Kontinuerliga system, Datorövning 4

Vårterminen 2002 Kontinuerliga system, Datorövning 4 1 Inledning I denna laboration skall vi använda Maple. Detta gjordes redan i laboration 2, där vi huvudsakligen använde Maples grundläggande färdigheter. Här skall vi använda en del av programmets kunnande om mera avancerade moment i kursen. Laborationen är till stor del upplagd som en räkneövning, där syftet är att Du skall se hur Maple kan användas för symboliska beräkningar med distributioner, främst Dirac-funktionen, för integraltransformer, för att visualisera svängningsfenomen. Som vanligt gäller att om man inte hinner med alla uppgifterna under den handledda övningen, så bör de återstående momenten utföras på egen hand. Vi kommer i denna övning att arbeta med en del exempel från övningar och föreläsningar. Tag därför med läroboken och övningshäftet till laborationen. Tag även med handledningen till laboration 2. Förberedelser: Läs igenom handledningen samt de avsnitt i boken som det hänvisas till samt lösningen till övning 4.17. Fräscha också upp dina Maplekunskaper genom att läsa igenom Maple-handledningen som ingick i laboration 2. Laborationen är upplagd så att det finns ett antal ordinarie uppgifter och ett antal extrauppgifter. Försök hinna med några av extrauppgifterna. Dessutom finns två längre läs- och lab-avsnitt Extra A och Extra B. Dessa två avsnitt försöker ge en introduktion till två aktuella forskningsområden inom olinjär vågutbredning, solitoner och chocker, och är helt frivilliga. 2 Distributioner δ-funktionen Diracs δ-funktion finns inlagd i Maple och skrivs Dirac(x). Derivatorna δ (x), δ (x) skrivs Dirac(1,x), Dirac(2,x) osv. Maple kan de räkneregler som vi lärt oss och klarar många av övningsuppgifterna i kapitel D. (De räkneregler som behandlas här finns i boken avsnitt D.2 samt på sid 139 140.) Även stegfunktionen finns i Maple och skrivs Heaviside(x). 1. För att få de beteckningar som används i kursen skriv alias(delta=dirac,theta=heaviside);. Undersöka om Maple kan förenklingsreglerna i övning D.4. Skriv tex f(x)*delta(2,x); åtföljt av simplify(%);. Undersök på samma sätt f(x)δ (n) (x) för några större värden på n. Fråga: Känner du igen koefficienterna? Hur ser formeln för f(x)δ (n) (x) ut? (Eventuellt gör Maple ett litet fel här. Vilket?) 1

Testa också om Maple kan skalningsreglerna för steg- och deltafunktioner genom att lösa övning D.17. 2. Maple kan också derivera och integrera funktioner med språng om dessa skrivs in med hjälp av Heavisidefunktionen theta(x). Pröva med att lösa övning D.6a och D.8a. Primitiva funktioner beräknas med kommandot int (jämför handledningen till laboration 2.) Pröva att lösa några av deluppgifterna i övning D.7 och D.8b. Plotta svaret till D.8b och kontrollera att det är en kontinuerlig funktion. (Varför måste denna funktion vara kontinuerlig?) 3. Extrauppgift: Maplekommadot dsolve kan också lösa differentialekvationer som innehåller δ. I övning D.9 skall man lösa differentialekvationen u (x) = kδ a (x), 0 < x < 1, 0 < a < 1, med randvillkoren u(0) = u(1) = 0. Detta kan man göra genom att skriva genom att skriva assume(a>0,a<1); dsolve({-diff(y(x),x,x)=k*delta(x-a),y(0)=0,y(1)=0},y(x)); Plotta lösningen för k = 1 och något värde på a. Övningarna D.10, D.11 och D.12 går också bra att lösa med Maple. Fourier- och Laplacetransformen 4. Maple innehåller också Fourier- och Laplacetransformer. För att få tillgång till dessa måste man skriva with(inttrans);. Titta på hjälpen (?inttrans). Övningarna D30a och D31a löses med kommandona fourier(delta(t-1),t,w); respektive invfourier(delta(w-1),w,t); Pröva de övriga uppgifterna i D.30 och D.31 och några lite mer komplicerade funktioner, tex fourier(exp(i*x)*sin(x),x,w); fourier(t*sin(t)/(1+t^2)^3,t,w); Kontrollera att Maple kan derivations- och och faltningsreglerna, genom att skriva fourier(diff(g(x),x),x,s); F:=int(f(x-t)*g(t),t=-infinity..infinity); fourier(f,x,w); Maples Laplacetransform är ensidig, se?inttrans[laplace]. Pröva derivationsregeln, genom att skriva laplace(diff(f(t),t),t,s); Undersök också hur derivationsregeln ser ut för högre derivator. 5. Extrauppgift: Övning D.34 kan lösas med Maple steg för steg på samma sätt som man gör då man räknar för hand. (Tänk efter vad som görs i de olika stegen.) F:=int(U(x-y)*exp(-y^2),y=-infinity..infinity); fourier(f=sin(x),x,w); solve(%,fourier(u(x),x,w)); invfourier(%,w,x); simplify(%); 2

