Gymnasielärares syn på KTHs introduktionskurs i matematik

Gymnasielärares syn på KTHs introduktionskurs i matematik Hans Thunberg, KTH Matematik thunberg@mathkthse Lars Filipsson, KTH Matematik lfn@mathkthse Bakgrund Föreliggande arbete är genomfört inom ramen för projektet Gymnaisets mål och högskolans förväntningar, där vi studerat flera olika aspekter av glappet mellan gymnasium och högskola i ämnet matematik De förkunskapstest som genomförs på flera högskolor i landet visar på allt sämre förkunskaper i matematik hos de nyantagna studenterna (Brandell (004), Bylund och Boo (00) med flera) Vi redovisar här resultatet av en enkät som vi gjort bland gymnasielärare, där de fått bedöma uppgifter hämtade från KTHs introduktions- och repetitionsmaterial i matematik inför höstterminen 004 Uppgifterna är hämtade dels från kursen 5B0 Introduktionskurs i matematik, som är en frivillig kurs avsedd att repetera gymnasiekunskaper i ämnet, dels från KTHs sommarmatematik, som är ett webbaserat repetitionsmaterial Största delen av uppgifterna är tagna ur Dunkels et al (00) som användes som kursbok på Introduktionskurs i matematik Syftet med denna enkätundersökning var att undersöka i vilken utsträckning KTHs repetitionsmaterial verkligen repeterar stoff som gåtts igenom på gymnasiet och om de kunskapskrav KTH ställer är kompatibla med de kunskapskrav som ställs i gymnasiet Kunskap i matematik består av ett flertal olika kompetenser I denna enkät begränsar vi oss till räknefärdighet och begreppsförståelse inom de områden som behandlas i våra introduktions- och repetitionskurser Materialet ligger grovt räknat inom fem problemområden: numerisk räkning, algebraiska förenklingar, ekvationslösning, potenser och logaritmer samt trigonometri Detta är de områden som KTH bedömer som mest angelägna att repetera inför högskolestudierna Genomförande I enkäten bad vi gymnasielärarna klassificera ett antal övningsuppgifter med avseende på vilka förutsättningar typiska gymnasieelever i två olika betygsgrupper har att lösa dessa uppgifter Eleverna vi hade åtanke var dels elever som klarat av kurserna Matematik A-D på gymnasiet med ett medelstarkt betyg G, dels elever som klarat av kurserna Matematik A-D på gymnasiet med ett starkt betyg VG, på gränsen till MVG Den första elevgruppen kallar vi G, den andra kallar vi VG+ Alltså: Grupp G: elever med ett medelstarkt betyg G på Matematik A-D Grupp VG+: elever med ett starkt betyg VG på Matematik A-D Dessa elevgruppers förutsättningar att lösa en uppgift skulle sedan klassificeras i fyra kategorier, kategori I IV, som definieras enligt följande

En typisk elev i gruppen (grupp G respektive grupp VG+) har under gymnasiets kurser A-D Kategori I: lärt sig att behärska denna typ av uppgift mycket väl, så att förmågan kan antas vara väl befäst vid gymnasiestudiernas slut och hon/han kan utan repetition självständigt lösa uppgifter av denna typ Kategori II: lärt sig att behärska denna typ av uppgift väl, men behöver en kort repetition innan hon/han löser dessa självständigt Kategori III: arbetat med denna typ av uppgift i sådan omfattning att hon/han förstår begreppen och frågeställningen och kan följa en given lösning, men har aldrig uppövat rutinfärdighet på denna typ av problem Kategori IV: inte mött denna typ av uppgift annat än i enstaka exempel, och saknar kunskap om de ingående begreppen eller saknar på annat sätt förmåga att följa en given lösning Exempel: Förenkla G VG+ x x Ett svar som i exemplet betyder att en typisk student i kategori G förstår frågan och kan följa med i en presenterad lösning, men har svårt att klara hela uppgiften på egen hand, och att en student i kategori VG+ förmodligen skulle lösa uppgiften med säkerhet efter en kort repetition Samtliga uppgifter är tänkta att lösas utan hjälpmedel som räknare eller formelsamling Enkäten sändes till 90 gymnasielärare Av dessa svarade 9 på enkäten Sammanfattning av svaren Denna enkätundersökning bekräftar den bild som ges i övriga rapporter i detta projekt, se Thunberg och Filipsson (005a,b), Cronhjort (005), Enström och Isaksson (005) Allmänna slutsatser från denna gymnasielärarenkät: En stor del av den matematik som högskolan förväntar sig att studenterna tillgodogjort sig på gymnasiet har antingen inte gåtts igenom alls där eller också gåtts igenom på ett så summariskt sätt att det kräver ett grudligt studium på högskolan Den beräkningskomplexitet som finns i KTHs repetitionsuppgifter ligger långt över den nivå som tränas på gymnasiet Skillnaden mellan elevkategorierna G och VG+ bedöms ofta vara mycket stor I flera fall kan en uppgift som VG+-eleven bedöms klara utan repetition för G-eleven bedömas som en uppgift som kräver ett grundligt studium Att det skiljer två kategoristeg mellan G och VG+ är inte ovanligt 4 I flera kommentarer påpekas att uppgifter av den här typen på gymnasiet aldrig skulle lösas utan formelsamling och miniräknare

