p g : Med hj lp av GramSchmidt-proceduren utf rs detta i tv steg. I det f rsta steget konstrueras ortogonala vektorer med samma spann som de ursprungliga (man ortogonaliserar). I det andra steget ndras l ngden av de ortogonala vektorerna s att de blir enhetsvektorer (man normerar). Steg : Vi konstruerar stegvis nya vektorer v, : : :, v p p f ljande s tt: S tt v = a. S tt v = a v och v lj s att v? v. Vi kr ver f ljaktligen att vilket ger att = v T a =kv k. Allts r = v T v = v T a kv k ; v = a vt a kv k v : S tt sedan v 3 = a 3 v v och v lj och s att v? v 3 och v? v 3. Eftersom v och v redan r ortogonala, antar dessa krav formen = v T v 3 = v T a 3 kv k ; = v T v 3 = v a 3 kv k : Detta ger att = v T a 3=kv k och = v T a 3=kv k, s att v 3 = a 3 vt a 3 kv k v v T a 3 kv k v : P detta s tt kan man forts tta: Ansatsen f r varje v i r den gamla vektorn a i minus en linj rkombination av de tidigare denierade v, : : :, v i. D refter v ljs koecienterna i linj rkombinationen s att v i faktiskt blir ortogonal mot v, : : :, v i. Som sista ekvation f s v p = a p vt a p kv k v v T p a p kv p k v p : Efter ins ttningar blir varje v i en linj rkombination av vektorer a i och omv nt kan varje a i l sas ut som en linj rkombination av vektorer v i. S ledes r spn fv ; : : : ; v p g = spn fa ; : : : ; a p g : Steg : Nu terst r bara att normera vektorerna: F r varje i = ; : : : ; p s tter vi q i = v i kv i k ; varvid kq ik = v i kv i k = kv i k kv ik = :

8 Bj rkfeltbjon Vektorerna q, : : :, q p bildar nu ett ON-system med samma spann som de ursprungliga vektorerna a, : : :, a p. GramSchmidt-proceduren anv nds ofta p egenvektorer till symmetriska matriser: Exempel 8.8. Den symmetriska matrisen @ 3 3 A 3 visar sig ha den karakteristika ekvationen ( ) (5 ) =. Efter utr kning nner vi i egenrummen V () och V (5) baser fa ; a g respektive fa 3 g, d r a = ( ) T ; a = ( ) T ; a 3 = ( ) T : Vektorn a 3 r automatiskt ortogonal mot a och a (Sats 7. (ii)) men a och a r inte sinsemellan ortogonala. Vi till mpar GramSchmidt-proceduren p dem, dvs. vi s tter v = a och v = a v samt kr ver att Ur detta f ljer att = =. Allts r v = a v = = v T v = v T a kv k = : @ A @ @ w : Vektorerna v och v skall sedan normeras i steg (observera att v och w har samma normering!). Samtidigt passar vi p att normera ocks a 3 : q = v kv k = p @ A ; q = v kv k = w kw k = p 6 @ q 3 = a 3 ka 3 k = p 3 A : @ A ; Vektorerna q, q och q 3 bildar nu ett ON-system av egenvektorer till A. hj lp av (7) kan vi l tt skriva ut spektralframst llningen Med (q q T + q q T ) + 5q 3q T 3 : Exempel 8.9. Om vektorerna a = ( ) T ; a = ( ) T ; a 3 = ( ) T skall ortonormeras, s tter vi v = a = ( ) T och v = a v

Ortogonala projektionen 9 samt kr ver att Ur detta f ljer att = = och d r v = a v = = v T v = v T a kv k = : @ A @ Sedan s tter vi v 3 = a 3 v v och kr ver att @ = v T v 3 = v T a 3 kv k = ; = v T v 3 = v T a 3 kv k = 3 : Detta ger att = = och = =3. Allts r v 3 = @ I steg s tter vi till slut A q = v kv k = p @ @ A 6 @ 3 @ w : A ; q = v kv k = w kw k = q 3 = v 3 kv 3 k = w 3 kw 3 k = p 3 @ A : 3 w 3 : p 6 @ A ; QR-faktoriseringen QR-faktoriseringen av en matris r i sj lva verket en skrivning i matrisform av Gram Schmidt-ortonormeringen av matrisens kolonner: Exempel 8.. I f reg ende exempel r p a = v = q p p a = 6 v + v = q + q a 3 = v + p p p 3 v + v 6 3 = q + 6 q + 3 3 q 3 : Om vi s tter ( a a a 3 ) och Q = ( q q q 3 ), kan dessa likheter skrivas i matrisform QR = @ =p p p p p p p = 6 = 3 p = p = = = 6 = 3 A @ 6= 6=6 A : = 6 = 3 3=3 Detta r QR-faktoriseringen av matrisen A.