3 Integralformler Värmeledningsproblem I flera av övningarna i kapitel 4 och 5 kan lösningarna skrivas upp direkt med integralformler. För problem som behandlar värmeledning u t u xx = 0 på hela reella axeln kan man använda (se boken avsnitt 4.1.1 samt 5.8) u(x, t) = G g(x, t) = G(x α, t)g(α) dα där G(x, t) = 1 4πt e x2 /4t och g är begynnelsevärdet. Börja med att skriva in G:=(x,t)->exp(-x^2/(4*t))/sqrt(4*Pi*t); 6. Lös övning 4.1 med hjälp av ovanstående integralformel. Använd kommandot int och den i problemet givna begynnelsefunktionen g(x) = u(x, 0). Man kan behöva införa antaganden om tecknet hos någon storhet, vilket görs med assume. 7. Extrauppgift: Räkna 4.10 (gör först en lämplig spegling). Gör en 3dplot av lösningarna och jämför randvärdena i a) och b). Beräkna också 0 u(x, t) dx för lösningarna i a) och b). Vad blir gränsvärdet av denna integral då t 0 i a)? Är resultaten rimliga? 8. I lösningarna till värmeledningsproblem dyker ofta funktionen erf upp (se?erf). För att se hur Maple använder erf, beräkna integralen b a e y2 dy. Pröva också b a G(x y, t) dy. Plotta funktionen erf och beräkna dess värden i 0, ± och några andra punkter. 9. I övningshäftet visas tre sätt att lösa övning 4.17. Undersök om Maple kan slutföra beräkningarna i de tre olika alternativen. I alternativ 1, beräknas funktionen v + som en faltning, v + (x, t) = g(x α)g(α, t) dα. med g(x) = x (-abs(x)). Funktionen G finns redan inskriven. Låt Maple beräkna denna integral. Plotta också v + för att kontrollera begynnelsevärdet och att funktionen är jämn. Beräkna sedan u. Alternativ 2 använder 2-sidig Laplacetransform i x-led. Maples Laplacetransform är 1-sidig och kan därför ej användas här. Istället går vi över till Fouriertransform i x-led. Detta görs lätt genom att byta ut s mot iξ, dvs s 2 mot ξ 2, i funktionen U(s, t). Använd sedan Maples invfourier. I alternativ 3, som använder 1-sidig Laplacetransform i t-led kan vi direkt använda kommandot invlaplace på funktionen U(x, s). Övertyga dig om att de tre alternativen ger samma svar. Poissonkärnor 10. Extrauppgift: Skriv in Poissonkärnan för övre halvplanet respektive enhetscirkeln (se boken kap 5.2 och 4.1.2) P:=(x,y)->y/((x^2+y^2)*Pi); Pc:=(r,v)->(1-r^2)/(2*Pi*(1+r^2-2*r*cos(v))); Titta på en 3dplot av graferna. I det cirkulära fallet kan man skriva 3