Det är intressant att notera vilka uppgifter som gymnasielärarna i denna enkät har bedömt som allra svårast De är: Uppgift Bestäm den geometriska betydelsen av ekvationen och rita motsvarande kurva: x x y 4y 4 0 Uppgift 6 Lös ekvationen x x 5 Uppgift Rita kurvan ( x ) y Uppgift 9 Avgör, utan approximationer, vilket av talen som är störst: 7 och 4 x x Uppgift Lös ekvationen 5 50 Uppgift 8 Bestäm definitionsmängden för funktionen 7 x x x x Att just dessa uppgifter bedöms som allra svårast är ingen slump I kommentarerna till dessa uppgifter kan man se bland annat: Cirkelns ekvation behandlas inte på gymnasiet Absolutbelopp behandlas inte på gymnasiet Logaritmlagar tränas inte Detta görs inte för så komplexa uttryck En lite närmare analys av enkätsvaren, område för område, skulle se ut så här Numerisk räkning (uppgift -4) Inte en enda uppgift bedöms vara så enkel att G-eleven kan lösa den utan vidare Åtminstone en kort repetition krävs om G-eleven ska kunna klara av bråkräkning och räkning med positiva heltalspotenser När det gäller räkning med negativa heltalspotenser, liksom bråk där nämnaren innehåller rottecken ( förlänga med konjugatkvantiteten ) räcker inte en kort repetition: dessa uppgifter hamnar i kategori III och bedöms alltså kräva ett grundligt studium VG+ - eleven bedöms klara detta område bra, samtliga uppgifter hamnar i kategori I eller II Algebraiska förenklingar (uppgift 5-9) Bara den allra första uppgiften bedöms vara inom räckhåll för G-eleven Alla andra uppgifter placeras i kategori III eller IV Svårast är dubbelbråket med parametrar VG+ -eleven bedöms ändå klara dessa uppgifter efter en kortare repetition, kategori II alltså Ekvationer och olikheter (uppgift 0-7) Det är bara andragradsekvationer som bedöms vara uppgifter som tränas ordentligt på gymnasiet kategori I för VG+ och kategori II för G- studenten Resten av uppgifterna är betydligt svårare Lösning av enklare rationella olikheter tycks vara ett i stort sett obekant ämne för G-eleven, liksom absolutbelopp och rotekvationer Samtliga dessa uppgifter placeras i kategori IV För VG+ -eleven ser det lite bättre ut, olikheter och rotekvationer hamnar i kategori III, men absolutbelopp ligger i kategori IV