Bj rkfeltbjon Av exempel 8. inser man att varje matris A med linj rt oberoende kolonner kan faktoriseras p motsvarande s tt: Sats 8.7. Varje matris A med linj rt oberoende kolonner kan genom ortonormering av kolonnerna QR-faktoriseras, QR ; d r kolonnerna i Q r de ortonormala vektorer, som r resultatet av GramSchmidtproceduren, och R r en upp t triangul r matris, som r inverterbar. Diagonalelementen i R r r ii = kv i k, d r v i r de vektorer som denieras under ortogonaliseringsfasen. Om A r kvadratisk, r Q en ortogonal matris. Volymer Med hj lp av GramSchmidt-proceduren och QR-faktoriseringen skall vi h rleda en formel f r volymen V av den parallellepiped i R n som sp nns upp av n vektorer a, : : :, a n, dvs. den parallellepiped som har vektorerna a i som kanter. Vi antar f rst att vektorerna a i r parvis ortogonala. D r V = ka k ka n k. Om vi s tter ( a : : : a n ) r andra sidan vilket ger att S ledes r A T @ at : a T n A ( a a n ) = @ ka k : : A ; ka n k det(a) = det(a T ) det(a) = det(a T A) = ka k ka n k = V : () V = j det(a)j : Vi skall visa att volymformeln () g ller generellt. F rst konstaterar vi att den g ller om vektorerna a, : : :, a n r linj rt beroende, eftersom b de volymen V och determinanten d r noll. Vi kan d rf r i forts ttningen anta att a, : : :, a n r linj rt oberoende men annars godtyckliga. Vi ortogonaliserar enligt GramSchmidt-proceduren och f r ortogonala vektorer v, : : :, v n samt erh ller en QR-faktorisering QR av A. Av g. 6 ser vi att det parallellogram, som a och a uppsp nner i R, har samma area som den rektangel, som v och v uppsp nner. Motsvarande kommer att g lla f r volymer i R 3 och i h gre dimensioner. v a v = a g. 6

Ortogonala projektionen Med st d av detta och r kneregel 8 f r determinanter f s det(a) = det(q) det(r) = kv k kv n k = V : H r har vi dessutom utnyttjat att diagonalelementen i R r kv i k (Sats 8.7) samt att determinanten av en ortogonal matris r ( vningsuppgift 4 i kap. 6). Formel () r allts giltig i varje t nkbart fall. vningsuppgifter. Konstruera en ortonormal bas i planet x y + z = i R 3 samt best m projektionsmatrisen P p planet.. Best m p den r ta linje som uppsp nns av a = ( ) T den punkt p, som ligger n rmast punkten b = ( 4 4 ) T. Best m ocks den punkt p p spn fbg, vilken ligger n rmast a. 3. (a) Best m minstakvadratl sningen till Ax = b genom att l sa A T Ax = A T b, d r @ A x ; x = ; b = @ 3 A : x 4 Best m projektionen p av b p R(A). (b) och (c): Utf r samma uppgift d A och b r f ljande matris respektive h gerled: (b) @ 3 A ; @ A ; (c) @ A ; @ 4 A : 3 3 4. Antag att P r projektionsmatrisen p en r t linje genom origo i xy-planet. Rita en gur f r att beskriva eekten av speglingsmatrisen H = I P. F rklara b de geometriskt och algebraiskt varf r H = I. 5. (a) Projicera vektorn b = ( 3 ) T p var och en av de ortonormala vektorerna a = 3 ( )T och a = 3 ( )T och best m sedan dess projektion p planet spn fa ; a g. (b) Best m ocks projektionen av b = ( 3 ) T p a 3 = 3 ( )T, addera de tre projektionerna p endimensionella underrum och tolka resultatet. Varf r r P = a a T + a a T + a 3a T 3 = I? 6. Best m en bas i N (A) d 4 och veriera att N (A)? R(A T ). Skriv vektorn x = ( 3 3 3 ) T i formen x = x + x, d r x R(A T ) och x N (A). Vilka r koordinaterna f r x i basen f( ) T ; ( 4 ) T g i R(A T )? 7. R kna ut spektralframst llningen f r matrisen A d 3 (a) ; (b) @ A : 3 Skriv ut en formel f r A n samt best m en tredjerot ur A, dvs. en matris X s dan att X 3 = A.

Bj rkfeltbjon 8. Visa att om Q och Q r ortogonala matriser s r ocks Q Q en ortogonal matris. 9. R kna ut en formel f r avst ndet fr n en punkt y i R 3 till planet n T x = b. Ledning: Antag tempor rt att x r en punkt i planet och projicera y x p n.. Ortonormera med hj lp av GramSchmidt-proceduren vektorerna (a) a = ( ) T ; a = ( ) T ; a 3 = ( ) T ; (b) a = ( ) T ; a = ( 4 5 ) T ; a 3 = ( 5 ) T : samt QR-faktorisera matrisen ( a a a 3 ).. (a) Konstruera en ortonormal bas (dvs. en bas som r ett ON-system) till det plan V i R 3 som har ekvationen x y + z =. (b) R kna ut projektionsmatrisen (f r ortogonal projektion) p V. (c) R kna ocks ut speglingen Sx i V av en godtycklig punkt x = ( x y z ) T (h r r S speglingsmatrisen i V ).. Visa att f r varje m=n-matris A med rangen r g ller att matrisen AA T r symmetrisk och har rangen r. 3. Vilken r volymen av den parallellepiped, som har sina h rn i punkterna ( ), ( ), ( ) och ( )? 4. (a) L t A vara en m=n-matris. Visa att A T A bara har icke-negativa egenv rden. (b) L t p k > vara en uppr kning av A T A:s positiva egenv rden och s tt j = + j f r j = ; : : : ; k (dessa tal kallas A:s singul rv rden). L t vidare fv ; : : : ; v n g vara ett ON-system av motsvarande egenvektorer. Visa att vj T AT Av i = j ji f r j = ; : : : ; k och i = ; : : : ; n. (c) S tt u j = j Av j f r j = ; : : : ; k. Visa att fu ; : : : ; u k g r ett ON-system. (d) Komplettera fu ; : : : ; u k g till en ON-bas fu ; : : : ; u m g i R m. (e) L t U och V vara de ortogonala matriser som inneh ller u j :na resp. v i :na som kolonner och l t vara den m=n-matris som diagonalt fr n vre v nstra h rnet har talen ; : : : ; k ; ; : : : medan vriga matriselement r nollor. Visa att U V T. Detta r singul rv rdesfaktoriseringen (singul rv rdesdekompositionen) av A.