plot3d([r*cos(v),r*sin(v),pc(r,v)],r=0..1,v=0..2*pi); Vill man ha en noggrannare plot kan man kan man beställa fler indelningspunkter och tex skriva plot3d([r*cos(v),r*sin(v),pc(r,v)],r=0..1,v=0..2*pi,numpoints=2000); Beräkna P (x, y)dx, (y > 0) och π π P (r, θ)dθ, (r > 0, r < 1) (jämför övning 5.22). Fråga: Vad händer med P (x, y) då y 0 och vilket resultat ger Maple om man frågar efter gränsvärdet? (limit(p(x,y),y=0);) 4 Fundamentallösningar och Greenfunktioner Förberedelse: Skriv upp definitionen av fundamentallösning samt Greenfunktionen för Dirichlets problem (se boken sid 158 samt 161). Ge också någon fysikalisk tolkning av de båda begreppen. 11. Skriv in fundamentallösningarna till Laplaceoperatorn i 2 respektive 3 dimensioner (se boken sid 158) K2:=(x,y)->-log(x^2+y^2)/(4*Pi); K3:=(x,y,z)->1/sqrt(x^2+y^2+z^2)/(4*Pi); Titta på en 3dplot av K 2. Undersök om Maple kan beräkna K 2 och K 3. För att göra detta måste man skriva with(linalg);. Skriv sen laplacian(k3(x,y,z),[x,y,z]); och förenkla. Beräkna även grad K 3, (grad(k3(x,y,z),[x,y,z]);). Frågor: Räknar Maple ut K 3 rätt? Är grad K 3 är ett känt fält? I så fall vilket? Gör motsvarande med K 3 utbytt mot K 2. 12. Konjugerade punkter. Enligt boken sid 167 är funktionen G 2 (x; α) = 1 2π (ln x α ln x α ln α )) = K 2(x α) (K 2 (x α) 1 2π ln( α )) Greenfunktion till Laplaceoperatorn på enhetscirkeln, där α är konjugerad punkt till α. Vi skall nu undersöka funktionen G 2. Välj α = (a, 0) där 0 < a < 1 och bestäm motsvarande α. Skriv sen G2:=(x,y,a)->K2(x-a,y)-K2(x-1/a,y)+log(a)/(2*Pi); Gör en 3dplot av G för några olika värden på a, tex plot3d(g2(x,y,0.3),x=-3..7,y=-5..5,numpoints=2000,axes=normal); Genom att välja Style Patch and contour kan man se nivåkurvor på ytan. Med hjälp av kommandot implicitplot kan man undersöka var G 2 = 0. (För att få tillgång till detta kommando måste man skriva with(plots);) Skriv sen tex implicitplot(g2(x,y,0.3)=0,x=-1..1,y=-1..1); och välj Projection Constrained. Pröva med några andra värden på a. 4

Extrauppgift: I tre dimensioner kan vi inte plotta funktionsgrafer. Däremot kan vi rita nivåytor med kommandot implicitplot3d. Sätt G 3 (x; α) = 1 1 4π x α 1 1 1 4π α x α = K 3(x α) 1 α K 3(x α). Enligt boken, sid 169, är G 3 Greenfunktion till Dirichlets problem på enhetsklotet. Välj α = (a, 0, 0) för något värde på a, 0 < a < 1, och bestäm α. Skriv in G 3 och titta på nivåytan G 3 = 0, skriv tex G3:=(x,y,z,a)->K3(x-a,y,z)-K3(x-1/a,y,z)/a; implicitplot3d(g3(x,y,z,0.2)=0,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1); Välj Projection Constrained. Gör samma sak för något annat värde på a. 13. Extrauppgift: I lösningen till övning 5.18 beräknas Greenfunktionen för en kvadrat på 2 olika sätt. Båda metoderna ger svar i form av oändliga dubbelsummor, men de har helt olika form. Undersök hur de båda svaren skiljer sig åt numeriskt genom plotta delsummor av dem i samma bild. (Kommandot display kräver with(plots);. Avsluta raderna som definierar A och B med : för att inte fylla skärmen med skräp.) ua:=(x,y)->4/pi^2*sum(sum(sin(j*pi*(x-1/2))*sin(k*pi*(y-1/2))*sin(j*pi/2) *sin(k*pi/2)/(j^2+k^2),k=1..20),j=1..20); ub:=(x,y)->-1/(4*pi)*sum(sum((-1)^(j+k)*ln((x-j)^2+(y-k)^2),k=-9..10), j=-9..10); A:=plot3d(ua(x,y),x=-1/2..1/2,y=-1/2..1/2,color=green): B:=plot3d(ub(x,y),x=-1/2..1/2,y=-1/2..1/2,color=red): display([a,b]); Beräkna också värdet av u a och u b i några punkter. På vad sätt skiljer sig de båda funktionerna åt? (Pröva med olika val av Style.) Hur stora är termerna i summan u b? Kan denna summa vara konvergent (absolutkonvergent)? Pröva med att öka antalet termer (tex 1..40 i u a resp -19..20 i u b ). Anm: Tittar man på termerna i u b ser man att de inte går mot noll då j, k! Serien konvergerar alltså inte i klassisk mening, däremot konvergerar den i distributionsmening. Att vi lyckades beräkna summan numeriskt beror på att om man har ett jämnt antal termer och parar ihop termerna (j, k) och (j, k + 1) ( 1) k+j (ln((x j) 2 +(y k) 2 ) ln((x j) 2 +(y k 1) 2 )) = ( 1) k+j ln( (x j)2 +(y k) 2 ) (x j) 2 +(y k 1) 2 så får man en konvergent serie. 5 Vågutbredning, reflektion d Alemberts formel Förberedelse: Ange till vilket problem d Alemberts formel ger en lösning. Hur ser denna lösning ut? Detta behandlas i boken avsnitt 4.1.4 samt 7.1. 14. Gör en animering av lösningen i exempel 7.1, sid 206 i boken. Skriv in och plotta begynnelsefunktionen g(x): g:=x->(1-x)*(theta(x)-theta(x-1))+(1+x)*(theta(x+1)-theta(x)); 5