Potenser och logaritmer (uppgift 8-) Inte ens uppgift 8 (beräkna fjärde roten ur 6/8) bedöms vara så enkel att G-studenten kan lösa den ens efter en kortare repetition Logaritmer kräver ett grundligare studium Logaritmlagar och logaritmekvationer tränas inte alls i den utsträckning som krävs för att lösa dessa uppgifter Trigonometri och funktionslära (uppgift -) Bara två uppgifter av dessa elva, nummer 9 (beräkkna g(05) där g är en given rationell funktion) och 4 (rita kurvorna y=cos x och y=cos (x/)), placeras i kategori II för G-studenten, resten är III eller högre Trots att många kommentarer avslöjar att trigonometri och funktionslära ägnas mycket tid på gymnasiet bedöms inte G-eleven kunna lösa enklare trigonometriska ekvationer eller kunna ange sammansättningen av två funktioner ens efter en kortare repetition Cirkelns ekvation hamnar i kategori IV För en elev med betyg G på gymnaiseskolans Matematik A-D fördelar sig stoffet så här: Kategori I: Ingenting Kategori II: Bråkräkning, Räkning med heltalsexponenter, Kvadreringsregler, Andragradsekvationer Kategori III: Kvadratkomplettering, Rationella ekvationer, Trigonometriska ekvationer, Funktionssammansättning, Räkning med negativa heltalsexponenter Kategori IV: Olikheter, Absolutbelopp, Rotekvationer, Logaritmekvationer, Cirkelns ekvation, Förlänga med konjugatet För en G-elev placeras alltså ingen av de uppgifterna i kategori I och bara 7 i kategori II hamnar i kategori III och 4 i kategori IV Det betyder att 80 procent av uppgifterna bedöms vara så svåra att de inte ligger inom ramen för vad som är lämpligt i en kortare repetitionskurs utan kräver ett grundligare studium i högskolans ordinarie kurser För en elev med betyg G på gymnsieskolans Matematik A-D fördelar sig stoffet så här: Kategori I: Bråkräkning, Räkning med heltalsexponenter, Kvadreringsregler, Andragradsekvationer Kategori II: Räkning med negativa heltalsexponenter, Förlänga med konjugatet, Dubbelbråk med parametrar, Kvadratkomplettering, Rationella ekvationer, Trigonometriska ekvationer, Funktionssammansättning Kategori III: Olikheter, Rotekvationer, Logaritmekvationer Kategori IV: Absolutbelopp, Cirkelns ekvation För en VG+ -elev återfinns 8 uppgifter i kategori I, 4 i kategori II, 8 i kategori III och i kategori IV Även för dessa studenter är alltså en tredjedel av uppgifterna för svåra för att tas upp i en kort repetitionskurs utan kräver ett mer grundligt studium

Resultat Här redovisas hela enkäten uppgift för uppgift Siffrorna i tabellerna nedan anger antalet lärare som placerat den aktuella uppgiften i respektive kategori De kommentarer som listas är gymnasielärarnas Förenkla följande uttryck 4 5 G 9 8 0 VG+ 5 0 Lärarnas kommentarer: Eleverna dåliga på bråkräkning G-elever har störst problem med att förenkla nämnaren Bråkräkning är ett jätteproblem, bland annat saknas färdighet i multiplikationstabellen Beräkna 4 ( ) 4 ( 5) G 0 6 VG+ 7 0 0 Lärarnas kommentarer: Svårt, trots att eleverna övat potensräkning, extra svårt med negativa exponenter Största problemet för G-eleven är att inse att 4 är potens av utan räknare ( st) Nämnaren svår utan räknare Omskrivning av nämnaren till basen skiljer de båda elevkategorierna åt Skriv om så att nämnaren inte innehåller rottecken: G 0 7 0 VG+ 8 7 0 Lärarnas kommentarer: Förlänga med konjugatet är inte bekant () Många utvecklar kvadraten men misslyckas med att förlänga med konjutatet Ingen övning sker på denna uppgiftstyp, VG-eleven kan ändå klara den Drillas ej, förlänga med konjugatet finns i E- kursen Denna uppgift innehåller så många delmoment att sannolikheten för fel blir hög 4 6 (pricka för ett alternativ) = 4, 6, 8 G 4 0 5 0 VG+ 7 0 0 Lärarnas kommentarer: Många har svårt förstå att roten ur är samma som upphöjt till ½

5 Förenkla ( p q)( p q) ( p q) G 0 VG+ 8 0 0 Lärarnas kommentarer: Dubbla produkten försvinner G-eleven kan göra teckenfel ( st) 6 Sätt följande uttryck på gemensamt bråkstreck a b a b cx cx G 0 0 8 0 VG+ 0 6 Lärarnas kommentarer: Svårigheter med att göra liknämigt Svårt med förenkling i flera steg G-eleven blir skrämd av uttrycket Dubbelbråk sällsynt ( st) 7 Förenkla a a ab ab a a ab ab G 0 4 VG+ 7 0 0 Lärarnas kommentarer: Missar faktoriseringar Eleverna missar förmodligen att faktorisera och förkorta innan de multiplicerar ihop, dessutom har de svårt för att multiplicera bråk Borde gå bra Här kommer att förkortas hej vilt 8 Lös ut R ur formeln R R R R G 0 0 6 VG+ 8 6 5 0 Lärarnas kommentarer: Tillämpas i fysiken Relativt enkel uppgift Suck, svårt nog med räknare VG+ klarar problemet om uttrycket inte behöver förenklas 9 Kvadratkomplettera x 4x 40 G 0 0 8 VG+ 0 5 Lärarnas kommentarer: Många förkortar med och tror att de ska lösa en andragradsekvation Tas inte upp på gymnsiet Orsakar problem eftersom bevisföring tränas

i allt mindre grad, extra svårighet att bryta ut Inte självklart ens för VG-eleven Tas bara upp vid bevis av pq-formeln () Koefficienten framför kvadraten orsakar problem för VG+ Kvadratkomplettering sysslar vi knappt med 0 Lös ekvationen 4x 4x 0 G 6 0 VG+ 9 0 0 0 Lärarnas kommentarer: De flesta elever löser detta med program på miniräknare De enda som inte klarar detta är elever med verkligt stora svårigheter i matematik G-eleven blir konfunderad av dubbelrot Svårt utan räknare Lös ekvationen 5( x ) 6( x ) G 0 7 0 VG+ 7 0 0 Lärarnas kommentarer: Många dividerar med x- och tappar en rot () De utvecklar och använder pq-formeln () För vilka x gäller olikheten x x x 0 G 0 5 VG+ 5 0 Lärarnas kommentarer: Behandlas nästan inte alls i gymnasiekurserna Löses inte på gymnasiet De försöker sig nog på en grafisk lösning, med eller utan räknare Denna typ av uppgift skulle lösas med räknarre Olikheter tas upp för lite Faktorisering och teckenstudium har ersatts med grafisk/numerisk lösning av olikheter Ovanlig uppgiftstyp, VG+ kan dock följa en lösning Lös olikheten, men se först till att få 0 på en sida om olikhetstecknet: x x G 0 0 6 VG+ 8 8 Lärarnas kommentarer: Behandlas nästan inte alls i gymnasiekurserna Löses inte på gymnsiet De försöker sig nog på en grafisk lösning, med eller utan räknare Ingenting som övas utan räknare, olikheten problemet Faktorisering och teckenstudium har ersatts av grafisk/numerisk lösning av olikheter Problemet är bråket i vänsterledet

4 Lös ekvationen 5 5 x 6x 9 x G 0 4 VG+ 9 8 0 Lärarnas kommentarer: Tappra försök görs i början av Ma C, algebraiska bråkuttryck är SVÅRT x x a x 5 Lös ekvationen G 0 7 VG+ 8 7 Lärarnas kommentarer: Löses inte på gymnasiet Förvirrande med parameter Tappra försök görs i början av Ma C, algebraiska bråkuttryck är SVÅRT Svårt uttrycka lösningen i a 6 Lös ekvationen x x 5 G 0 0 0 9 VG+ 0 0 6 Lärarnas kommentarer: Behandlas inte på gymnasiet (6 st) Hinns inte med 7 Lös ekvationen x x 9 G 0 0 5 4 VG+ 8 9 Lärarnas kommentarer: Inte mycket övning på denna typ av uppgift Grafisk lösning, allt annat är i mån av tid Falska rötter hanteras inte av G-eleven 6 8 Beräkna 4 8 G 6 9 VG+ 5 0 Lärarnas kommentarer: Ovana vid skrivsättet, rationell exponent hade gjort det lättare Potenslagar en av de stora svårigheterna i Ma C

9 Avgör, utan approximationer, vilket av talen som är störst: 7 och 4 G 0 0 8 VG+ 0 0 6 Lärarnas kommentarer: Ovanlig typ av uppgift på gymnsiet Ovana vid skrivsättet Tränas inte En bra VG-elev kan klara det ändå Potenslagar en av de stora svårigheterna i Ma C Inte utan räknare ln e 0 Bestäm ln e G 0 9 8 VG+ 4 8 6 Lärarnas kommentarer: Logaritmlagar gås igenom i Ma C men änvänds inte mycket i Ma D, så dom kan vara glömda när eleverna kommer till högskolan Potens och logaritmlagar i kombination orsakar svårigheter Svårt att se att /e =e^- Potens och loglagar sitter inte, och talförståelsen är här ofta skral, även om vissa uppgifter ändå kan klaras på mekanisk färdighet Svårt Över vår horisont Lös ekvationen ln x ln( x 4) ln(x ) G 0 8 0 VG+ 7 0 0 Lärarnas kommentarer: Eleverna får svårt att använda loglagarna när det står x+4 i argumentet, sen inser de inte att ln(x(x+4))=ln(x+) medför x(x+4)=x+ Logekvationer övas inte på det här sättet Bra VG-elev kan klara det ändå, loglagar övas mer än tidigare Svårt x x Lös ekvationen 5 50 G 0 0 5 4 VG+ 0 4 0 5 Lärarnas kommentarer: Eleverna får svårt att skriva om i basen 5, att sen lösa ekvationen går lättare Övas inte, en bra VG-elev kanske kan klara det ändå Bra uppgift, svår utan räknare Bestäm det exakta värdet av cos( 5 / 6) G 0 0 9 0 VG+ 5 8 Lärarnas kommentarer: Additionsreglerna sitter inte, men med hjälp av formelsamling Svårt med exakta värden utan formelsamling, eleverna har inte sett denna typ av uppgift Går ej att