Varning: Heavisidefunktionen i Maple är ej definierad i origo. Det kan därför hända att man får felmeddelandet: Plotting error, non-numeric vertex definition då man försöker plotta eller animera g. Detta kan undvikas genom att man ändrar intervallets gränser eller (i animationerna) antalet indelningspunkter (numpoints eller frames). En rörlig bild av lösningen fås sedan med animate((g(x+t)+g(x-t))/2,x=-10..10,t=0..10,numpoints=100); Animationen startar då man klickar på den långsträckta pilen i menyn. Man kan variera rörelsehastigheten genom att klicka på dubbelpilarna. (Man kan få en jämnare rörelse genom att välja fler indelningspunkter i tidsled. Detta görs genom att tex lägga till frames=20 i animeringskommadot, default är 16.) 15. Animera på liknande sätt lösningen till exempel 7.2 (sid 207). Starta med att skriva in begynnelsehastigheten h(x). Välj tex h(x) = θ(x 1) θ(x 2). Pröva också h(x) = δ(x 1). Skriv animate(int(h(y),y=x-t..x+t),x=-10..10,t=0..10,numpoints=100); Fråga: Ser man någon skillnad mellan fallen h(x) = θ(x 1) θ(x 2) och h(x) = δ(x 1)? Reflektion, upprepade speglingar 16. Vi skall nu titta på vågutbredning i en sträng med ändlig längd, speciellt reflektioner i ändpunkterna, jämför sid 212 i läroboken med L = 10. Antag att stängens begynnelseutböjning ges av funktionen g 1 (x) i figuren nedan och att begynnelsehastigheten är noll. 0 3 5 10 Observera att funktionen g 1 (x) = g(x 4), där g redan är definierad. Skriv g1:=x->g(x-4);. Om strängen har fasta ändar gör vi en udda spegling av g 1 enligt figuren på sidan 213, gu:=x->g1(x)-g1(-x)-g1(20-x)+g1(x-20)+g1(x+20); Kontrollera med en plot över intervallet ( 30, 30) att funktionen är rätt speglad. Sedan kan vi se rörelsen i strängen med animate((gu(x+t)+gu(x-t))/2,x=0..10,t=0..20,numpoints=200,frames=20); Här är sluttiden t = 20 vald så att strängen åter är i begynnelsetillståndet. Man kan därför se rörelsen under lång tid genom att låta animationen upprepas gång på gång. (Klicka på en böjd pil i menyn.) 17. Extrauppgift: Har strängen fria ändar skall man istället spegla jämnt. Gör det och titta på rörelsen. Ändarna är fästa vid ringar som löper fritt längs en stav, jämför övning 1.14. 6

18. Extrauppgift: Tänk efter hur man skall spegla om den ena änden (x = 0) är fri och den andra är fast. Pröva sedan med en animering. Vill man i detta fall komma tillbaka till begynnelsetillståndet måste man välja ett längre tidsintervall och måste då också ta med fler speglingar. 19. Extrauppgift: Titta på strängen från exempel 3.2, sidan 77, med begynnelseutböjningen 0 2.5 10 Skriv in begynnelsefunktionen, spegla på samma sätt som i uppgift 16. och animera. 20. Visa att begynnelsefunktionerna g k (x) = sin kx, k = 1, 2,... ger stående vågor på en sträng med längden π om man animerar (g k (x t) + g k (x + t))/2. (Jämför boken sid 213.) 21. Titta på rörelsen hos strängen i exempel 7.5 sid 214, genom att skriva h:=x->delta(x-0.5); hp:=x->h(x)+h(x-4)+h(x+4)-h(x-1)-h(x+3); u:=(x,t)->int(hp(y),y=x-t..x+t)/2; animate(u(x,t),x=-1..1,t=0..4,numpoints=100,frames=20); Tänk igenom att lösningsformeln verkligen ger detta resultat. 22. Extrauppgift: Studera lösningen till ballongexemplet, exempel 7.7, sidan 221. Skriv in funktionen g i figuren i boken, gm:=r->r*(theta(r+1)-theta(r-1)); Animera lösningsfunktionen för trycket u(r, t), som ges av formeln u(r, t) = 1 2r (g (r ct) + g (r + ct)), r > 0, t > 0. Observera tryckvariationen i centrum, se anmärkningen sidan 223. Extra A. Solitoner En speciell typ av vågor observerades och beskrevs 1834 av en skotsk ingenjör, John Scott Russell: I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of 7