lösa utan formelblad eller räknare, jag försöker förgäves popularisera enhetscirkeln Inte ens VG+ är tillräckligt vana vid radianer för att lösa detta utan formelsamling 4 Rita i samma koordinatsystem kurvorna y cos x och y cos x G 5 VG+ 6 0 Lärarnas kommentarer: Många elever kommer att använda grader Ej vana att rita utan hjälpmedel 5Lös ekvationen cos4x G 5 VG+ 9 7 0 Lärarnas kommentarer: G-elever missar ofta lösningar (glömmer +/- och glömmer periodicitet) Svårt när det står 4x istället för x i argumentet Enkla trig-ekvationer får eleverna mycket övning på, därmed inte sagt att G-eleven klarar att lösa dem rätt och fullständigt Mycket tid ägnas åt trigekvationer, men svårt uppnå säkerhet på exakta värden, faktorn 4 gör det också svårt Man får kanske en lösning av G-eleven Tabell/formelsamling krävs för detta 6 Lös ekvationen sin x 4cos x 0 G 0 4 0 5 VG+ 5 0 Lärarnas kommentarer: Att använda formeln för sinus för dubbla vinkeln är inte självklart utan hänvisning till formelsamlingen Eleverna använder sig av tabeller och formelsamlingar och har inte grunderna klara för sig Borde gå bra med formelsamling eller räknare 7 Visa att för alla v gäller att cosv 4cos v cosv G 0 0 8 VG+ 9 6 Lärarnas kommentarer: Alla elever tycker att sådana här uppgifter är svåra Regler, regler, regler svårt att kombinera dem Visa att -uppgifter dåligt representerade i gymnasiekurserna Hämtas ur formelsamling

8 Bestäm definitionsmängden för funktionen 7 x x x x G 0 0 6 VG+ 0 0 5 Lärarnas kommentarer: Eleverna har inte gjort detta för så komplexa uttryck ( st) 9 ( x )( x ) g( x) Bestäm (05) x g G 7 8 0 VG+ 6 0 0 Lärarnas kommentarer: Borde gå, missat tecken för G-eleven 0 Man har att f ( x) x och g ( x) x Bestäm g ( x ) och ( g( x)) x f G 0 4 8 6 VG+ 6 8 4 0 Lärarnas kommentarer: Sammansättning är på nivån MVG Enstaka uppgifter på sammansättning, upplevs som svårt Helt olika abstraktionsnivå på dessa uppgifter Inte mycket övning på sammansättning G-eleven blir förvirrad av g(x-) Tränas lite, inget för G-eleven Rita kurvan x, x, x 0 y x 0 G 5 9 VG+ 6 4 6 Lärarnas kommentarer: Eleverna inte vana vid detta Tas inte upp på gymnasiet ( st) Ej övat Rita kurvan ( x ) y G 0 0 6 VG+ 0 4 Lärarnas kommentarer: Allmänna formeln för en cirkel behandlas inte (4 st) De löser ut y och ritar halva Tas upp, men övas inte

Bestäm den geometriska betydelsen av ekvationen och rita motsvarande kurva: x x y 4y 4 0 G 0 0 0 6 VG+ 0 0 4 Lärarnas kommentarer: Behandlas inte på gymnasiet (4 st) De kan inte kvadratkomplettera och tolka detta Referenser Brandell, Lars (004) Matematikkunskaperna 004 hos nybörjarna på civilingenjörsprogrammen vid KTH Bylund, Per och Boo, Per-Anders (00) Studenters förkunskaper Nämnaren nr, 00 Cronhjort, Mikael (005) En studie av fel på tentamen 004-08-7 i 5B0 Introduktionskurs i matematik, poäng Dunkels, Andrejs et al (00) Mot bättre vetande i matematik, :e upplagan Studentlitteratur Enström, Emma och Isaksson, Sara (005) Feltyper på tentamenslösningar Thunberg, Hans och Filipsson, Lars (005a) Förväntade och önskade förkunskaper i matematik vid KTHs civilingenjörsutbildningar Thunberg, Hans och Filipsson, Lars (005b) Lärares och studenters syn på KTHs introduktionskurs i matematik