form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Russell lyckades i experiment återskapa sådana vågrörelser och fann bla att utbredningshastigheten tycks vara proportionell mot höjden. Detta är en olinjär effekt, som inte kan uppträda för lösningar till en linjär vågekvation. Russels observation av sk solitoner kan förklaras på följande sätt. Vågutbredning på grunt vatten beskrivs av Korteweg-de Vries ekvation u t + 6uu x + u xxx = 0. Här kan man faktiskt explicit ange vissa lösningar av formen u(x, t) = f(x ct). Insättning ger cf (s) + 6f(s)f (s) + f = 0. Integration, med randvillkoret noll i oändligheten, ger cf(s) + 3f(s) 2 + f = 0. Multiplikation med f och ytterligare en integration ger Denna differentialekvation är separabel, 1 2 cf(s)2 + f(s) 3 + 1 2 (f (s)) 2 = 0. df f c 2f = ds. Be Maple bestämma en primitiv funktion till vänster led, genom int(1/sqrt(c-2*f)/f,f);. Detta leder till 2 c arctanh( 1 2f c ) = s + d, där d är en konstant. För d = 0 löser vi ut f som funktion av s genom att skriva solve(s=-2*arctanh(sqrt((c-2*f)/c))/sqrt(c),f); Detta ger Med detta f har vi visat att f(s) = c 2 (1 tanh2 ( s c 2 )) = c 2 u(x, t) = f(x ct) 1 cosh 2 ( s c 2 ). löser Korteveg-de Vries ekvation. En sådan lösning kallas soliton. Olinjär vågutbredning är idag ett stort forskningsområde, såväl inom matematiken som inom tillämpade vetenskaper. Solitoner förekommer även vid andra medier än vatten, tex optiska fibrer, och man försöker använda dem för signalöverföring. Det finns också hypoteser om att nervimpulser kan beskrivas av solitoner. 8

Bilda f:=(s,c)->c/(2*cosh(s*sqrt(c)/2)^2); och sätt c1:=0.05; c2:=0.1;. Plotta en soliton genom plot(f(s,c1),s=-50..50);. Sätt sedan u:=(x,t)->f(x-c*t,c); Uppgift: Kontrollera med hjälp av Maple att u(x, t) satisfierar Korteveg-de Vries differentialekvation. Använd simplify om det inte trillar ut direkt. Som vi ser av lösningsformeln är solitonens utbredningshastighet proportionell mot amplituden. Av figuren ser vi att solitoner har begränsad utsträckning i rummet. Ett märkligt fenomen är att trots att differentialekvationen är olinjär så gäller för dess lösningar, solitonvågorna, en slags superpositionseffekt, där tex en våg kan komma ikapp en annan våg, kollidera, och sedan komma ut ur kollisionen med oförändrad form. Detta illustreras av följande animering: animate(f(x+50-c1*t,c1)+f(x+100-c2*t,c2),x=-150..250,t=0..3000, numpoints=200,frames=50); Anmärkning: Här har vi fuskat. Summan av de två vågorna satisfierar inte differentialekvationen, trots att varje term gör det. Animeringen illustrerar alltså inte lösningar till Korteveg-de Vries differentialekvation. Påståendet ovan, om vågorna som efter att ha kolliderat fortsätter med oförändrad form, är ett mera avancerat matematiskt resultat. Man kan i alla fall göra detta troligt genom att sätta in F:=(x,t)->f(x+50-c1*t,c1)+f(x+100-c2*t,c2); i vänsterledet i differentialekvationen och se hur nära den är uppfylld. Skriv d:=(x,t)->diff(f(x,t),t)+6*f(x,t)*diff(f(x,t),x)+diff(f(x,t),x,x,x); animate(d(x,t),x=-150..250,t=0..3000,numpoints=200); och jämför storleksordningen av d med termernas. Extra B. Chockvågor Från kapitel 1 kommer vi ihåg kontinuitetsekvationen i en rumsdimension u t + j x = 0 där u = u(x, t) är densitet och j = j(x, t) är strömtäthet, eller flux. För vanlig värmeledning och diffusion har man Fouriers resp Ficks lag j = νu x, där ν är en materialkonstant. Antag nu att det förutom denna linjära diffusionseffekt uppträder en olinjär effekt, så att j = ν u x + u2 2. Strömtätheten påverkas alltså inte bara av densitetsgradienter utan även av densiteten. Detta leder till den så kallade Burgers ekvation u t + uu x = νu xx. Burgers ekvation spelar en mycket viktig roll i studiet av olinjära partiella differentialekvationer. Den olinjära termen gör att helt nya fenomen uppträder, tex chocker, som vi nu skall titta lite närmare på. Burgers ekvation fungerar som en slags modellekvation 9

vid studiet av vågutbredning som uppfyller konservationslagar, tack vare att man har ett analytiskt uttryck för lösningen, vilket är extremt ovanligt. Vi skall nu ta fram detta uttryck. Inför U(x, t) som en primitiv funktion till u(x, t) i x-led, u = U x. Burgers ekvation övergår i U t + 1 2 U 2 x = νu xx. Om man i denna ekvation gör variabelbytet U = 2ν log w, så får man, helt oväntat, en linjär diffusionsekvationen i w, w t = νw xx. För denna känner vi lösningen. Med Greenfunktionen gäller, som vi vet, w(x, t) = G(x, t) = 1 4πνt e x2 /4νt G(x s, t)w 0 (s) ds, där w 0 (x) = w(x, 0) är begynnelsevärdet för w. Återgår man sedan till U och därefter till u så finner man (den fantastiska) lösningsformeln u(x, t) = 2ν [ x log 1 ] e U0(y)/2ν e (x y)2 /4νt dy, 4πνt där U 0 (x) = x u(s, 0) ds. Anmärkning: Här skulle man gärna vilja kontrollera att detta verkligen är lösning till Burgers ekvation. Tyvärr klarar Maple inte detta, och man ger sig knappast på att visa det för hand. Välj nu begynnelsevärdet { sin(x) för π < x < π u 0 (x) = 0 för övrigt. Då gäller U 0 (x) = { 1 cos(x) för π < x < π 0 för övrigt. Vi vill studera fallet med svag diffusion, dvs litet ν. Välj nu:=0.01;. Börja med att titta på fallet då den olinjära termen uu x i Burgers ekvation saknas, så att man får lösningen med hjälp av Greenfunktionen. Om man beräknar denna för t = 8, G:=(x,t)->exp(-x^2/(4*nu*t))/sqrt(4*Pi*nu*t); plot(int(g(x-s,8)*sin(s),s=-pi..pi),x=-8..8); så finner man den vänstra figuren nedan. Vi ser att diffusionprocessen är igång, trots den lilla värdet på ν, och att störningen u spridit sig i x-led i förhållande till begynnelsetillståndet, samtidigt som den minskat i storlek. 10

Varning: Denna beräkning, liksom de följande, tar ganska lång tid i Maple, ibland bortåt fem minuter. Det finns betydligt bättre numeriska metoder. Övergå sedan till Burgers ekvation, med den olinjära termen. I uttrycket för U nedan har vi gjort en omskrivning av lösningsformeln, som utnyttjar att U 0 = 0 utanför intervallet [ π, π]. Skriv U0:=y->-1-cos(y); U:=(x,t)->-2*nu*ln((sqrt(Pi*nu*t)*erfc((Pi+x)/sqrt(4*nu*t))+ sqrt(pi*nu*t)*erfc((pi-x)/sqrt(4*nu*t))+ int(exp(-(x-y)^2/(4*nu*t))*exp(-u0(y)/(2*nu)),y=-pi..pi))/sqrt(4*pi*nu*t)); plot(diff(u(x,8),x),x=-8..8); Vi får efter en stunds räknande den högra figuren nedan. Trots att vi har ett kontinuerligt begynnelsevillkor så tenderar lösningen att få språng, så kallade chocker. Denna effekt blir mer och mer uttalad vid större t, och vid mindre ν. Lösningen har karaktären av en chockvåg. 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2-8 -6-4 -2 0 0 2 4 6 8 x -0.2-8 -6-4 -2 0 0 2 4 6 8 x -0.2-0.4-0.6-0.4-0.8-0.6 Uppgift: Studera chockvågens form och utbredning, genom att variera t och ν. 11